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- .word.zl 空间向量的应用----求空间角与距离
一、考点梳理
1.自新教材实施以来，近几年高考的立体几何大题，在考察常规解题方法的同时，更多地关注向量法〔基向量法、坐标法〕在解题中的应用。坐标法〔法向量的应用〕，以其问题〔数量关系：空间角、空间距离〕处理的简单化，而成为高考热点问题。可以预测到，今后的高考中，还会继续表达法向量的应用价值。
2.利用法向量求空间角和空间距离，其常用技巧与方法总结如下：
1)求直线和直线所成的角
假设直线AB、CD所成的角是，cos=|,cos|CDAB||||||CDABCDAB•
2).利用法向量求线面角
设为直线l与平面所成的角，为直线l的方向向量v与平面的法向量n之间的夹角，那么有2或2。
特别地0时， 2，l；2时，0，l或l。计算公式为：
||sincos||||vnvn或||sinsin()cos(0)2||||||||vnvnvnvnvn
3).利用法向量求二面角
设1n、2n分别为平面、的法向量，二面角l的大小为，向量1n、2n的夹角为，那么有或。. -
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专题 利用法向量求空间角和距离
（一）如何求法向量
1.法向量：在空间几何中，如果一个向量所在直线垂直于一个平面，我们就说该向量是这个平面的一个法向量，平面α的法向量n是求线线角，线面角，面面角和点到平面距离的必备工具，那么如何求一个平面的法向量呢？
2.方法：由n⊥α可知，要求法向量n，只需在平面α上找出两个不共线向量a,b，通过解方程组 a·n=0b·n=0 得到，需注意的是平面α的法向量不是唯一的，一般取一个研究即可.有时也可先证明某一条直线是平面的垂线，在平面的垂线上取一个向量即为法向量.
3.例题
例1 棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求平面ACD1的法向量n和单位法向量n0.
例2 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=900,侧棱AA1=2，D,E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是三角形ABD的重心G，建立适当的空间直角坐标系，求平面ABD的法向量及平面AED的法向量.
小结：
动手试试：
已知ABCD是边长为4的正方形，E,F分别是AB,AD的中点，GC垂直于ABCD所在平面，且GD=2，建立适当的空间直角坐标系，求平面EFG的法向量.
（二）利用向量法求空间角
1.求线线角的大小
结论1：异面直线a与b所成角为θ，且A∈a,B∈a,C∈b,D∈b,则cosθ=|AB → ·CD →
|AB → ||CD → | |.
例3.在正四棱锥V-ABCD中，E为VC的中点，正四棱锥的底面边长为2，高为1，求异面直线BE与VA所成的角.
小结：
2.求线面角的大小
结论2：设θ为直线l与平面α所成的角，m为l的方向向量，n为平面α的法向量，则有
sinθ=|m·n|m||n| |.
例4.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为2，底面边长为1，求AB1与侧面ACC1A1所成的角的余弦值.
小结：
3.求二面角的大小
1.4.2用空间向量研究距离、夹角（第一课时）
(人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册第一章)
一、教学目标 1. 能利用投影向量得到点到直线的距离公式、点到平面的距离公式．
2. 能用向量方法解决点到直线、平行线间、点到平面、直线到平面（直线与平面平行）、
平行平面间的距离问题． 3. 结合一些具体的距离问题的解决，体会向量方法在研究距离问题中的作用，提升学生
的直观想象、逻辑推理、数学运算等素养.
二、教学重难点 1. （重点）利用投影向量推导点到直线的距离公式、点到平面的距离公式．.
2. （难点）利用投影向量统一研究空间距离问题.
三、教学过程
1.公式的推导
1.1复习回顾
【实际情境】如图，在空间中任取一点，作，.
问题1：（1）怎样表示向量方向上的单位向量？（2）如何作
出向量在向量方向上的投影向量？（3）怎样用单位向量表示向
量在向量方向上的投影向量及投影向量的模？
【活动预设】学生回忆已学的概念、讨论交流．
【预设的答案】（1）； （2）过点作垂直于直线，垂足为，向量
即为向量在向量方向上的投影向量；（3），即
，.
【设计意图】投影向量的概念是一个比较抽象的概念，不易被学生理解，而本节课距离公
式的推导主要依赖于投影向量.投影向量的几何意义、代数表示及模，既体现了几何直观，又
体现了代数定量刻画，从而提供了研究距离的方法. 复习回顾求任意非零向量方向上的单位向OOMaONb
bu
abu
ab
||bu=bM1MMON1M1OM
ab
1=cos=cos|)|(OM|a|u|uu=a|uau
1=()OMauu1||=||OMau
x量，及投影向量的相关知识点，以便于学生更好的参与后续公式的推导过程，以及对公式的理
解，进而突破难点.
1.2探究思考，提炼公式
探究一：已知直线的单位方向向量，是直线上的定点，P是直线外一点.
如何利用这些条件求点到直线的距离？
1.已知平面α的法向量为n1＝(1,1,1)，平面β的法向量是n2＝－3，－62，62.求平面α与平面β的夹角．
2.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝a，AD＝2a，且PA⊥底面ABCD，∠PDA＝30°，AE⊥PD，E为垂足．
(1)求证：BE⊥PD；
(2)求异面直线AE与CD夹角的余弦值．
3.直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，底面ABCD是菱形，AD＝AA1，∠DAB＝60°，F为棱AA1的中点．求平面BFD1与平面ABCD所成的二面角的大小．
4.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M、N分别为PC、PB的中点．求BD与平面ADMN的夹角θ.
5.已知直线l过定点A(2,3,1)，且方向向量为n＝(0,1,1)，求点P(4,3,2)到l的距离
6.已知单位正方体ABCD-A1B1C1D1，求点A到面BDC1的距离．
7.在已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面为直角梯形，AB∥CD，且∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝3，BC＝2，AA1＝2，E是CC1的中点．求A1B1与平面ABE的距离．
