22提公因式法备课导学案

14.3因式分解143.1提公因式法学习目标1. 了解因式分解的意义，并能够理解因式分解与多项式乘法的区别与联系.2.会用提公因式法进行因式分解.3.树立学生全面认识问题、分析问题的思想，提高学生的观察能力、逆向思维能力.学习重点：掌握提取公因式，公式法进行因式分解.学习难点：怎样进行多项式的因式分解，如何能将多项式分解彻底.学习过程一、温故知新，导入新课问题一：1.回忆：运用前两节所学的知识填空：(1)2 (x + 3) = ___________________(2)x2 (3+x) =；(3)m (a+b+c) = _________________________2.探索：你会做下面的填空吗?(1)2x + 6=()( )；(2)3X2+X3=( )( )；(3)ma+mb+mc= ( ) 2.3,归纳："回忆”的是已熟悉的运算，而要“探索”的问题，其过程正好与“回忆”—，它是把一个多项式化为几个整式的乘积形式，这就是因式分解.（也叫分解因式）.4.反思：①分解因式的对象是______________ ，结果是____________ 的形式.②分解后每个因式的次数要—（填“高”或"低”）于原来多项式的次数.二、探究学习，获取新知问题二：1.公因式的概念.⑴一块场地由三个矩形组成，这些矩形的长分别为a, b, c,宽都是m,用两个不同的代数式表示这块场地的面积.①.② __________________________⑵填空：①多项式2x+6有项，每项都含有, 是这个多项式的公因式.②3x2+x3有项，每项都含有, 是这个多项式的公因式.③ma+mb+mc有项，每项都含有，是这个多项式的公因式.※多项式各项都含有的，叫做这个多项式各项的公因式.2.提公因式法分解因式.如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以,从而将多项式化成两个的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法,如：ma+mb+ mc = m (a+b+c)3.辨一辨:下列各式从左到右的变形，哪是因式分解.？(1)4a(a+2b)=4a2 + 8ab；(2) 6ax — 3ax2 = 3ax(2 — x)；(3)a2—4 = (a+2)(a—2)；(4) x2—3x+2 = x(x —3) + 2.4.试一试：用提公因式法分解因式：(1)3x+6=3( ) (2) 7X2-21X=7X( )(3)24X3+ 12x2 -28x=4x( ) (4)-8a3b2+12ab3c-ab=-ab( )5.公因式的构成：①系数：各项系数的最大公约数；②字母：各项都含有的相同字③指数：相同字母的最低次幕.6.方法技巧：(1)、用提公因式法分解因式的一般步骤：a、确定公因式b、把公因式提到括号外面后，用原多项式除以公因式所得商作为另一个因式.(2)、为了检验分解因式的结果是否正确，可以用整式乘法运算来检验.三、理解运用，巩固提高问题三：1 .把下列多项式分解因式:(1) -5a2+25a(2) 3a2-9ab分析（1）:由公因式的确定方法，我们可以这样确定公因式：①定系数：系数-5和25的最大公约数为5,故公因式的系数为（）②定字母：两项中的相同字母是（），故公因式的字母取（）:③定指数：相同字母a的最低指数为（），故a的指数取为（）；所以，-5a?+25a的公因式为：（）2.练一练：把下列各式分解因式：（l）ma+mb （2）5y3-20y2（3）a2x2y-axy23.把下列各式分解因式：(l)-4kx-8ky (2)-4x+2x2(3)-8m2 n-2mn4.把下列各式分解因式：(l)a2b-2ab2 +ab (2)3x3-3x2-9x (3)-20x2y2-15xy2+25y35.把下列各式分解因式：(1)-24X3+28X2- 12x (2)-4a3b3+6a2b-2ab (3)6a(m-2)+8b(m-2)6 分解因式：(1) a(a+l)+2(a+l) (2) (2a+b)(2a-3b)-3a(2a+b)(3)4 (x-y) 3-8x(y-x)2 (4) (l+x)(l-x)-(x-l)四、实践应用，提高技能1.下列各式中，从等式左边到右边的变形，属因式分解的是(填序号)① /一),2 =]•8_/) ②/-产=(A + yX-v-y)③ A-4 - v4 = (-V2 + 尸卜 - ) ④(x + 寸=A-2 + 2xy + y12.若分解因式/ + nix -15 =(x + 3Xx + 〃)，则m的值为.3.把下列各式分解因式:(l)8nrn+2mn (2)12xyz-9xy2⑶ 2a (y—z) —3b(z—y)4.利用因式分解计算：21x3.14+62x3.14+17x3.14五、总结反思作者留言：非常感谢！您浏览到此文档。

提公因式法导学目标: 1从提取的公因式是一个单项式过渡到提取的公因式是多项式，2.会用提取公因式法进行因式分解．重点提取的公因式是多项式难点会用提取公因式法进行因式分解．导学过程导学过程导学后反思知识回忆：把以下各式分解因式：(1) mnmn282+ (2) abba52-+9b(3) mamama126323-+- (4) xxx84223-+-阅读教材P97-预习中，你发现哪些问题？1、教材P97“做一做〞在以下各式等号右边的括号前插入“+〞或“–〞号，使等式成立：〔1〕2–a=〔a–2〕〔2〕y–x= 〔x–y〕〔3〕b+a= 〔a+b〕〔4〕〔b–a〕2= 〔a–b〕2〔5〕–m–n= 〔m+n〕〔6〕–s2+t2= 〔s2–t2〕完成教材P98的对应习题〔1〕15×〔a－b〕2－3y〔b－a〕; 〔2〕〔a－3〕2－〔2a－6〕;〔3〕〔m＋n〕〔p－q〕－〔m＋n〕〔q＋p〕2.a＋b＝－4，a b＝2，求多项式4a2b＋4ab2－4a－4b的值。

教学反思：6.2. 平行四边形的判定导学目标: 1．会证明平行四边形的2 种判定方法．2．理解平行四边形的这两种判定方法，并学会简单运用．重点理解平行四边形的这两种判定方法难点平行四边形的2 种判定方法的应用. 自主探究，发现问题：小组合作，解决问题：组间交流，展示成果：运用检测，组内互评：知识回忆：A BCDEFA1A2A4A3A6A5导学过程导学过程导学后反思一、预习教材，自主探究：1．平行四边形的定义是什么？它有什么作用？2．平行四边形还有哪些性质？二、定理探索活动1：工具:两对长度分别相等的笔.动手:能否在平面内用这四根笔摆成一个平行四边形？思考1.1：你能说明你所摆出的四边形是平行四边形吗？：如图6-8〔1〕，在四边形ABCD中，AB=CD,BC=AD求证：四边形ABCD是平行四边形.三、稳固练习例1 如图6-10，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD和BC的中点．求证：四边形BFDE是平行四边形.四随堂练习：1.如图：线段AD是线段BC经过平移所得到的，分别连接AB、CD．四边形ABCD是平行四边形吗?为什么?2.如下图，AC=BD=16，AB=CD=EF=15，CE=DF=9，有哪些互相平行的线段？3如下图，四个全等的三角形拼成一个大的三角形，找出图中所有的平行四边形，并说明理由．五回忆小结:师生共同小结，主要围绕以下几个问题：〔1〕判定一个四边形是平行四边形的方法有哪几种？这些方法是从什么角度去考虑的？〔2〕我们是通过什么方法得出平行四边形的这几种判定方法的，这样的探索过程对你有什么启发？〔3〕类比、观察、拼图、实验等都是学习数学、发现结论的常用方法．六布置作业:〔1〕根底题：课本习题6.3第1题、第2题、第3题〔2〕思考题：有两条边相等，并且另外的两条边也相等的四边形一定是平行四边形吗？为什么？教学反思：AB CD。

14.3.1 提公因式法导学案一、知识点梳理•提公因式法：将一组代数式的公因式提取出来形成一个因式。

•提取公因式的步骤：1.找出各项的公因式；2.将公因式提出，得到一个因式；3.用提取出来的公因式除去原来的代数式中的公因式部分，得到另一个因式。

二、解题思路要使用提公因式法，在解题之前首先需要找出各项的公因式，然后将公因式提取出来形成一个因式，最后用提取出来的公因式除去原来的代数式中的公因式部分，得到另一个因式。

以下是一个示例，展示了提公因式法的具体步骤。

示例：将代数式3x + 6y的公因式提取出来。

1.找出各项的公因式。

3x和6y的公因式是3。

2.将公因式提出。

将3提取出来形成因式3(x + 2y)。

3.用提取出来的公因式除去原来的代数式中的公因式部分。

用3(x + 2y)去除3x + 6y得到(x + 2y)。

所以，3x + 6y可以化简为3(x + 2y)。

三、例题解析例题1将代数式4ax + 8ay + 12bx + 24by的公因式提取出来。

解题思路： 1. 找出各项的公因式。

4ax、8ay、12bx、24by的公因式是4。

2. 将公因式提出。

将4提取出来形成因式4(ax + 2ay + 3bx + 6by)。

3. 用提取出来的公因式除去原来的代数式中的公因式部分。

用4(ax + 2ay + 3bx + 6by)去除4ax + 8ay + 12bx + 24by得到(ax + 2ay + 3bx + 6by)。

所以，4ax + 8ay + 12bx + 24by可以化简为4(ax + 2ay + 3bx + 6by)。

例题2将代数式5ab + 10ac + 15bc的公因式提取出来。

解题思路： 1. 找出各项的公因式。

5ab、10ac、15bc的公因式是5。

2. 将公因式提出。

将5提取出来形成因式5(ab + 2ac + 3bc)。

3. 用提取出来的公因式除去原来的代数式中的公因式部分。

提高学生思维水平：提公因式法教案设计一、教学目标：1.了解提公因式的定义与概念；2.学习提公因式的基本方法；3.掌握利用提公因式法简化式子的技巧；4.学以致用，在解决实际问题时能够熟练运用提公因式法。

二、教学重点1.学习提公因式的基本方法；2.掌握利用提公因式法简化式子的技巧。

三、教学难点1.掌握利用提公因式法简化式子的技巧；2.学以致用，在解决实际问题时能够熟练运用提公因式法。

四、教学方法：1.通过教师讲解，引导学生理解概念，掌握提公因式的基本方法；2.通过实例演练，巩固学生的掌握程度；3.通过练习题的布置，提高学生在实际问题中的应用能力。

五、教学内容：1.提高思维水平的重要性及途径；2.提公因式、公因式、因子的概念；3.基本的提公因式方法及技巧；4.实例演练及练习题。

六、教学流程：1.教师通过教学PPT介绍提高学生思维水平理念以及提高学生思维水平的途径。

2.教师介绍提公因式的定义、公因式、因子的概念，让学生明确基础概念的定义。

3.通过实例让学生理解提公因式的基础方法。

4.给出相关的练习题，让学生在实践的过程中熟悉提公因式的应用。

5.教师对达成学习目标的学生展示作品。

6.教师对学生进行反馈，指出存在的问题并加以纠正。

七、教学手段：1.教学PPT、白板、黑板；2.实例；3.练习题。

八、教学评价：1.学生对提高思维水平的重要性有了明确的认识；2.学生能够掌握提公因式的基本方法；3.学生能够利用提公因式法简化式子；4.学生能够在实际问题中灵活运用提公因式法；5.学生能够通过练习题及达成目标的展示作品，展现出对学习成果的掌握程度。

学生学习提高自己的思维水平需要时间，需要不断的实践，需要老师和家长的帮助与支持。

希望本次教学可以成为学生思维训练的垫脚石，让学生更好地理解提高自己思维水平的方法和技巧。

化归、 转化 整体方法 《2.2提公因式法（2）》导学案一、教学目标知识与技能：1.掌握用提公因式法分解因式的方法；2.通过观察能合理地进行分解因式的推导，并能清晰地阐述自己的观点。

过程与方法：采用化归的数学思想，在上一节课所提取的公因式是单项式的分解因式的基 础上，解决所提取的公因式是多项式的分解因式。

情感态度与价值观：通过观察，合作交流解决公因式为多项式的分解因式问题，培养学生的化归、转化能力。

二、教学重点： 含有公因式是多项式的分解因式三、教学难点： 整体思想的运用以及代数式的法号变换处理四、教学过程：（一）导入新课检查学生完成课前导读-评价单1、2，导入，公因式不仅可以是单项式，还可以是多项式。

导入语：这节课我们继续学习提公因式法分解因式。

（二）自主探索 探究新知A.基础训练问题1：把多项式(3)-x 看做一个整体，让学生感知公因式可以是多项式。

问题2：在问题1的基础上进一步解决符号问题。

教学时要引导学生正确理解()-x y 与()-y x ，2()-m n 与2()-n m 的关系。

B.能力训练问题1：解题的关键是确定公因式：（1）22()()-=-x y y x ；（2）把+mx ny 提公因式；（3）()--=-y x x y 。

问题4：提取公因式5535+x ，分解因式再解方程。

（三）课堂反思1.本节课你学习了哪些方法？2.本节课应用了转化的数学思想：公因式为多项式的分解因式问题 公因式为单项式的分解因式问题（四）布置作业《课外巩固—评价单》《2.2提公因式法（2）》课前导读—评价单班级 姓名 组别（一）学习目标：1.掌握公因式是多项式时的分解因式；2.掌握用提公因式法分解因式的方法。

（二）学习流程：1.做一做：请在下列等号右边的括号前填入“＋”或“－”，使等式成立。

（1）2-=a (2)-a （2）-=y x ()-x y（3）+=b a ()+a b （4）2()-=b a 2()-a b（5）--=m n ()+m n （6）22-+=s t （22-s t ）2.你能找出下列多项式的公因式吗？公因式是单项式还是多项式？（1）()()+++x a b y a b （2）3()()---a x y x y（3）236()12()+-+p q q p （4）2()()()+--+x y x y x y3.把下列各式分解因式：（1）()()+++x a b y a b （2）3()()---a x y x y（3）236()12()+-+p q q p （4）2()()()+--+x y x y x y（5）22()3()-+-y x x y （6）2()()---mn m n m n m由2、3题可以看出，提公因式法分解因式时，公因式不仅可以是单项式，还可以是 项式。

数学初二下北师大版2.2提公因式法导学案2学习目标：会用提公因式法把多项式分解因式〔公因式是多项式〕.学习过程：【一】学习预备：请在以下各式等号右边的括号前填入“+”或“-”，使等式成立：〔1〕2-a=〔a-2〕；〔2〕y-x=〔x-y〕；〔3〕b+a=〔a+b〕；〔4〕-m-n=〔m+n〕；〔5〕-s2+t2=〔s2-t2〕；〔6〕〔b-a〕2=〔a-b〕2.你发明了什么规律？与同伴交流.【二】学习新课：例2把a〔x-3〕+2b〔x-3〕分解因式.解：a〔x-3〕+2b〔x-3〕=〔x-3〕〔a+2b〕.注意：此处应引导学生把〔x-3〕看成一个整体，从而解决公因式是多项式的情况.例3把以下各式分解因式：（1）a〔x-y〕+b〔y-x〕；〔2〕6〔m-n〕3-12〔n-m〕2.解：〔1〕a〔x-y〕+b〔y-x〕=a〔x-y〕-b〔x-y〕=〔x-y〕〔a-b〕；〔2〕6〔m-n〕3-12〔n-m〕2=6〔m-n〕3-12[-〔m-n〕]2=6〔m-n〕3-12〔m-n〕2=6〔m-n〕2〔m-n-2〕.注意：教学时要引导学生正确理解〔x-y〕与〔y-x〕，〔n-m〕2与〔m-n〕2的关系.进一步解决符号问题.【三】巩固练习：A组.1.把以下各式分解因式：（1）x〔a+b〕+y〔a+b〕；（2）3a〔x-y〕-〔x-y〕；（3）2〔y-x〕2+3〔x-y〕；（4）3〔a-b〕2+6〔b-a〕；（5）x〔x-y〕2-y〔y-x〕2；（6）18〔a-b〕3-12b〔b-a〕2；（7）m〔a2+b2〕+n〔a2+b2〕；（8）x〔x+y〕〔x-y〕-x〔x+y〕2.B组.先分解因式，再计算求值：（1）4x〔m-2〕-3x〔m-2〕，其中x=1.5，m=6；〔2〕〔a-2〕2-6〔2-a〕，其中a=-2.【四】小结：通过本节课的学习，你有什么收获？需要注意什么问题？【五】作业：课本123页练习1六、欢乐达标：A.(1)a(x-2)+2(2-x)(2)3(x+y)-m(y+x)(3)18(x-y)2-21a(y-x)B.(1)m(x-y)-n(y-x)(2)2(m+n)+x(n+m)(3)mn(x-y)2-m(y-x)。

提公因式法（一） 主备人 樊勇教学目的：能提取公因式为单项式的式子引入：计算：（1）2976971397⨯+⨯-⨯（2）多项式2x 2y +6x 3y 2中各项的公因式是什么？结论：（1）各项系数是整数，系数的最大公约数是公因式的系数；（2）各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分； （3）公因式的系数与公因式字母部分的积是这个多项式的公因式．例题1 将以下多项式写成几个因式的乘积的形式：（1）ab+ac （2）x 2+4x （3）mb 2+nb –b 练习 将下列多项式进行分解因式：（1）3x +6 （2）7x 2–21x （3）8a 3b 2–12ab 3c +ab （4）–24x 3–12x 2+28x 归纳：提取公因式的步骤： （1）找公因式； （2）提公因式． 易出现的问题：（1）第（3）题中的最后一项提出ab 后，漏掉了“+1”； （2）第（4）题提出“–”时，后面的因式不是每一项都变号． 矫正对策：（1）因式分解后括号内的多项式的项数与原多项式的项数是否相同； （2）如果多项式的第一项带“–”，则先提取“–”号，然后提取其它公因式； （3）将分解因式后的式子再进行单项式与多项式相乘，其积是否与原式相等． 反馈练习1、找出下列各多项式的公因式：（1）4x +8y （2）am+an （3）48mn –24m 2n 3 （4）a 2b –2ab 2+ab 2、将下列多项式进行分解因式：（1）8x –72 （2）a 2b –5ab （3）4m 3–8m 2 （4）a 2b –2ab 2+ab （5）–48mn –24m 2n 3（6）–2x 2y +4xy 2–2xy提公因式法（二） 主备人 樊勇本节知识点： 能观察出公因式是多项式的情况，并能合理地进行分解因式 知识点1公因式公因式的定义:多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。

如（a+b ）就是多项式(a+b)d+(a+b)c 各项的公因式。

1.2.1 提公因式法(1) 导学案1. 引入在学习代数表达式的化简过程中，我们已经学习了合并同类项的方法，即将具有相同字母因式的项合并在一起。

但是，在实际的运算过程中，我们还经常需要对一个代数表达式进行因式分解，即将一个多项式表达式写成一些因式的乘积的形式。

这就是提公因式法的基本思想。

2. 提出问题假设我们有一个代数表达式 3a + 3b，我们能否将其写成一个因式的乘积的形式，即 3(a + b)？是的，我们可以通过提公因式的方法，将这个代数表达式进行因式分解。

3. 提公因式法的步骤提公因式法是将多个代数表达式中的公因式提取出来，从而将原来的多项式表达式写成一个因式的乘积的形式。

下面是提公因式法的步骤：步骤1：观察给定的多项式表达式，找出所有项中的公因式。

步骤2：将这些项中的公因式提取出来，并用公因式乘上一个括号。

步骤3：将每个括号内的剩余部分相加，构成提取公因式后的表达式。

4. 提公因式法的示例示例 1：对于代数表达式 3x + 3y，我们可以观察到它们有一个公因式为3。

因此，我们可以将其进行因式分解，得到 3(x + y)。

示例 2：对于代数表达式 2a^2b + 4ab，我们可以观察到它们有一个公因式为2ab。

因此，我们可以将其进行因式分解，得到 2ab(a + 2)。

示例 3：对于代数表达式 5x^2 + 10xy + 15x，我们可以观察到它们有一个公因式为5x。

因此，我们可以将其进行因式分解，得到 5x(x + 2y + 3)。

5. 提公因式法的注意事项在使用提公因式法时，需要注意以下几点：•观察给定的多项式表达式，找出所有项中的公因式。

•将公因式提取出来，并用公因式乘上一个括号。

•将每个括号内的剩余部分相加，构成提取公因式后的表达式。

•当多项式中有不同字母的因式时，需要将不同字母的公因式单独提取。

6. 总结通过提公因式法，我们可以将多项式表达式写成一个因式的乘积的形式，从而简化运算过程。

4.2 提公因式法第1课时直接提公因式因式分解学习目标：1. 了解公因式的意义，并能准确确实定一个多项式各项的公因式；2. 掌握因式分解的概念，会用提公因式法把多项式分解因式.3．进一步了解分解因式的意义，加强学生的直觉思维并渗透化归的思想方法学习重点：能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来.学习难点：正确识别多项式的公因式.预习作业1、一个多项式各项都含有 ____________因式，叫做这个多项式各项的___________2、公因式是各项系数的________________与各项都含有的字母的__________的积。

3、如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个__________提出来，从而将这个多项式化成两个因式的乘积形式，这种分解因式的方法叫做______________4、把首项系数变为正数。

〔1〕—〔〕〔2〕—〔〕〔3〕—〔〕例1、确定以下各题中的公因式：〔1〕，，〔2〕，〔3〕，例2、用提公因式法分解因式〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕例3、利用分解因式简化计算：例4、如果，求的值变式训练：1．分解因式：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕拓展训练：1．利用分解因式计算：2. 多项式可分解为，求，值3．证明：能被整除。

4计算：提公因式法小结：1、当首项系数为负时，一般要提出负号，使剩下的括号中的第一项的系数为正，括号内其余各项都应注意改变负号。

2、公因式的系数取多项式中各项系数的最大公约数，公因式的字母取各项相同字母的最低次幂的积。

3、提取公因式分解因式的依据就是乘法分配律的逆用4、当把某项全部提出来后余下的系数是1，不是0〔提公因式后括号内多项式的项数与原多项式的项数一致〕第12章乘法公式与因式分解12.1 平方差公式一、导入激学灰太狼开了租地公司，一天他把一边为a米的正方形土地租给慢羊羊种植。

有一年狡猾的他对慢羊羊说：“我把这块地的一边减少5米，另一边增加5米，再继续租给你，你也没吃亏，你看如何？〞慢羊羊一听觉得没有吃亏，就容许了。

14.3.1 提公因式法（导学案）•2022-2023学年八年级上册初二数学（人教版）导学目标•了解提公因式法的定义和基本步骤；•学会通过提公因式法将多项式进行因式分解；•能够应用提公因式法解决实际问题。

导学内容一、回顾因式分解的基本概念在上一节中，我们学习了因式分解的基本概念，即将一个多项式表达式表示为几个因子的乘积形式。

因式分解是解方程、求解问题以及简化计算等数学问题的重要基础。

二、提公因式法的定义提公因式法是一种将多项式进行因式分解的方法。

它的基本思想是找出多项式中可以被多个项整除的公因式，并将其提取出来，形成一个因子，而原多项式就可以表示成两个因子的乘积形式。

三、提公因式法的基本步骤1.对于给定的多项式，首先观察其中是否存在可以整除的公因式；2.找出公因式后，将其提取出来，并用括号括起来；3.将原多项式除以公因式得到一个较简单的余式；4.将提取出的公因式和余式相乘，得到原多项式的因式分解式。

四、应用提公因式法进行因式分解在应用提公因式法进行因式分解时，我们需要注意以下几个方面： - 观察多项式中是否存在可以整除的公因式，如常数因子、共同的变量因子等； - 若多项式中存在可以整除的公因式，则将其提取出来，并用括号括起来； - 对于提取出的公因式，可以使用平方差公式、差平方公式等进行进一步分解。

五、例题解析1.对以下多项式进行因式分解：2x2+6x+4。

解析：首先观察多项式各项之间是否存在公因式，发现它们都可以被2整除，因此，可以提取公因式2：2(x2+3x+2)；然后，对括号内的三项进行进一步分解，发现它们无法进行因式分解；最终，该多项式的因式分解形式为2(x2+3x+2)。

2.对以下多项式进行因式分解：3x3−9x2+6x。

解析：首先观察多项式各项之间是否存在公因式，发现它们都可以被3和x整除，因此，可以提取公因式3x：3x(x2−3x+2)；然后，对括号内的三项进行进一步分解，发现它们无法进行因式分解；最终，该多项式的因式分解形式为3x(x2−3x+2)。