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一、幂函数1、幂的有关概念正整数指数幂：...()nna a a a n N=∈零指数幂：01(0)a a=≠负整数指数幂：1(0,)ppa a p Na-=≠∈分数指数幂：正分数指数幂的意义是：(0,,,1)mn mna a a m n N n=>∈>且负分数指数幂的意义是：11(0,,,1) mnm n mna a m n N naa-==>∈>且2、幂函数的定义一般地，函数ay x=叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数(我们只讨论a是有理数的情况)．3、幂函数的图象幂函数ay x=当11,,1,2,332a=时的图象见左图；当12,1,2a=---时的图象见上图：由图象可知，对于幂函数而言，它们都具有下列性质：a y x =有下列性质： (1)0a >时：①图象都通过点(0,0)，(1,1)；②在第一象限内，函数值随x 的增大而增大，即在(0,)+∞上是增函数． (2)0a <时：①图象都通过点(1,1)；②在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，即在(0,)+∞上是减函数； ③在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近． (3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点； (4)任何幂函数图象都不经过第四象限； (5)任何两个幂函数的图象最多有三个交点．二、指数函数①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x且称指数函数， 1）函数的定义域为R ； 2）函数的值域为),0(+∞；3）当10<<a 时函数为减函数，当1>a 时函数为增函数. 4）有两个特殊点：零点(0,1)，不变点(1,)a .5）抽象性质： ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=⋅-=三、对数函数如果b a N =（0a >，1a ≠），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N b =log b a a N N b =⇔=（0a >，1a ≠，0N >）． 1．对数的性质()log log log a a a MN M N =+． log log log aa a MM N N=-．log log n a a M n M =．（00M N >>，，0a >，1a ≠）（ a, b > 0且均不为1）2．换底公式：log log log m a m NN a=( a > 0 , a ≠ 1 ；0,1m m >≠) 常用的推论：（1）log log 1a b b a ⨯= ； ．（2）log log m na a nb b m=（a 、0b >且均不为1）．1log log 1N N a a mn n m==． （3）， （4）对数恒等式．一、对数函数的图像及性质① 函数log a y x =（0a >，1a ≠）叫做对数函数② 对数函数的性质：定义域：(0,)+∞； 值域：R ； 过点(1,0)，即当1x =时，0y =．当0a >时，在（0，+∞）上是增函数；当01a <<时，在（0，+∞）上是减函数．二、对数函数与指数函数的关系对数函数log a y x =与指数函数x y a =图像关于直线y x =对称． 指数方程和对数方程主要有以下几种类型：()()log ,log ()()f x b a a a b f x b f x b f x a =⇔==⇔=（定义法）b mnb a n am log log =1log log log =⋅⋅a c b c b a 01log =a 1log =a a N a N a =log()()()(),log ()log ()()()0f x g x a a a a f x g x f x g x f x g x =⇔==⇔=>（转化法） ()()()log ()log f x g x m m a b f x a g x b =⇔= (取对数法)。
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幂函数及其性质专题一、幂函数的定义一般地，形如y x α=（x ∈R)的函数称为幂孙函数,其中x 是自变量，α是常数.如11234,,y x y x y x -===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数。
二、函数的图像和性质（1）y x = （2）12y x = （3)2y x = （4）1y x -= （5）3y x =用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像,通过观察图像，可以看出：y x = 2y x =3y x =12y x =1y x -=定义域奇偶性在第Ⅰ象限单调增减性定点（公共点）3．幂函数性质（1)所有的幂函数在（0，+∞）都有定义,并且图象都过点（1,1）;(2)x ＞0时，幂函数的图象都通过原点,并且在[0,+∞]上，是增函数（3）α＜0时,幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.三．两类基本函数的归纳比较： ① 定义对数函数的定义:一般地,我们把函数log a y x =（a ＞0且a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，+∞）．幂函数的定义：一般地,形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，α是常数。
②性质对数函数的性质：定义域:（0，+∞）；值域:R; 过点（1,0)，即当x =1,y =0；在(0，+∞）上是增函数；在（0，+∞）是上减函数 幂函数的性质:所有的幂函数在（0，+∞）都有定义， 图象都过点(1，1）x ＞0时,幂函数的图象都通过原点, 在[0，+∞]上，y x =、2y x =、3y x =、12y x =是增函数，在(0，+∞）上， 1y x -=是减函数. 【例题选讲】例1．已知函数()()2531m f x m m x --=--，当 m 为何值时,()f x ：(1）是幂函数;(2)是幂函数,且是()0,+∞上的增函数；（3）是正比例函数;(4）是反比例函数；（5）是二次函数；简解：（1）2m =或1m =-（2）1m =-（3）45m =-（4）25m =-（5）1m =-变式训练：已知函数()()2223m m f x m m x--=+，当 m 为何值时,()f x 在第一象限内它的图像是上升曲线.简解：220230m m m m ⎧+>⎪⎨-->⎪⎩解得：()(),13,m ∈-∞-+∞例2．比较大小：（1）11221.5,1.7 （2）33( 1.2),( 1.25)--（3）1125.25,5.26,5.26---（4）30.530.5,3,log 0.5例3．已知幂函数223m m y x --=（m Z ∈)的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称,求m 的值．解:∵幂函数223m m y x --=（m Z ∈)的图象与x 轴、y 轴都无交点， ∴2230m m --≤，∴13m -≤≤；∵m Z ∈，∴2(23)m m Z --∈,又函数图象关于原点对称, ∴223m m --是奇数，∴0m =或2m =． 例4、设函数f （x ）＝x 3，（1）求它的反函数；（2)分别求出f －1(x )＝f （x ），f －1(x )＞f （x ),f －1（x )＜f (x )的实数x 的范围．解析：（1)由y ＝x 3两边同时开三次方得x ＝3y ，∴f －1（x )＝x 31．(2）∵函数f （x ）＝x 3和f －1（x ）＝x 31的图象都经过点（0，0）和（1，1)．∴f －1（x ）＝f (x )时，x ＝±1及0；在同一个坐标系中画出两个函数图象，由图可知 f －1（x ）＞f （x ）时,x ＜－1或0＜x ＜1；f －1（x ）＜f （x )时，x ＞1或－1＜x ＜0．点评：本题在确定x 的范围时，采用了数形结合的方法，若采用解不等式或方程则较为麻烦．例5、求函数y ＝52x ＋2x 51＋4(x ≥－32）值域．解析：设t ＝x 51，∵x ≥－32，∴t ≥－2，则y ＝t 2＋2t ＋4＝(t ＋1)2＋3．当t ＝－1时，y min ＝3．∴函数y ＝52x ＋2x 51＋4（x ≥－32）的值域为［3,＋∞）．【同步练习】1. 下列函数中不是幂函数的是（ ）Ａ．y x = Ｂ．3y x = Ｃ．2y x = Ｄ．1y x -= 2。
幂函数、指数函数和对数函数对数及其运算法则教案第一章：幂函数1.1 幂函数的定义与性质学习幂函数的定义：f(x) = x^a，其中a为常数。
探讨幂函数的性质，如奇偶性、单调性等。
1.2 幂函数的图像与解析式绘制常见的幂函数图像，如f(x) = x^2，f(x) = x^-1等。
学习如何从图像得出幂函数的解析式。
第二章：指数函数2.1 指数函数的定义与性质学习指数函数的定义：f(x) = a^x，其中a为正常数。
探讨指数函数的性质，如单调性、特殊点等。
2.2 指数函数的图像与解析式绘制常见的指数函数图像，如f(x) = 2^x，f(x) = 3^x等。
学习如何从图像得出指数函数的解析式。
第三章：对数函数3.1 对数函数的定义与性质学习对数函数的定义：f(x) = log_a(x)，其中a为正常数。
探讨对数函数的性质，如单调性、特殊点等。
3.2 对数函数的图像与解析式绘制常见的对数函数图像，如f(x) = log_2(x)，f(x) = log_3(x)等。
学习如何从图像得出对数函数的解析式。
第四章：对数运算法则4.1 对数的基本运算法则学习对数的加法、减法、乘法和除法法则。
4.2 对数的复合运算法则学习对数的乘方和除方法则。
第五章：对数函数的应用5.1 对数函数在实际问题中的应用探讨对数函数在实际问题中的应用，如人口增长、放射性衰变等。
5.2 对数函数在其他数学领域的应用探讨对数函数在其他数学领域的应用，如微积分中的对数微分等。
第六章：指数函数的应用6.1 指数函数在实际问题中的应用探讨指数函数在实际问题中的应用，如复利计算、生物种群增长等。
6.2 指数函数在其他数学领域的应用探讨指数函数在其他数学领域的应用，如概率论中的指数分布等。
第七章：幂函数和指数函数的综合应用7.1 幂函数和指数函数在实际问题中的应用探讨幂函数和指数函数在实际问题中的应用，如物理学中的能量公式、经济学中的需求函数等。
7.2 幂函数和指数函数在其他数学领域的应用探讨幂函数和指数函数在其他数学领域的应用，如图论中的指数时间算法等。
