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- .word.zl 空间向量的应用----求空间角与距离
一、考点梳理
1.自新教材实施以来，近几年高考的立体几何大题，在考察常规解题方法的同时，更多地关注向量法〔基向量法、坐标法〕在解题中的应用。坐标法〔法向量的应用〕，以其问题〔数量关系：空间角、空间距离〕处理的简单化，而成为高考热点问题。可以预测到，今后的高考中，还会继续表达法向量的应用价值。
2.利用法向量求空间角和空间距离，其常用技巧与方法总结如下：
1)求直线和直线所成的角
假设直线AB、CD所成的角是，cos=|,cos|CDAB||||||CDABCDAB•
2).利用法向量求线面角
设为直线l与平面所成的角，为直线l的方向向量v与平面的法向量n之间的夹角，那么有2或2。
特别地0时， 2，l；2时，0，l或l。计算公式为：
||sincos||||vnvn或||sinsin()cos(0)2||||||||vnvnvnvnvn
3).利用法向量求二面角
设1n、2n分别为平面、的法向量，二面角l的大小为，向量1n、2n的夹角为，那么有或。. -
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案例解读
向量进入高中教材以来．为立 体几何增添了活力．向量所带来的 新思想、新方法不断涌现．本文运 用向量方法简捷地解决一些立体几 何的问题． 一、空间角问题 １．求两异面直线的夹角 设异面直线ａ、ｂ的夹角为 ０（０。＜０≤９０ｏ），ａ、ｂ分别为ａ，ｂ的一 个方向向量。则ｃ０８０－－ｃｏｓ＜ｉ。 ： １），Ｍ（０，１， １）． 因此Ｉ赢Ｉ；（１，１，０），ｐ－ｇ；（０，２， －１）， 故ｌ疵ｌ＝ 。ｌ菇ｌ＝ ， ．ｐ－ｇ：２，所以ｃ０ｓ＜ 。菇＞： 龋ＡＣ＝孚．Ｉ ｌ－ｌＰＢｆ ５ ’ ２．求二面角 设 、：分别是平面 与Ｂ的法 旆・龇球 ，Ｊ、＿ ‘Ｐ 虮月ｃ０ ＜ ， 例１ 已知四棱锥Ｐ—ＡＢＣＤ的 底面为直角梯形。ＡＢ∥Ｄｃ。 ／＿ＤＡＢ＝９０ｏ，ＰＡ上底面ＡＢＣＤ，且 ＰＡ＝ＡＤ＝ＤＣ＝－￣－ＡＢ＝１．Ｍ ＰＢ的 中点球ＡＣ与ＰＢ所成的角 解：因为ＰＡ上ＡＤ。ＰＡ上ＡＢ。 ＡＤ上ＡＢ，所以以Ａ为坐标原点、 ＡＤ长为单位长度建立如图所示的 空间直角坐标系．则各点坐标为Ａ （０，０，０），Ｂ（０，２，０），Ｃ（１， １。０）。Ｄ（１，０。０）。Ｐ（０。０。 荫籼 觚觥 平面角０：丌一‘Ｐ或０：‘Ｐ。其中当 与 同向时取ｅ＝１Ｔ一‘ｐ；异向时取０：‘ｐ． 例２如右下图．在长方体 ＡＢＣＤ—ＡｌＢｌＣ１Ｄｌ中，已知ＡＢ＝４， ＡＤ＝３。ＡＡｌ＝２，Ｅ。Ｆ分别是线段 ＡＢ．ＢＣ上的点．且ＥＢ＝ＦＢ＝Ｌ求 ＝面角Ｃ—ＥＤ—Ｃ 的正切值． Ｄ１ Ｃ１ 解：以Ａ为原点。蕊、 、 分别为ｘ轴、Ｙ轴、ｚ轴的正向 建立空间直角坐标系，则有Ｄ（０， ３。０）、Ｄ１（０。３。２）、Ｅ（３。０， ０）、Ｆ（４，１，０）、Ｃｌ（４，３，２） 于是，疏＝（３，一３，０），耐＝ （１，３。２），ＡＡ ＝（０。０。２） 设向量ｎ＝（ｘ。Ｙ。ｚ）与平面 Ｃ ＤＥ垂直。则有 上魂１ ３ ；上耐尸ｘ＋３ｙ＋２ １ ， ｝ 告 Ｊ ．－．二＝（一号。一号。ｚ）＝号（一１，一１。２） 其中ｚ＞０，取 ＝（一１，一１，２），则 是一个与平面Ｃ，ＤＥ垂直的向量． ・．・向量， （０。０，２）与平面ＣＤＥ垂直。 ．・．＿＋ｎｏ与 所成的角０为二面角Ｃ— ＤＥ Ｃ。的平面角 ・・＿ｃ０ｓ 一ｌｘ０—１ｘ０＋２ｘ２ ￣ｏ＋Ｃ６７６￣一 ｔａｎｅ＝ 二、空间距离问题 ： 互 ３ 构成空间的点、线、面之间有 七种距离．这里着重介绍点面距离 ｃ 的求法，像异面直线间的距离、线 面距离、面面距离都可化为点面距 离来求． 广东教育・教研
1 空间向量的应用—求空间角、距离
题型一 求异面直线所成的角
例1 如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，点E是正方形
BCC1B1的中心，点F、G分别是棱C1D1、AA1的中点，设点E1、G1
分别是点E、G在平面DCC1D1内的正投影．
(1)证明：直线FG1⊥平面FEE1；
(2)求异面直线E1G1与EA所成角的正弦值．
如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB＝4，AD＝3，AA1＝2.E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB＝BF＝1.求直线EC1与FD1所成的角的余弦值．
2 题型二 求直线与平面所成的角
例2 在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图．
（1）求证：AB⊥CD；
（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．
已知三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝12AB，N为AB上一点，且AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点．
(1)证明：CM⊥SN；
(2)求SN与平面CMN所成角的大小．
3 题型三 求二面角
例3 (2012·广东)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩
形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE.
(1)证明：BD⊥平面PAC；
(2)若PA＝1，AD＝2，求二面角B－PC－A的正切值．
(2011·辽宁)如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝12PD.
(1)证明：平面PQC⊥平面DCQ；
(2)求二面角Q—BP—C的余弦值．
4 题型四 求空间距离
例4 在三棱锥S—ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥
平面ABC，SA＝SC＝23，M、N分别为AB、SB的中点，如图所示.
求点B到平面CMN的距离．
课题 空间向量与距离
目标 1、会用坐标求两点间距离 2、掌握向量法求点面距离
重点 掌握向量法求各种距离 难点 点面距离
导学流程
静
心
自
学 1、 两点间距离),,().,,(222111zyxBzyxA，则_______________AB
2、 点),,(zyxA到平面的距离为d，平面的法向量为n，则_____________d
激
情
互
学
例1、已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝2，M为BC1的中点，N为A1B1的中点，求|MN|.
例2、在空间直角坐标系中，，则坐标原点O到平面ABC的距离是________．
例3、[2014·天津卷] 如图所示，在四棱锥P - ABCD中，PA⊥底面ABCD, AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．
(1)证明：BE⊥DC； (2)求点E到平面PBD的距离；
(3)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F - AB - P的余弦值．
检
测
评
学
练习：
1、[2014·浙江卷] 如图1-5，在四棱锥A -BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝2.
(1)证明：DE⊥平面ACD； (2)求点B 到平面AD E的距离．
2、[2014·全国卷] 如图1-1所示，三棱柱ABC - A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2. (1)证明：AC1⊥A1B;
(2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为3，求二面角A1 AB C的大小．
