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2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算1．平行向量基本定理 (1)平行向量基本定理：如果a ＝λb ，则a ∥b ；反之，如果a ∥b ，且b ≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使a ＝λb .(2)单位向量：给定一个非零向量a ，与a 同方向且长度等于1的向量，叫做向量a 的单位向量，如果a 的单位向量记作a 0，由数乘向量的定义可知：a ＝|a |a 0或a 0＝a|a |.2．轴上向量的坐标及其运算(1)规定了方向和长度单位的直线叫做轴．已知轴l ，取单位向量e ，使e 的方向与l 同方向．根据向量平行的条件，对轴上任意向量a ，一定存在唯一实数x ，使a ＝x e .反过来，任意给定一个实数x ，我们总能作一个向量a ＝x e ，使它的长度等于这个实数x 的绝对值，方向与实数的符号一致．单位向量e 叫做轴l 的基向量，x 叫做a 在l 上的坐标(或数量)．(2)x 的绝对值等于a 的长，当a 与e 同方向时，x 是正数，当a 与e 反方向时，x 是负数．实数与轴上的向量建立起一一对应关系．(3)向量相等与两个向量的和：设a ＝x 1e ，b ＝x 2e ，于是：如果a ＝b ，则x 1＝x 2；反之，如果x 1＝x 2，则a ＝b ；另外，a ＋b ＝(x 1＋x 2)e ，这就是说，轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等；轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和．(4)向量AB →的坐标常用AB 表示，则AB →＝AB e .AB →表示向量，而AB 表示数量，且有AB ＋BA ＝0.(5)轴上向量的坐标：在数轴x 上，已知点A 的坐标为x 1，点B 的坐标为x 2，则AB ＝x 2－x 1，即轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．(6)数轴上两点的距离公式：在数轴x 上，点A 的坐标为x 1，点B 的坐标为x 2，则|AB |＝|x 2－x 1|.思考：在平行向量基本定理中，为什么要求b ≠0?[提示] 若b ＝0，则0∥a ，但是λ0＝0，从而a ＝λb 中的实数λ具有不确定性，进而不能说存在唯一一个实数λ，使得a ＝λb .1．数轴上点A ，B ，C 的坐标分别为－1,1,5，则下列结论错误的是( ) A.AB →的坐标是2 B.CA →＝－3AB → C.CB →的坐标是4D.BC →＝2AB →C [CB →的坐标为1－5＝－4，故C 项不正确．故选C.] 2．以下选项中，a 与b 不一定共线的是( ) A ．a ＝5e 1－e 2，b ＝2e 2－10e 1 B ．a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2C ．a ＝e 1－2e 2，b ＝e 2－2e 1D ．a ＝3e 1－3e 2，b ＝－2e 1＋2e 2C [选项A ，b ＝－2a ；选项B ，b ＝14a ；选项D ，b ＝－23a .只有选项C 中a 与b 不共线．]3．设e 1，e 2不共线，b ＝e 1＋λe 2与a ＝2e 1－e 2共线，则λ＝________. －12[由题意可得存在实数k ，使得b ＝k a ，则 e 1＋λe 2＝2k e 1－k e 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧2k ＝1λ＝－k ⇒⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，λ＝－12.](1)若AC ＝5，求c 的值； (2)若|BD |＝6，求d 的值；(3)若AC →＝－3AD →，求证：3CD →＝－4AC →.[思路探究] 据条件表示出两点所对应的向量的坐标，然后求解． [解] (1)∵AC ＝5， ∴c －(－4)＝5，∴c ＝1.(2)∵|BD |＝6，∴|d －(－2)|＝6， 即d ＋2＝6或d ＋2＝－6， ∴d ＝4或d ＝－8.(3)证明：因为CD →＝CA →＋AD →＝－AC →＋AD →， 而AC →＝－3AD →，所以CD →＝－(－3AD →)＋AD →＝4AD →， 所以3CD →＝12AD →，又－4AC →＝－4×(－3AD →)＝12AD →， 故3CD →＝－4AC →.正确理解和运用轴上向量的坐标及长度计算公式是学习其他向量计算的基础；解答本题首先利用数轴上点的坐标，计算出两点所对应向量的坐标，特别要注意向量坐标运算公式的顺序，还要注意模运算中可能会出现的两种情形.1．已知数轴上A ，B 两点的坐标为x 1，x 2，求AB →，BA →的坐标和长度． (1)x 1＝2，x 2＝－5.3；(2)x 1＝10，x 2＝20.5. [解] (1)∵x 1＝2，x 2＝－5.3，∴AB ＝－5.3－2＝－7.3，BA ＝2－(－5.3)＝7.3. ∴|AB →|＝7.3，|BA →|＝7.3. (2)同理AB ＝10.5，BA ＝－10.5. |AB →|＝10.5，|BA →|＝10.5.[思路探究] 解题时首先结合图形与所证问题，把几何条件转化为向量条件，然后利用向量的线性运算与平行向量基本定理求证．[证明] 延长EF 到M ，使EF ＝FM ，连接CM ，BM ，EC ，EB ，得ECMB ， 由平形四边形法则得 EF →＝12EM →＝12(EB →＋EC →)．由于AB ∥DC ，所以AB →，DC →共线且同向，根据平行向量基本定理，存在正实数λ，使AB →＝λDC →.由三角形法则得EB →＝EA →＋AB →，EC →＝ED →＋DC →且ED →＋EA →＝0， ∴EF →＝12(EB →＋EC →)＝12(EA →＋AB →＋ED →＋DC →)＝12(AB →＋DC →)＝1＋λ2DC →， ∴EF →∥DC →.由于E ，D 不共点，∴EF ∥DC ∥AB .1．用平行向量基本定理证明直线平行或三点共线时，关键是把一个向量用有关向量线性表示，同时有机地结合向量的线性运算及图形完成证明．2．用向量法证明几何问题的一般步骤是：首先用向量表示几何关系，然后进行向量运算，得到新的适合题目要求的向量关系，最后将向量关系还原为几何关系．2．已知e ，f 为两个不共线的向量，若四边形ABCD 满足AB →＝e ＋2f ，BC →＝－4e －f ，CD →＝－5e －3f .(1)将AD →用e ，f 表示； (2)证明四边形ABCD 为梯形．[解] (1)根据向量求和的多边形法则，有AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(e ＋2f )＋(－4e －f )＋(－5e －3f )＝(1－4－5)e ＋(2－1－3)f ＝－8e －2f .(2)证明：因为AD →＝－8e －2f ＝2(－4e －f )＝2BC →，即AD →＝2BC →.所以AD →∥BC →，且AD →的长度为BC →的长度的2倍，所以在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ≠BC ，所以四边形ABCD 为梯形.1.在平行向量基本定理中，为什么要求“b ≠0”？[提示] 若b ＝0，则λ不唯一，另外b 相对于a 而言是一个度量标准，度量标准不能为0.2．如何证明A 、B 、C 三点共线？[提示] 只需构造两个向量AB →，AC →，并证明AB →＝λAC →即可．【例3】 如图所示，已知在ABCD 中，点M 为AB 的中点，点N 在BD 上，且3BN ＝BD .求证：M ，N ，C 三点共线．[思路探究] 利用向量的运算法则将MC →，MN →两向量分别用AB →，AD →表示出来，再利用平行向量基本定理判定MC →，MN →共线，从而证明M ，N ，C 三点共线．[证明] 设AB →＝a ，AD →＝b ， 则BD →＝BA →＋AD →＝－a ＋b ， BN →＝13BD →＝－13a ＋13b ， MB →＝12a ，BC →＝AD →＝b ，∴MC →＝MB →＋BC →＝12a ＋b ，MN →＝MB →＋BN →＝12a －13a ＋13b＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b ，∴MN →＝13MC →，∴MN →∥MC →，又M 为公共点， ∴M 、N 、C 三点共线．平行向量基本定理的两个方面的应用：(1)一个向量可以由另一个向量线性表示，则可以判定两向量平行，进而证明三点共线，三角形相似，两线段平行以及用来判断图形的形状等．(2)若两向量平行，则一个向量可以由另一个非零向量线性表示，可以用来求参数，它是轴上向量坐标化的依据．3．设两个非零向量e 1，e 2不共线，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2.问：是否存在实数k ，使得A ，B ，D 三点共线，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．[解] 设存在k ∈R ，使得A ，B ，D 三点共线，∵DB →＝CB →－CD →＝(e 1＋3e 2)－(2e 1－e 2)＝－e 1＋4e 2. 又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →＝λDB →， ∴2e 1＋k e 2＝λ(－e 1＋4e 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝－λ，k ＝4λ，∴k ＝－8，所以存在k ＝－8，使得A ，B ，D 三点共线．(教师用书独具)1．向量共线定理的两个作用(1)证明线段平行，但要注意向量共线时，两向量所在的线段可能平行，也可能共线． (2)证明点共线，当两向量共线，且有公共点时，则表示向量的线段必在同一条直线上，从而向量的起点、终点必共线．2．证明三点共线的等价命题向量共线定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通常转化为向量共线问题．如图A 、B 、C 三点共线，则AB →＝λAC →，任取直线AC 外一点P ，则PB →－PA →＝λ(PC →－PA →)，所以PB →＝λPC →＋(1－λ)PA →，由此可推出三点共线的等价命题：A 、B 、C 三点共线等价于PB →＝λPC →＋μPA →(λ、μ∈R 且λ＋μ＝1).1．设e 1，e 2是两个单位向量，则下列结论中正确的是( ) A ．e 1＝e 2 B ．e 1∥e 2 C ．|e 1|＝|e 2|D ．以上都不对C [单位向量的模都等于1个单位，故C 项正确．]2.如图所示，已知OA →′＝3OA →，A ′B ′→＝3AB →，则向量OB →与OB ′→的关系为( ) A ．共线 B ．同向 C ．共线且同向D ．共线、同向，且OB ′→的长度是OB →的3倍 D [由题意，知OA OA ′＝AB A ′B ′，∴AB ∥A ′B ′，∴OB OB ′＝OA OA ′＝13，∴OB ′→＝3OB →，故选D.] 3．设a ，b 是两个不共线的向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b .若A 、B 、D 三点共线，则实数p 的值是________．－1 [∵A 、B 、D 三点共线， ∴存在实数λ使AB →＝λBD →，又BD →＝BC →＋CD →＝2a －b ，AB →＝2a ＋p b ， ∴2a ＋p b ＝λ(2a －b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝2λ，p ＝－λ，∴p ＝－1.]4.如图，ABCD 为一个四边形，E ，F ，G ，H 分别为BD ，AB ，AC 和CD 的中点，求证：四边形EFGH 为平行四边形．[证明] ∵F ，G 分别是AB ，AC 的中点， ∴FG →＝12BC →.同理，EH →＝12BC →.∴FG →＝EH →. 同理EF →＝HG →.∴四边形EFGH 为平行四边形．。
向量的线性运算2．1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算预习课本P90～93，思考并完成以下问题(1)平行向量基本定理是怎样表述的？(2)轴上向量的坐标是怎样表示的？(3)轴上向量的坐标运算法则是什么？[新知初探]1．平行向量基本定理(1)平行向量基本定理如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使得a ＝λb.(2)单位向量．给定一个非零向量a，与a同方向且长度等于1的向量，叫做向量a的单位向量，如果a的单位向量记作a0，则a＝|a|a0或a0＝a |a|.[点睛]对定理两个方面的说明(1)第一个方面“若a＝λb，则a∥b”中没有b≠0的要求，当b＝0时a＝0对任意的实数λ都能使a∥b.(2)第二方面“若a∥b且b≠0，则存在唯一一个实数λ使a＝λb”中必须有b≠0，否则a ＝0时λ不唯一，a≠0时，λ不存在．2．轴上向量的坐标及其运算(1)轴上向量的坐标(2)轴上向量的坐标运算|AB [点睛]AB是一个向量，既有大小，也有方向．而AB表示AB的坐标，它是一个实数．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平行向量基本定理，条件b≠0可以去掉．()(2)若|a|－|b|＝|a－b|，则a与b是共线向量．()(3)若a与b共线，则存在唯一实数λ，使b＝λa成立．答案：(1)×(2)√(3)×2．数轴上三点A，B，C的坐标分别为－1,2,5，则()A．AB＝－3B．BC＝3C．AC＝6 D．AB＝3 答案：B3．在四边形ABCD中，若AB＝－12CD，则此四边形是()A．平行四边形B．菱形C．梯形D．矩形答案：C4．已知A，B，C三点在数轴上，且点B的坐标x B＝3，AB＝5，AC＝2，则点C的坐标为________．答案：0轴上向量的坐标运算[典例]已知数轴上A，B两点的坐标为x1，x2，根据下列题中的已知条件，求点A的坐标x1.(1)x2＝－5，BA＝－3；(2)x2＝－1，|AB|＝2.[解](1)因为BA＝x1－(－5)＝－3，所以x1＝－8.(2)因为|AB|＝|－1－x1|＝2，所以x1＝1或x1＝－3.轴上向量的坐标及长度计算的方法(1)轴上向量的坐标的求法：先求出(或寻找已知)相应点的坐标，再计算向量的坐标．(2)轴上向量的长度的求法：先求出向量的坐标，再计算该向量的长度．[活学活用]已知数轴上三点A，B，C的坐标分别是－8，－3,7，求AB，BC，CA的坐标和长度．解：AB＝(－3)－(－8)＝5，|AB|＝|5|＝5；BC＝7－(－3)＝10，|BC|＝|10|＝10；CA＝(－8)－7＝－15，|CA|＝|－15|＝15.共线向量定理的应用题点一：判断或证明点共线1．已知两个非零向量a 与b 不共线，AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线．证明：∵AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )，∴BD ＝BC ＋CD ＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB . ∴AB ，BD 共线，又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． 题点二：利用向量共线确定参数2．设两个不共线的向量e 1，e 2，若a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，c ＝2e 1－9e 2，问是否存在实数λ，μ，使d ＝λa ＋μb 与c 共线？解：d ＝λ(2e 1－3e 2)＋μ(2e 1＋3e 2)＝(2λ＋2μ)e 1＋(3μ－3λ)e 2， 要使d 与c 共线，则存在实数k ，使得d ＝kc ， 即(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2＝2ke 1－9ke 2.由⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋2μ＝2k ，－3λ＋3μ＝－9k ，得λ＝－2μ. 故存在实数λ和μ，使得d 与c 共线，此时λ＝－2μ. 题点三：几何图形形状的判定3．如图所示，正三角形ABC 的边长为15，AP ＝13AB ＋25AC ，BQ ＝15AB ＋25AC . 求证：四边形APQB 为梯形．证明：因为PQ ＝PA ＋AB ＋BQ ＝－13AB －25AC ＋AB ＋15AB ＋25AC ＝1315AB ，所以PQ ∥AB .又|AB |＝15，所以|PQ |＝13，故|PQ |≠|AB |，于是四边形APQB 为梯形．用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路(1)若b ＝λa (a ≠0)，且b 与a 所在的直线无公共点，则这两条直线平行；(2)若b ＝λa (a ≠0)，且b 与a 所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若向量AB＝λAC ，则AB ，AC 共线，又AB 与AC 有公共点A ，从而A ，B ，C 三点共线，这是证明三点共线的重要方法．层级一 学业水平达标1．已知数轴上两点M ，N ，且|MN |＝4.若x M ＝－3，则x N 等于( ) A ．1 B ．2 C ．－7D ．1或－7解析：选D |MN |＝|x N －(－3)|＝4， ∴x N －(－3)＝±4，即x N ＝1或－7.2．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为边BC 的中点，且2OA ＋OB ＋OC ＝0，则( )A ．AO ＝ODB ．AO ＝2ODC ．AO ＝3ODD ．2AO ＝OD解析：选A ∵在△ABC 中，D 为边BC 的中点，∴OB ＋OC ＝2OD ，∴2(OA ＋OD )＝0，即OA ＋OD ＝0，从而AO ＝OD .3．点P 满足向量OP ＝2OA －OB ，则点P 与AB 的位置关系是( ) A ．点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段AB 的延长线上 C ．点P 在线段AB 的反向延长线上 D ．点P 在直线AB 外解析：选C ∵OP ＝2OA －OB ，∴OP －OA ＝OA －OB ， ∴AP ＝BA ，∴点P 在线段AB 的反向延长线上，故选C.4．在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP ＝23CA ＋13CB ，又AP ＝t AB ，则t 的值为( )A.13 B.23 C.12D.53解析：选A 由题意可得AP ＝CP －CA ＝23CA ＋13CB －CA ＝13(CB －CA )＝13AB ，又AP ＝t AB ，∴t ＝13.5．设e 1，e 2不共线，b ＝e 1＋λe 2与a ＝2e 1－e 2共线，则实数λ的值为( ) A.12 B ．－12C ．1D ．－1解析：选B 设a ＝kb (k ∈R)， 则2e 1－e 2＝ke 1＋kλe 2.∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，kλ＝－1，∴λ＝－12.6．在数轴x 上，已知OA ＝－3e (e 为x 轴上的单位向量)，且点B 的坐标为3，则向量AB ―→的坐标为________．解析：由OA ＝－3e ，得点A 的坐标为－3， 则AB ＝3－(－3)＝6，即AB 的坐标为6. 答案：67．下列向量中a ，b 共线的有________(填序号)． ①a ＝2e ，b ＝－2e ；②a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2； ③a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2；④a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2.解析：①中，a ＝－b ；②中，b ＝－2e 1＋2e 2＝－2(e 1－e 2)＝－2a ；③中，a ＝4e 1－25e 2＝4⎝⎛⎭⎫e 1－110e 2＝4b ；④中，当e 1，e 2不共线时，a ≠λb .故填①②③. 答案：①②③8．已知M ，P ，N 三点在数轴上，且点P 的坐标是5，MP ＝2，MN ＝8，则点N 的坐标为________．解析：设点M ，N 的坐标分别为x 1，x 2，∵点P 的坐标是5，MP ＝2，MN ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5－x 1＝2，x 2－x 1＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3，x 2＝11.故点N 的坐标为11. 答案：119．已知数轴上A ，B ，C 三点．(1)若AB ＝2，BC ＝3，求向量AC ―→的坐标； (2)若AB ＝BC ，求证：B 是AC 的中点．解：(1)AC ＝AB ＋BC ＝5，即向量AC ―→的坐标为5. (2)∵AB ＝BC ，∴b －a ＝c －b ， ∴b ＝a ＋c 2，故B 是AC 的中点．10．已知：在四边形ABCD 中，AB ＝a ＋2b ，BC ＝－4a －b ，CD ＝－5a －3b ，求证：四边形ABCD 为梯形．证明：如图所示．∵AD ＝AB ＋BC ＋CD ＝(a ＋2b )＋(－4a －b )＋(－5a －3b ) ＝－8a －2b ＝2(－4a －b )， ∴AD ＝2BC .∴AD 与BC 共线，且|AD |＝2|BC |. 又∵这两个向量所在的直线不重合， ∴AD ∥BC ，且AD ＝2BC .∴四边形ABCD 是以AD ，BC 为两条底边的梯形．层级二 应试能力达标1．已知向量AB ＝a ＋3b ，BC ＝5a ＋3b ，CD ＝－3a ＋3b ，则( ) A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线D ．B ，C ，D 三点共线解析：选B BD ＝BC ＋CD ＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b )＝2AB ，由于BD 与AB 有公共点B ，因此A ，B ，D 三点共线．2．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线交DC 于点F ，若AB ＝a ，AD ＝b ，则AF ＝( )A.13a ＋b B.12a ＋bC ．a ＋13bD ．a ＋12b解析：选A 由已知条件可知BE ＝3DE ，∴DF ＝13AB ，∴AF ＝AD ＋DF ＝AD ＋13AB ＝13a ＋b .3．已知向量a ，b 不共线，若AB ＝λ1a ＋b ，AC ＝a ＋λ2b ，且A ，B ，C 三点共线，则关于实数λ1，λ2一定成立的关系式为( )A ．λ1＝λ2＝1B ．λ1＝λ2＝－1C ．λ1λ2＝1D ．λ1＋λ2＝1解析：选C ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ＝k AC (k ≠0)． ∴λ1a ＋b ＝k (a ＋λ2b )＝ka ＋kλ2b . 又∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝k ，1＝kλ2，∴λ1λ2＝1. 4．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P 满足PA ＋PB ＋PC ＝0，若实数λ满足AB ＋AC ＝λAP ，则λ的值为( )A ．2 B.32C ．3D ．6解析：选C 如图，取BC 的中点为D ，则PB ＋PC ＝2PD . 又PA ＋PB ＋PC ＝0，∴2PD ＝－PA ，∴A 、P 、D 三点共线且|PA |＝2|PD |， ∴AP ＝23AD .又∵AB ＋AP ＝2AD ，∴AB ＋AP ＝3AP ，即λ＝3.5．已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且向量ma －3b 与a ＋(2－m )b 共线，则实数m 的值为________．解析：因为向量ma －3b 与a ＋(2－m )b 共线且向量a ，b 是两个不共线的向量，所以存在实数λ，使得ma －3b ＝λ[a ＋(2－m )b ]，即(m －λ)a ＋(mλ－2λ－3)b ＝0，因为a 与b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝λ，mλ－2λ－3＝0，解得m ＝－1或m ＝3. 答案：－1或36．设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量ke 1＋2e 2与8e 1＋ke 2方向相反，则k ＝______. 解析：∵ke 1＋2e 2与8e 1＋ke 2共线， ∴ke 1＋2e 2＝λ(8e 1＋ke 2)＝8λe 1＋λke 2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝8λ，2＝λk ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝12，k ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，k ＝－4.∵ke 1＋2e 2与8e 1＋ke 2反向， ∴λ＝－12，k ＝－4.答案：－47．已知数轴上四点A ，B ，C ，D 的坐标分别是－4，－2，c ，d . (1)若AC ＝5，求c 的值； (2)若|BD |＝6，求d 的值；(3)若AC ＝－3AD ，求证：3CD ＝－4AC . 解：(1)∵AC ＝5，∴c －(－4)＝5，∴c ＝1. (2)∵|BD |＝6，∴|d －(－2)|＝6， 即d ＋2＝6或d ＋2＝－6， ∴d ＝4或d ＝－8.(3)证明：∵AC ＝c ＋4，AD ＝d ＋4，又AC ＝－3AD ，∴c ＋4＝－3(d ＋4)，即c ＝－3d －16. 3CD ＝3(d －c )＝3d －3c ＝3d －3(－3d －16)＝12d ＋48， －4AC ＝－4c －16＝－4(－3d －16)－16＝12d ＋48， ∴3CD ＝－4AC .8.如图，已知△OCB 中，点A 是BC 的中点，D 是将OB 分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA ＝a ，OB ＝b .(1)用a ，b 表示向量 OC ，DC ； (2)若OE ＝λOA ，求λ的值．解：(1)由A 是BC 的中点，则有OA ＝12(OB ＋OC )，从而OC ＝2OA －OB ＝2a －b .由D 是将OB 分成2∶1的一个内分点，得OD ＝23OB ，从而DC ＝OC －OD ＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .(2)由于C ，E ，D 三点共线，则EC ＝μDC ， 又EC ＝OC －OE ＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，DC ＝2a －53b ，从而(2－λ)a －b ＝μ⎝⎛⎭⎫2a －53b ， 又a ，b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧2－λ＝2μ，1＝53μ，解得λ＝45.。
人教版高中必修4(B版)2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算课程设计一、前言向量是高中数学必修内容中的一个重要部分，向量的概念和运算是高中数学必修内容中比较难理解的地方。
本课程设计主要针对人教版高中必修4(B版)2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算这一知识点，旨在帮助学生深刻理解向量共线的定义、性质和判定方法，掌握轴上向量坐标运算的基本方法和技巧，提高学生的向量计算能力和解题能力。
二、课程设计1. 教学目标本课程的教学目标是：1.确定向量共线的定义和性质；2.掌握向量共线的判定方法；3.理解轴上向量坐标运算的原理和方法；4.掌握轴上向量坐标运算的基本技巧；5.训练学生的解题能力和计算能力。
2. 教学重点和难点本课程的教学重点是向量共线的判定方法和轴上向量的坐标运算，教学难点是在解决向量共线问题中如何确定比例系数和在轴上向量坐标运算中如何运用数学模型。
3. 教学过程设计3.1 热身（5分钟）提出一个简单的问题，如：如果两个向量的方向相同，它们一定共线吗？为什么？通过让学生思考回答问题来引出向量共线的定义和性质。
3.2 概念讲解与示例分析（15分钟）1.向量共线的定义：如果存在实数k，使得两个向量的坐标分别为(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)，且满足x2=kx1，y2=ky1，z2=kz1，则称这两个向量共线。
2.向量共线的性质：如果两个向量共线，则它们的方向相同或相反。
3.向量共线的判定方法：两个向量a、b共线的条件是a×b=0，其中“×”表示向量的叉乘。
4.轴上向量坐标运算的原理：在同一直线上的向量可以用其在该直线上的投影来表示。
5.轴上向量坐标运算的方法：设n为直线的方向向量，m为待求向量，则m在n上的投影为m∙n/|n|^2，其中“∙”表示向量的点乘，|n|表示向量n的模长。
在讲解每个概念和方法的时候，可以结合具体的例子，让学生更好地理解与记忆。
3.3 练习与解答（20分钟）让学生通过课本或其他练习题，分别练习向量共线的判定和轴上向量坐标运算的计算，帮助他们巩固所掌握的知识。
