利用空间向量求空间角考点与题型归纳
一、基础知识
1．异面直线所成角
设异面直线a，b所成的角为θ，则cos
θ＝|a·b||a||b|❶， 其中a，b分别是直线a，b的方向向量．
2．直线与平面所成角
如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，a为l的方向向量，n为平面α的法向量，φ为l与α所成的角，则sin φ＝|cos〈a，n〉|＝|a·n||a||n|❷.
3．二面角
(1)若AB，CD分别是二面角αlβ的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量AB―→与CD―→的夹角，如图(1)．
(2)平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，〈n1，n2〉＝θ，则二面角α l β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝|n1·n2||n1||n2|❸，如图(2)(3)．
两异面直线所成的角为锐角或直角，而不共线的向量的夹角为(0，π)，所以公式中要加绝对值．
直线与平面所成角的范围为0，π2，而向量之间的夹角的范围为[0，π]，所以公式中要加绝对值．
利用公式与二面角的平面角时，要注意〈n1，n2〉与二面角大小的关系，是相等还是互补，需要结合图形进行判断．
二、常用结论
解空间角最值问题时往往会用到最小角定理
cos θ＝cos θ1cos θ2.
如图，若OA为平面α的一条斜线，O为斜足，OB为OA在平面α内的射影，OC为平面α内的一条直线，其中θ为OA与OC所成的角，θ1为OA与OB所成的角，即线面角，θ2为OB与OC所成的角，那么cos θ＝cos θ1cos θ2.
考点一 异面直线所成的角
[典例精析]
如图，在三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA＝AC＝4，AB＝2.
(1)求证：MN∥平面BDE；
(2)已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为721，求线段AH的长．
专题 利用法向量求空间角和距离
（一）如何求法向量
1.法向量：在空间几何中，如果一个向量所在直线垂直于一个平面，我们就说该向量是这个平面的一个法向量，平面α的法向量n是求线线角，线面角，面面角和点到平面距离的必备工具，那么如何求一个平面的法向量呢？
2.方法：由n⊥α可知，要求法向量n，只需在平面α上找出两个不共线向量a,b，通过解方程组 a·n=0b·n=0 得到，需注意的是平面α的法向量不是唯一的，一般取一个研究即可.有时也可先证明某一条直线是平面的垂线，在平面的垂线上取一个向量即为法向量.
3.例题
例1 棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求平面ACD1的法向量n和单位法向量n0.
例2 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=900,侧棱AA1=2，D,E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是三角形ABD的重心G，建立适当的空间直角坐标系，求平面ABD的法向量及平面AED的法向量.
小结：
动手试试：
已知ABCD是边长为4的正方形，E,F分别是AB,AD的中点，GC垂直于ABCD所在平面，且GD=2，建立适当的空间直角坐标系，求平面EFG的法向量.
（二）利用向量法求空间角
1.求线线角的大小
结论1：异面直线a与b所成角为θ，且A∈a,B∈a,C∈b,D∈b,则cosθ=|AB → ·CD →
|AB → ||CD → | |.
例3.在正四棱锥V-ABCD中，E为VC的中点，正四棱锥的底面边长为2，高为1，求异面直线BE与VA所成的角.
小结：
2.求线面角的大小
结论2：设θ为直线l与平面α所成的角，m为l的方向向量，n为平面α的法向量，则有
sinθ=|m·n|m||n| |.
例4.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为2，底面边长为1，求AB1与侧面ACC1A1所成的角的余弦值.
小结：
3.求二面角的大小
第 五讲 空间向量与立体几何（2012-2-4）
利用空间向量证明空间中线面关系，计算空间的各种角是高考对立体几何的常规考法．它以代数运算代替复杂的空间的想象，给解决立体几何问题带来了鲜活的方法．另外，空间向量还可以用来解决许多探索性问题，这类问题具有一定的思维深度，更能考查学生的能力，因此正逐渐成为高考命题的热点题型．
一、 空间向量的基本概念：
1、空间向量的数量积：
2、两个重要的向量：
(1)直线的方向向量
直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的向量，一条直线的方向向量有
个．
(2)平面的法向量
直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有 个，它们是共线向量．
3．利用空间向量求空间角
(1)求两条异面直线所成的角 (2)求直线与平面所成的角
设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ.
则sinθ＝|cos〈a，n〉|＝ .
（3）求二面角的大小：
二、 点题热身：
1．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(2,4，－4)，b＝(－6,9,6)，则
( )
A．l1∥l2 B．l1⊥l2
C．l1与l2相交但不垂直 D．以上均不正确
2．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为
( )
A．45° B．135°
C．45°或135° D．90°
3、正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成角
的余弦值为________．
学案46 利用向量方法求空间角
自我检测
1．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为( )
A．45° B．135°
C．45°或135° D．90°
2．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(2,4，－4)，b＝(－6,9,6)，则( )
A．l1∥l2 B．l1⊥l2
C．l1与l2相交但不垂直 D．以上均不正确
3．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于( )
A．120° B．60°
C．30° D．以上均错
4．(2011·湛江月考)二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝217，则该二面角的大小为( )
A．150° B．45° C．60° D．120°
5．(2011·铁岭模拟)已知直线AB、CD是异面直线，AC⊥CD，BD⊥CD，且AB＝2，CD＝1，则异面直线AB与CD夹角的大小为( )
A．30° B．45° C．60° D．75°
探究点一 利用向量法求异面直线所成的角
例1 已知直三棱柱ABC—A1B1C1，∠ACB＝90°，CA＝CB＝CC1，D为B1C1的中点，求异面直线BD和A1C所成角的余弦值．
变式迁移1 如图所示，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求异面直线BA1和AC所成的角．
探究点二 利用向量法求直线与平面所成的角
例2 (2011·新乡月考)如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．若平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值．
变式迁移2 如图所示，在几何体ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，BE和CD都垂直于平面ABC，且BE＝AB＝2，CD＝1，点F是AE的中点．求AB与平面BDF所成角的正弦值．
