分式的乘法法则

15.2 分式的运算1．分式的乘除(1)分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母． 用式子表示为：a b ·c d ＝a ·c b ·d . (2)分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．用式子表示为：a b ÷c d ＝a b ·d c ＝a ·d b ·c. 分式的除法要转化为乘法，然后根据乘法法则进行运算，结果要化为最简分式．【例1】 计算：(1)4a 4b 215x 2·9x 8a 4b ； (2)a 2－1a 2＋2a ＋1÷a 2－a a ＋1；(3)a 2－4a 2＋4a ＋4·2a a 2－4a ＋4； (4)4x 2＋4xy ＋y 22x ＋y÷(4x 2－y 2)．2．分式的乘方(1)法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方．(2)用式子表示：⎝⎛⎭⎫a b n ＝a n b n .解技巧 分式的乘方的理解 (1)分式乘方时，分子、分母要乘相同次方；(2)其结果的符号与有理数乘方结果的符号确定方法一样．【例2】 计算：(1)⎝⎛⎭⎫a 2－b 34； (2)⎝⎛⎭⎫x 2y －z 23.3．分式的加减(1)同分母分式相加减：①法则：分母不变，把分子相加减； ②用式子表示：a c ±b c ＝a ±b c. (2)异分母分式相加减：①法则：先通分，变为同分母的分式，再加减；②用式子表示：a b ±c d ＝ad bd ±bc bd ＝ad ±bc bd. 警误区 分式加减运算的注意点 (1)同分母分式的加减运算的关键是分子的加减运算，分子加减时要将其作为一个整体进行加减，当分子是多项式时，要添加括号；(2)异分母分式加减运算的关键是先通分，转化为同分母的分式相加减，再根据同分母分式加减法进行运算，通分时要注意最简公分母的确定；(3)分式加减运算的结果要化为最简分式或整式．【例3】 计算：(1)（a －b ）22ab ＋（a ＋b ）22ab ； (2)a a 2－1－11－a 2； (3)1x ＋y －1x －y ＋2x x 2－y 2；(4)12m 2－9＋23－m ； (5)x －3x 2－1－2x ＋1； (6)4a ＋2－a －2.4．整数指数幂一般地，当n 是正整数时，a －n ＝1a n (a ≠0)．这就是说，a －n (a ≠0)是a n 的倒数．这样引入负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到全体整数．根据整数指数幂的运算性质，当m ，n 为整数时，a m ÷a n ＝a m －n ，a m ·a －n ＝a m ＋(－n )＝a m －n ，因此a m÷a n ＝a m ·a －n .特别地，a b＝a ÷b ＝a ·b －1，所以⎝⎛⎭⎫a b n ＝(a ·b －1)n ，即商的乘方⎝⎛⎭⎫a b n 可以转化为积的乘方(a ·b －1)n . 这样，整数指数幂的运算性质可以归纳为：(1)a m ·a n ＝a m ＋n (m ，n 是整数)；(2)(a m )n ＝a mn (m ，n 是整数)；(3)(ab )n ＝a n b n (m ，n 是整数)．【例4】 计算：(1)⎝⎛⎭⎫－23－2； (2)a 2b －3(a －1b )3÷(ab )－1.5．科学记数法(1)用科学记数法表示绝对值大于1的数时，应当表示为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为原数整数部分的位数减1；(2)用科学记数法表示绝对值小于1的数时，可以表示为a ×10－n 的形式，其中n 为原数第1个不为零的数字前面所有零的个数(包括小数点前面的那个零)，1≤|a |＜10.提示：用科学记数法的形式表示数更方便于比较数的大小．【例5】 把下列各数用科学记数法表示出来：(1)650 000； (2)－36 900 000； (3)0.000 002 1； (4)－0.000 006 57.6．分式的乘除混合运算分式的乘除混合运算要统一为乘法运算来计算．谈重点 分式乘除混合运算的方法 (1)分式的乘除混合运算顺序与分数的乘除混合运算顺序相同，即从左到右的顺序，有括号先算括号里面的；(2)分式的乘除混合运算要注意每个分式中分子、分母括号的处理，以及结果符号的确定；(3)分式的乘除混合运算结果应为最简分式或整式．7．分式的混合运算分式的四则混合运算与有理数的混合运算相同，必须按照运算顺序，先乘方，再乘除，后加减，有括号时先去小括号再去中括号，最后结果要化为最简分式或整式．解技巧 分式混合运算的技巧 分式四则混合运算要注意：(1)按照运算顺序进行，确定合理的运算顺序是解题的关键；(2)灵活运用交换律、结合律、分配律，可以使运算简捷，而且还可以提高运算速度和准确率；(3)将结果化为最简分式或整式；(4)运算过程中要注意符号的确定．8．把分式化简后再求值 分式的化简求值题，关键是要准确地运用分式的运算法则，然后代入求值．化简运算过程中要注意约分、通分时分式的值保持不变，要注意分清运算顺序，先乘除，后加减，如果有括号，先进行括号内的运算．【例6】 计算：1－x 2x 2＋4x ＋4÷(x －1)2·x 2＋3x ＋2x －1.【例7】 计算：⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2－b 2a 2＋2ab ＋b 2＋2ab ÷⎝⎛⎭⎫1a ＋1b 2·2a 2－b 2＋2ab.【例8】 先化简，再求值：⎝⎛⎭⎫3x x －1－x x ＋1·x 2－12x ，其中x ＝－3.9.运用分式运算解决实际问题运用分式运算解决实际问题，关键是理解题意，找准各种量之间的关系，这也是解决数学应用题的基本方法，作差法等也是解决这类问题的常用方法．在判断两分式的差的正负的时候，可以考虑利用完全平方式的非负性和题中字母的实际意义来解题．作差法举例：若x ≠y 且x ＞0，y ＞0，比较4x ＋y 与x ＋y xy的大小．【例9】 甲、乙两工人生产同一种零件，甲每小时比乙多生产8个，现要求甲生产出168个零件，乙生产出144个零件，则他们两人谁能先完成任务？10．分式混合运算的开放型题所以在解决此类问题时，首先还是要正确进行分式的化简，然后还要注意问题的多解的情况．举例：已知P ＝a 2＋b 2a 2－b 2，Q ＝2ab a 2－b 2，用“＋”或“－”连接P ，Q 共有三种不同的形式：P ＋Q ，P －Q ，Q －P ，请选择其中一种进行化简求值，其中a ＝3，b ＝2.【例10】 已知A ＝1x －2，B ＝2x 2－4，C ＝x x ＋2.将它们组合成(A －B)÷C 或A －B÷C 的形式，请你从中任选一种进行计算．先化简，再求值，其中x ＝3.。

分式的乘除（基础）责编：杜少波【学习目标】1.学会用类比的方法总结出分式的乘法、除法法则.2.会分式的乘法、除法运算.3.掌握乘方的意义，能根据乘方的法则，先乘方，再乘除进行分式运算.【要点梳理】【高清课堂402545 分式的乘除运算 知识要点】要点一、分式的乘除法1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.用字母表示为：a c ac b d bd⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bd ≠. 2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用字母表示为：a c a d adb d bc bc ÷=⋅=，其中a b cd 、、、是整式，0bcd ≠. 要点诠释：（1）分式的乘除法都能统一成乘法，然后约去公因式，化为最简分式或整式.（2）分式与分式相乘，若分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约分，然后再乘.（3）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是1的代数式）和分式的分子相乘作为分子，分母不变.当整式是多项式时，同样要先分解因式，便于约分.（4）分式的乘除法计算结果，要通过约分，化为最简分式或整式.要点二、分式的乘方分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：nn n a a b b⎛⎫= ⎪⎝⎭（n 为正整数）. 要点诠释：（1）分式乘方时，一定要把分式加上括号.不要把n n n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭写成n n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负.（3）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解因式，再约分.（4）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体.如()222222a b a b a b b b b ---⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭. 【典型例题】类型一、分式的乘法1、计算：(1)422449158a b x x a b g ；(2)222441214a a a a a a -+--+-g ． 【思路点拨】(1)中分子、分母都是单项式，直接用分式乘法法则计算，结果要通过约分化简；(2)中分子、分母都是多项式，要先把可分解因式的分子、分母分解因式，然后用乘法法则化简计算．【答案与解析】解：(1)422449158a b x x a b g 422449315810a b x b x a b x==g g ． (2)222441214a a a a a a -+--+-g 22(2)1(1)(2)(2)a a a a a --=-+-g 22(2)(1)(1)(2)(2)a a a a a --=-+-g g 222(1)(2)2a a a a a a --==-++-． 【总结升华】分式的乘法运算的实质就是运用分式的基本性质把分式约分化简的过程，熟练之后也可先约分后运用乘法法则计算．举一反三：【变式】计算．（1）26283m x x m g ；（2）22122x x x x+-+g 【答案】解：（1）原式22621283242m x mx x x m mx ===g g ； （2）原式22112(2)2x x x x x x+==-+-g ； 类型二、分式的除法【高清课堂402545 分式的乘除运算 例1（4）】2、 计算：(1)222324a b a b c cd-÷；(2)2222242222x y x y x xy y x xy -+÷+++． 【思路点拨】(1)先运用法则将分式的除法转化为乘法，然后约分化简；(2)先运用分式的除法法则将分式的除法转化为乘法，同时将分子、分母分解因式，然后约分化简．【答案与解析】解：(1)222324a b a b c cd -÷22222244236a b cd a b cd c a b c a b ==--g g 23d c=-．(2) 2222242222x y x y x xy y x xy-+÷+++ 2(2)(2)2()()2x y x y x x y x y x y+-+=++g 22(2)24x x y x xy x y x y --==++． 【总结升华】分式的除法和实数的除法一样，均是转化为乘法来完成的．举一反三：【变式】（2015•宝鸡校级模拟）化简：．【答案】解：原式=• =．类型三、分式的乘方3、（2014秋•华龙区校级月考）下列计算正确的是（ ）A. B.C. D.【思路点拨】把四个选项先利用分式的乘方法则，将分子分母分别乘方，然后利用积与幂的乘法法则，积的乘方的运算法则，积的乘方等于积中每一个因式分别乘方并把结果相乘，幂的乘方法则是底数不变，指数相乘，即可计算出结果，得到计算正确的选项．【答案】C ．【解析】解：A 、，本选项错误； B 、，本选项错误；C 、，本选项正确；D 、，本选项错误．所以计算结果正确的是C ．【总结升华】此题考查了分式的乘方法则，考查了积的乘方及幂的乘方法则，完全平方公式的运用，是一道基础题．类型四、分式的乘除法、乘方的混合运算4、 计算：（1）（2016春•淅川县期中）（﹣2ab ﹣2c ﹣1）2÷×（）3；（2）222223()a b ab a ab b b a ⎛⎫-⎛⎫÷+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭g ． 【思路点拨】先算乘方，再算乘、除.【答案与解析】解：（1）（﹣2ab ﹣2c ﹣1）2÷×（）3=﹣•• =﹣． （2）222223()a b ab a ab b b a ⎛⎫-⎛⎫÷+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭g 2222232()1()[()]()a b ab b a a b b a -=+-g g 22222332()()1()()a b a b a b b a a b a b +-=+-g g211()a a b a ab==++． 【总结升华】（1）题中有除法和乘方运算，应先算乘方，要特别注意符号的处理．（2）本题是乘除混合运算，首先把除法运算转化为乘法运算，再用乘法运算法则计算．举一反三：【变式】计算：(1)332212b b a a ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； (2)2222()m n n m m n m n mn m --+⎛⎫÷ ⎪-⎝⎭g ．【答案】解： (1)332212b ba a ab⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-÷⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭23263382633312212b b b a a b a ba a ab a b⎛⎫⎛⎫=-÷-÷==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g g．(2)2222()m n n m m nm n mn m--+⎛⎫÷⎪-⎝⎭g22222()()()()m n m n m n m m nm n m n m n mn+---==-+g g．。

152.2 分式的乘除法互动思维导图[基础知识与基本技能]1．分式的乘除法法则 ⑴分式乘法的法则为：分式乘以分式，把分子乘以分子，分母乘以分母，分别作为积的分子、分母，然后约去分子与分母中的公因式．用符号语言表达：f g ·u v =fugv．⑵分式除法的法则为：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．用符号语言表达：f g ÷u v =f g ·vu＝fv gu （u ≠0）．（1）22368y x x y ；（2）222224a a a a a +---． 分析：⑴式是两个分式相乘，分式的分子、分母都是单项式，可直接利用分式乘法法则进行计算；⑵中的两个分式相乘，分子或分母是多项式，要先对分子或分母进行因式分解，然后再运用法则计算．16解：（1）223633298424y x y x x x x y x y y y== ． （2）22222(2)242(2)(2)2a a a a a a a a a a a a a +-+-==---+-- ． 方法技巧：⑴两个分式相乘，如果分子、分母是多项式，那么要先对分子或分母因式分解．然后运用分式的乘法法则进行计算；⑵最后计算的结果要通过约去分子、分母的公因式（数）化到最简；⑶在分式的乘法运算中，既可以用法则来计算，也可以根据情况先约去公因式再相乘，后者方法有时会更简便．（1）234xy ÷92y x ； ⑵2a-1a 44a -+÷2214a a --；⑶22442x xy yx y+++÷（4x 2-y 2）．思维幻灯片：分析：⑴中的分式的分子、分母都是单项式，可以直接利用分子计算；⑵中的分子或分母有多项式，先把多项式因式分解，然后再运用法则计算；⑶中的除式是整式，把整式看作是分母为1的式子，再运用除法法则计算．解：⑴原式=234xy ·29x y =23249xy x y ∙⨯=26x y ；⑵原式=2a-1a 44a -+·2241a a --=2a-1(a 2)-·（a+2）(a-2）(a+1)(a-1) =2(2)(1)a a a +-+．⑶原式=22442x xy y x y +++·2241x y -=2(2)2x y x y ++·1（2x+y)(2x-y)=12x y-．方法技巧：⑴两个分式相乘，如果分子、分母都是单项式，可以直接利用分式除法法则进行计算，如果分子、分母有多项式，那么要先对分子或分母进行因式分解，然后运用分式的除法法则进行计算；⑵计算结果通过约去公因式化到最简或整式；⑶如果遇到分式与整式相乘除时，可以把整式看作分母为1的式子进行计算；⑷通常情况下，计算最后的结果要使分子和分母的符号都为正号．2．分式的约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．约分的关键是正确找出分子与分母的公因式．其一般方法是：①当分子和分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公因数，再找相同字母的最低次幂；②当分子和分母都是多项式时，首先要对分子、分母进行因式分解，把分子、分母变为几个因式的积后，再找分子、分母的公因式．［温馨提示］⑴约分的依据是分式的基本性质，分子、分母都除以的整式是它们的公因式．由于原分式有意义，可知分子与分母的公因式一定不为零，故利用分式的基本性质约去公因式时，不必强调公因式不为零，直接约分即可．⑵要牢记分子、分母都是乘积形式时，才能进行约分；分子、分母是多项式时，通常先将分子、分母分解因式，然后再约分．43243521a b ca b d．分析：分子的数字因数是35，分母的数字因数是21，其最大公因数是7，分子、分母中的相同因式是a、b，其最低次幂分别为2、3，故最大公因式是723a b.解：43232224233575532173a b c a b a c a cbda b d a b bd⋅==⋅．方法技巧：当约分的分式的分子、分母都是单项式时，只要约去分子、分母的最大公因数和相同字母的最低次幂即可．2222a aba ab b+++．分析：此分式的分子和分母都是多项式，要先各自因式分解，然后约去公因式．解：原式=2()()a ab aa ba b+=++．方法技巧：约分的根据是分式的基本性质，将分子、分母的公因式约去，若分子、分母是多项式，须先因式分解，再约去公因式．特别注意分子、分母必须是乘积形式时1718才能进行约分． 4．最简分式434y x a +，2411x x --，22x xy y x y -++，2222a abab b +-A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个分析：分子分母是多项式的，先把分子、分母都分解因式，看分子、分母中是否有公因式，第1个不能再分解了，是最简分式；第2个可化为2221(1)(1)x x x -+-有公因式x 2-1；第3个不能分解，也没有公因式；第4个可化为(2)(2)a ab a a b +-没有公因式，是最简分式．故有3个最简分式． 解：C ．方法技巧：判断一个分式是否是最简分式，关键看分子、分母中有没有公因式，有些分式的分子、分母虽然都能因式分解，都是分解后仍然没有公因式，这样的分式仍然是最简分式． 5．分式的乘方分式的乘方是把分子、分母各自乘方．用符号语言表达：()nn n f f g g=．1922y x-）2；⑵（2222a ab ab b+-）3． 分析：⑴中的分式的分子、分母是单项式，可以直接运用法则计算；⑵中的分式的分子、分母是多项式，应该先各自因式分解，发现有公因式，先约分，然后再运用法则计算．解：⑴原式=2222()y x -（）=244y x ．⑵原式=（(2)(2)a a b a a b +-）3=（22a b a b+-）3=3(2)a b +3(a-2b)方法技巧：在计算乘方运算时，如果分子、分母是单项式，可以直接运用法则计算；如果是多项式，要先因式分解，通常约去公因式后再计算，也可以先进行乘方运算后再约去公因式．32222183442x x x x x ⎛⎫--⎛⎫- ⎪⎪-+-⎝⎭⎝⎭÷ ．思维幻灯片：分析：题目是求两个乘方的商，根据运算顺序，应先算乘方，后算除法．由于第一个分式的分子、分母是多项式，所以要先分解因式后再算乘方，最后将第二个分式的乘方分子、分母颠倒后再与第一个分式乘方的结果相乘．解：原式3232(3)(3)3(2)2x x x x x ⎡⎤+--⎛⎫= ⎪⎢⎥--⎝⎭⎣⎦÷=322(3)(3)(2)x x x ⎡⎤+-=⎢⎥-⎣⎦·223x x -⎛⎫ ⎪-⎝⎭322(3)(3)(2)x x x ⎡⎤+-=⎢⎥-⎣⎦·22（2-x ）(3-x)203342348(3)(3)1(2)(3)8(3)(3)(2)x x x x x x x +-=--+-=-．方法技巧：分式的运算顺序与分数的运算顺序一样，要先算乘方，后算乘除，有括号的先算括号内的．[基本方法与拓展延伸]6．分式乘除法的步骤和运算顺序⑴分式乘除法的步骤：对一个分式进行乘除法运算时，先观察分式，看一个分式的分子、分母能否进行分解因式，若能分解因式的应先分解．当分解完成以后，要进行约分，直到分子、分母没有公因式时再进行乘除．⑵分式乘除法的运算顺序：分式乘除法与整式乘除法运算顺序相同一般是从左向右，有除法的先把除法转化为乘法．⑶进行分式乘除法运算时应注意的问题：在进行分式乘除法运算时，特别要注意，当分解因式后进行约分时，一定要先把除法转化为乘法后才可以进行．xy =3，求222223x xy y x xy y +--+的值．分析:有两种思路:其一可用含y 的代数式替代x,即x=3y,代入分式求值;其二可把求值分式变形,使之出现已知中的xy的式子. 解法一:由xy=3,可得x=3y. 则222223x xy y x xy y +--+=222222(3)2(3)31212.7(3)(3)7y y y y y y y y y y +-=-+ 解法二:将分式分子、分母都除以2y ，得222223x xy y x xy y +--+=222396312.93171x xy y x xy y ⎛⎫+⋅- ⎪+-⎝⎭==-+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭方法技巧：解此类题目，用解法一求，变化已知条件，使求值分式能用同一个字母代替；用解法二求，所变化的分式，使之出现已知的式子，以便能用已知的数据来代替．这两种方法既是求分式值常用的方法，也是求代数式的值常用的方法.222222x y x yx xy y x xy--÷+++.分析:分式的分子、分母都是多项式，可先分解因式，再约分．解：222222x y x yx xy y x xy--÷+++=2()()()()x y x y x x yx yx y+-+⨯-+=x.方法技巧：当分式的分子、分母有公因式时，要先因式分解，变除法为乘法后约分，再按照运算法则计算．7．分式的乘除法混合运算分式的乘除法混合运算与分数的乘除法混合运算一样，应先把除法运算转化为乘法运算，使整个算式变为乘法运算，其运算顺序是由左到右依次运算，并且乘法的交换律和结合律在分式的乘法中依然可以运用，根据具体问题利用运算律可以简化运算．（1）221111121x x xx xx x-+-÷⋅-+-+.（2）0.60.424155aa--÷210.2 1.31230.15a aa-+-÷1210a-.分析：⑴中的分式的分子、分母都是多项式，所以应先各自因式分解，然后将除法转化为乘法计算即可；⑵中的分式的分子、分母的系数是分数，要先把分子、分母中的系数变为整数，再进行计算.解：⑴221111121x x xx xx x-+-÷⋅=-+-+221111121x x xx xx x---⋅⋅++-+2122=2(1)(1)(1)111(1)x x x x x x x +----⋅⋅++-=11x x --+； （2）原式=916212a a --÷2213156a a a -+-÷1210a -=－)6(2)32(3--a a ·)5)(32(6---a a a ·2（a －5）=－3．方法技巧：分式的乘除运算与分数的乘除法法则和运算顺序都相同，归根到底是分式的乘法运算，运算的实质是分式的约分.[基本能力与创新应用]8．分式的化简、求值的开放题分式化简、求值题是分式部分重要的题型，灵活运用前面学习的数学知识和思想方法，是解决分式求值问题的关键. 分式求值是代数式求值常见的题型之一，其基本解法是先化简，再把字母的值代入计算．但在条件开放下的分式求值问题，与传统题目不同的是，代入值由同学们自己选取，一方面题目开放，有无数种结果，另一方面也考查了分式有意义的条件，在实际解题时却有很多同学由于代入了使分式无意义的数值，从而导致错误.44,2,4222+---x x x x x 中，任选两个你喜欢的式子组成一个分式是 ，把这个分式化简所得的结果是 .分析：本例是一道组合开放型试题，所给的三个式子都是整式，并且都含有字母．因此可任意选择其中两个，一个为分子，另一个为分母，先组成分式，再进行化简，故答案不唯一．解：如：222(2)(2)42244(2)x x x x x x x x +--+==--+-．方法技巧：本题是条件开放，结论也开放，因此，这种题的答案不唯一，只要合理计算正确即可．24462x x x +--÷（x +3）·x x x --+362,并选择一个你喜欢的x 的值求出分式的值． 思维幻灯片：23分析：⑴本题是乘除法运算，乘法、除法属于同一级运算，计算时要从左到右，千万不能把运算顺序理解为先乘法后除法；⑵化简完毕后，把一个x 的值代入求出即可.解：24462xx x +--÷（x +3）·x x x --+362=2)2()3(2--x x ·31+x ·xx x -++3)2)(3(=22--x ． 当x =－2时，原式=222---=21．误区警示：这类问题的答案不唯一，解答时，一是按常规先化简，二是代入求值时需防“陷阱”，在取值时既要注意使运算简捷，同时又要考虑到“隐含条件”的约束，所取字母的值必须使原分式有意义，如本题中x 的值不能取2和3以及-3，这样会使原分式无意义，而实际上部分同学往往只注意最后一步中x 不能取2，而忽视了原分式中隐含条件是x 不能为2,3,-3，从而导致错误．[迁移应用与分级检测]1．下列分式中不是最简分式的是（ ）A ．2222a b a b +- B ．24a a a + C ．12a a ++ D ．a a b +答案：B点拨：选项A 、C 、D 中的分式的分子、分母没有公因式，是最简分式，而选项B 中的分式的分子、分母含有公因式a ，不是最简分式． 2．计算33bab a÷的结果是（ ） A ．2bB ．18aC ．9aD ．29a答案： D点拨：按照除法法则变为乘法，积为9a 2,故选择D ． 3．计算1m n n÷ 的结果是（ ）24A ．mB ．2m nC ．2mn D ．2n m答案：B点拨：本题往往不注意运算顺序，先把n 和1n约分（相乘），得出错误答案m ，从而错误地选择A ．4．计算22ab cd÷34ax cd -等于（ ）A ．223b xB ．32b 2xC ．-223b xD ．-222238a b xc d答案：C点拨：本题有两种方法，一是直接利用法则计算正确地得出选项C ；二是用排除法，由符号易排除选项A 、B ，由被除式和除式的分母都有cd 可知变为乘法后被约去，不可能是选项D ，故选择C ．5．下面约分的四式中，正确的是( )A.22y y x x =B.22a c abb c +=+ C.12a b ma mb m +=+ D.1a b b a -=-- 答案：D点拨：对分式约分是约去分子与分母的公因式．实际上A ，B 两个分式的分子与分母没有公因式．C 式虽有公因式，但应把分母先分解因式然后再约去因式，即1()a b a b ma mb m a b m++==++，正确的是：1()a b a b b a a b --==----，故选D.6．约分3232105a bca b c -.解：3322322322221010522555a bc a bc a bc a a a b c a b c a bc b c b c=-=-=-- . 点拨：当分式的分子或分母的系数是负数时，应先把负号提到分式的前边再约分（即先确定整个分式的符号再约分）.7．化简：222692693x x x x x x-+--+÷．解：原式=2(3)(3) (3)(3)2(3)x x xx x x-+ +--⨯=(3)(3)22x x xx--=--⨯．点拨：当分式的分子、分母是多项式时，应先各自因式分解后再按照法则计算．8．计算：①2222253518x ya bxy ab⨯；②2234()()()y xx yx y-÷-；解：①22222535566518x ya b a x axy b byxy ab⨯=⨯=．②226234234211 ()()()()y yx xx yx y x y x y y-÷-=⨯⨯-=- ．点拨：：注意运算顺序，先算乘方，后算乘除，在运算的过程中要正确确定结果的符号．9.（2009年淄博市）化简222a ba ab-+的结果为（）A．ba-B．a ba-C．a ba+D．b-答案：B点拨：先将分子、分母因式分解，然后约去公因式a+b即可得出选项B．10．计算：（1）322822444x x xxx x-+⨯-++；（2）22212211x x xxx-+-÷+-解：（1）322822444x x xxx x-+⨯-++=22(2)(2)22(2)(2)x x x xxx-++⨯-+=2x．（2）22212211x x xxx-+-÷+-2(1)(1)1(1)(1)2(1)2x xx x x-+=⋅=-+---．点拨：分式的乘除运算中常将除法转化为乘法，再依据乘法法则先把分子、分母分别相乘，化成一个分式后再约分，但实际计算时，也可根据情况先约分，再相乘，这样有时既可简化运算过程，又不易出错．11．计算:239()33x x xx x x--⋅-+.2526解: 239()33x x x x x x--⋅-+ =(3)(3)(3)(3)333x x x x x x x x x x+-+-⋅-⋅-+ =3(x +3)-(x -3)=3x +9-x +3 =2x +12．点拨：本题可以按照乘法的分配律进行计算，约去公因式后变成两个整式，再合并同类型即可.12．计算：⑴ （xy z ）3·（-xz y）3÷（yzx-）4；⑵3()a b ab-÷（b-a ）2·(ab b a -)2．解：⑴原式=333x y z ·（-333x z y ）·444()x y x -=-333x y z·333x z y ·444x y x =-1044x y x ．⑵原式=3()a b ab -·21（a-b ）·22()()ab b a -=2222()()a b ab a b a b -- 3（a-b ）=aba b -. 点拨：在运算过程中，一定要严格按照运算顺序，先算乘方，后算乘除，特别注意变化过程中分式的符号．13．（2222a x a x-+）3÷（22442a ax x a x ++-）2·［21()a x -］2解：原式=322322)()(x a x a +-÷224222)()2(x a x ax a -++·4)(1x a -=32233)()()(x a x a x a +-+·422222)()()()(x a x a x a x a +-++·4)(1x a -=22()()a x a x a x +-+=2222xa x a +- 点拨：本题分式的分子、分母都含有公因式[中考零距离]1．（2009湖北省荆门市）计算22()ab a b -的结果是（ ）A ．aB ．bC ．1D ．－b27答案：B点拨：本题考查积的乘方运算与分式的化简，()22222ab a b b a ba b-==，故选B ． 2．(2009年黄冈市)化简2422a a a a a a -⎛⎫-⋅ ⎪-+⎝⎭的结果是（）A ．－4B ．4C ．2aD ．－2a答案：A点拨：2422aa a a a a -⎛⎫-⋅ ⎪-+⎝⎭=22a a a a a ⎛⎫-⋅ ⎪-+⎝⎭(2+a ）(2-a) -(2+a)-(2-a)=-4.3．（2008山西省太原市）化简222m n m mn-+的结果是（ ）A ．2m nm- B ．m nm- C ．m n m + D ．m nm n-+ 答案：B点拨：把分式的分子、分母因式分解后约去公因式m+n 即可得出答案为选项B ．4．（2008内蒙古呼和浩特市）计算：222233y x y x-÷= ．答案：392x -点拨：按照除法法则变为乘法后约分即可．5．（2010广东中山）化简：22211x xy y x y -+---=_________．答案：x-y+1点拨：222211(1)(1)111x xy y x y x y x y x y x y x y -+----+--==------（）= x-y+1．6．（2010江苏连云港）化简：(a －2)·a 2－4a 2－4a ＋4＝___________．答案：a+2点拨：(a－2)·a2－4a2－4a＋4＝(a－2)·2(2)(2)(2)a aa+--＝a+2.<教材问题与习题参考答案>教材问题详解本节无教材习题详解28。

分式运算初中数学知识点之分式的四则运算法则初中数学中，分式是一个重要的知识点，它在数学运算中起到了重要的作用。

分式的四则运算法则是我们学习分式运算的基础，掌握了这些法则，我们就能够正确地进行分式的加减乘除运算。

下面我们将详细介绍分式的四则运算法则。

一、分式的加法和减法假设我们有两个分式，分别为a/b和c/d，它们的分子分别为a和c，分母分别为b和d。

那么它们的加法运算可以通过以下步骤进行：1. 找到两个分式的公共分母，记为m；2. 将两个分式的分子分别乘以m/b和m/d，得到分子为am/b，cm/d的两个分式；3. 将两个新分式的分子相加，即(am/b) + (cm/d)；4. 分子的和除以公共分母m，即[(am/b) + (cm/d)] / m。

同样地，分式的减法运算也可以按照上述步骤进行，只需要将第3步的相加改为相减即可。

二、分式的乘法分式的乘法运算较为简单，只需要将两个分式的分子相乘，分母相乘即可。

假设我们有两个分式，分别为a/b和c/d，那么它们的乘法运算可以用以下公式表示：(a/b) * (c/d) = (a * c) / (b * d)。

三、分式的除法分式的除法与乘法类似，只需要将两个分式的分子相乘，分母相乘即可。

假设我们有两个分式，分别为a/b和c/d，那么它们的除法运算可以用以下公式表示：(a/b) / (c/d) = (a * d) / (b * c)。

需要注意的是，除法的时候我们需要将第二个分式取倒数后再进行乘法运算。

以上就是分式的四则运算法则，通过掌握这些法则，我们可以正确地进行分式的加减乘除运算。

在实际运算中，我们还需要注意约分的情况和分母为0的特殊情况。

当分式中的分子和分母有公因子时，我们需要将其约分为最简形式，即分子和分母没有共同的约数。

而当分式的分母为0时，这个分式是无定义的，因为在数学中，除数不能为0。

通过不断的练习和运用，我们可以更好地掌握分式的四则运算法则，为更复杂的数学运算打下坚实的基础。

分式知识点总结一、分式的定义如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 A/B 就叫做分式。

其中 A 叫做分子，B 叫做分母。

需要注意的是，分母 B 的值不能为 0，如果 B=0，那么分式就没有意义了。

例如，分式 1/x，当 x=0 时，这个分式就没有意义。

二、分式的基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为 0 的整式，分式的值不变。

用式子表示为：A/B ＝ A×C/B×C，A/B ＝ A÷C/B÷C（C 为不等于 0 的整式）。

这就像分蛋糕，如果把蛋糕（分式的值）平均分成的份数（分母）和每份的大小（分子）同时扩大或缩小相同的倍数，蛋糕的大小（分式的值）不变。

例如，对于分式 2/3，分子分母同时乘以 2，得到 4/6，分式的值不变。

三、分式的约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分。

约分的关键是确定分子和分母的公因式。

确定公因式的方法：1、系数：取分子和分母系数的最大公因数。

2、字母：取相同字母的最低次幂。

例如，对于分式 6x/8x²，分子分母的公因式是 2x，约分后得到 3/4x。

四、分式的通分把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。

通分的关键是确定几个分式的最简公分母。

确定最简公分母的方法：1、取各分母系数的最小公倍数。

2、凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式。

3、同底数幂取次数最高的。

例如，对于分式 1/2x 和 1/3y，最简公分母是 6xy，通分后分别为3y/6xy 和 2x/6xy。

五、分式的运算1、分式的乘法法则：分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母。

用式子表示为：（A/B)×（C/D) ＝ AC/BD。

例如，（2/3)×（4/5) ＝ 8/15。

2、分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。