第八节 空间向量的应用(二) 空间的角与距离
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第八节 空间向量的应用(二) 空间的角与距离
高考概览：1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题；2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．
[知识梳理]
1．两条异面直线所成角的求法
设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则
l1与l2所成的角θ a与b的夹角β
范围 0，π2 [0，π]
求法 cosθ＝|a·b||a||b| cosβ＝a·b|a||b|
2.直线与平面所成角的求法
设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β，则sinθ＝|cosβ|＝|a·n||a||n|.
3．求二面角的大小
(1)如图①，AB，CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB→，CD→〉．
(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cosθ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．
4．点到平面的距离
如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为|BO→|＝|AB→·n||n|.
[辨识巧记]
两个提醒
(1)线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sinθ＝|cos〈a，n〉|，不要误记为cosθ＝|cos〈a，n〉|.
(2)二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，来确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补．
[双基自测]
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．( )
(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．( )
(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．( )
(4)两异面直线夹角的范围是0，π2，直线与平面所成角的范围是0，π2，二面角的范围是[0，π]．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．如图所示，若M，N分别是棱长为1的正方体ABCD－
A′B′C′D′的棱A′B′，BB′的中点，则直线AM与CN所成角的余弦值为( )
A.32 B.1010
C.35 D.25
[解析] 以A为原点，AB→，AD→，AA′→所在方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，M12，0，1，C(1,1,0)，N1，0，12，所以AM→＝12，0，1，CN→＝0，－1，12，所以cos〈AM→，CN→〉＝AM→·CN→|AM→||CN→|＝1254＝25.
[答案] D
3．(2019·石家庄模拟)已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于( )
A.64 B.104 C.22 D.32
[解析] 如图，以A1C1中点E为原点建立空间直角坐标系E－xyz，设棱长为1，则A12，0，1，B10，32，0，设AB1与平面ACC1A1所成的角为θ，EB1为平面ACC1A1的法向量．
则sinθ＝|cos〈AB1→，EB1→〉|
＝－12，32，－1·0，32，02×32＝64.故选A.
[答案] A
4．(选修2－1P104练习2改编)已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为(
)
A．45°
B．135°
C．45°或135°
D．90°
[解析] cos〈m，n〉＝m·n|m||n|＝22，
∴〈m，n〉＝45°.
∴两平面所成二面角的大小为45°或135°，故选C.
[答案] C
5．已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG＝2，E，F分别是AB，AD的中点，则点C到平面GEF的距离为________．
[解析] 建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz，则G(0,0,2)，F(4,2,0)，E(2,4,0)，C(0,0,0)，则CG→＝(0,0,2)，GF→＝(4,2，－2)，GE→＝(2,4，－2)，
由 GF→·n＝0，GE→·n＝0，得平面GEF的一个法向量为n＝(1,1,3)，所以点C到平面GEF的距离为d＝|n·CG→||n|＝61111
[答案] 61111
考点一
异面直线所成的角
【例1】 (2017·全国卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( )
A.32 B.155 C.105 D.33
[思路引导] 解法一：将直三棱柱ABC－A1B1C1补成直四棱柱ABCD－A1B1C1D1
→利用BC1∥AD1得∠B1AD1或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角
→在△AB1D1中利用余弦定理求得结果
解法二：建立空间直角坐标系→求得各点的坐标→得AB1→与BC1→的坐标→利用cosθ＝|AB1→·BC1→||AB1→|·|BC1→|得结果
[解析]
图1
解法一：如图1所示，将直三棱柱ABC－A1B1C1补成直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，连接AD1，B1D1，则AD1∥BC1，所以∠B1AD1或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角．因为∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，所以AB1＝5，AD1＝2.在△B1D1C1中，∠B1C1D1＝60°.B1C1＝1，D1C1＝2，所以B1D1＝12＋22－2×1×2×cos60°＝3，
所以cos∠B1AD1＝5＋2－32×5×2＝105，故选C.
图2
解法二：如图2，在平面ABC内过点B作BD⊥AB，交AC于点D，则∠CBD＝30°.
因为BB1⊥平面ABC，故以B为坐标原点，分别以射线BD，BA，BB1为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系，则B(0,0,0)，A(0,2,0)，B1(0,0,1)，C1(cos30°，－sin30°，1)，
即C132，－12，1.
所以AB1→＝(0，－2,1)，BC1→＝32，－12，1.
所以cos〈AB1→，BC1→〉＝AB1→·BC1→|AB1→||BC1→|
＝0×32＋－2×－12＋1×10＋－22＋12× 322＋－122＋12＝105.
所以异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为105.故选C.
[答案] C
求异面直线所成的角的2种方法
(1)定义法：利用平行关系把异面直线转换为共面直线，通过解三角形求得．
(2)向法量：利用直线的方向向量将异面直线所成的角转化成向
量所成的角，即若异面直线a，b的方向向量为a，b所成的角为θ，则cosθ＝a·b|a|·|b|.
[对点训练]
(2019·陕西榆林模拟)在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1D1的中点，则BM与AN所成的角的余弦值为( )
A.1517 B.1617 C.513 D.1213
[解析]
解法一：如图，取B1C1的中点P，连接BP，MP.
∵直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1D1的中点，∴AN∥BP，∴∠MBP是BM与AN所成的角(或所成角的补角)．
BM＝BP＝ 22＋122＝172，
MP＝ 122＋122＝22，
∴cos∠MBP＝BM2＋BP2－MP22BM·BP＝174＋174－242×172×172＝1617.
∴BM与AN所成的角的余弦值为1617.
解法二：如图，以A为坐标原点，分别以射线AB，AD，AA1为x轴，y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，M12，0,2，N0，12，2.
所以BM→＝－12，0,2，AN→＝0，12，2.
所以cos〈BM→，AN→〉＝BM→·AN→|BM→||AN→|＝414＋4×14＋4＝1617.
∴BM与AN所成的角的余弦值为1617.故选B.
[答案] B
考点二 直线与平面所成的角
【例2】 (2018·全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，
以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.
(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD；
(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值．
[解] (1)证明：由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，所以BF⊥平面PEF.
又BF⊂平面ABFD，
所以平面PEF⊥平面ABFD.
(2)作PH⊥EF，垂足为H.由(1)得，PH⊥平面ABFD.
以H为坐标原点，HF→的方向为y轴正方向，|BF→|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H－xyz.
由(1)可得，DE⊥PE.又DP＝2，DE＝1，所以PE＝3.又PF＝1，EF＝2，故PE⊥PF.
可得PH＝32，EH＝32.
则H(0,0,0)，P0,0，32，D－1，－32，0，DP→＝1，32，32，HP→＝0,0，32为平面ABFD的法向量．
设DP与平面ABFD所成角为θ，则sinθ＝HP→·DP→|HP→||DP→|＝343＝34.
所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为34.
求斜线与平面所成的角的2种方法
(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(锐角或直角时)或其补角(钝角时)．
(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线与平面所成的角．
[对点训练]
