案例解读
向量进入高中教材以来．为立 体几何增添了活力．向量所带来的 新思想、新方法不断涌现．本文运 用向量方法简捷地解决一些立体几 何的问题． 一、空间角问题 １．求两异面直线的夹角 设异面直线ａ、ｂ的夹角为 ０（０。＜０≤９０ｏ），ａ、ｂ分别为ａ，ｂ的一 个方向向量。则ｃ０８０－－ｃｏｓ＜ｉ。 ： １），Ｍ（０，１， １）． 因此Ｉ赢Ｉ；（１，１，０），ｐ－ｇ；（０，２， －１）， 故ｌ疵ｌ＝ 。ｌ菇ｌ＝ ， ．ｐ－ｇ：２，所以ｃ０ｓ＜ 。菇＞： 龋ＡＣ＝孚．Ｉ ｌ－ｌＰＢｆ ５ ’ ２．求二面角 设 、：分别是平面 与Ｂ的法 旆・龇球 ，Ｊ、＿ ‘Ｐ 虮月ｃ０ ＜ ， 例１ 已知四棱锥Ｐ—ＡＢＣＤ的 底面为直角梯形。ＡＢ∥Ｄｃ。 ／＿ＤＡＢ＝９０ｏ，ＰＡ上底面ＡＢＣＤ，且 ＰＡ＝ＡＤ＝ＤＣ＝－￣－ＡＢ＝１．Ｍ ＰＢ的 中点球ＡＣ与ＰＢ所成的角 解：因为ＰＡ上ＡＤ。ＰＡ上ＡＢ。 ＡＤ上ＡＢ，所以以Ａ为坐标原点、 ＡＤ长为单位长度建立如图所示的 空间直角坐标系．则各点坐标为Ａ （０，０，０），Ｂ（０，２，０），Ｃ（１， １。０）。Ｄ（１，０。０）。Ｐ（０。０。 荫籼 觚觥 平面角０：丌一‘Ｐ或０：‘Ｐ。其中当 与 同向时取ｅ＝１Ｔ一‘ｐ；异向时取０：‘ｐ． 例２如右下图．在长方体 ＡＢＣＤ—ＡｌＢｌＣ１Ｄｌ中，已知ＡＢ＝４， ＡＤ＝３。ＡＡｌ＝２，Ｅ。Ｆ分别是线段 ＡＢ．ＢＣ上的点．且ＥＢ＝ＦＢ＝Ｌ求 ＝面角Ｃ—ＥＤ—Ｃ 的正切值． Ｄ１ Ｃ１ 解：以Ａ为原点。蕊、 、 分别为ｘ轴、Ｙ轴、ｚ轴的正向 建立空间直角坐标系，则有Ｄ（０， ３。０）、Ｄ１（０。３。２）、Ｅ（３。０， ０）、Ｆ（４，１，０）、Ｃｌ（４，３，２） 于是，疏＝（３，一３，０），耐＝ （１，３。２），ＡＡ ＝（０。０。２） 设向量ｎ＝（ｘ。Ｙ。ｚ）与平面 Ｃ ＤＥ垂直。则有 上魂１ ３ ；上耐尸ｘ＋３ｙ＋２ １ ， ｝ 告 Ｊ ．－．二＝（一号。一号。ｚ）＝号（一１，一１。２） 其中ｚ＞０，取 ＝（一１，一１，２），则 是一个与平面Ｃ，ＤＥ垂直的向量． ・．・向量， （０。０，２）与平面ＣＤＥ垂直。 ．・．＿＋ｎｏ与 所成的角０为二面角Ｃ— ＤＥ Ｃ。的平面角 ・・＿ｃ０ｓ 一ｌｘ０—１ｘ０＋２ｘ２ ￣ｏ＋Ｃ６７６￣一 ｔａｎｅ＝ 二、空间距离问题 ： 互 ３ 构成空间的点、线、面之间有 七种距离．这里着重介绍点面距离 ｃ 的求法，像异面直线间的距离、线 面距离、面面距离都可化为点面距 离来求． 广东教育・教研
课题 空间向量与距离
目标 1、会用坐标求两点间距离 2、掌握向量法求点面距离
重点 掌握向量法求各种距离 难点 点面距离
导学流程
静
心
自
学 1、 两点间距离),,().,,(222111zyxBzyxA，则_______________AB
2、 点),,(zyxA到平面的距离为d，平面的法向量为n，则_____________d
激
情
互
学
例1、已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝2，M为BC1的中点，N为A1B1的中点，求|MN|.
例2、在空间直角坐标系中，，则坐标原点O到平面ABC的距离是________．
例3、[2014·天津卷] 如图所示，在四棱锥P - ABCD中，PA⊥底面ABCD, AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．
(1)证明：BE⊥DC； (2)求点E到平面PBD的距离；
(3)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F - AB - P的余弦值．
检
测
评
学
练习：
1、[2014·浙江卷] 如图1-5，在四棱锥A -BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝2.
(1)证明：DE⊥平面ACD； (2)求点B 到平面AD E的距离．
2、[2014·全国卷] 如图1-1所示，三棱柱ABC - A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2. (1)证明：AC1⊥A1B;
(2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为3，求二面角A1 AB C的大小．
空间向量求空间角
教学知能目标：1．理解空间向量求解空间角的一般方法；
2．能用空间向量解决空间角问题。
教学情感目标：培养学生探究新知的精神，培养学生数形结合的能力，化归的能力。
教学重点：理解空间向量求解空间角的一般方法，并能利用空间向量解决空间角问题。
教学难点：线面角，面面角的化归。
一、复习引入：
1 ．在三棱锥PABC中，,,,PAABABACACPA
2PAPBPC，则面ABC的法向量是什么？面PBC
的法向量又怎么求？
2 ．空间向量的数量积运算公式是什么？
二、新课探究：
四棱柱1111ABCDABCD的底面是的边长为1的正方形，侧棱垂直底面，11,4,,,ABAAEFG分
别是11,,CCACBB的中点。
问题1：求异面直线11,BFDE所成角的余弦值.
探究：如何用空间向量求异面直线所成的角？
设l1与l2是两异面直线，,ab分别为l1、l2的方向向量，它们所成角为， l1、l2所成的角为，则θ与相等或互补，则coscosabab
ZYXGFED1C1B1A1DCBAαbaCBAP
问题2：求直线AC与平面1AGF所成角的余弦值；
探究：如何用空间向量求直线与平面所成的角？
如图，设l为平面的斜线，lA，,a为l的方向向量， n为平面的法向量，它们所成角为θ， l与平面所成的角为，则sincosanan
问题3：求二面角1AAGF的平面角的余弦值。
探究：如何用空间向量求二面角？
平面与相交于直线l，平面的法向量为1n，平面的法向量为2n，12,nn = ，则二面角l为或.设二面角的大小为，则2112coscosnnnn
φnaCBAαφn2n1lBAOβα
三、巩固提高：
已知四棱锥SABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，（1）当时2SAa时，求异面直线AB和SC所成角的余弦值；（2）当2SAa时求直线BD和平面SCD所成角的余弦值；（3）当SAAB的值为多少时，二面角BSCD的大小为120?
用空间向量研究距离,夹角问题公式
对于距离和夹角问题的研究，空间向量提供了一种有效的方法。空间向量是指
具有方向和大小的矢量，可以用来表示在三维空间中的物理量或者几何对象。
首先，我们来讨论两个点之间的距离问题。在空间向量中，两个点的距离可以
通过计算它们的欧几里得距离来确定。欧几里得距离是指从一个点到另一个点的直
线距离。如果我们将两个点表示为向量A和向量B，那么它们之间的欧几里得距
离可以使用以下公式计算：
距离 = |向量AB| = √((Bx-Ax)^2 + (By-Ay)^2 + (Bz-Az)^2)
其中，Ax、Ay、Az分别表示向量A的x、y、z坐标，Bx、By、Bz分别表示
向量B的x、y、z坐标。通过这个公式，我们可以计算出两个向量之间的距离。
接下来，让我们来看一下关于夹角问题的公式。在空间向量中，可以使用两个
向量的点积和模长之间的关系来计算它们之间的夹角。如果我们将两个向量表示为
向量A和向量B，它们的夹角可以通过以下公式计算：
夹角θ = arccos((向量A·向量B) / (|向量A| × |向量B|))
其中，向量A·向量B表示两个向量的点积，|向量A|和|向量B|分别表示向量A
和向量B的模长。通过这个公式，我们可以确定两个向量之间的夹角。
通过使用上述的距离和夹角问题的公式，我们可以将空间向量用于研究并解决
各种几何和物理问题。这些公式能够提供详细而完整的信息，帮助我们深入了解空
间中不同物体之间的距离和夹角关系。无论是在几何学、物理学还是其他相关领域，
空间向量的研究都具有重要的应用价值。
