空间向量的应用求空间角与距离

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- .word.zl 空间向量的应用----求空间角与距离

一、考点梳理

1.自新教材实施以来，近几年高考的立体几何大题，在考察常规解题方法的同时，更多地关注向量法〔基向量法、坐标法〕在解题中的应用。坐标法〔法向量的应用〕，以其问题〔数量关系：空间角、空间距离〕处理的简单化，而成为高考热点问题。可以预测到，今后的高考中，还会继续表达法向量的应用价值。

2.利用法向量求空间角和空间距离，其常用技巧与方法总结如下：

1)求直线和直线所成的角

假设直线AB、CD所成的角是，cos=|,cos|CDAB||||||CDABCDAB•

2).利用法向量求线面角

设为直线l与平面所成的角，为直线l的方向向量v与平面的法向量n之间的夹角，那么有2或2。

特别地0时， 2，l；2时，0，l或l。计算公式为：

||sincos||||vnvn或||sinsin()cos(0)2||||||||vnvnvnvnvn

3).利用法向量求二面角

设1n、2n分别为平面、的法向量，二面角l的大小为，向量1n、2n的夹角为，那么有或。. -

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计算公式为： 1212coscos||||nnnn1212coscos||||nnnn

4).利用法向量求点面距离

如图点P为平面外一点，点A为平面内的任一点，平面的法向量为n,过点P作平面的垂线PO，记∠OPA=，那么点P到平面的距离

cos||||PAPOd

||||||||||||nPAPAnPAnPAn••

5).法向量在距离方面除应用于点到平面的距离外，还能处理异面直线间的距离，线面间的距离，以及平行平面间的距离等。其一，这三类距离都可以转化为点面间的距离；其二，异面直线间的距离可用如下方法操作：在异面直线上各取一点A、B，AB在n上的射影长即为所求。n为异面直线AD、BC公共垂直的方向向量，可由0nAD及0nBC求得，n

 A P

O  . -

- .word.zl 其计算公式为：

||||nABdn。其本质与求点面距离一致。

向量是新课程中引进的一个重要解题工具。而法向量又是向量工具中的一朵厅葩，解题方法新颖，往往能使解题有起死回生的效果，所以在学习中应起足够的重视。

二、范例分析

例1ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为3的等腰梯形，将它沿对称轴1OO折成直二面角，如下列图，〔1〕证明：1ACBO；〔2〕求二面角1OACO的大小。 分析：题干给出一个直二面角和一条对称轴1OO，易知1OOOB，1OOOA，故有着明显的建系条件；另外给出梯形的边长、高，那么各点坐标较易求得。用坐标法求解，可避开二面角的寻找、理推等困挠，只需先求面与面OAC的法向量，再用公式计算便可。

第〔1〕问的作用在于证明1OB面OAC，也就找到了一个法向量；而面1OAC的法向量可用由0nAC及10nOC求得，只是解出x、y、z关系后，对z的取值要慎重，可先观察二面角的大小是锐角、直角，还是钝角。

解：〔1〕证明：由题设知1OOOA、1OOOB，所以AOB是所折成的直二面角的平面角，即OAOB。故可以O为原点，OA、OB、1OO所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标第，如图，那么相关各点的坐标是：(3,0,0)A，(0,3,0)B，(0,1,3)C，1(0,0,3)O，从而，(3,1,3)AC1(0,3,3)BO，13330ACBO，即1ACBO。

〔2〕解：因为103330CBO，所以1OCBO。

由〔1〕1ACBO，所以1BO平面OAC，1BO是平面OAC的一个法向量。 . -

- .word.zl 设(,,)nxyz是平面1OAC的一个法向量，由1033000nACxyzynOC

取3z，得(1,0,3)n。

设二面角1OACO的大小为，由n、1BO的方向可知1,nBO，

所以1113coscos,4||||nBOnBOnBO，即二面角1OACO的大小是3arccos4。

感悟：〔1〕用法向量的方法处理二面角的问题时，将传统求二面角问题时的三步曲：“找——证——求〞直接简化成了一步曲：“计算〞，这外表似乎淡化了学生的空间想象能力，但实质不然，向量法对学生的空间想象能力要求更高，也更加注重对学生创新能力的培养，表达了教育改革的精神。

〔2〕利用坐标法求解和距离，关键是有明显或较为明显的建系条件，从而建立适当的空间直角坐标系——尽可能多地使空间的点在坐标轴上或坐标平面内，正确表达点的坐标。

在立体几何数量关系的解决中，法向量的运用可以使问题简单化，其难点在于掌握和应用法向量解决空间解和距离求法的常用技巧与方法，特别是体会其中的转化和思想方法。

例2．如图，平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，

且,21aADAFG是EF的中点，

〔Ⅰ〕求证平面AGC⊥平面BGC；

〔Ⅱ〕求GB与平面AGC所成角的正弦值.

〔Ⅲ〕求二面角B—AC—G的大小.

解析：如图，以A为原点建立直角坐标系，

那么(0,0,0)A，(0,2,0)Ba，(0,2,2)Caa，

(,,0)Gaa，(,0,0)Fa

〔I〕证明：略．

〔II〕由题意可得(,,0)AGaa，(0,2,2)ACaa，

(,,0)BGaa，(0,0,2)BCa，

设平面AGC的法向量为)1,,(111yxn，

由1100AGnACn1110220axayaya1111xy)1,1,1(1n

11||sin||||BGnBGn223aa36 ABCDEFGxyz. -

- .word.zl 〔III〕因)1,,(111yxn是平面AGC的法向量，

又AF⊥平面ABCD，平面ABCD的法向量)0,0,(aAF，得

11|||cos|||||nAFnAF333aa， ∴ 二面角B—AC—G的大小为3arccos3．

感悟：因为二面角的大小有时为钝角，有时为锐角、直角，所以在计算之前应先依题意判断一下所求二面解的大小，然后根据计算取“相等角〞或“补角〞。

例3如图，四面体ABCD中，O、E分别BD、

BC的中点,CA=CB=CD=BD=2

〔Ⅰ〕求证：AO⊥平面BCD；

〔Ⅱ〕求异面直线AB与CD所成角的大小；

〔Ⅲ〕求点E到平面的距离.

本小题主要考察直线与平面的位置关系、异面直线所

成的角以及点到平面的距离根本知识，考察空间想象

能力、逻辑思维能力和运算能力。

〔I〕证明：连结OC

,,.BODOABADAOBD

,,.BODOBCCDCOBD

在AOC中，由可得1,3.AOCO

而2,AC222,AOCOAC90,oAOC即.AOOC

,BDOCOAO平面BCD

〔II〕解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，那么(1,0,0),(1,0,0),BD

13(0,3,0),(0,0,1),(,,0),(1,0,1),(1,3,0).22CAEBACD

.2cos,,4BACDBACDBACD

异面直线AB与CD所成角的大小为2arccos.4

〔III〕解：设平面ACD的法向量为(,,),nxyz那么

.(,,).(1,0,1)0,.(,,).(0,3,1)0,nADxyznACxyz0,30.xzyz

令1,y得(3,1,3)n是平面ACD的一个法向量。 ABMDEOCxCABODyzE. -

- .word.zl 又13(,,0),22EC点E到平面ACD的距离.321.77ECnhn

例4、如图，三棱锥OABC的侧棱OAOBOC，，两两垂直，且1OA，2OBOC，E是OC的中点．

〔1〕求O点到面ABC的距离；

〔2〕求异面直线BE与AC所成的角；

〔3〕求二面角EABC的大小．

解析:(1)以O为原点,OB、OC、OA分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系.

那么有(0,0,1)A、(2,0,0)B、(0,2,0)C、(0,1,0).E

设平面ABC的法向量为1(,,),nxyz

那么由11:20;nABnABxz知

由11:20.nACnACyz知取

1(1,1,2)n，那么点O到面ABC的距离为1126.3114nOAdn

(2)(2,0,0)(0,1,0)(2,1,0),(0,2,1).EBAC