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电路的暂态分析电路的暂态分析是对电路从一个稳定状态变化到另一个稳定状态时中间经受的过渡状态的分析。
电路中产生暂态过程的缘由是由于电路的接通、断开、短路、电路参数转变等——即换路时，储能元件的能量不能跃变而产生的。
(1)换路定则与电压、电流初始值的确定换路定则用来确定暂态过程中电压、电流的初始值，其理论依据是能量不能跃变。
在换路瞬间储能元件的能量不能跃变，即电感元件的储能不能跃变电容元件的储能不能跃变否则将使功率达到无穷大设t=0为换路瞬间，而以t=0–表示换路前的终了瞬间，t=0+表示换路后的初始瞬间。
则换路定则用公式表示为：电压与电流初始值的确定* 作出t=0–的等效电路，在此电路中，求出和。
* 由换路定则得到和。
* 作出t=0+的等效电路换路前，若储能元件没有储能，则在t=0+的等效电路中，可将电容短路，而将电感元件开路；若储能元件储有能量，则在t=0+的等效电路中，电容可用电压为的抱负电压源代替，电感元件则可用电流为的抱负电流源代替。
*在t=0+的等效电路中，求出待求电压和电流的初始值。
(2)RC电路的响应在t=0时将开关S合到1的位置依据KVL，t≥0 时电路的微分方程为设换路前电容元件已有储能，即，解上述微分方程，得t=RC单位是秒，所以称它为RC电路的时间常数。
这种由外加激励和初始储能共同作用引起的响应，称为RC 电路的全响应。
若换路前电容元件没有储能，即，则初始储能为零，由外加电源产生的响应，称为RC电路的零状态响应。
uC随时间变化曲线时间常数t=RC，当t=t时，uC= 63.2%UuC由初始值零按指数规律向稳态值增长，电路中其他各量要详细分析才能确定。
若在t=0 时将开关S由1合到2的位置，如下图。
这时电路中外加激励为零，电路的响应由电容的初始储能引起的，故常称为RC 电路的零输入响应。
电容两端的电压uC由初始值U0向稳态值零衰减，这是电容的放电过程，其随时间变化表达式为在零输入响应电路中各电量均由初始值按指数规律向稳态值零衰减。
电路的暂态分析电路的暂态分析指的是对电路在瞬间输入或变化时的瞬态响应进行分析。
在电路设计、故障诊断等领域都有着广泛的应用。
本文将从理论模型、暂态响应的特点以及常见的分析方法三个方面来介绍电路的暂态分析。
理论模型在进行电路的暂态分析前，需要先建立电路的理论模型。
这包括对电路的电学特性进行建模以及对电路元件的特性进行分析。
电学特性模型电路的电学特性主要包括电阻、电容、电感等基本元件的特性。
其中，电阻和电容的特性模型比较简单，可以用欧姆定律和电容充放电公式进行描述。
而对于电感元件，需要利用基尔霍夫电压定律以及利用长度为l的线圈的感性L和匝数n之间的关系公式来进行描述。
在建立电路理论模型时，还需要考虑电源特性以及信号源电压的特性。
其中，电源特性可以用理想电压源或者理想电流源进行模拟；而对于实际应用中的非理想电源，需要通过实验或者仿真获取其精确的电源特性。
元件特性分析在进行电路暂态分析时，还需要考虑不同元件的特性。
例如，对于电容元件，如果其充放电速度过快，可能会导致电容器击穿或者损坏。
而对于电感元件，由于其自身存在的电感作用，可能会对电路的瞬态响应产生影响。
因此，在电路模型建立时，需要充分考虑每个元件的特性，以便更准确地描述和分析电路。
暂态响应的特点对于电路来说，其暂态响应有着以下几个特点：瞬时响应在电路遭受瞬间输入或变化时，电路会出现瞬时响应。
在瞬间输入或变化后，电路各元件的电压和电流瞬间变化，并在一定时间内达到最终稳定状态。
频率响应与频率响应不同的是，瞬态响应表示电路在瞬间输入或变化后的响应。
在瞬间输入或变化后，电路会出现瞬变，一般在几个时间常数内达到最终稳态。
这个过程可以看做是一个低通滤波器，对于高频信号的衰减比较快。
强迫响应强迫响应是指电路的强制响应，是由于电路中有源元件的作用产生的响应。
强迫响应是由电路中的输入信号和有源元件共同确定的。
常见的分析方法在进行电路暂态响应的分析时，有多种方法可供选择。
第五章电路的暂态分析第一节学习指导一、学习目的和要求1．稳态和暂态的概念2．换路定理与电压和电流初始值的确定。
3．一阶线性RC、RL电路零输入响应。
4．一阶线性RC、RL电路零状态响应。
5．一阶线性RC、RL电路全响应及三要素法求解。
6．微分电路与积分电路二、内容简介1．稳态和暂态的概念稳态是指电路中的电压和电流在给定的条件下已达到某一稳态值（对交流来讲是其幅值达到稳定）我们把直流电路、电压(电流)和呈周期性变化的交流电路称为稳态电路。
暂态是指电路在过渡过程(过渡过程的外部条件是换路即开关接通、断开，电路的参数变化，电源电压变化等。
电路产生过渡过程的根本原因系统中的能量不能发生跃变。
电路中的电场能和磁场能不能发生跃变是)中的工作状态即指两种稳定状态的中间转换过程。
2．换路定理与电压和电流初始值的确定。
(如表5-1所示)表5-1 换路定理与电压和电流初始值的确定1293．一阶线性RC、RL电路零输入响应、零状态响应、全响应及三要素法求解。
（如表5-2所示）表5-2 一阶线性RC、RL电路零输入响应、零状态响应、全响应及三要素法1301311321334．用“三要素法”求解一阶暂态电路的简要步骤如下：（1）稳态值)(∞f ：取换路后的电路，将其中的电感元件视作短路，电容视作开路，获得直流电阻性电路，求出各支路电流和各元件端电压，即为它们的稳态值)(∞f 。
（2）初始值)0(+f ：① 若换路前电路处于稳态，可用求稳态值的方法求出电感中的电流)0(-L i 或电容两端的电压)0(-C u ,其他元件的电压、电流可不必求解。
由换路定则有),0()0(),0()0(-+-+==L C L L u u i i 即为它们的初始值。
② 若换路前电路处于前一个暂态过程中，则可将换路时间0t 代入前一过程的)(t i L 或)(t u C 中，即得)(0-t i L 或)(0-t u C ，由换路定则有)()(00-+=t i t i L L 或)()(00-+=t u t u C C ，即为它们的初始值。
③ 取换路后的电路，将电路中的电感用其)0(+L i 作为理想电流源代替之，将电路中的电容用其)0(+C u 作为理想电压源代替之，获得直流纯电阻电路，求出各支路电流和元件端电压，即为初始值)0(+f 。
（3）求时间常数对含有电容的一阶电路：RC =τ。
对含有电感的一阶电路：RL=τ。
134其中R 是换路后的电路除去电源和储能元件后在储能元件两端所得无源二端网络的等值电阻三、典型例题例5-1如图5-1-1（a ）电路中s 10A I =，122r r ==Ω，31r =Ω，1H L =，100F C μ=。
求电感电压的初始值L (0)u +。
3L（a ）3i (0)L (0+)（b ） （c ）图5-1-1例5-1题图解：在图5-1-1（b ）图原电路中，得初始条件为：L (0)0r -= C (0)0u -= 再根据SLL L (0)(0)0r r +-==C C (0)(0)0u u +-==在图5-1-1（c ）新电路中，应用KVL 和OL 计算L (0)u +如下：L C 2C 3L (0)(0)(0)(0)u u r i r i ++++=+- 将L (0)i +和C (0)u +代入上式，得：135L 2C (0)0(0)0u r i ++=+- 又由于C (0)0u +=和L (0)i +，所以1r 与2r 并联分流s I ，即C s (0)0.55A r I +==将此数值代入上式，得：L 2C (0)(0)25V 10V u r i ++==⨯=例5-2电路如图5-1-2所示，t ＝0 时开关K 由1扳向2,在t ＜0时电路已达到稳态，求初始值(0)0i +=和C (0)0u +=。
u C图5-1-2例5-2题图解：在t ＝0－时，由于电感相当于短路，电容相当于开路所以24(0)A 4A 15i -==+C 2(0)(0)54V 20V u R i --==⨯=根据换路定则(0)(0)4A i i +-== C C (0)(0)20V u u +-==例5-3图5-1-3所示电路中，已知U s ＝12V ，R 1＝3kΩ，R 2＝6kΩ，R 3＝2kΩ，C ＝5μF ，用三要素法求u C ，i C ，i 1，i 2的变化规律，即解析式。
u C C136图5-1-3例5-3题图解：用三要素法求解，分为以下四步：（1）求初始值。
开关S 打开时，u C (0_)＝0，当t ＝0时，S 闭合，则 0)0()0(C C ==-+u u （电容相当于短路） mA 38mA 6262312)0(32321s 1=+⨯+=++=+R R R R R U imA 32mA 62238)0()0(32312=+⨯=+=++R R R i imA mA 3238)0()0()0(11C =-=-=-++i i i （2）求稳态值。
电路达到稳态后，电容相当于开路。
V 8V 63612)(212sC =+⨯=+=∞R R R U u（3）求时间常数τ。
S 闭合后，将电压源短路，从C 两端看出去的等效电阻为Ω=+⨯⨯=++=k 46363221213R R R R R Rs 102105104263--⨯=⨯⨯⨯==RC τ （4）根据三要素法通式写出解析式。
0 V )1(850C ≥-=-t e u t 0 m A 250C ≥=-t e i t0 m A 3434)3438(3450501≥+=-+=--t e e i t t 0 m A 3234)3432(3450502≥-=-+=--t e e i t t 例5-4如图5-1-4（a ）所示电路在S 开路时已处于稳态，当0=t 时，S 闭合，)1(求C u 、C i 及2R u ；)2(画出C u ，2R u 的变化曲线。
137（a ）（b ）图5-1-4例5-4题图解 （1） 0)0()0(==-+C C u u22002002004)(221=⨯+=+=∞R R R E u C V6321310510200200100-⨯⨯⨯+=+=）（）（//C R //R R τ6310510200-⨯⨯⨯=s 1=t c e t u --=22)(Vdte d dt du C i t C C ）（---⨯⨯==221056t e ----⨯⨯=)1)(2(1056t e --=510A t e -=10μA∵ 0)0(=+C u138∴ 110020010020020040323212=⨯+=+=+////R //R R //R R E u R ）（）（V22002002004)(2212=⨯+=+=∞R R R E u R Vt t R e e t u ---=-+=2)21(2)(2V（2）C u ，2R u 的变化曲线见图5-1-4（b ）。
例5-5电路如图5-1-5所示，换路前已处于稳态，试求换路后（0≥t ）的C u 。
图5-1-5例5-5题图解：换路前（-=0t ）时33(0)11020101010V C u --=⨯⨯⨯-= 换路后 (0)(0)10V C C u u +-== 达稳定)(∞=t 时3310()1102010105V 101020C u -∞=⨯⨯⨯-=-++时间常数s 1.010101020101020)1010(63=⨯⨯⨯++⨯+=-τ于是0.510()[(0)()]5[10(5)515VtC C C C t t u u u u eee τ-+--=∞+-∞=-+--=-+139例5-6 电路如图5-1-6所示，试用三要素法求0≥t 时的21,i i 及L i 。
换路前电路处于稳态。
图5-1-6例5-6题图解：开关S 闭合前电感L 中的电流 12(0)2A 6L i -== 开关S 闭合后各电流初始值A i i L L 2)0()0(==-+。
将电感L 用恒流源)0(+L i 代替，求)0(1+i 和)0(2+i 。
用节点电压法求)0(+L u 12129263(0)6V 1163126(0)1A 693(0)1A 3L u i i ++++-==+-==-== 开关S 闭合后各电流的稳态值 121212()2A 69()3A 3()()()235A L i i i i i ∞==∞==∞=∞+∞=+= 求电路时间常数 s RL 5.063631=+⨯==τ 于是14020.5111120.5222()[(0)()]2(12)2A 3(13)32A5(25)53At t t tt t t L i i i i ee e i e e i e e τ---+----=∞=-∞=++=-=+-=-=+-=-第二节 习题详解5-1电路如图5-2-1所示。
设开关S 闭合前电路已处于稳态。
在0=t 时，将开关S 闭合，试求+=0t 瞬间的C u 、1i 、2i 、3i 、C i 的初始值。
图5-2-1习题5-1图解： 8.4442412)0()0(=⨯++==-+C C u u V 3412)0(1==+i A 422842002..u )(i C -=-=-=++）（ A 214844003..u )(i C ===++）（ A 6.32.14.2)0()0()0(32-=--=-=+++i i i C A5-2电路如图5-2-2所示。
换路前电路已处于稳态，0=t 时将开关合上。
试求暂态过程的初始值）（+0L i ，）（+0i ，）（+0S i 及）（+0L u 。
141图5-2-2习题5-2图解： 142600=+==-+）（）（L L i i A3260==+）（i A）（）（）（+++-=000L S i i i 213=-= A414040-=⨯-=-=++）（）（L L i u V5-3电路如5-2-3图所示，S 在0=t 时合上，时间常数τ为多少？图5-2-3习题5-3图解：==RC τs //6610210163--⨯=⨯⨯）（5-4电路如图5-2-4所示，S 在0=t 时断开，时间常数τ应为多少？142图5-2-4习题5-4图解：Ω=+++=4]33//12[2）（）（R ， s R L 25.041===τ 5-5电路如图5-2-5所示，S 原已合在a 位置上，试求当开关S 在0=t 时合上b 位置后，电容元件端电压u C 。
图5-2-5习题5-5图解： 488460)0(=⨯+==-+）（C C u u V 888412=⨯+=∞）（C u V s //RC 263103810101084--⨯=⨯⨯⨯==）（τ t tC e e t u 5.3748848---=-+=τ）（）（V5-6电路如图5-2-6所示，当开关S 闭合时电路已处于稳态，试求开关S 打开后，求电流i 。
