项城市第一初级中学 王宏伟 项城市第一初级中学 王宏伟 分解因式
班 学号 姓名__________________________
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提公因式法(一)(导学案)13
目标
1、理解因式分解与整式乘法的区别；
2、懂得寻找公因式，正确运用提公因式法因式分解；
3、培养学生善于类比归纳，合作交流的良好品质。 重点
运用提公因式法因式分解 难点
正确寻找公因式
一、提出问题，创设情境 1、比一比，看谁算得快：
（1）已知：5,3x a b =-=，求2
2
ax bx -的值。 （2）已知：101,99a b ==,求2
2a b -的值。 2、你能说说你算得快的原因吗？
3、把以下多项式写成整式的积的形式
(1)2
x x += (2)21x -=
(3)ma mb mc ++= 4、这个过程和前面的整式乘法有何关系？
二、深入研究，合作创新
1、归纳因式分解（分解因式）的定义：
2、判断下列各式哪些是因式分解?为什么？
(1)224(2)(2)x y x y x y -=+- (2)22(3)26x x y x xy -=- (3)2244(2)x x x ++=+ (4)2(3)(3)9a a a -+=- 3、探究:
①分解因式：ma mb mc ++= ②上式的特征是什么？什么导致它可以进行因式分解？
公因式的概念： ③32
8a b 与3
12ab c 的公因式是 如何确定公因式？
4、尝试练习
236x xy x -+=
32241228x x x --+= 36mx my -=
22x y xy +=
项城市第一初级中学 王宏伟 项城市第一初级中学 王宏伟 分解因式
2552412816a b a b ab --=
5、例题变式：（黑板板演）
因式分解：(6)(6)a m b m -+- ()()n a b m b a -+-
6、强化训练：
（1）(2)3(2)m a b a b +-+= （2）(3)5(3)a x b x +++= （3）6(2)(2)x x x -+-= （4）()2()m a b c c c b a +----= 三、小组合作，应用新知 1、把下列各式因式分解
（1）32
3
812a b ab c + （2）3
5
2
4
7535x y x y -
（3）4
2
4
3
1082m n m n m n --- （4）3223124
a b a b -
2、数字201120112
+能被2012整除吗？
四、课堂反馈，强化练习
1、下列各式从左到右的变形为因式分解的是（ ）
A 、()()2224a a a -+=-
B 、()()22111m n m n -+=+-
C 、()8881x x -=-
D 、()22121x x x x -+=-+ 2、多项式32
3
81216a b ab c ab -+的公因式是 3、把下列各式因式分解
（1）()()323a a a -+- （2）23
32
22
963a b a b a b --
（3）3
2
6102x x x --- （4）()()4a y z b z y ---
4、先因式分解再求值：()()5242x m x m -+-，其中0.4, 5.5x m ==
5、证明：23
21
55-能被120整除
【知能点分类训练】 知能点1 因式分解的意义 1．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（）． A．（x+3）（x－3）=x2－9 B．x2－9+x=（x+3）（x－3）－x C．xy2－x2y=xy（y－x） D．x2+5x+4=x（x+5+） 2．下列变形不属于分解因式的是（）． A．x2－1=（x+1）（x－1） B．x2+x+1 4 =（x+ 1 2 ）2 C．2a5－6a2=2a2（a3－3） D．3x2－6x+4=3x（x－2）+4 3．下列各式从左到右的变形中，哪些是整式乘法哪些是因式分解哪些两者都不是 （1）ad+bd+cd+n=d（a+b+c）+n （2）ay2－2ay+a=a（y－1）2 （3）（x－4）（x+4）=x2－16 （4）x2－y2+1=（x+y）（x－y）+1知能点2 提公因式法分解因式
4．多项式－7ab+14abx－49aby的公因式是________． 5．3x2y3，2x2y，－5x3y2z的公因式是________． 6．下列各式用提公因式法分解因式，其中正确的是（）． A．5a3+4a2－a=a（5a2+4a） B．p（a－b）2+pq（b－a）2=p（a－b）2（1+q） C．－6x2（y－z）3+x（z－y）3=－3x（z－y）2（2x－z+y） D．－x n－x n+1－x n+2=－x n（1－x+x2） 7．把多项式a2（x－2）+a（2－x）分解因式等于（）． A．（x－2）（a2+a） B．（x－2）（a2－a） C．a（x－2）（a－1） D．a（x－2）（a+1） 8．下列变形错误的是（）． A．（y－x）2=（x－y）2 B．－a－b=－（a+b） C．（a－b）3=－（b－a）3 D．－m+n=－（m+n）
课题 4.2 提公因式法 【教材分析】 本节课内容选自北京师范大学出版社出版的八年级数学下册第四章因式分解第二课时的提公因式法。内容包括因式分解的有关概念，整式乘法与因式分解的区别与联系，因式分解的最基本方法——提公因式法。本节学习的因式分解知识是多项式因式分解中一部分最基本的知识和最基础的方法，受认知水平和思维水平的限制，仍会有较多的学生不适应，掌握不好，教材充分考虑了这一点，内容梯度小，知识点少且浅，利于学生的学习。 【学情分析】 八年级（1）班是重点班，基础知识扎实对整式的运算比较熟悉，对互逆过程也有一定的感知，并且八年级的学生已经具备了一定的自我学习能力，所以本节课中，应多为学生创造自主学习、合作学习的机会，让他们主动参与、勤于动手、从而乐于探究如何用提公因式法分解因式。 【所属章节】 北京师范大学出版社八年级数学下册第四章因式分解第二课时提公因式法。 【教学三维目标】 A：知识目标： 1、经历探索分解因式方法的过程，体会数学知识之间的整体（整式乘法与因式分解）联系。 2、了解因式分解的意义，会用提公因式法进行因式分解。 B：能力目标： 经历探索多项式各项公因式的过程,并在具体问题中,能确定多项式各项的公因式;会用提公因式法把多项式分解因式(多项式中的字母指数仅限于正整数的情况);进一步了解分解因式的意义,加强学生的直觉思维并渗透化归的思想方法。 C：情感目标： 培养学生独立思考的习惯，同时又要培养大家合作交流意识。 【教学重点、难点分析】 1、教学重点：能观察出多项式的公因式，并根据分配律的逆运算把把多项式进行因式分解。
2、教学难点：让学生识别多项式的公因式。【课时安排】 2节第1课时 【教学过程】
八年级数学下册提公因式法（二）导学案 1.掌握用提公因式法分解因式的方法 2.培养学生的观察能力和化归转化能力 3.通过观察能合理进行分解因式的推导，并能清晰地阐述自己的观点 学习重点：含有公因式是多项式的分解因式 学习难点：整体思想的运用以及代数式的符号变换的处理 预习作业：把)3(2)3(-+-x b x a 分解因式， 这里要把多项式)3(-x 看成一个整体，则_______是多项式的公因式，故可分解成___________________ 一、创设情境 导入新课 1、 请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“－”号，使等式成立: （1）2－a =__________（a －2） （2）y －x =__________（x －y ） （3）b +a =__________（a +b ） （4）=-2)(a b _________2)(b a - （5）=--n m _________)(n m + （6）=+-22t s _________)(22t s - （7）=-3)(x y __________3)(y x - （8）=--2)(q p ________2)(q p + 2、．一般地，关于幂的指数与底数的符号有如下规律（填“ +”或“—”）： ???--=-为奇数）（为偶数）n y x n y x x y n n n )_______(()_______()( 二、合作探究 探究一： )()(b a y b a x +++ 探究二： 把下列各式分解因式: （1）23)(12)(6m n n m --- （2）3()()m x y n y x --- （3）324(1)2(1)q p p - +-
《因式分解-提公因式法》知识点归纳 ★★知识体系梳理◆因式分解------把一个多项式变成几个整式的积的形式；（化和为积）注意：1、因式分解对 象是多项式；2、因式分解必须进行到每一个多项式因式不能 再分解为止；3、可运用因式分解与整式乘法的互逆关系检验 因式分解的正确性；◆分解因式的作用分解因式是一种重 要的代数恒等变形，它有着广泛的应用，常见的用途有化简多项式和进行简便运算，恰当的运用分解因式，常可以使计算化繁为简。◆分解因式的一些原则（1）提公因式优先的原则．即一个多项式的各项若有公因式，分解时应首先提取公因式。（2）分解彻底的原则．即分解因式必须进行到每一个多 项式因式都再不能分解为止。（3）首项为负的添括号原 则．即如果多项式的首项系数为负，应先添上带“－”号的括号，并遵循添括号法则。◆因式分解的首要方法―提公因 式法1、公因式：一个多项式每项都含有的公共的因式，叫 做这个多项式各项的公因式。2、提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，可以逆用乘法分配律，把各项共有的因式提出以分解因式的方法，叫做提公因式法。3、使用提取公 因式法应注意几点：（1）提取的“公因式”可以是数、单项式，也可以是一个多项式，是一个整体。（2）公因式必须是 多项式的每一项都有的因式，在提取公因式时，要把这些公共的因式全部找出来，并提到括号外面去，才算完成了提取公因式。（找最高公因式）（3）对多项式中的每一项的数字系数，在提取时要提出这些数字系数的最大公约数，各项都含有相同的字母，要提取相同字母的指数的最低指数。◆提公因式 法分解因式的关键：1、确定最高公因式；（各项系数的最大
公约数与相同因式的最低次幂之积）2、提出公因式后另一因 式的确定；（用原多项式的每一项分别除以公因式） ★★典型例题、方法导航◆考点一：因式分解的意义【例1】判断下列变形哪些是因式分解？（1） ------------ ---------------（）（2） -------------------（）（3） -------------------- （）（4） ----------------------------------（）（5） -------------------------------（）【例2】根据整式乘法与因式分解的关 系连线 【例3】已知关于的多项式分解因式为，求的值。 ◎ 变式议练一1、下列从左边到右边的变形，是因式分解 的是（）a、 b、c、 d、 2、辨析下列因式分解是否正确，若 错误请改正。（1）分解因式不彻底：（2）提出公因式后漏项：◆考点二：提公因式法【例4】分解因式： （1）（2）（3） （4）（5）
二、因式分解 提取公因式法、分组分解法 练习要求 了解因式分解的概念；掌握提取公因式法与分组分解法。 A卷 一、填空题 1.把一个多项式化成的形式，叫做因式分解。 2.把下列各式分解因式 (1)3x-27y2= ；(2)6x2-7xy2= ； (3)2x2y-4xy3= ；(4)-5x2+10xy3= 。 3.(1)多项式2x2y-4x3y2+6x4y2各项的公因式是； (2)多项式-5ax5y6+15a2x4y7-35a3x2y4各项的公因式是。 4.把下列各式分解因式 (1)3(a+b)-4a(a+b)= ； (2)5(a-b)3-15(a-b)2= ； (3)4(a+2b)2(a-3b)-4(a+2b)3= ； (4)6(x-3y)4-12(3y-x)3= 。 5.把下列各式用分组分解法分解因式 (1)3x+3y-ax-ay= ； (2)ab-a-5b+5= 。 二、选择题 6.下列各式形是因式分解的是( ) (A)(x-7)(x+7)=x2-49；(B)x2+5x-6=x(x+5)-6； (C)5(x-2)(x-3)=5(x-3)(x-2)；(D)3x2-9xy+6x=3x(x-3y+2)。 7.多项式18a2b3-9ab2+27a2b2的公因式是( ) (A)ab2；(B)9ab2；(C)9ab；(D)3ab。 8.下列各多项式中有公因式an的是( ) (A)a n+2-5a2n；(B)a3n+a3； (C)a n+2-6a2；(D)an-1-a3n。 9.下列各多项式中不能用提取公因式法因式分解的是( ) (A)5x2y3-20xy3；(B)-3ab+16b3c； (C)x2-3x-1；(D)(a-b)(a+b)2-(b-a)2。 10.5x-7y-5ax+7ay因式分解时，下列分组方法错误的是( ) (A)(5x-7y)-(5ax-7ay)；(B)(5x-5ax)-(7y-7ay)； (C)(5x+7ay)-(5ax+7y)；(D)(5x-5ax)+(7ay-7y)。 三、简答题 11.将下列各式分解因式 (1)9x2y+15xy2-6xy； (2)-18x4y5+27x3y6-36x5y4； (3)x(a-x)(y+a)-2y(x-a)(a+y)； (4)(x-5)(3x-2)+10(5-x)； (5)x4-x2yz+x3y-x3z； (6)ax n-yx n+4x n+1y-4x n+1a。 12.简便计算
14.3 因式分解 14.3.1 提公因式法 学习目标 1．了解因式分解的意义，并能够理解因式分解与多项式乘法的区别与联系. 2．会用提公因式法进行因式分解. 3．树立学生全面认识问题、分析问题的思想，提高学生的观察能力、逆向思维能力. 学习重点：掌握提取公因式，公式法进行因式分解. 学习难点：怎样进行多项式的因式分解，如何能将多项式分解彻底. 学习过程 一、温故知新，导入新课 问题一：1. 回忆：运用前两节所学的知识填空： （1）2（x＋3）＝___________________； （2）x2（3＋x）＝_________________； （3）m（a＋b＋c）＝_______________________. 2.探索：你会做下面的填空吗？ （1）2x＋6＝（）（）； （2）3x2＋x3＝（）（）； （3）ma＋mb＋mc＝（）2. 3.归纳：“回忆”的是已熟悉的运算，而要“探索”的问题，其过程正好与“回忆”，它是把一个多项式化为几个整式的乘积形式，这就是因式分解（也叫分解因式）. 4.反思：①分解因式的对象是______________,结果是____________的形式. ②分解后每个因式的次数要（填“高”或“低”）于原来多项式的次数. 二、探究学习，获取新知 问题二：1.公因式的概念． ⑴一块场地由三个矩形组成，这些矩形的长分别为a，b，c，宽都是m，用两 个不同的代数式表示这块场地的面积.
① _______________________________, ②___________________________ ⑵填空：①多项式62+x 有 项，每项都含有 ， 是这个多项式 的公因式. ②3x 2+x 3有 项，每项都含有 ， 是这个多项式的公因式. ③ma+mb+mc 有 项，每项都含有 ， 是这个多项式的公因式. ※多项式各项都含有的 ，叫做这个多项式各项的公因式. 2．提公因式法分解因式. 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以 ，从而将多项式 化成两个 的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.如：ma ＋mb ＋mc ＝m （a ＋b ＋c ） 3.辨一辨:下列各式从左到右的变形，哪是因式分解? （1）4a(a ＋2b)＝4a 2＋8ab ； （2）6ax －3ax 2＝3ax(2－x)； （3）a 2－4＝(a ＋2)(a －2)； （4）x 2－3x ＋2＝x(x －3)＋2． （5）36ab a b a 1232?= （6）??? ??+=+x a b x a bx 4. 试一试： 用提公因式法分解因式： （1）3x+6=3( ) （2）7x 2-21x=7x( ) （3）24x 3+12x 2 -28x=4x( ) （4）-8a 3b 2+12ab 3c-ab=-ab( ) 5.公因式的构成：①系数：各项系数的最大公约数；②字母：各项都含有的相同字 母； ③指数：相同字母的最低次幂. 6.方法技巧： (1)、用提公因式法分解因式的一般步骤：a 、确定公因式b 、把公因 式提到括号外面后，用原多项式除以公因式所得商作为另一个因式. (2)、为了检验分解因式的结果是否正确，可以用整式乘法运算来检验. 三、理解运用，巩固提高 问题三：1.把下列多项式分解因式： （1）-5a 2+25a （2）3a 2-9ab
提公因式法分解因式的教学设计 教学目标 （一）知识认知要求 进一步让学生掌握用提公因式法分解因式的方法. （二）能力训练要求 进一步培养学生的观察能力和类比推理能力. （三）情感与价值观要求 通过观察能合理地进行分解因式的推导，并能清晰地阐述自己的观点. 教学重点 能观察出公因式是多项式的情况，并能合理地进行分解因式. 教学难点 准确找出公因式，并能正确进行分解因式. 教学过程 一、创设问题情境,引入新课 上节课我们学习了用提公因式法分解因式，知道了一个多项式可以分解为一个单项式与一个多项式的积的形式，那么是不是所有的多项式分解以后都是同样的结果呢？本节课我们就来揭开这个谜. 二、新课讲解 ［例2］把a（x－3）+2b（x－3）分解因式. 分析：这个多项式整体而言可分为两大项，即a（x－3）与2b（x－3），每项中都含有（x－3）,因此可以把（x－3）作为公因式提出来. 解：a（x－3）+2b（x－3）=（x－3）（a+2b） 从分解因式的结果来看，是不是一个单项式与一个多项式的乘积呢？ ［例3］把下列各式分解因式:
（1）a（x－y）+b（y－x）; （2）6（m－n）3－12（n－m）2. 分析：虽然a（x－y）与b（y－x）看上去没有公因式，但仔细观察可以看出（x －y）与（y－x）是互为相反数，如果把其中一个提取一个“－”号，则可以出现公因式，如y－x=－（x－y）.（m－n）3与（n－m）2也是如此. 解：（1）a（x－y）+b（y－x） =a（x－y）－b（x－y） =（x－y）（a－b） （2）6（m－n）3－12（n－m）2 =6（m－n）3－12［－（m－n）］2 =6（m－n）3－12（m－n）2 =6（m－n）2（m－n－2）. 二、做一做 请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“－”号，使等式成立: （1）2－a=__________（a－2）; （2）y－x=__________（x－y）; （3）b+a=__________（a+b）; （4）（b－a）2=__________（a－b）2; （5）－m－n=__________－（m+n）; （6）－s2+t2=__________（s2－t2）. 解：（1）2－a=－（a－2）; （2）y－x=－（x－y）; （3）b+a=+（a+b）; （4）（b－a）2=+（a－b）2;
提公因式法 知识目标：了解公因式及提公因式的方法。 能力目标：能熟练地运用提公因式法进行因式分解。 情感目标：通过探索提公因式法分解因式，体验数学解题的 规范性。 预习课本P144-145,完成下列问题。） 用提公因式法分解因式首先要干什么？ 一、创设情境、引入课题 5x+5y =5(x+y) ，对于这个式子从左到右是因式分解，那么5就是5x和5y的公因式，这节课我们就来学习用提公因式法分解因式。 二、一起探究，合作发现 用提公因式法分解因式。 首先，要确定公因式。如：a b-2ab 由于a b=ab·a; 2ab=ab·2b，所以ab是a b和2ab两项的一个公 因式。我们将这样的因式叫做这个多项式各项的。 其次，进行因式分解。逆用乘法分配率，将公因式ab“提到”括号外边，写成 a b-2ab=ab(a-2b). 这样，就将这个多项式进行了因式分解。这种将多项式分解因式的方法，叫做。 问题（1）：用提公因式法分解因式的前提条件是什么？ 问题（2）：对a-b这样的多项式，能用提公因式法分解因式吗？ 三、方法运用 例1 分解因式： ⑴8a-16= ⑵ x+3x= (3)ab-5bc+b (4)x3y-x2 = = 例2 把下列多项式分解因式： ⑴ -3x+6xy-3xz; ⑵3a b+9a b-6a b 例3 将2a(b+c)-5(b+c)进行因式分解。练：10（a-b）+20(a-b) 四、随堂练习 1．课本练习1.3.（P146) 2．多项式24x2y－12xy2+6x2y2的公因式是（） A．xy B．2 xy C．4 xy D．x2y2 3.公因式是x-2的一组多项式是（） A.(x+2)，(x-2) B.x-2x, 4x-6 C.3x-6, x-2x D.x-4, 6x-18 4. 分解因式a2－ab＝． 五、拓展练习 试说明5-4×5+10×5 六、点滴收获 七、布置作业：课后习题3，4. 22 2222 22 22 2 23222 222 2 200820072009
2 提公因式法 第1课时直接提公因式因式分解 总体说明: 本节是因式分解的第2小节，占两个课时，这是第一课时，它主要让学生经历从乘法的分配律的逆运算到提取公因式的过程，让学生体会数学的主要思想——类比思想，运用类比的数学方法，在新概念提出、新知识点的讲授过程中，可以使学生易于理解和掌握．如学生在接受提取公因式法时，由整式的乘法的逆运算到提取公因式的概念，由提取的公因式是单项式到提取的公因式是多项式时的分解方法，都是利用了类比的数学思想，从而使得学生接受新的概念时显得轻松自然，容易理解，让学生进一步了解分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系．(1)学生的技能基础：在上一节课的基础上，学生基本上解了分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系，能通过观察、类比等手段，寻求因式分解与因数分解之间的关系，这为今天的深入学习提供了必要的基础．（2）学生活动经验基础：学生有了上一节课的活动基础，由于本节课采用的活动方法与上节课很相似，依然是观察、对比等，学生对于这些活动方法较熟悉，有较好的活动经验． 一、教学目标 1．学会确定多项式中各项的公因式，会用提公因式法进行因式分解． 2．通过与因数分解的类比，感悟数学中数与式的共同点，体验数学的类比思想．
3．通过对因式分解的教学，培养学生“换元”的意识． 二、教学重难点 1．教学重点：直接提公因式因式分解． 2．教学难点：正确找出多项式中各项的公因式． 三、教学过程 环节1自学提纲，生成问题 阅读教材P95～P96的内容，完成下面练习． 1．多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式． 2．如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法． 3．当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“－”号，使括号内第一项的系数成为正数．在提出“－”号时，多项式的各项要变号． 4．把多项式6a2b＋10ab2分解因式时，应提取的公因式是2ab. 环节2合作探究，解决问题 活动1小组讨论 例1多项式6ab2c－3a2bc＋18a2b2中各项的公因式是() A．abc B．3a2b2 C．3ab D．3a2b2c 互动探索：(引发学生思考)如何确定一个多项式各项的公因式？ 分析：多项式中各项的公因式为3ab.
提公因式法分解因式专项练习题 提公因式法（1） （一）课堂练习 一、填空题 1.把一个多项式__________________________，这样的式子变形，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项 式______________。 2.把下列各多项式的公因式填写在横线上。 (1)x 2-5xy _________ (2)-3m 2+12mn _________ (3)12b 3-8b 2+4b _________ (4)-4a 3b 2-12ab 3 __________ (5)-x 3y 3+x 2y 2+2xy _________ 3.在括号内填入适当的多项式，使等式成立。 (1)-4ab-4b=-4b( ) (2)8x 2y-12xy 3=4xy( ) (3)9m 3+27m 2=( )(m+3) (4)-15p 4-25p 3q=( )(3p+5q) (5)2a 3b-4a 2b 2+2ab 3=2ab( ) (6)-x 2+xy-xz=-x( ) (7)21a 2 -a=21 a( ) 二、选择题 1.下列各式从左到右的变形是因式分解的是（） (A)m(a+b)=ma+mb (B)x 2+3x-4=x(x+3)-4 (C)x 2-25=(x+5)(x-5) (D)(x+1)(x+2)=x 2+3x+2 2.下列各等式从左到右的变形是因式分解的是（） (A)8a 2b 3c=2a 2·2b 3·2c (B)x 2y+xy 2+xy=xy(x+y) (C)(x-y)2=x 2-2xy+y 2 (D)3x 3+27x=3x(x 2+9) 3.下列各式因式分解错误的是（） (A)8xyz-6x 2y 2=2xy(4z-3xy) (B)3x 2-6xy+x=3x(x-2y) (C)a 2b 2-41ab 3=41ab 2(4a-b) (D)-a 2 +ab-ac=-a(a-b+c) 4.多项式-6a 3b 2-3a 2b 2+12a 2b 3因式分解时，应提取的公因式是（） (A)3ab (B)3a 2b 2 (C)- 3a 2b (D)- 3a 2b 2 5.把下列各多项式分解因式时，应提取公因式2x 2y 2的是（） (A)2x 2y 2-4x 3y (B)4x 2y 2-6x 3y 3+3x 4y 4 (C)6x 3y 2+4x 2y 3-2x 3y 3 (D)x 2y 4-x 4y 2+x 3y 3 6.把多项式-axy-ax 2y 2+2axz 提公因式后，另一个因式是（） (A)y+xy 2-2z (B)y-xy 2+2z (C)xy+x 2y 2-2xz (D)-y+xy 2-2z 7.如果一个多项式4x 3y-M 可以分解因式得4xy(x 2-y 2+xy) ，那么M 等于（ ） (A)4xy 3+4x 2y 2 (B)4xy 3-4x 2y 2 (C)-4xy 3+4x 2y 2 (D)-4xy 3-4x 2y 2 8. 下列各式从左到右的变形：①(a+b)(a-b)=a 2-b 2 ②x 2+2x-3=x(x+2)-3 ③x+2=x 1(x 2+2x) ④
提公因式法 【教学目标】 1．在具体情境中认识公因式。 2．通过对具体问题的分析及逆用分配律，使学生理解提取公因式法并能熟练地运用提取公因式法分解因式。 【教学重难点】 1．掌握公因式的概念，会使用提取公因式法进行因式分解，理解添括号法则。 2．正确地找出公因式。 【教学过程】 一、创设情境，提出问题 如图，一块菜园由两个长方形组成，这些长方形的长分别是 3.8m，6.2m，宽都是 3.7m，如何计算这块菜园的面积呢？ 列式：3.7×3.8+3.7×6.2（学生思考后列式） 有简便算法吗？ =3.7×(3.8+6.2) =3.7×10=37(m2) 6.2 在这一过程中，把3.7换成m，3.8换成a，6.2换成b，于是有：ma＋mb =m(a＋b) 利用整式乘法验证：m(a＋b)=ma＋mb 二、观察分析，探究新知 让学生观察多项式：ma+mb （让学生说出其特点：都有m，含有两种运算，乘法和加法；然后教师规范其特点，从而引出新知。） 各项都含有一个公共的因式m，我们把因式m叫做这个多项式各项的公因式。 注意：公因式是一个多项式中每一项都含有的相同的因式。 如：b是多项式ab-b2各项的公因式。 2xy是多项式4x2y-6xy2z各项的公因式。
让学生说出公因式，学生可能会说是2或者是x、y、2x、2y、2xy等，最后一起确定公因式2xy，让学生初步体会到确定公因式的方法。 三、独立练习，巩固新知 指出下列各多项式中各项的公因式（以抢答的形式）。 （1）ax+ay-a （a） （2）5x2y3-10x2y （5x2y） （3）24abc-9a2b2 （3ab） （4）m2n+mn2 （mn） （5）x(x-y)2-y(x-y) （x-y） 说明：本活动也可以改为寻找公因式游戏，如：根据提供的多项式和整式，寻找出这个多项式的公因式。 （1）ax+ay-a （2）5x2y3-10x2y （3）24abc-9a2b2 （4）m2n+mn2 （5）x(x-y)2-y(x-y) a，x，y 5xy，5x2y3，5x2y 3abc，9ab，3ab mn，m2n，mn2 x(x-y)，y(x-y)，(x-y) 游戏规则：准备好写有整式和多项式的纸牌，学生分为四组，每组选四个同学游戏，其中3个同学举一组题中的整式牌，第四个根据组员建议寻找出题中的公因式，并说明理由。 显然由定义可知，提取公因式法的关键是如何正确地寻找确定公因式的方法（可以由学生讨论总结，然后教师进行归纳）： （1）公因式的系数应取各项系数的最大公约数（当系数是整数时）。 （2）字母取各项的相同字母，且各字母的指数取最低次幂。 根据分配律，可得m（a+b）=ma+mb逆变形，使得到ma+mb的因式分解形式：ma+mb=m（a+b）。这说明多项式ma+mb各项都含有的公因式可提到括号外面，将多项式ma+mb写成m（a+b）的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法。 定义：一般地，如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行分解的方法叫做提取公因式法。 四、例题教学，运用新知 例：把3pq3+15p3q分解因式 通过上面的练习，学生会比较容易地找出公因式，所以这一步还是让学生来操作。然后在黑板上正确规范地书写提取公因式法的步骤。事后总结出提取公因式的一般步骤分两步：第一步：找出公因式；第二步：提取公因式。 解：3pq3+15p3q=3pq×q2+3pq×5p2=3pq(q2+5p2)
提公因式法（基础） 【学习目标】 1.了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系； 2．能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法将多项式分解因式. 【要点梳理】 要点一、因式分解 把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 要点诠释：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多 项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的 积的形式. （2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止. （3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式 分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 要点二、公因式 多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式. 要点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式. （2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式. （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母， 指数取各字母指数最低的. 要点三、提公因式法 把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式是，即，而
正好是 除以m 所得的商，这种因式分解的方法叫提公因 式法． 要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律， 即 . （2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公 因式. （3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号， 使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都 要变号. （4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等 或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或 “－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误. 【典型例题】 类型一、因式分解的概念 1、观察下列从左到右的变形： ⑴()()3322623a b a b ab -=-； ⑵()ma mb c m a b c -+=-+ ⑶()22261266x xy y x y ++=+； ⑷()()22323294a b a b a b +-=- 其中是因式分解的有 （填序号） 【思路点拨】根据因式分解的定义是将多项式形式变成几个整式的积的形式，从对象和结果两方面去判断． 【答案】（3）. 【解析】 解：(1) 的左边不是多项式而是一个单项式， (2) (4)的右边都不是积的形式，所以它们都不是因式分解； 只有(3)的左边是多项式，右边是整式的积的形式，所以只有(3)是因式分解． 【总结升华】因式分解是将多项式变成积的形式，所以等式的左边必须是多项式，将单项式拆成几个单项式乘积的形式不能称为因式分解．等式的右边必须是整式因式积的形式． 举一反三： 【变式】（2014?海南）下列式子从左到右变形是因式分解的是（ ） 2+4a ﹣21=a （a+4）﹣21 2 +4a ﹣21=（a ﹣3）（a+7）
《提公因式法》教学设计 一、教材分析： “因式分解”是“华东师大版八年级数学（上）”第13章第5节内容。本课安排在“整式的乘法”后，明确了因式分解与整式乘法的联系，起到知识的承上启下的作用。本节主要讲“提公因式法”，为一个课时。提取公因式法是因式分解的基本方法，也为学习因式分解的其他方法及利用因式分解解一元二次方程打下坚实的基础。 二、目标分析： 知识与技能： 1、理解因式分解的含义，能判断一个式子的变形是否为因式分解。 2、熟练运用提取公因式法分解因式。 过程与方法： 在教学过程中，体会类比的数学思想，逐步形成独立思考、主动探索的习惯。 情感态度、价值观： 通过现实情景，让学生认识到数学的应用价值，并提高学生关注生存环境的环保意识。三、教学重难点： 教学重点：理解因式分解的含义及运用提取公因式法分解因式。 教学难点：合理分组，运用提取公因式法分解因式。 四、学习者分析： 1、初二学生性格开朗活泼，对新鲜事物较敏感，并且较易接受，因此，教学过程中创设的问题情境应较生动活泼，直观形象，且贴近学生的生活，从而引起学生的有意注意。 2、初二学生对整式的运算比较熟悉，对互逆过程也有一定的感知。 3、初二学生已经具备了一定的自我学习能力，所以本节课中，应多为学生创造自主学习、合作学习的机会，让他们主动参与、勤于动手、从而乐于探究如何用提公因式法分解因式。 五、教法学法： 教法：类比、探究式教学方法 1、教学过程中渗透类比的数学思想，形成新的知识结构体系； 2、设置探究式教学，让学生经历知识的形成，从而达到对知识的深刻理解与灵活应用。 学法：自主、合作、探索的学习方式 在教学活动中，既要提高学生独立解决问题的能力，又要培养团结协作精神，拓展学生探究问题的深度与广度，以促进学生发展为目的。
【学习重点与难点】：因式分解的方法和运用 【导学过程】 一、知识再现:（阅读教材，理解记忆） 1、因式分解： 2、用提公因式法分解因式 （1）基本方法，（2）找公因式的方法， 3、因式分解中运用的公式 （1）=-22b a ，（2）=+±222b ab a ， 4、因式分解的应用． 二、典例分析 1、提公因式法分解因式 例1 因式分解：b a ab 223+= 变式1、因式分解：x x 52- = 变式2、因式分解： 2263ab b a += 2、公式法分解因式 例2、因式分解：3212123a a a ++= 变式3、因式分解：296ab ab a +-= 变式4、因式分解：23ab a -=
3、因式分解的应用 例3 解方程的值求代数式224320042200452y x x y y x -?? ???=-=+ 变式5、若622=-n m 且2=-n m 则=+n m 三、巩固提高 1. 下列分解因式正确的是 （ ） A 、﹣a +a 3=﹣a （1+a 2） B 、2a ﹣4b +2=2（a ﹣2b ） C 、a 2﹣4=（a ﹣2）2 D 、a 2﹣2a +1=（a ﹣1）2 2．分解因式：321025=a a a -+ 3、因式分解：a 2 ﹣6a+9= 4、分解因式：3222b ab b a +-= 5、分解因式：8（x 2﹣2y 2）﹣x （7x+y ）+xy ．
【课堂反馈】 1、下列式子变形是因式分解的是【 】 A ．x 2－5x ＋6＝x (x －5)＋6 B ．x 2 －5x ＋6＝(x －2)(x －3) C ． (x －2)(x －3)＝x 2－5x ＋6 D ．x 2－5x ＋6＝(x ＋2)(x ＋3) 2、若实数x 、y 、z 满足2()4()()0x z x y y z ----=．则下列式子一定成立的是（ ） (A)0x y z ++= (B) 20x y z +-= (C) 20y z x +-= (D) 2=0x z y +- 3、分解因式：3269x x x -+= 4、分解因式：=+-+)(3)(2y x y x 5、已知1=-b a ，则b b a 222--的值
八年级数学提公因式法（一） ●教学目标 （一）教学知识点 让学生了解多项式公因式的意义，初步会用提公因式法分解因式. （二）能力训练要求 通过找公因式，培养学生的观察能力. （三）情感与价值观要求 在用提公因式法分解因式时，先让学生自己找公因式，然后大家讨论结果的正确性，让学生养成独立思考的习惯，同时培养学生的合作交流意识，还能使学生初步感到因式分解在简化计算中将会起到很大的作用. ●教学重点 能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来. ●教学难点 让学生识别多项式的公因式. ●教学方法 独立思考——合作交流法. ●教具准备 投影片两张 第一张（记作§2.2.1 A） 第二张（记作§2.2.1 B） ●教学过程 Ⅰ.创设问题情境,引入新课 投影片（§2.2.1 A） ［师］从上面的解答过程看，解法一是按运算顺序：先算乘，再算和进行的，解法二是先逆用分配律算和，再计算一次乘，由此可知解法二要简单一些.这个事实说明，有时我们需要将多项式化为积的形式，而提取公因式就是化积的一种方法. Ⅱ.新课讲解 1.公因式与提公因式法分解因式的概念. ［师］若将刚才的问题一般化，即三个矩形的长分别为a、b、c，宽都是m，则这块场地
的面积为ma+mb+mc,或m（a+b+c），可以用等号来连接. ma+mb+mc=m（a+b+c） 从上面的等式中，大家注意观察等式左边的每一项有什么特点？各项之间有什么联系？等式右边的项有什么特点？ ［生］等式左边的每一项都含有因式m，等式右边是m与多项式（a+b+c）的乘积，从左边到右边是分解因式. ［师］由于m是左边多项式ma+mb+mc的各项ma、mb、mc的一个公共因式，因此m叫做这个多项式的各项的公因式. 由上式可知，把多项式ma+mb+mc写成m与（a+b+c）的乘积的形式，相当于把公因式m 从各项中提出来，作为多项式ma+mb+mc的一个因式，把m从多项式ma+mb+mc各项中提出后形成的多项式（a+b+c），作为多项式ma+mb+mc的另一个因式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. 2.例题讲解 ［例1］将下列各式分解因式： （1）3x+6; （2）7x2－21x; （3）8a3b2－12ab3c+abc （4）－24x3－12x2+28x. 分析：首先要找出各项的公因式，然后再提取出来. ［师］请大家互相交流. ［生］解：（1）3x+6=3x+3×2=3（x+2）; （2）7x2－21x=7x·x－7x·3=7x（x－3）; （3）8a3b2－12ab3c+abc =8a2b·ab－12b2c·ab+ab·c =ab（8a2b－12b2c+c） （4）－24x3－12x2+28x =－4x（6x2+3x－7） 3.议一议 ［师］通过刚才的练习，下面大家互相交流，总结出找公因式的一般步骤. ［生］首先找各项系数的最大公约数，如8和12的最大公约数是4. 其次找各项中含有的相同的字母，如（3）中相同的字母有ab,相同字母的指数取次数最低的. 4.想一想 ［师］大家总结得非常棒.从例1中能否看出提公因式法分解因式与单项式乘以多项式有什么关系？ ［生］提公因式法分解因式就是把一个多项式化成单项式与多项式相乘的形式. Ⅲ.课堂练习
14.3 提取公因式法分解因式 教学目标 1.理解因式分解的概念 2.掌握提取公因式法分解因式的方法 重点：提取公因式分解因式 难点：当公因式是多项式时如何提取公因式并正确的分解 教学过程： 一、计算引入 根据班里孩子的计算能力较差，所以选择了三个相关的计算型的题目来作为引入，让他们试试用自己的方法如何解决，或者有的孩子无从下手，1. 计算872+87 ×13 2. 992+99能被100整除吗？ 3.已知a+b=3,ab=2,求代数式a2 b +a b2的值. 问“你认为自己会做一题的举手试试看” 再问“那么会做两题的举手” 最后问“三个题目都会做的举手” 说“你们不会做就对了，你们现在不会做不要紧，我们试试看今天的课程学完了以后，能不能帮我们解决这几个问题呢？如果大家到时候都会了，那我就会很有成就感的哦” 二、回顾整式的乘法运算1、计算下列各式： + +c )2(= b m a ( x; )1 ; ( 3)1(= x - )
2、你能根据以上的计算完成下面的填空吗？ 问：好不好填呢？你们是如何做到的？ 再问：“如果没有前面的计算你们还会填空吗？” 三、引出新知 因式分解定义：一般地，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，有时我们也把这一过程叫做分解因式。 提炼出概念中的关键词 整式 积的形式 辨一辨：下列式子从左边到右边的变形是因式分解吗？为什么？ 1、)1(2+=+a a a a 2、)3)(3(92-+=-a a a 3、1)3(132+-=+-x x x x 4、)1)(2(22-+=-+x x x x 5、 ) 1 (12x x x x + =+ 四、如何来分解因式探索多项式 的分解方法 学生对于乘法分配律相对熟悉，很容易看出这个结果，通过这个结果来分析他是如何分解的 ; )4)(4)(3(= -+m m ; )3)(4(2= -y ;33)1(2= -x x ; )2(=++mc mb ma ; 16)3(2 = -m ; 96)4(2= +-y y ma mb mc ++ma mb mc m(a b c) ++=++
第十四章整式的乘法与因式分解 . . . m(a+b+c)= 3a2,6a 有什么共同点？ma, 中有共同的因式， ____________. 的形式，叫作. 将多项式写成_______ . . 2+3xy －4x2y+5x2y2=xy(3－
5.分解因式 (1)a 2b –2ab 2+ab ； (2)2（a-b ）-4(b-a)； 2 2（2x ＋1）＋y （2x ＋1）2A ．12xyz-9x 2y 2=3xyz （4-3xyz ） B ．3a 2y-3ay+6y=3y （a 2-a+2） C ．-x 2+xy-xz=-x （x 2+y-z ） D ．a 2b+5ab-b=b （a 2+5a ） 4.把下列各式分解因式： (1)8 m 2n+2mn=_____________；(2)12xyz-9x 2y 2=_____________； (3)p(a 2 + b 2 )- q(a 2 + b 2 )=_____________； (4) -x 3y 3-x 2y 2-xy=_______________； (5)(x-y)2+y(y-x)=_____________. 5.若9a 2(x －y)2－3a(y －x)3＝M ·(3a ＋x －y)，则M 等于_____________. 6.简便计算： (1) 1.992+1.99×0.01 ; (2)20132+2013-20142; (3)(-2)101+(-2)100. 7.(1)已知: 2x+y=4,xy=3,求代数式2x2y+xy2的值. (2)化简求值：(2x+1)2-(2x+1)(2x-1)，其中x= 1 2 . . 拓展提升 8.△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，且a ＋2ab ＝c ＋2bc ，请判断△ABC 是等边三角 形、 等腰三角形还是直角三角形？并说明理由．
因式分解（1） 一知识点讲解 知识点一：因式分解概念： 把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 1.因式分解特征：因式分解的结果是几个整式的乘积。 2.因式分解与整式乘法关系：因式分解与整式的乘法是相反方向的变形 知识点二：寻找公因式 1、小学阶段我们学过求一组数字的最大公因（约）数方法：（短除法） 例如：求20,36,80的最大公（约）数？最大公倍数？
2、寻找公因式的方法： （一）因式分解的第一种方法（提公因式法）（重点）： 1.提取公因式法：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外面， 把多项式转化成公因式与另一个多项式的积的形，这种因式分解的方法叫做提公因式法。 2.符号语言：)(c b a m mc mb ma ++=++ 3.提公因式的步骤： （1）确定公因式 （2）提出公因式并确定另一个因式（依据多项式除以单项式） 公因式 原多项式另一个因式= 4.注意事项：因式分解一定要彻底 二、例题讲解 模块1：考察因式分解的概念 1. （2017春峄城区期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A 、x x x x x 6)3)(3(692 +-+=+- B 、103)2)(5(2 -+=-+x x x x C 、2 2 )4(168-=+-x x x D 、b a ab 326?=
2. （2017秋抚宁县期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A 、2)1(322 2 ++=++x x x B 、2 2 ))((y x y x y x -=-+ C 、2 2 2 )(y x y xy x -=+- D 、)(222y x y x -=- 3. （2017秋姑苏区期末）下列从左到右的运算是因式分解的是（ ） A 、1)1(21222 +-=+-a a a a B 、2 2 ))((y x y x y x -=+- C 、2 2 )13(169-=+-x x x D 、xy y x y x 2)(2 2 2 +-=+ 4.（2017秋华德县校级期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A 、15123-=-+x y x B 、2 2 49)23)(23(b a b a b a -=-+ C 、)11(2 2x x x x +=+ D 、)2)(2(2822 2y x y x y x -+=- 5. （2017春新城区校级期中）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A 、ab a b a a -=-2 )( B 、1)2(122 +-=+-a a a a C 、)1(2 -=-x x x x D 、)(2 2 2 xy y x y x xy -=- 6. （2016秋濮阳期末）下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A 、23)2)(1(2 +-=--x x x x B 、)2)(1(232 --=+-x x x x C 、4)4(442 +-=++x x x x D 、))((2 2 y x y x y x -+=+ 模块2：考察公因式 1. （2017春抚宁县期末）多项式3 222320515n m n m n m -+的公因式是（ ） A 、mn 5 B 、225n m C 、n m 25 D 、2 5mn 2.（2017春东平县期中）把多项式3 32223224168bc a c b a c b a -+-分解因式，应提的公因式是（ ） A 、bc a 28- B 、3222c b a C 、abc 4- D 、3 3324c b a 3.（2017秋凉州区末）多项式92-a 与a a 32 -的公因式是（ ） A 、3+a C 、3-a B 、1+a D 、1-a 4.（2017春邵阳县期中）多项式n m n m y x y x 31 128--的公因式是（ ） A 、n m y x B 、1-n m y x C 、n m y x 4 D 、1 4-n m y x 5.（2016春深圳校级期中）多项式mx mx mx 102552 3 -+-各项的公因式是（ ）