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高中数学必修4平面向量 向量的数乘精品PPT课件

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高中数学 平面向量数乘运算及其几何意义课件 新人教A版必修4

高中数学 平面向量数乘运算及其几何意义课件 新人教A版必修4
规定如下：
（1）|a||||a|;
（2）当 0时， a 的方向与 a 的方向相同；
当 0时， a 的方向与 a 的方向相反。
特别的，当 0 时，a 0.
练一练: 课本P90,练习2,3
探究 (1) 根据定义，求作向量3(2a)和(6a)
2： (a为非零向量)，并进行比较。
(2) 已知向量 a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b
思考:1) a 为什么要是非零向量?
2) b 可以是零向量吗?
练一练: 课本P90,练习4
例2 如图，已知AD=3AB，DE=3BC，
试判断AC与AE是否共线。
E
C
解： A EA D DE A
B
3AB3BC
3A BBC
D
3AC
∴ AC 与 AE 共线．
例3.如图，已知任意两个向量 a、b ，试作OAab,
A,B,C三点共线
AB=λCD AB∥CD AB与CD不在同一直线上
直线AB∥直线CD
运算，对于任意向量a、 b以及任意实数、1、2，
恒有（1a2b） =1a2b
例1、计算下列各式
(1) (3)4a
12a
( 2 ) 3 ( a b ) 2 ( a b ) a 5b
( 3 )2 a ( 3 b c ) ( 3 a 2 b c )
a 5b 2c
O B a 2 b ,O C a 3 b .你能判断A、B、C三点之
间的位置关系吗？为什么？
C
a
b
3b
B
2b
A
b a
O
总结:
证明三点共线的方法:
AB=λBC
且有公共点Ｂ
练习:

高B数学必修四课件数乘向量

高B数学必修四课件数乘向量

02
平面向量基本定理与坐标表示
平面向量基本定理内容
向量的线性组合
任意两个不共线的向量都可以作 为平面内所有向量的基底，其他 向量都可以由这两个向量线性组 合得到。
唯一性定理
对于平面内任意一点O和任意两 个不共线的向量a、b，若向量OP 可以表示为xa+yb（x、y为实数 ），则这样的表示是唯一的。
数因子提取
对于任意实数λ和向量a、 b，若a=b，则λa=λb。
几何意义与物理应用
几何意义
数乘向量在几何上表现为向量的长度伸缩和方向变化。当实数因子大于1时，向量长度伸长；当实数因子小于1时 ，向量长度缩短；当实数因子等于0时，得到零向量。
物理应用
在物理学中，数乘向量常用来表示力、速度、加速度等物理量的方向和大小。例如，一个物体受到多个力的作用 时，可以通过数乘向量将各个力合成一个合力。同时，在解决物理问题时，数乘向量的运算性质也常被用来简化 计算过程。
下一步学习建议
深入学习向量的投影、内积和外 积等概念，掌握它们的性质和应
用。
通过大量的练习，熟练掌握向量 的线性运算和数乘运算，提高解
题速度和准确性。
了解向量在物理、工程等领域的 应用，拓宽视野，增强数学应用
意识。
THANKS
感谢观看
03
空间向量数乘
空间向量数乘满足数乘的运算律，即数与向量的乘法满足交换律、结合
律和分配律。数乘可以改变向量的长度，但不改变向量的方向（除非数
为零）。
空间向量在几何中的应用
空间向量在平面几何中的应用
空间向量可以应用于平面几何中的许多问题，如证明两直线平行或垂直、证明两线段相等 或成比例等。通过向量的运算和性质，可以简化这些问题的证明过程。

高中数学第二章平面向量1数乘向量课件必修4高一必修4数学课件

高中数学第二章平面向量1数乘向量课件必修4高一必修4数学课件
12/13/2021
12/13/2021
12/13/2021
考点三 共线向量定理的应用 [典例] 设 e1，e2 是两个不共线向量，已知―A→B ＝2e1－8e2，
―C→B ＝e1＋3e2，―C→D ＝2e1－e2. (1)求证：A、B、D 三点共线； (2)若―B→F ＝3e1－ke2，且 B、D、F 三点共线，求 k 的值．
12/13/2021
§3 从速度的倍数到数乘向量 3．1 数乘向量
1．向量数乘的定义及其几何意义是什么？ 2．向量数乘运算满足哪三条运算律？ 3．向量共线定理是怎样表述的？ 4．向量的线性运算是指的哪三种运算？
12/13/2021
二、归纳总结·核心必记
1．数乘向量 (1)定义：实数 λ 和向量 a 的乘积是一个 向量 ，记作 λa . (2)长度：|λa|＝ |λ||a| . (3)方向：λa(a≠0)的方向
12/13/2021
[类题通法] 用已知向量表示其他向量的方法
12/13/2021
[针对训练] 如图，四边形 OADB 是以向量OA＝a，OB＝b 为边的平行四 边形．又 BM ＝13 BC ，CN ＝13CD，试用 a，b 表示OM ，ON ， MN .
12/13/2021
解：∵ BM ＝13BC ＝16BA＝16(OA－OB)＝16(a－b)， ∴OM ＝OB＋BM ＝b＋16a－16b＝16a＋56b. ∵CN ＝13CD＝16OD， ∴ON ＝OC ＋CN ＝12OD＋16OD ＝23 OD ＝23(OA＋OB )＝23(a＋b)． ∴ MN ＝ON －OM ＝23(a＋b)－16a－56b＝12a－16b.
)
A．平行四边形
B．菱形
C．梯形
D．矩形

高一数学必修四课件第章向量的数乘

高一数学必修四课件第章向量的数乘

XX
THANKS
感谢观看
REPORTING
运算律与结合律
01
交换律
对于任意实数$lambda$和向量$vec{a}$，有$lambdavec{a} =
vec{a}lambda$。
02
结合律
对于任意实数$lambda$、$mu$和向量$vec{a}$，有
$(lambdamu)vec{a} = lambda(muvec{a})$。
03
分配律
对于任意实数$lambda$、$mu$和向量$vec{a}$、$vec{b}$，有
三角形法则
对于两个向量a和b，其差向量可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向 量。即a - b = 向量c，其中c的起点为b的终点，终点为a的终点。
证明过程
根据向量减法的定义，将向量b平移至与向量a同起点，构造三角形。利用三角 形的性质，证明从b的终点指向a的终点的向量即为a和b的差向量。
共线定理证明
写出结果向量
将得到的新的向量的坐标 表示出来。
投影法求解向量数乘
01
02
03
04
确定投影方向
根据题目要求，确定需要投影 的方向。
计算投影长度
根据向量的长度和与投影方向 的夹角，计算向量在投影方向
上的投影长度。
进行数乘运算
将数乘因子与投影长度进行相 乘，得到新的向量的投影长度
。
确定结果向量
根据投影长度和投影方向，确 定结果向量的方向和大小。
XX
高一数学必修四课件 第章向量的数乘
汇报人：XX
2024-01-20
REPORTING
• 向量数乘定义及性质 • 向量数乘运算方法 • 向量数乘在生活中的应用 • 向量数乘在几何中的应用 • 向量数乘在代数中的应用 • 总结回顾与拓展延伸

人教A版必修四 2.2.3向量数乘运算及其几何意义 课件(41张)

人教A版必修四 2.2.3向量数乘运算及其几何意义 课件(41张)

[变式训练] 如图，在△OBC 中，点 A 是 BC 的中点， 点 D 是将向量O→B分为 2∶1 的一个分点，DC 和 OA 交于 点 E，设O→A＝a，O→B＝b.
(1)用向量 a，b 表示O→C，D→C； (2)若O→E＝λO→A，求实数 λ 的值．
解：(1)因为O→A＝12(O→B＋O→C)，所以O→C＝2O→A－O→B＝ 2a－b，
2.2 平面向量的线性运算 2．2.3 向量数乘运算及其几何意义
[学习目标] 1.掌握向量数乘运算及其几何意义，掌 握向量数乘的运算律(重点)． 2.掌握向量共线定理及其 证明过程，会根据向量共线定理判断两个向量是否共线 (重点、难点)． 3.能熟练地运用数乘运算的定义、运算 律进行有关计算(重点)．
2．向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未 知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要 多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．
[变式训练] 计算下列各式： (1)4(a＋b)－3(a－b)； (2)3(a－2b＋c)－(2a＋b－3c)； (3)25(a－b)－13(2a＋4b)＋125(2a＋13b)． 解：(1)原式＝4a－3a＋4b＋3b＝a＋7b. (2)原式＝3a－6b＋3c－2a－b＋3c＝a－7b＋6c.
(2)运算律：设 λ，μ 为任意实数，则有： ①λ(μ a)＝λμ_a； ② (λ ＋ μ)a ＝ λ_a ＋ μ_a ； ③λ(a ＋ b) ＝ λ_a ＋ λ_b( 分 配 律)． 特别地，(－λ)a＝－λ a＝λ(－a)，λ( a－b)＝λ_a－λ_b． 温馨提示 要清楚数乘向量与数乘数的区别，前者结
1．向量的数乘运算 (1)定义：规定实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，这 种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度和方向规定 如下： ①|λ a|＝|λ||a|； ②当 λ>0 时，λ a 的方向与 a 的方向相同； 当 λ<0 时，λ a 的方向与 a 的方向相反．

《数乘向量 》公开课教学PPT课件【高中数学必修4(北师大版)】

《数乘向量 》公开课教学PPT课件【高中数学必修4(北师大版)】
【自主解答】 (1)原式＝122a＋32b－a－34b ＝a＋34b－a－34b＝0
(2)联立得3－x－4x2＋y＝3ya＝①b②
①×3＋②×2，得 x＝3a＋2b。 ①×4＋②×3，得 y＝4a＋3b。
随堂练习
1．向量数乘的运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提 取公因式”，这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看成向量的系数。
2．向量也可以通过列方程来解，把所求向量当做未知量，利用解代数方程 的方法求解。
随堂练习
1．已知 2(x－13a)－13(c＋b－3x)＋b＝0，试用向量 a，b，c 表示向量 x。
【解】 由已知得，2x－23a－13c－13b＋x＋b＝0 3x－23a＋23b－13c＝0 3x＝23a－23b＋13c
平行四边形
2．当用已知向量表示未知向量比较困难时，应考虑方程思想，利用方程的观 点进行求解。
随堂练习
1．已知向量 a，b，且A→B＝a＋2b，B→C＝－5a＋6b，C→D＝7a－
2b，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D
B．A，B，C
C．B，C，D
D．A，C，D
随堂练习
【解析】 A→B＋B→C＋C→D＝a＋2b＋(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝3a＋6b ＝3(a＋2b)＝A→D＝3A→B
随堂练习
探究 1 若存在实数 λ，使A→B＝λB→C，则 A，B，C 三点的位置关系如何？
【提示】 A，B，C 三点共线。
探究 2 向量共线定理有哪两个方面的应用？
【提示】 (1)判断两个向量共线，若存在一个实数 λ，使 b＝λa(a≠0)， 则 a 与 b 共线。(2)表示两个共线向量之间的关系。若 a 与 b 共线(a≠0)则必存在一个实数 λ，使 b＝λa。

高中数学 第二章 平面向量 2.1.4 数乘向量课件 b必修4b高一必修4数学课件

高中数学 第二章 平面向量 2.1.4 数乘向量课件 b必修4b高一必修4数学课件

12/7/2021
第二十七页，共三十三页。
1.1213（2a＋8b）－23（4a－2b）的结果是(
)
A．2a－b
B．2b－a
C．b－a
D．a－b
解析：选 B.1213（2a＋8b）－23（4a－2b）
＝16(2a＋8b)－13(4a－2b)
＝13a＋43b－43a＋23b
＝－a＋2b
＝2b－a.
12/7/2021
12/7/2021
第十七页，共三十三页。
数乘向量在平面几何中的应用 已知任意平面四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AD、BC 的中点．求证：E→F＝12(A→B＋D→C)．
12/7/2021
第十八页，共三十三页。
【证明】 取以点 A 为起点的向量，应用三角形法则求证，如 图．
因为 E 为 AD 的中点，所以A→E＝12A→D. 因为 F 是 BC 的中点， 所以A→F＝12(A→B＋A→C)．
12/7/2021
第二十一页，共三十三页。
(2)向量线性运算几何意义应用中的常见结论：
图形
结论
表示 a＋b，a－b 两向量的有向线段恰为同一 平行四边形的两条对角线
A→B＋A→C＝2A→D(D 为 BC 中点)
|aa|表示与 a 同向的单位向量
12/7/2021
第二十二页，共三十三页。
如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，且 AB＝2CD， M、N 分别是 DC 和 AB 的中点，若A→B＝a，A→D＝b，试用 a， b 表示B→C和M→N.
第二章 平面(píngmiàn)向量
2．1.4 数乘向量
12/7/2021
第一页，共三十三页。
第二章 平面(píngmiàn)向量

高中数学人教B版必修四2.1.4《数乘向量》ppt课件

高中数学人教B版必修四2.1.4《数乘向量》ppt课件

如图所示，OADB 是以向量O→A＝a，O→B＝b 为邻边的平行 四边形．又 BM＝13BC，CN＝13CD，试用 a、b 表示O→M、O→N、 M→N.
[解析] B→M＝13B→C＝16B→A ＝16(O→A－O→B)＝16(a－b)， ∴O→M＝O→B＋B→M＝b＋16(a－b)＝16a＋56b， C→N＝13C→D＝16O→D，
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/29
最新中小学教学课件
40
谢谢欣赏！
2019/8/29
最新中小学教学课件
41
[分析] 先求向量A→B，从而可求得A→C＝C→D＝D→B＝13A→B.
[解析] ∵O→A＝3a，O→B＝3b， ∴A→B＝O→B－O→A＝3b－3a. ∵C、D 是 AB 边上的三等分点， ∴O→C＝O→A＋A→C＝O→A＋13A→B＝3a＋(b－a)＝2a＋b， O→D＝O→A＋A→D＝O→A＋23A→B＝3a＋2(b－a)＝a＋2b.
•数乘向量的几何意义
已知点 C 在线段 AB 的延长线上，且AACB＝34. (1)用B→C表示A→B；
(2)用C→B表示A→C.
• [分析] 本例中已知条件没有涉及方向，但欲求 结果中却涉及了方向．因此，解答此类问题，要把握 好从单一的长度要素向长度、方向双重要素的过渡．
[解析] 如图①，由已知点 C 在线段 AB 的延长线上，且AACB
成才之路 ·数学
人教B版 ·必修4
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第二章 平面向量
第二章
2.1 向量的线性运算 2.1.4 数 乘 向 量
1 课前自主预习
2 课堂典例讲练

高中数学第二章平面向量1数乘向量课件必修4高二必修4数学课件

高中数学第二章平面向量1数乘向量课件必修4高二必修4数学课件

则、运算律计算．
12/12/2021
第二十七页，共五十五页。
【解】 (1)原式＝234a－3b＋13b－32a＋74b＝23 4－32a＋－3＋13＋74b＝2352a－1112b＝53a－1118b.
(2) 原 式 ＝(2λ＋ μ)e1 ＋13(2λ＋ μ)e2 －312λ－2μ e1 －412λ－2μ e2 ＝ 2λ＋μ－32λ＋6μ e1 ＋ 23λ＋13μ－2λ＋8μ e2 ＝ 12λ＋7μ e1 － 43λ－235μe2.
12/12/2021
第二十二页，共五十五页。
(3)由数乘向量和相反向量的定义可知(3)是真命题． (4)∵a－b 与 b－a 互为相反向量， ∴a－b 与－(b－a)是相等向量， ∴命题(4)是假命题．
12/12/2021
第二十三页，共五十五页。
规律方法 我们可以把向量 a 的长度伸长(当|λ|>1 时)，也可 以缩短(当|λ|<1 时)，同时，我们可以不改变向量 a 的方向(当 λ>0 时)，也可以改变向量 a 的方向(当 λ<0 时)．
(3)方向：λa(a≠0)的方向
当λ>0时，λa与a的方向相同. 当λ<0时，λa与a的方向相反. 特别地，当 λ＝0 或 a＝_0__时，0×a＝0 或 λ×0＝_0__.
12/12/2021
第七页，共五十五页。
(4)几何意义 由实数与向量的积的定义可以看出，它的几何意义就是将表 示向量 a 的有向线段_伸__长__或__压__缩___． 当|λ|>1 时，表示向量 a 的有向线段在原方向(λ>0)或反方向 (λ<0)上__伸__长__为原来的__|_λ_| __倍； 当|λ|<1 时，表示向量 a 的有向线段在原方向(λ>0)或反方向 (λ<0)上_缩__短___为原来的__|λ_|__倍．

平面向量的数乘运算课件

平面向量的数乘运算课件
ห้องสมุดไป่ตู้题型二
已知平面向量$\overset{\longrightarrow}{a}$和$\overset{\longrightarrow}{b}$的夹角为$\theta $，且$|\overset{\longrightarrow}{a}| = m,|\overset{\longrightarrow}{b}| = n$，求 $|\overset{\longrightarrow}{a} + \overset{\longrightarrow}{b}|$的值。
典型例题分析
• 解：$|\overset{\longrightarrow}{a} + \overset{\longrightarrow}{b}| = \sqrt{(\overset{\longrightarrow}{a} + \overset{\longrightarrow}{b})^{2}} = \sqrt{|\overset{\longrightarrow}{a}|^{2} + 2\overset{\longrightarrow}{a} \cdot \overset{\longrightarrow}{b} + |\overset{\longrightarrow}{b}|^{2}}$$= \sqrt{m^{2} + 2mn\cos\theta + n^{2}}$。
03
平面向量的数乘运算的 应用
在几何中的应用
向量数量积的几何意义
平面向量的数乘运算可以表示向量的 长度和方向，其几何意义可以应用于 解决几何问题中的长度、角度、面积 等问题。
平行四边形的性质
三角形的重心坐标
利用数乘运算可以求出三角形重心的 坐标，从而解决与重心坐标相关的几 何问题。

人教A版高中数学必修平面向量的数乘运算课件

人教A版高中数学必修平面向量的数乘运算课件

A/
C/
A
C
O
人教A版高中数学必修4第二章2.3平面 向量的 数乘运 算课件 （共20 张PPT ）
B
B/
人教A版高中数学必修4第二章2.3平面 向量的 数乘运 算课件 （共20 张PPT ）
例1
计算：
(1) (3) 4a ；
(2) 3(a b) 2(a b) a ；
(3) (2a 3b c) (3a 2b c) .
a,b方向相同
a,b方向相反
思考：若上述不等式中a，b为实数时还成立吗？有何区别？
高中数学《必修四》
平面向量的数乘运算
1、平面向量的数乘运算的定义：
已知非零向量 a ，作出：a a a 和 (a) (a) (a) .
a
a
a
a
O
AB
C
OC a a a 3a
N
a a a
MQ
P
PN (a) (a) (a) 3a
（2）(6)a b所在直线与a b所在直线垂直 (2) | a || b |
思考：向量的加法、减法的记作作法都用到了三角形法则，由三
角形三边的关系易得：
A
D
|| a | | b || | a b || a | | b |
a
(a b)
(a b)
a,b方向相反
a,b方向相同 O
b
B
|| a | | b || | a b || a | | b |
a
a
a
a
O
AB
C
a aOC 3a PN 3a
方向：3a 的方向与 a 的方向相同，
长度：3a 的长度是 a 的长度的 3 倍，即：| 3a | 3 | a | .

平面向量的数乘运算ppt课件

平面向量的数乘运算ppt课件

直线AB∥直线CD
9
运用知识 强化练习
计算： （1）3(a − 2 b) − 2(2 a＋b)； （2）3 a − 2(3 a − 4 b)＋3(a − b)．
（1） − a − 8b ； （2）5b ．
10
继续探索 活动探究
读书部分：阅读教材相关章节
书面作业：课本32页4（1）(2)（3）5
实践调查：试着用向量的观点解释 生活中的一些问题．
AO
1 2
AC

12（a＋b）＝
1 a＋ 1 b， 22
OD 1 BD 1（b − a）＝ 1 a＋ 1 b，
2
2
22
1 a＋ 1 b和 1 a＋ 1 b 都叫做向量a，b的线性组合，或者说， 22 22
AO、OD 可以用向量a，b线性表示．
7
巩固知识 典型例题
一般地， a＋ b叫做a, b的一个线性组合（其中， 均为实数），如果l ＝ a＋b，则称l可以用a，b线性表示．
11
一般地，实数 与向量a的积是一个向量，记作 a，它的模为
| a || || a |
（7．3）
若| a | 0，则当 0 时, a的方向与a的方向相同，当 0时， a的方向与a的方向相反．
由上面定义可以得到，对于非零向量a、b，当 0 时，有
（7．4）
4
二、定理的应用： 1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC 且有公共点Ｂ 3. 证明 两直线平行:
b
O
aA
2
创设情境 兴趣导入
已知非零向量 a ,作出a a a ,你能发现什么？
a
3a a a a
O

高中数学必修4平面向量优质课件：向量数乘运算及其几何意义

高中数学必修4平面向量优质课件：向量数乘运算及其几何意义
第十九页，编辑于星期日：二十三点 三十八分。
4．已知向量 a，b 是两个不共线的向量，且向量 ma－3b 与 a＋ (2－m)b 共线，则实数 m 的值为________． 解析：因为向量 ma－3b 与 a＋(2－m)b 共线且向量 a，b 是 两个不共线的向量，所以 m＝2－－3m，解得 m＝－1 或 m＝ 3. 答案：－1 或 3
用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求， 联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分 解，直到全部可以用已知向量表示即可，其实质是向量的线性 运算的反复应用．
第九页，编辑于星期日：二十三点 三十八分。
[对点训练] 如图所示，四边形 OADB 是以向量OA＝ a， OB＝b 为邻边的平行四边形．又 BM ＝13BC，CN＝13CD，试用 a，b 表示OM ， ON ， MN .
[解] (1)证明：∵CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2， ∴ BD＝CD－CB＝e1－4e2. 又 AB＝2e1－8e2＝2(e1－4e2)， ∴ AB＝2BD，∴ AB∥ BD. ∵AB与BD有交点B， ∴A，B，D三点共线．
第十三页，编辑于星期日：二十三点 三十八分。
(2)由于A，B，P三点共线，所以向量 AB ， AP 在同一直 线上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ使 AP ＝λ AB ， 即OP －OA＝λ(OB －OA)，所以OP ＝(1－λ)OA＋λOB ，故x ＝1－λ，y＝λ，即x＋y＝1.
第二十页，编辑于星期日：二十三点 三十八分。
5.如图所示，已知▱ABCD的边BC，CD的中点 分别为K，L，且 AK ＝e1， AL＝e2，试用 e1，e2表示 BC ，CD.
第二十一页，编辑于星期日：二十三点 三十八 分。

苏教版高中数学必修四课件向量的数乘.pptx

苏教版高中数学必修四课件向量的数乘.pptx

例3 D、E分别为△ABC的边AB、AC的中
点。求证：BC 与 DE 共线，并将DE用 BC线性表示
C
E
B
A
D
对于两个向量 a(a 0),b ，有如下的
向量共线定理：
如果有一个实数 使
b a
那么 a 与 b 是共线向量；反之，如果 a 与 b 是共线向量，那么有且只有一个实
数 ，使 b a
向量数乘的性质： （1） (a) ()a
（2）( )a a a
（3）(a b) a b 向量的加法、减法、数乘统称 为向量的线性运算。
数学运用；
例1、
F
（2） 2a 3b
3a
O
E
A
B
例2、计算： （1） 3(a b) 2(a 2b)
（2）2(2a 6b 3c) 3(3a 4b 2c)
2.若向东走1km记为向量 a ，则向西走 6km记为？
数学理论；
一般地，实数 与向量 的a积是一 个向量，记作： a，它的长度和方
向规定如下：
（1）| a || || a |
（2）当 时0， 与a 的a方向相同；
当 0 时，a 与 a 的方向相反； 当 0 时，a 0 实数 与向量 相a乘，叫做向量的数乘
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向量的线性运算 ——向量的数乘
复习：在平行四边形ABCD中： 1、AB BC _____ AB BC CD _____
AB BC CD DA _____
2、OB OC ____
D OC OD ____
AB AC ____
O
BD AD ____ A
C B
AO OC ____
3、下列两式是否正确？

高一数学人教A必修四课件：2.1.4数乘向量(共20张PPT)

高一数学人教A必修四课件：2.1.4数乘向量(共20张PPT)

rB br
r r uur a b=BA
O
a
A
探究一
r
a
r
r
a
已知非零向量
rr
aa
和
r
(a)
a
，作出
rr
(a) (a)
r
a+
r
a+
r
a
3a
O
A BC
结论：3ar与ar方向 相同且长度
rr |3a|=3|a|
rrr
r
( )a (+ )a ( + ) a = 3a
N MQ
结论：-3ar 与ar 方向
向量的线性运算仍是向量。
例题1 设 x 是未知向量，解方程
（5 x a) 3(x b) 0
解：原式可变形为
r r r rr 5x 5a 3x 3b 0
r r rr r r r 8x+5a-3b=0 8x= -5a+3b
r x
5
r a
3
r b
小试牛刀练习4
88
ur ur ur ur ur ur ur ur ur
小试牛刀练习5
1.如图所示，D是VABC的边AB上的中点，
uur
则向量CD A( )
A
Ａ．
uur BC
1
uur BA Ｂ．
uur BC
1
uur BA
D
2
2B
C
C．
uur BC
1
uur
uur
BA Ｄ．BC
1
uur BA
2
2
uur uur uur 解：CD CA AD
uur (BA
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、1、2，
对于任意的向量
以及任意实数
恒有
( 1 a 2 b ) = 1 a 2 b
17
基础知金太识阳教反育网馈
品质来自专业 信赖源于诚信
(1).设
a是非零向量,
是非零实数,下列结论正确的是
( B).
A. a与a的方向相反 C. a a
B. a与2 a的方向相同 D. a a (2). 下列四个说法正确的个数有( C ).
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
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例题分析 金太阳教育网
例1 计算下列各式
((12()) (2 (( 3) )2 ) 1 12) a aa ( (( b 2 ) )2 2 ( (a 1 )b a )) a 3( ( (a b 1 ) ) ba ) ; a
解 : (1) 2
计算下列各式
(1 ) ( 3) 4a 1 a 2
( 2 ) 3 ( a b ) 2 ( a b ) a 5b
( 3 )2 a ( 3 b c ) ( 3 a 2 b c )
a 5 b 2 c
( 4 )t 1 ( t2 )c ( b ) ( t 1 t2 )c ( b )
a A
a+b C
平行四边形
则 对角线 OC= a+b
4
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向量的减法(三角形法则）
如图,已知向量a和向量b,作向量a-b.
b a
o b
a a-b A
作法:
在平面中任取一点o,
B 过O作OA= a
过O作OB= b
则BA= a-b
5
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b
B 则OB= a+b.
2
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向量共线时的加法
abb a
ab ab
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3
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向量的加法(平行四边形信法赖源于则诚信)
如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.
作法: 在平面中任取一点o ,
b ao
过O作 OA= a
b B 过O作 OB= b
以OA,OB为边作
位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、 质量等都是数量，这些向量与数量的关系，常常 在物理公式中出现，如力与加速度的关系F=ma， 位移与速度的关系s=vt，这些公式都是实数与 向量间的关系、实数与实数可以进行加法、减法、 求积等运算，实数与向量能否进行加法、减法、求 积运算呢？若能进行运算，运算的规则又如何呢？
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1
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向量的加法(三角形法则)
如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.
b ao
作法:在平面中任取 一点o,
过O作OA= a
过A作AB= b
a A
2
(2)
2(ab)3(ab)
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2a2b3a3b
(2a3a)(2b3b) a5b
(3) 原 （ a 式 b ） ( a b ) ( a b ) ( a b )
a b a b a b a b
2a2b
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一般地： ()a a a
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设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有：
①λ(μa) = (λμ) a (结合律) ②(λ+μ) a =λa +μa (第一分配律) ③λ(a+b) =λa+λb (第二分配律)
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。
a、 b,
用数乘向量能解决几何中的相似问题.
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复习回顾:
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实数乘法的运算律
1、交换律：ab = ba 2、结合律：a(bc)= (ab)c= b(ac） 3、分配律：a(b+c）= ab+ac
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金太阳教育网 a
2a
3(2a)
6a
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a
aaa
-a -a -a O
A 3a B
C
N
M
Q
P
-3a
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一般地，实数λ与向量a的乘积是一个向量，
这种运算叫做向量的数乘运算，记作λa，
它的长度和方向规定如下：
(1) |λa| = |λ| |a|
(2) a≠0
当λ>0时,λa的方向与a方向相同； 当λ<0时,λa的方向与a方向相反；
3(2a)
=
6a
一般地: (a )( )a
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a
b
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2 (a b ) 2 a 2 b
2(ab)
ab
2b
2a
一般地: (a b )ab
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a
5a
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2a
3a
(2 3 )a 2 a 3 a
对于 m 和 实 a 、 向 b ， 数 m 量 恒 （ a b ） 有 m a m b ;
对于 m 、 n 和 实 a ， 向 数 (m 恒 量 n )a 有 m a n a ;
若 m am b(m R )则 , a 有 b;
若 m a n a (m 、 n R )a , 0 ,则 m 有 n ;
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高中数学4
§2.1.4 向量数乘
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a
3a = a+
a+
a
A
B
C
D
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a
- 3a＝(-
a)
+ (-
a)
+
(-
a)
A
B
C
D
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? 相同向量相加后,和的长度与方向有什么变化
特别地，当λ=0 或a=0时, λa=0
λa中实数的λ,叫做向量a 的系数
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λa
a a 数乘向量的几何意义就是把向量 沿 的方向或反 a 方向放大或缩短.若 a 0,当 1时，沿 的方 a 向放大了 倍.当 〈 0 〈1时沿， 的方向缩短了 倍. a 当 1时,沿 的反方向放大了 倍.当 〈 1 〈0时， a 沿 的反方向缩短了 倍.由其几何意义可以看出
2t1b2t2c
20
x x a xb 例2金太阳教例育网题分析 设 未知向量,解方程 5( +
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)+3 ( - )= 0
解: 原式可变形为
5 x+ 5 a+3 x-3 b= 0