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计量经济学 第三章、经典单方程计量经济学模型：多元线性回归模型

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计量经济学 第三章

计量经济学 第三章
习题答案
3-2．答：变量非线性、系数线性；变量、系数均线性；变量、系数均 线性；变量线性、系数非线性；变量、系数均为非线性；变量、系数均 为非线性；变量、系数均为线性。 3-3．答：多元线性回归模型与一元线性回归模型的区别表现在如下几 方面：一是解释变量的个数不同；二是模型的经典假设不同，多元线性 回归模型比一元线性回归模型多了“解释变量之间不存在线性相关关
方和较大，但相对来说其AIC值最低，所以我们选择该模型为最优的模
型。
（4）随着收入的增加，我们预期住房需要会随之增加。所以可以预
期β3>0，事实上其估计值确是大于零的。同样地，随着人口的增加，
住房需求也会随之增加，所以我们预期β4>0，事实其估计值也是如
此。随着房屋价格的上升，我们预期对住房的需求人数减少，即我们预
其中：——某天慢跑者的人数 ——该天降雨的英寸数 ——该天日照的小时数 ——该天的最高温度（按华氏温度） ——第二天需交学期论文的班级数Байду номын сангаас
请回答下列问题：（1）这两个方程你认为哪个更合理些，为什么？ （2）为什么用相同的数据去估计相同变量的系数得
到不同的符号？ 3-18．对下列模型： （1）
（2） 求出β的最小二乘估计值；并将结果与下面的三变量回归方程的最小二 乘估计值作比较：
（1） 检验模型A中的每一个回归系数在10%水平下是否为零（括 号中的值为双边备择p-值）。根据检验结果，你认为应该把 变量保留在模型中还是去掉？
（2） 在模型A中，在10%水平下检验联合假设H0：i =0(i=1,5,6,7)。说明被择假设，计算检验统计值，说明其 在零假设条件下的分布，拒绝或接受零假设的标准。说明你 的结论。
（3） ，你认为哪一个估计值更好？ 3-19．假定以校园内食堂每天卖出的盒饭数量作为被解释变量，盒饭 价格、气温、附近餐厅的盒饭价格、学校当日的学生数量（单位：千 人）作为解释变量，进行回归分析；假设不管是否有假期，食堂都营 业。不幸的是，食堂内的计算机被一次病毒侵犯，所有的存储丢失，无 法恢复，你不能说出独立变量分别代表着哪一项！下面是回归结果（括 号内为标准差）：

多元线性回归模型

多元线性回归模型
一、多元线性回归模型 二、多元线性回归模型的基本假设
本节重点内容
1.多元线性回归模型一般形式 2.偏回归系数的含义 3.多元线性回归模型的基本假设（与一元
相比,多元的基本假设的不同点）
多元线性回归模型的一般形式
• P72例3.2.2：考虑2006年中国内地城镇居民家 庭全年人均消费支出与人均可支配收入及其上 一年人均消费支出的关系
总体回归模型——一般采用的形式
• 总体回归模型：总体回归函数的随机表达形式
Y 0 1X1 2 X2 k X k
该模型表示Y可表现为对总体均值的波动。源自样本回归函数与样本回归模型
• 从一次抽样中获得的总体回归函数的近似，称为样 本回归函数（sample regression function）。
3. 理解以一元为基础，注意多元中出现的新概 念及其与一元的不同点。
本章内容
• 多元线性回归模型概述 • 多元线性回归模型的参数估计 • 多元线性回归模型的统计检验 • 多元线性回归模型的预测 • 可化为线性的非线性模型 • 受约束回归 • 注：本章矩阵表述部分不涉及
§3.1 多元线性回归模型概述 (Regression Analysis)
• 样本回归函数：
Yˆ ˆ0 ˆ1X1 ˆ2 X2
• 样本回归模型： Y ˆ0 ˆ1X1 ˆ2X2 e
总体回归函数
• 总体回归函数：描述在给定解释变量X条件下 被解释变量Y的条件均值。
E(Y | X1, X 2, X k ) 0 1X1 2 X 2 k X k
k为解释变量的数目（采用此说法）。 习惯上，把常数项看成为虚变量的系数，该虚 变量的样本观测值始终取1。 于是，模型中解释变量的数目为（k+1）。
• 多元模型（二元） • PRF-某类家庭人均消费支出与两个相关因素之

第三章多元线性回归模型(计量经济学,南京审计学院)

第三章多元线性回归模型(计量经济学,南京审计学院)

Yˆ 116.7 0.112X 0.739P
R2 0.99
(9.6) (0.003) (0.114)
Y和X的计量单位为10亿美元 (按1972不变价格计算).
P
食品价格平减指数 总消费支出价格平减指数
100，（1972
100）
3
多元线性回归模型中斜率系数的含义
上例中斜率系数的含义说明如下： 价格不变的情况下，个人可支配收入每上升10
c (X X )1 X D
从而将 的任意线性无偏估计量 * 与OLS估计量 ˆ 联系
起来。
28
cX I
由
可推出：
(X X )1 X X DX I
即 I DX I
因而有 D X 0
cc (X X )1 X D (X X )1 X D ( X X )1 X D X ( X X )1 D
第三章 多元线性回归模型
简单线性回归模型的推广
1
第一节 多元线性回归模型的概念
在许多实际问题中，我们所研究的因变量的变动 可能不仅与一个解释变量有关。因此，有必要考虑线 性模型的更一般形式，即多元线性回归模型：
Yt β0 β1X1t β2 X 2t ... βk X kt ut t=1,2,…,n
Yt
ˆ0
βˆ 1
X
1t
... βˆ K X Kt
2
为最小，则应有：
S
S
S
ˆ0 0, ˆ1 0, ..., ˆ K 0
我们得到如下K+1个方程（即正规方程）：
13
β0 n
β1 X1t ...... β K X Kt Yt
β 0 X 1t β1 X 1t 2 ...... β K X 1t X Kt X 1tYt

计量经济学：一元线性回归模型和多元线性回顾模型习题以及解析

计量经济学：一元线性回归模型和多元线性回顾模型习题以及解析

第二章经典单方程计量经济学模型：一元线性回归模型一、内容提要本章介绍了回归分析的基本思想与基本方法。

首先，本章从总体回归模型与总体回归函数、样本回归模型与样本回归函数这两组概念开始，建立了回归分析的基本思想。

总体回归函数是对总体变量间关系的定量表述，由总体回归模型在若干基本假设下得到，但它只是建立在理论之上，在现实中只能先从总体中抽取一个样本，获得样本回归函数，并用它对总体回归函数做出统计推断。

本章的一个重点是如何获取线性的样本回归函数，主要涉及到普通最小二乘法（OLS）的学习与掌握。

同时，也介绍了极大似然估计法（ML）以及矩估计法（MM）。

本章的另一个重点是对样本回归函数能否代表总体回归函数进行统计推断，即进行所谓的统计检验。

统计检验包括两个方面，一是先检验样本回归函数与样本点的“拟合优度”，第二是检验样本回归函数与总体回归函数的“接近”程度。

后者又包括两个层次：第一，检验解释变量对被解释变量是否存在着显著的线性影响关系，通过变量的t检验完成；第二，检验回归函数与总体回归函数的“接近”程度，通过参数估计值的“区间检验”完成。

本章还有三方面的内容不容忽视。

其一，若干基本假设。

样本回归函数参数的估计以及对参数估计量的统计性质的分析以及所进行的统计推断都是建立在这些基本假设之上的。

其二，参数估计量统计性质的分析，包括小样本性质与大样本性质，尤其是无偏性、有效性与一致性构成了对样本估计量优劣的最主要的衡量准则。

Goss-markov定理表明OLS估计量是最佳线性无偏估计量。

其三，运用样本回归函数进行预测，包括被解释变量条件均值与个值的预测，以及预测置信区间的计算及其变化特征。

二、典型例题分析例1、令kids表示一名妇女生育孩子的数目，educ表示该妇女接受过教育的年数。

生育率对教育年数的简单回归模型为β+μβkids=educ+1（1）随机扰动项μ包含什么样的因素？它们可能与教育水平相关吗？（2）上述简单回归分析能够揭示教育对生育率在其他条件不变下的影响吗？请解释。

经典单方程计量经济学模型多元回归

经典单方程计量经济学模型多元回归
其矩阵形式为
其中 ：
i=1,2…n
在离差形式下，参数的最小二乘估计结果为
⃟随机误差项的方差的无偏估计
可以证明，随机误差项的方差的无偏估计量为
*二、最大或然估计
对于多元线性回归模型
易知
Y的随机抽取的n组样本观测值的联合概率
即为变量Y的或然函数
对数或然函数为
对对数或然函数求极大值，也就是对 求极小值。
模型的良好性质只有在大样本下才能得 到理论上的证明
数量的要求
• 1、在研究经费和时间的充许下，收集尽 可能多的样本。
• 2、对于横截面数据，至少要30个样本； 对于时间数列数据，最少要有12年的数 据。
• 3、样本数量要多于模型中的变量数。
六、多元线性回归模型的参数估计实例
例3.2.2 在例2.5.1中，已建立了中国居 民人均消费一元线性模型。这里我们再考 虑建立多元线性模型。
给定显著性水平，可得到临界值t/2(n-k-1) ，由样本求出统计量t的数值，通过
|t| t/2(n-k-1) 或 |t|t/2(n-k-1) 来拒绝或接受原假设H0，从而判定对应的解释变 量是否应包括在模型中。
注意：一元线性回归中，t检验与F检验一致
一方面，t检验与F检验都是对相同的原假设 H0：1=0 进行检验;
因此,可通过该比值的大小对总体线性关系进行推 断。
根据数理统计学中的知识，在原假设H0成立 的条件下，统计量
R2 (n-k-1) =
1-R2 (k)
服从自由度为(k , n-k-1)的F分布
给定显著性水平，可得到临界值F(k,n-k-1) ，由样本求出统计量F的数值，通过
F F(k,n-k-1) 或 FF(k,n-k-1) 来拒绝或接受原假设H0，以判定原方程总体上的 线性关系是否显著成立。

计量经济学-3多元线性回归模型

计量经济学-3多元线性回归模型
计量经济学-3多元线性 回归模型
2020/12/8
计量经济学-3多元线性回归模型
•第一节 概念和基本假定
•一、基本概念： • 设某经济变量Y 与P个解释变量：X1，X2，…，XP存在线性依
存关系。 • 1.总体回归模型：
•其中0为常数项， 1 ~ P 为解释变量X1 ~ XP 的系数，u为随机扰动项。 • 总体回归函数PRF给出的是给定解释变量X1 ~ XP 的值时，Y的期 望值：E ( Y | X1，X2，…，XP )。 • 假定有n组观测值，则可写成矩阵形式：
计量经济学-3多元线性回归模型
•2.样本回归模型的SRF
计量经济学-3多元线性回归模型
•二、基本假定： • 1、u零均值。所有的ui均值为0，E（ui）=0。 • 2、u同方差。Var（ui）=δ2，i=1，2，…，n
计量经济学-3多元线性回归模型
•
计量经济学-3多元线性回归模型
•
•第二节 参数的最小二乘估 计
•五、预测
•（一）点预测 •点预测的两种解释：
计量经济学-3多元线性回归模型
•（二）区间预测
计量经济学-3多元线性回归模型
计量经济学-3多元线性回归模型
计量经济学-3多元线性回归模型
计量经济学-3多元线性回归模型
计量经济学-3多元线性回归模型
•例5，在例1中，若X01=10，X02=10，求总体均值E（Y0|X0） 和总体个别值Y0的区间预测。
•
Yi=β0+β1Xi1+β2Xi2+ui
计量经济学-3多元线性回归模型
计量经济学-3多元线性回归模型
计量经济学-3多元线性回归模型
•三、最小二乘估计的性质
计量经济学-3多元线性回归模型

5、计量经济学【多元线性回归模型】


二、多元线性回归模型的参数估计
2、最小二乘估计量的性质 当 ˆ0, ˆ1, ˆ2, , ˆk 为表达式形式时，为随机变量， 这时最小二乘估计量 ˆ0, ˆ1, ˆ2, , ˆk 经过证明同样也 具有线性性、无偏性和最小方差性（有效性）。 也就是说，在模型满足那几条基本假定的前提 下，OLS估计量具有线性性、无偏性和最小方差性 （有效性）这样优良的性质， 即最小二乘估计量
用残差平方和 ei2 最小的准则： i
二、多元线性回归模型的参数估计
1、参数的普通最小二乘估计法（OLS） 即：
min ei2 min (Yi Yˆi )2 min Yi (ˆ0 ˆ1X1i ˆ2 X 2i ˆk X ki )2
同样的道理，根据微积分知识，要使上式最小，只 需求上式分别对 ˆj ( j 0,1, k) 的一阶偏导数，并令 一阶偏导数为 0，就可得到一个包含 k 1 个方程的正 规方程组，这个正规方程组中有 k 1个未知参数 ˆ0, ˆ1, ˆ2, , ˆk ；解这个正规方程组即可得到这 k 1 个参数 ˆ0, ˆ1, ˆ2, , ˆk 的表达式，即得到了参数的最小 二乘估计量；将样本数据代入到这些表达式中，即可 计算出参数的最小二乘估计值。
该样本回归模型与总体回归模型相对应，其中残差 ei Yi Yˆi 可看成是总体回归模型中随机误差项 i 的 估计值。
2、多元线性回归模型的几种形式： 上述几种形式的矩阵表达式： 将多元线性总体回归模型 (3.1) 式表示的 n 个随机方 程写成方程组的形式，有：
Y1 0 1 X11 2 X 21 .Y.2.........0.......1.X...1.2........2.X...2.2. Yn 0 1 X1n 2 X 2n
ˆ0, ˆ1, ˆ2, , ˆk 是总体参数真值的最佳线性无偏估计 量（ BLUE ）；即高斯—马尔可夫定理 (GaussMarkov theorem)。

李子奈《计量经济学》课后习题详解(经典单方程计量经济学模型：多元线性回归模型)【圣才出品】


t 统计量的计算公式为：
t ˆ j j
Sˆ j
ˆj j t n k 1
c jj
ee n k 1
而 F 统计量的计算公式为：
F
ESS k
RSS n k
1
④检验的依据丌同：
t 检验的依据为：在给定的显著性水平 α 下，若|t|＞tα/2（n－k－1），则拒绝该解释变 量通过显著性检验的原假设；若|t|≤tα/2（n－k－1），则丌拒绝原假设，从而判定该模型中

（3）在什么条件下，模型（b）的1＝β0＋β1Xi1＋β2Xi2＋μi 可转化为：
验回归模型中整体参数的联合显著性。
②原假设和备择假设丌同：
t 检验的原假设和备择假设为：
H0：检验的某个变量的参数取值为 0； H1：检验的某个变量的参数取值丌为 0。 而 F 检验的原假设和备择假设为：
H0：模型全部变量的参数取值都为 0； H1：模型全部变量的参数取值丌全为 0。 ③统计量的计算公式丌同：
2．在多元线性回归分析中，t 检验不 F 检验有何丌同？在一元线性回归分析中二者是 否有等价的作用？
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答：（1）在多元线性回归分析中，t 检验不 F 检验有以下丌同：
①检验的目的丌同：
t 检验主要是为了检验回归模型中单个自变量的参数的显著性，而 F 检验主要是为了检
（2）在一元线性回归分析中二者有等价的作用。原因在于： 一元线性回归分析只涉及一个自变量，无论是为了检验回归模型中单独的参数的显著性 的 t 检验，还是为了检验回归模型整体参数的联合显著性 F 检验，都只需要检验该解释变量 的参数估计值是否为 0，整个过程是完全等价的。

《计量经济学》第三章 多元线性回归模型

总体回归函数也可表示为:
Yi 1 2 X 2i 3 X 3i ... k X ki ui
7
多元样本回归函数
Y 的样本条件均值表示为多个解释变量的函数
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Yi 1 2 X 2i 3 X3i ... k X ki
或
ˆ ˆ ˆ ˆ Yi 1 2 X 2i 3 X3i ... k X ki ei
22
ˆ ˆ 因 2 是未知的，可用 2代替 2 去估计参数 β 的标
准误差:
ˆ ● 当为大样本时，用估计的参数标准误差对 β 作标 准化变换，所得Z统计量仍可视为服从正态分布 ˆ ●当为小样本时，用估计的参数标准误差对 β 作标
准化变换，所得的t统计量服从t分布： ˆ βk - βk t ~ t (n - k ) ^ ˆ SE( βk )
i i
i
e e 0 4.残差 ei 与 X 和
3.
i
e X
i
3i
ei X 2i 0
2i
X 3i 都不相关，即
ˆ 5.残差 ei 与 Yi 不相关，即
e Yˆ 0
i i
18
二、OLS估计式的性质－统计性质
OLS估计式（用矩阵表式） 1.线性特征:
ˆ = (X X)-1 X Y β
2 i
ˆ ei2 (Yi - Yi )2
ˆ X X ... X )]2 ˆ min e [Yi -(1 ˆ2 2i ˆ3 3i k ki
求偏导,令其为0:
( ei2 ) 0 ˆ
j
13
即 ˆ ˆ ˆ ˆ -2 Yi - (1 2 X 2i 3 X 3i ... ki X ki ) 0

计量经济学 第三章、经典单方程计量经济学模型：多元线性回归模型

第三章、经典单方程计量经济学模型：多元线性回归模型一、内容提要本章将一元回归模型拓展到了多元回归模型，其基本的建模思想与建模方法与一元的情形相同。

主要内容仍然包括模型的基本假定、模型的估计、模型的检验以及模型在预测方面的应用等方面。

只不过为了多元建模的需要，在基本假设方面以及检验方面有所扩充。

本章仍重点介绍了多元线性回归模型的基本假设、估计方法以及检验程序。

与一元回归分析相比，多元回归分析的基本假设中引入了多个解释变量间不存在（完全）多重共线性这一假设；在检验部分，一方面引入了修正的可决系数，另一方面引入了对多个解释变量是否对被解释变量有显著线性影响关系的联合性F检验，并讨论了F检验与拟合优度检验的内在联系。

本章的另一个重点是将线性回归模型拓展到非线性回归模型，主要学习非线性模型如何转化为线性回归模型的常见类型与方法。

这里需要注意各回归参数的具体经济含义。

本章第三个学习重点是关于模型的约束性检验问题，包括参数的线性约束与非线性约束检验。

参数的线性约束检验包括对参数线性约束的检验、对模型增加或减少解释变量的检验以及参数的稳定性检验三方面的内容，其中参数稳定性检验又包括邹氏参数稳定性检验与邹氏预测检验两种类型的检验。

检验都是以F检验为主要检验工具，以受约束模型与无约束模型是否有显著差异为检验基点。

参数的非线性约束检验主要包括最大似然比检验、沃尔德检验与拉格朗日乘数检验。

它们仍以估计无约束模型与受约束模型为基础，但以最大似然原χ分布为检验统计量理进行估计，且都适用于大样本情形，都以约束条件个数为自由度的2的分布特征。

非线性约束检验中的拉格朗日乘数检验在后面的章节中多次使用。

二、典型例题分析例1．某地区通过一个样本容量为722的调查数据得到劳动力受教育的一个回归方程为36.0.+=-10+094medufedu.0sibsedu210131.0R2=0.214式中，edu为劳动力受教育年数，sibs为该劳动力家庭中兄弟姐妹的个数，medu与fedu分别为母亲与父亲受到教育的年数。

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第三章、经典单方程计量经济学模型：多元线性回归模型一、内容提要本章将一元回归模型拓展到了多元回归模型，其基本的建模思想与建模方法与一元的情形相同。

主要内容仍然包括模型的基本假定、模型的估计、模型的检验以及模型在预测方面的应用等方面。

只不过为了多元建模的需要，在基本假设方面以及检验方面有所扩充。

本章仍重点介绍了多元线性回归模型的基本假设、估计方法以及检验程序。

与一元回归分析相比，多元回归分析的基本假设中引入了多个解释变量间不存在（完全）多重共线性这一假设；在检验部分，一方面引入了修正的可决系数，另一方面引入了对多个解释变量是否对被解释变量有显著线性影响关系的联合性F检验，并讨论了F检验与拟合优度检验的内在联系。

本章的另一个重点是将线性回归模型拓展到非线性回归模型，主要学习非线性模型如何转化为线性回归模型的常见类型与方法。

这里需要注意各回归参数的具体经济含义。

本章第三个学习重点是关于模型的约束性检验问题，包括参数的线性约束与非线性约束检验。

参数的线性约束检验包括对参数线性约束的检验、对模型增加或减少解释变量的检验以及参数的稳定性检验三方面的内容，其中参数稳定性检验又包括邹氏参数稳定性检验与邹氏预测检验两种类型的检验。

检验都是以F检验为主要检验工具，以受约束模型与无约束模型是否有显著差异为检验基点。

参数的非线性约束检验主要包括最大似然比检验、沃尔德检验与拉格朗日乘数检验。

它们仍以估计无约束模型与受约束模型为基础，但以最大似然χ分布为检验统计原理进行估计，且都适用于大样本情形，都以约束条件个数为自由度的2量的分布特征。

非线性约束检验中的拉格朗日乘数检验在后面的章节中多次使用。

二、典型例题分析例1．某地区通过一个样本容量为722的调查数据得到劳动力受教育的一个回归方程为36.0.+=-10+094medufedu.0sibsedu210131.0R2=0.214式中，edu为劳动力受教育年数，sibs为该劳动力家庭中兄弟姐妹的个数，medu与fedu分别为母亲与父亲受到教育的年数。

问（1）sibs 是否具有预期的影响？为什么？若medu 与fedu 保持不变，为了使预测的受教育水平减少一年，需要sibs 增加多少？（2）请对medu 的系数给予适当的解释。

（3）如果两个劳动力都没有兄弟姐妹，但其中一个的父母受教育的年数为12年，另一个的父母受教育的年数为16年，则两人受教育的年数预期相差多少？ 解答：（1）预期sibs 对劳动者受教育的年数有影响。

因此在收入及支出预算约束一定的条件下，子女越多的家庭，每个孩子接受教育的时间会越短。

根据多元回归模型偏回归系数的含义，sibs 前的参数估计值-0.094表明，在其他条件不变的情况下，每增加1个兄弟姐妹，受教育年数会减少0.094年，因此，要减少1年受教育的时间，兄弟姐妹需增加1/0.094=10.6个。

（2）medu 的系数表示当兄弟姐妹数与父亲受教育的年数保持不变时，母亲每增加1年受教育的机会，其子女作为劳动者就会预期增加0.131年的教育机会。

（3）首先计算两人受教育的年数分别为 10.36+0.131⨯12+0.210⨯12=14.452 10.36+0.131⨯16+0.210⨯16=15.816因此，两人的受教育年限的差别为15.816-14.452=1.364例2．以企业研发支出（R&D ）占销售额的比重为被解释变量（Y ），以企业销售额（X1）与利润占销售额的比重（X2）为解释变量，一个有32容量的样本企业的估计结果如下：099.0)046.0()22.0()37.1(05.0)log(32.0472.0221=++=R X X Y其中括号中为系数估计值的标准差。

（1）解释log(X1)的系数。

如果X1增加10%，估计Y 会变化多少个百分点？这在经济上是一个很大的影响吗？（2）针对R&D 强度随销售额的增加而提高这一备择假设，检验它不虽X1而变化的假设。

分别在5%和10%的显著性水平上进行这个检验。

（3）利润占销售额的比重X2对R&D 强度Y 是否在统计上有显著的影响？ 解答：（1）log(x1)的系数表明在其他条件不变时，log(x1)变化1个单位，Y 变化的单位数，即∆Y=0.32∆log(X1)≈0.32(∆X1/X1)=0.32⨯100%，换言之，当企业销售X1增长100%时，企业研发支出占销售额的比重Y 会增加0.32个百分点。

由此，如果X1增加10%，Y 会增加0.032个百分点。

这在经济上不是一个较大的影响。

（2）针对备择假设H1：01>β，检验原假设H0：01=β。

易知计算的t 统计量的值为t=0.32/0.22=1.468。

在5%的显著性水平下，自由度为32-3=29的t 分布的临界值为1.699（单侧），计算的t 值小于该临界值，所以不拒绝原假设。

意味着R&D 强度不随销售额的增加而变化。

在10%的显著性水平下，t 分布的临界值为1.311，计算的t 值小于该值，拒绝原假设，意味着R&D 强度随销售额的增加而增加。

（3）对X2，参数估计值的t 统计值为0.05/0.46=1.087，它比在10%的显著性水平下的临界值还小，因此可以认为它对Y 在统计上没有显著的影响。

例3．下表为有关经批准的私人住房单位及其决定因素的4个模型的估计量和相关统计值（括号内为p-值）（如果某项为空，则意味着模型中没有此变量）。

数据为美国40个城市的数据。

模型如下：μββββββββ++++++++=statetax localtax unemp popchangincome value density g hou 76543210sin式中housing ——实际颁发的建筑许可证数量，density ——每平方英里的人口密度，value ——自由房屋的均值（单位：百美元），income ——平均家庭的收入（单位：千美元），popchang ——1980~1992年的人口增长百分比，unemp ——失业率，localtax ——人均交纳的地方税，statetax ——人均缴纳的州税（1）检验模型A 中的每一个回归系数在10%水平下是否为零（括号中的值为双边备择p-值）。

根据检验结果，你认为应该把变量保留在模型中还是去掉？ （2）在模型A 中，在10%水平下检验联合假设H 0：βi =0(i=1,5,6,7)。

说明被择假设，计算检验统计值，说明其在零假设条件下的分布，拒绝或接受零假设的标准。

说明你的结论。

（3）哪个模型是“最优的”？解释你的选择标准。

（4）说明最优模型中有哪些系数的符号是“错误的”。

说明你的预期符号并解释原因。

确认其是否为正确符号。

解答：（1）直接给出了P-值，所以没有必要计算t-统计值以及查t 分布表。

根据题意，如果p-值<0.10,则我们拒绝参数为零的原假设。

由于表中所有参数的p-值都超过了10%，所以没有系数是显著不为零的。

但由此去掉所有解释变量，则会得到非常奇怪的结果。

其实正如我们所知道的，多元回去归中在省略变量时一定要谨慎，要有所选择。

本例中，value 、income 、popchang 的p-值仅比0.1稍大一点，在略掉unemp 、localtax 、statetax 的模型C 中，这些变量的系数都是显著的。

（2）针对联合假设H 0：βi =0(i=1,5,6,7)的备择假设为H1：βi =0(i=1,5,6,7) 中至少有一个不为零。

检验假设H0，实际上就是参数的约束性检验，非约束模型为模型A ，约束模型为模型D ，检验统计值为462.0)840/()7763.4()37/()7763.47038.5()1/()/()(=-+-+-+=----=e e e k n RSS k k RSS RSS F U U R U U R显然，在H0假设下，上述统计量满足F 分布，在10%的显著性水平下，自由度为（4，32）的F 分布的临界值位于2.09和2.14之间。

显然，计算的F 值小于临界值，我们不能拒绝H0，所以βi (i=1,5,6,7)是联合不显著的。

(3）模型D 中的3个解释变量全部通过显著性检验。

尽管R2与残差平方和较大，但相对来说其AIC 值最低，所以我们选择该模型为最优的模型。

（4）随着收入的增加，我们预期住房需要会随之增加。

所以可以预期β3>0，事实上其估计值确是大于零的。

同样地，随着人口的增加，住房需求也会随之增加，所以我们预期β4>0，事实其估计值也是如此。

随着房屋价格的上升，我们预期对住房的需求人数减少，即我们预期β3估计值的符号为负，回归结果与直觉相符。

出乎预料的是，地方税与州税为不显著的。

由于税收的增加将使可支配收入降低，所以我们预期住房的需求将下降。

虽然模型A 是这种情况，但它们的影响却非常微弱。

4、在经典线性模型基本假定下，对含有三个自变量的多元回归模型：μββββ++++=3322110X X X Y你想检验的虚拟假设是H0：1221=-ββ。

（1）用21ˆ,ˆββ的方差及其协方差求出)ˆ2ˆ(21ββ-Var 。

（2）写出检验H0：1221=-ββ的t 统计量。

（3）如果定义θββ=-212，写出一个涉及β0、θ、β2和β3的回归方程，以便能直接得到θ估计值θˆ及其标准误。

解答：（1）由数理统计学知识易知)ˆ(4)ˆ,ˆ(4)ˆ()ˆ2ˆ(221121ββββββVar Cov Var Var +-=- （2）由数理统计学知识易知)ˆ2ˆ(1ˆ2ˆ2121ββββ---=se t ，其中)ˆ2ˆ(21ββ-se 为)ˆ2ˆ(21ββ-的标准差。

（3）由θββ=-212知212βθβ+=，代入原模型得μββθβμβββθβ+++++=+++++=33212103322120)2()2(X X X X X X X Y这就是所需的模型，其中θ估计值θˆ及其标准误都能通过对该模型进行估计得到。

三、习题（一）基本知识类题型 3-1．解释下列概念：1) 多元线性回归 2) 虚变量 3) 正规方程组 4) 无偏性 5) 一致性6) 参数估计量的置信区间 7) 被解释变量预测值的置信区间 8) 受约束回归 9) 无约束回归 10) 参数稳定性检验3-2．观察下列方程并判断其变量是否呈线性？系数是否呈线性？或都是？或都不是？1) i i i X Y εββ++=310 2) i i i X Y εββ++=log 10 3)i i i X Y εββ++=log log 104) i i i X Y εβββ++=)(210 5) i ii X Y εββ+=106) i i i X Y εββ+-+=)1(1107) i i i i X X Y εβββ+++=10221103-3．多元线性回归模型与一元线性回归模型有哪些区别？3-4．为什么说最小二乘估计量是最优的线性无偏估计量？多元线性回归最小二乘估计的正规方程组，能解出唯一的参数估计的条件是什么？3-5．多元线性回归模型的基本假设是什么？试说明在证明最小二乘估计量的无偏性和有效性的过程中，哪些基本假设起了作用？ 3-6．请说明区间估计的含义。