2018-2019年高三数学(理)一轮复习考点规范练第二章 函数5 及答案

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第二章函数测试卷班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题:本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【2018届北京市西城区44中12月月考】已知()f x 是定义在()2,a a -上的奇函数,则()0f a +的值为（ ）．A 。

0 B. 1 C 。

1- D. 2 【答案】B【解析】∵()f x 是定义在()2,a a -上的奇函数， ∴20a a -+=，解得1a =，且()00f =， ∴()01f a +=．选B ．2．【2018年全国卷Ⅲ文】下列函数中，其图象与函数的图象关于直线对称的是（ ）A. B.C 。

D.【答案】B3．【2018年新课标I 卷】设函数,则满足的x 的取值范围是A 。

B.C.D.【答案】D【解析】分析:首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有成立，一定会有，从而求得结果。

详解：将函数的图像画出来，观察图像可知会有,解得，所以满足的x的取值范围是，故选D.4．【2018届贵州省遵义市第四中学第一次月考】“1a≤”是“函数()241f x x ax=-+在区间[)4,+∞上为增函数”的( ）A. 充分不必要条件 B。

(时间：40分钟)1．现有一组数据如下：( ) A ．v ＝log 2tB ．v ＝log 12 tC ．v ＝t 2－12D ．v ＝2t －2答案 C解析 取t ＝1.99≈2(或t ＝5.1≈5)，代入A 得v ＝log 22＝1≠1.5；代入B ，得v ＝log 122＝－1≠1.5；代入C ，得v ＝22－12＝1.5；代入D ，得v ＝2×2－2＝2≠1.5，故选C.2．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧c x ，x <A ，c A ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16 答案 D解析 (回顾检验法)∵c A＝15，故A >4，则有c2＝30，解得c ＝60，A ＝16，将c ＝60，A＝16代入解析式检验知正确．故选D.3．某商店已按每件80元的成本购进某商品1000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每提高1元时销售量就减少5件，若要获得最大利润，销售价应定为每件( )A ．100元B ．110元C ．150元D ．190元 答案 D解析 设售价提高x 元，利润为y 元，则依题意得y ＝(1000－5x )×(20＋x )＝－5x 2＋900x ＋20000＝－5(x －90)2＋60500.故当x ＝90时，y max ＝60500，此时售价为每件190元．4．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留的污垢不超过1%，则至少要洗的次数是(参考数据lg 2≈0.3010)( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 B解析 设至少要洗x 次，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34x ≤1100，∴x ≥1lg 2≈3.322，因此需4次，故选B.5．国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过部分的14%纳税；超过4000元的按全稿酬的11%纳税．若某人共纳税420元，则这个人的稿费为( )A ．3000元B ．3800元C ．3818元D ．5600元 答案 B解析 由题意可建立纳税额y 关于稿费x 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤800x －，800<x ≤4000，0.11x ，x >4000显然由0.14(x －800)＝420，可得x ＝3800.6．某生产厂商更新设备，已知在未来x (x >0)年内，此设备所花费的各种费用总和y (万元)与x 满足函数关系y ＝4x 2＋64，欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x 为________．答案 4解析 y x＝4x ＋64x≥24x ·64x ＝32，当且仅当4x ＝64x，即x ＝4时等号成立．7．若某商场将彩电价格由原价(2250元/台)提高40%，然后在广告上写出“大酬宾八折优惠”，则商场每台彩电比原价多卖________元．答案 270解析 由题意可得每台彩电比原价多卖2250×(1＋40%)×80%－2250＝270(元)． 8．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图)，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图阴影部分)备用，则截取的矩形面积的最大值为________．答案 180解析 依题意，知20－x x ＝y －824－y ，即x ＝54(24－y )，∴阴影部分的面积S ＝xy ＝54(24－y )y ＝54(－y 2＋24y )(8<y <24)，∴当y ＝12时，S 有最大值为180.9．甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得利润是100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x 元．(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．解 (1)根据题意，200⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x ≥3000，整理得5x －14－3x≥0，即5x 2－14x －3≥0，又1≤x ≤10，可解得3≤x ≤10. (2)设利润为y 元，则y ＝900x·100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x ＝9×104⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋1x －3x 2＝9×104⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －162＋6112，故x ＝6时，y max ＝457500元．10．一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22. (1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)今后最多还能砍伐多少年？解 (1)设每年降低的百分比为x (0＜x ＜1)．则a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12，解得x＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12110 .(2)设经过m 年剩余面积为原来的22，则a (1－x )m＝22a ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12m10 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212 ，m 10＝12，解得m ＝5，故到今年为止，已砍伐了5年．(3)设从今年开始，以后砍了n 年，则n 年后剩余面积为22a (1－x )n .令22a (1－x )n ≥14a ，即(1－x )n≥24，⎝ ⎛⎭⎪⎫12n10 ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1232 ，n 10≤32，解得n ≤15. 故今后最多还能砍伐15年．(时间：20分钟)11．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系可用图象表示的是( )答案 A解析 由于开始的三年产量的增长速度越来越快，故总产量迅速增长，图中符合这个规律的只有选项A ；后三年产量保持不变，总产量直线上升，故选A.12．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y ＝a e nt .假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m 分钟甲桶中的水只有a 8，则m 的值为________．答案 10解析 根据题意12＝e 5n ，令18a ＝a e nt，即18＝e nt ，因为12＝e 5n ，故18＝e 15n，则t ＝15，m ＝15－5＝10.13．“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A (a 为常数)，广告效应为D ＝a A －A .那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为________．(用常数a 表示)答案 14a 2解析 令t ＝A (t ≥0)，则A ＝t 2，∴D ＝at －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12a 2＋14a 2，∴当t ＝12a ，即A ＝14a 2时，D 取得最大值．14．某工厂生产某种产品，每日的成本C (单位：万元)与日产量x (单位：吨)满足函数关系式C ＝3＋x ，每日的销售额S (单位：万元)与日产量x 的函数关系式S ＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋k x －8＋x ，x ，已知每日的利润L ＝S －C ，且当x ＝2时，L ＝3. (1)求k 的值；(2)当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．解 (1)由题意，得L ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋k x －8＋x，11－x x，因为x ＝2时，L ＝3，所以3＝2×2＋k2－8＋2.解得k ＝18.(2)当0<x <6时，L ＝2x ＋18x －8＋2， 所以L ＝2(x －8)＋18x －8＋18＝－[ 2(8－x )＋188－x]＋18≤－2－x188－x＋18＝6.当且仅当2(8－x)＝188－x，即x＝5时取得等号．当x≥6时，L＝11－x≤5.所以当x＝5时，L取得最大值6.所以当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大值6万元．。

(时间:40分钟）1．函数f （x ）＝错误!的定义域是( ）A ．(0，e)B ．（0，e ］C ．,故选B 。

2．已知函数f （x ）＝错误!则函数f （log 23)的值为( ）A ．3B 。

13C ．6D 。

错误!答案 D解析 f (log 23)＝f (log 23＋1)＝f (log 26）＝错误! log 26＝2－log 26＝2错误!＝错误!.故选D 。

3．已知log a 错误!<1，那么a 的取值范围是( ）A.错误!∪（1，＋∞)B 。

错误! C.错误!D ．(1，＋∞) 答案 A解析 ∵log a 错误!<1＝log a a ，故当0<a <1时，y ＝log a x 为减函数，0<a <错误!；当a >1时,y ＝log a x 为增函数,a >错误!，∴a >1，综上知A 正确．4．函数f （x )＝ln （4＋3x －x 2)的单调递减区间是（ )A.错误!B.错误!C 。

错误! D.错误!答案 D解析 y ＝ln t 是单调递增函数，则只需研究函数t ＝4＋3x －x 2的单调递减区间，并注意t ＞0的限制．t ＝4＋3x －x 2的单调递减区间为错误!，当x ≥4时，t ≤0，所以区间错误!符合题意．5．设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则（ ）A ．c >b 〉aB ．b >c >aC ．a >c >bD ．a 〉b >c答案 D解析 由对数运算法则得a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝1＋log 52，c ＝1＋log 72，由对数函数图象得log 32>log 52〉log 72，所以a 〉b >c ，故选D 。

6．函数f (x ）＝log a (x ＋2）＋3(a 〉0,且a ≠1)的图象恒过定点________．答案 (－1,3）解析 当x ＋2＝1时，x ＝－1,f (－1)＝log a （－1＋2）＋3＝3，所以函数f （x )＝log a （x ＋2）＋3的图象恒过定点(－1，3）．7．若a ＝log 43,则2a ＋2－a ＝________.答案 错误!解析 ∵a ＝log 43＝错误!log 23＝log 2错误!,∴2a ＋2－a ＝2错误!＋2错误!＝错误!＋2错误!＝错误!＋错误!＝错误!.8．函数f （x ）＝log a （6－ax ）在上为减函数，则a 的取值范围是________．答案 (1，3)解析 底数a ＞0，y ＝6－ax 为减函数，又f (x ）＝log a (6－ax ）为减函数，所以a ＞1,6－ax 在上要恒大于零，即错误!所以1＜a ＜3。

2. 7函数的图象E 课后作业孕谀［基础送分提速狂刷练］一、选择题1. 为了得到函数尸3x （#的图象，可以把函数尸的图象（） A.向左平移3个单位长度 B.向右平移3个单位长度 C.向左平移1个单位长度D.向右平移1个单位长度答案D解析 尸3乂份=（护・0=（护，故它的图象是把函数y=（才的图象向右平移1 个单位长度得到的.故选D.1 n | x — 12. （2017 •山西太原二模）函数f\x ） = } _ v|的图象大致为（ ）CD答案D1 n x — 1 I解析 函数f3=门_日 的定义域为（一叫Dud, +-）,且图象关于x=i 对称, 排除B 、C ；取特殊值，当心*时，f{x ） =2In |<0,故选D.■ 2 1212 12^—一X3.函数/V）=ln （2+1）的图象大致是（）A/( IT )=4,故选 A.故函数/(%) =sin (2/+-^-答案A解析 依题意，得A-%)=ln (,+ l)=f(x),所以函数f(x)为偶函数，即函数f(x) 的图象关于y 轴对称，故排除C ；因为函数代劝过定点(0, 0),排除B, D,故选A.A ( j[ \4・(2017 •乐山模拟)函数f3= ------------------ ^>0, | ^\<~的部分图彖如图所sin 厶)示，则f(皿)=()A. 4B. 2念C. 2 Dp答案A解析 由函数的图象可得A=2f 根据半个周期牛=%+令，解得3 = 2. 由图象可得当*=—誇时，函数无意义,即函数的分母等于零，即sin 2(—令)+ 2 =再由丨创与，可得解析 作出函数y= f{x ）与7=&的图彖，如图所示: 由图可知 圧（0,1],故选D.6. （2018 •山东日照一模）现有四个函数①y=xsinx f ②y=xcosx f ③y=x\ cos^l,④y =立'的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的 一组是（）1 厂L A_-A 2r■ AX0 x /A.①④②③B.①④③②5. （2017 •北京模拟）已知函数=&有两个不等的实数根，则实数斤的取值范围是（A. （0, +8）B.C. （1, +◎答案D若关于x 的方程/tv ）D. )(一8, 1) (0,1]C.④①②③D.③④②①答案A解析①尸xsinx在定义域上是偶函数，其图象关于y轴对称；②y=xcosx在定义域上是奇函数，其图象关于原点对称；③y=”cosx|在定义域上是奇函数，其图象关于原点对称, 且当x>0时，其函数值y20；④尸垃'在定义域上为非奇非偶函数，且当Q0时，其函数值y〉0,且当*0时，其函数值X0.故选A.7.（2015・浙江高考）函数f{x） =1 x—+）cosx（— Ji WxW叽且xHO）的图象可能为（）答案D解析 解法一：（性质+特值排除法）该函数的定义域为[—兀，0） U （0, IT ],显然定义 域关于原点对称.函数尸/一-是奇函数，y=cosx 为偶函数，所以= X 除B ；取x=兀,则/'（兀）=（兀一Jcos JT =—（兀一J<0,故排除C.故选D.解法二：（特值排除法）f （ Ji ）=（兀一+）cos 兀=一（兀一彳〈0,故可排除A 、C ；而f （— 兀）=（—兀一二・cos （―兀）=（“ 一£>0,故排除B.故选D.8. （2017 -达州期末）已知函数f （x ） =xcosx 9 f （0是f （0的导数，同一坐标系中，f （x ）和f （劝的大致图彖是（）答案C解析由于f(x) =xcosx f所以排COSX 为奇函数,:.f (劝=cosx—xsinx,当r（%）>o时，/'（劝是增函数，曲线是上升的，r axo时，/•（/）是减函数，曲线是下降的，判断出c是正确的，排除A.故选C.9.（2018・郑州模拟）函数尸宀的图象与函数y=2sin兀*一Y~ X2W/W4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A. 2B. 4 C・ 6 D・ 8答案D解析图象法求解.在同一坐标系中，分别作出函数y= 宀与y=2sinn*—2W/W4）的图象，y=—的对称中心是（1,0）,也是y=2sin兀x（—2W/W4）的中心，当一2W/W4 X— 1它们的图象在X=l的左侧有4个交点，则/=1右侧必有4个交点.不妨把它们的横坐标由小到大设为Xl, X2, %3,无1,疋，矗，X1,朋，则*1 +於=/2+脸=用+矗=禺+朋=2,所以选D.10.（2017 •杭州五校联盟诊断）若直角坐标平面内两点只0满足条件：①P, Q都在函数尸fd）的图象上;②只Q关于原点对称，则称（只G是函数f\x）的一个“伙伴点组”（点kx—] x> Q组（只Q）与（@ Q看作同一个“伙伴点组”）.已知函数〃有两—In — x , K0个“伙伴点组”，则实数斤的取值范围是（）A. （一8, 0）B. （0, 1）C. （o,D. （0, +°°）答案B解析依题意，“伙伴点组”的点满足：都在y=f^的图象上，且关于坐标原点对称.可作出函数y=-ln ( — 0(*0)关于原点对称的函数y=ln丸(Q0)的图彖，使它与直线y=kx~\ (Q0)的交点个数为2即可.当直线尸上r—1与y=ln x的图象相切时，设切点为(//A In ni), 又尸In x的导数为/ =丄，A则伽一l = ln m,斤=丄，解得zz?=l, k=\,m可得函数y=ln%(^>0)的图象过(0, —1)点的切线的斜率为1,结合图象可知(0, 1) 时两函数图象有两个交点.故选B.二、填空题[I lg x\, x>0,11.(2018 •咸阳模拟)已知|.rl则函数尸2^(0—3/W+1的零点个数是________ ・答案5解析由2产(0 —3/(^) +1 = 0 得f\x) =*或/V) =1，作岀两数y= f\x)的图象.由图象知尸*与y=t\x)的图象有2个交点，y=l与y=t\x)的图象有3个交点.因此函数-3 4-1的零点有5个.12.设函数f(x), gd)的定义域分别为尺G,且尸6：若对任意的xWF,都有g3 =fg 则称g (力为/U)在G 上的一个“延拓函数” •已知函数f3 =为fd)在R 上的一个延拓函数，且gd)是偶函数，则函数gd)的解析式为 ______________答案g3=2”解析 画出函数的图象关于y 轴对称的这部分图象，即可得到偶函数 g(0的图象，由图可知：函数g(0的解析式为g(0=2 一13. (2018 •南昌大联考)已知/V)是定义在R 上且周期为3的函数，当 圧［0,3)时， f3= /-2x+| •若函数y=f\x)-a 在区间［一3,4］上有10个零点(互不相同)，则实数已 的収值范围是_答案A ，解析 先画出y =,—2%+*在区间［0, 3)±的图象，再将x 轴下方的图象对称到x 轴上 方，利用周期为3,将图象平移至区间［ — 3,4］内，即得在区间［ — 3, 4］上的图象如图所 示，其中 /(—3) =f(0) =f(3) =0. 5, f( —2) = Al) =f(4) =0. 5.函数y=f^~a 在区间［ — 3, 4］上有10个零点(互不相同)等价于y=g 的图象与直线14. (2017 •湖北百所重点学校联考)设函数fd)对任意实数廿满足fU)=-fa+l), 且当0W/W1时，f(x)=*l —方，若关于无的方程f{x)=kx 有3个不同的实数根，则斤的 取值范围是 .答案(5 — 2托，l)U{ — 3 + 2^}解析 因fd)= — fd+l),故fd+2)=f(0,即函数f(x)是周期为2的周期函数， 画出函数f\x),［0,1］的图象，再借助函数满足的条件f(x)= —f(x+l)及周期性，画出函数y=f{x)的图象如图，易知仅当直线尸=滋位于Z 与厶之间(不包括71,厶)或与厶重 合时满足题意，对y=x(l-%)求导得=1-2%, / |x=o=l, ：.li 的斜率为1.以下求A 的斜率：当 1W^W2 时，易得 f{x) = — f{x —\) =— (^― 1) ［1— (%—1)］ =# —3/+2,令 x —3x+2 — kx=0,得#—(3 +W)x+2 = 0,令 A — (3 + A)2—8=0,解得斤=—3±2寸由此 易知厶的斜率为一3 + 2迈.同理，由2W/W3时，％劝=一/+5才一6,可得厶的斜率为5 —(£|go),2托•综上，5 — 2托〈处1或斤=一3+2边，故应填(5-2^6, 1) U {-3 + 2^2}.(2) 由图象可知,函数代劝的单调递增区间为[一1, 0], [2,5]. (3) 由图象知当X=2时,f(0・in=f (2)= —1,当 x=0 时，f(x)^=f(0)=3.三.解答题15.3—y, 已知函数心L-3,i4 O' 3 - 2 ■1-11P1 2 3 4 5⑴在如图所示给定的直角坐标系内画出代力的图象;(2) 写出 他)的单调递增区间;(3) 由图象指出当x 取什么值时f(x)有最值.解(1)函数fd)的图象如图所示.圧 2, 5].16.已知f\x) = | /—4A Z+3 I.(1)作出函数f(x)的图象;(2)求函数代力的单调区间，并指出其单调性；(3)求集合片｛引使方程f3=m有四个不相等的实根｝・解⑴当4x+3$0 时，xWl 或x23,fg =%—4x+3, xWl或x$3,—#+4x—3, 1〈人＜3,:・fg的图象如图所示.(2)由函数的图象可知/U)的单调区间是(一8, 1], (2, 3), (1,2], [3, +8),其中(一8，1], (2, 3)是减区间；(1,2], [3, +8)是增区间.(3)由代方的图象知，当0〈水1时，f3=m有四个不相等的实根，所以#=U|O</^1｝.。

第二单元函数的概念与基本性质考点一函数的概念1.(2015年浙江卷)存在函数f(x)满足:对于任意x∈R都有().A.f(sin2x)=sin xB.f(sin2x)=x2+xC.f(x2+1)=|x+1|D.f(x2+2x)=|x+1|【解析】选项A中,x分别取0,π,可得f(0)对应的值为0,1,这与函数的定义矛盾,所以选项A错误;选项B中,x分别取0,π,可得f(0)对应的值为0,π2+π,这与函数的定义矛盾,所以选项B错误;选项C中,x分别取1,-1,可得f(2)对应的值为2,0,这与函数的定义矛盾,所以选项C错误;选项D中,取f(x)=x+1,则对于任意x∈R都有f(x2+2x)= x2+2x+1=|x+1|,所以选项D正确.综上可知,本题选D.【答案】D2.(2014年上海卷)设f(x)=(x-a)2,x≤0,x+1+a,x>0,若f(0)是f(x)的最小值,则a的取值范围为().A.[-1,2]B.[-1,0]C.[1,2]D.[0,2]【解析】∵当x≤0时,f(x)=(x-a)2,f(0)是f(x)的最小值,∴a≥0.当x>0时,f(x)=x+1x+a≥2+a,当且仅当x=1时等号成立.要满足f(0)是f(x)的最小值,需2+a≥f(0)=a2,即a2-a-2≤0,解得-1≤a≤2.∴a的取值范围为[0,2].故选D.【答案】D3.(2015年全国Ⅱ卷)设函数f(x)=1+log2(2-x),x<1,2x-1,x≥1,则f(-2)+f(log212)=().A.3B.6C.9D.12【解析】∵-2<1,∴f(-2)=1+log2(2+2)=1+log24=1+2=3.=6.∵log212>1,∴f(log212)=2log212−1=122∴f(-2)+f(log212)=3+6=9.故选C.【答案】C4.(2016年江苏卷)函数y=3−2x-x2的定义域是.【解析】要使函数有意义,需3-2x-x2≥0,即x2+2x-3≤0,得(x-1)(x+3)≤0,即-3≤x≤1,故所求函数的定义域是[-3,1].【答案】[-3,1]考点二函数的奇偶性5.(2014年全国Ⅰ卷)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是().A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数【解析】令h1(x)=f(x)g(x),则h1(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-h1(x),∴h1(x)是奇函数,A错误.令h2(x)=|f(x)|g(x),则h2(-x)=|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x)=h2(x),∴h2(x)是偶函数,B错误.令h3(x)=f(x)|g(x)|,则h3(-x)=f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|=-h3(x),∴h3(x)是奇函数,C正确.令h4(x)=|f(x)g(x)|,则h4(-x)=|f(-x)g(-x)|=|-f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|=h4(x),∴h4(x)是偶函数,D错误.【答案】C6.(2015年广东卷)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是().A.y=2B.y=x+1C.y=2x+1xD.y=x+e x【解析】A 选项中的函数的定义域为R ,因为 1+(−x )2= 2,所以该函数是偶函数.B 选项中的函数的定义域为{x|x ≠0},因为-x-1x =- x +1x,所以该函数是奇函数.C 选项中的函数的定义域为R ,因为2-x+12-x =12x +2x,所以该函数是偶函数.D 选项中的函数的定义域为R ,因为-x+e -x=1ex -x ,所以该函数是非奇非偶函数.【答案】D7.(2017年北京卷)已知函数f (x )=3x- 13x ,则f (x )( ).A.是奇函数,且在R 上是增函数B.是偶函数,且在R 上是增函数C.是奇函数,且在R 上是减函数D.是偶函数,且在R 上是减函数 【解析】∵函数f (x )的定义域为R ,f (-x )=3-x - 13 -x= 13 x-3x =-f (x ), ∴函数f (x )是奇函数. ∵函数y= 13 x在R 上是减函数,∴函数y=- 1 x 在R 上是增函数.又∵y=3x在R 上是增函数,∴函数f (x )=3x - 13 x在R 上是增函数.故选A . 【答案】A8.(2015年全国Ⅰ卷)若函数f (x )=x ln (x+ a +x 2)为偶函数,则a= .【解析】∵f (x )为偶函数,∴f (-x )-f (x )=0恒成立,∴-x ln (-x+2)-x ln (x+ a +x 2)=0恒成立, ∴x ln a=0恒成立, ∴ln a=0,即a=1.【答案】1考点三 函数的单调性及其综合应用9.(2017年全国Ⅰ卷)函数f (x )在(-∞,+∞)上单调递减,且为奇函数.若f (1)=-1,则满足-1≤f (x-2)≤1的x 的取值范围是( ).A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3]【解析】∵f (x )为奇函数,∴f (-x )=-f (x ).∵f (1)=-1,∴f (-1)=-f (1)=1.由-1≤f (x-2)≤1,得f (1)≤f (x-2)≤f (-1).又∵f (x )在(-∞,+∞)上单调递减,∴-1≤x-2≤1, ∴1≤x ≤3.故选D .【答案】D10.(2016年天津卷)已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a 满足f (2|a-1|)>f (- 2),则a 的取值范围是 .【解析】∵f (x )是偶函数,且在(-∞,0)上单调递增,∴f (x )在(0,+∞)上单调递减,f (- 2)=f ( 2), ∴f (2|a-1|)>f ( 2),∴2|a-1|< 2=212,∴|a -1|<12,即-12<a-1<12,即12<a<32.【答案】 12,3211.(2017年全国Ⅲ卷)设函数f (x )= x +1,x ≤0,2x ,x >0,则满足f (x )+f x -1>1的x 的取值范围是 .【解析】由题意知,可对不等式分x ≤0,0<x ≤1,x>1三段讨论.当x ≤0时,原不等式为x+1+x+1>1,解得x>-1,∴-14<x ≤0.当0<x ≤12时,原不等式为2x+x+12>1,显然成立.当x>1时,原不等式为2x+2x -12>1,显然成立.综上可知,x>-1.【答案】 -14,+∞高频考点:求函数的定义域、分段函数求值、利用函数单调性解函数不等式、函数奇偶性的应用.命题特点:1.求函数的定义域一般根据限制条件,列出不等式求解,此类问题难度不大. 2.分段函数的求值需根据自变量的范围确定对应的解析式,再代入运算,此类问题难度不大.3.函数的奇偶性、单调性、周期性往往综合考查.解决这类综合考查问题常利用周期性和奇偶性把所求的函数解析式转化为已知区间内的函数解析式,再利用单调性分析或求解.§2.1 函数的概念及其表示一 函数的概念给定两个非空数集A 和B ,如果按照某个对应关系f ,使对于集合A 中的 一个数x ,在集合B 中都存在 确定的数f (x )与之对应,那么就把对应关系f 叫作定义在集合A上的,记作.此时,x叫作自变量,集合A叫作函数的,集合{f(x)|x∈A}叫作函数的.二函数的表示法函数的表示法:、、.三分段函数若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同,可用几个式子表示,则这种形式的函数叫作.☞左学右考判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.与g(x)=x是同一个函数.()(1)f(x)=x2x(2)f(x)=|x|与g(x)=x,x≥0,是同一个函数.()-x,x<0(3)函数f(x)= x2+3+1的值域是{y|y≥1}.()(4)若函数f(x)的定义域为{x|1≤x<3},则函数f(2x-1)的定义域为{x|1≤x<3}.()知识清单一、任何唯一函数f:A→B,或y=f(x),x∈A定义域值域二、解析法列表法图象法三、分段函数基础训练【解析】(1)错误,因为f(x)=x2x的定义域是{x|x≠0},而g(x)=x的定义域是R,所以它们的定义域不相同,因此它们不是同一个函数.(2)正确,因为f(x)=|x|与g(x)=x,x≥0,-x,x<0的定义域和对应法则完全相同,所以它们是同一个函数.(3)错误,因为x2≥0,所以x2+3≥3,所以函数f(x)=2+3+1的值域是{y|y≥3+1}.(4)错误,因为f(x)的定义域为{x|1≤x<3},所以1≤2x-1<3,解得1≤x<2,故函数f(2x-1)的定义域为{x|1≤x<2}.【答案】(1)×(2)√(3)×(4)×题型一求函数的定义域【例1】(1)y=x-12x-log2(4-x2)的定义域是().A.(-2,0)∪(1,2)B.(-2,0]∪(1,2)C.(-2,0)∪[1,2)D.[-2,0]∪[1,2](2)若函数y=f(x)的定义域是[1,20],则函数g(x)=f(x+1)x-1的定义域是.【解析】(1)要使函数有意义,必须有x-1≥0,x≠0,4−x2>0,∴x∈(-2,0)∪[1,2),故选C.(2)由已知函数f(x)的定义域为[1,20],可知1≤x+1≤20,解得0≤x≤19,故函数f(x+1)的定义域为[0,19].∴使函数g(x)有意义的条件是0≤x≤19,x-1≠0,解得0≤x<1或1<x≤19.【答案】(1)C(2)[0,1)∪(1,19](1)已知函数的解析式:构建使解析式有意义的不等式(组)求解.(2)抽象函数:①若已知函【变式训练1】(1)函数f(x)=x+3+log2(6-x)的定义域是.(2)若函数f(x2+1)的定义域为[-1,1],则f(lg x)的定义域为().A.[-1,1]B.[1,2]C.[10,100]D.[0,lg2]【解析】(1)要使函数有意义,应满足x+3≥0,6−x>0,解得-3≤x<6.(2)因为f(x2+1)的定义域为[-1,1],即-1≤x≤1,所以1≤x2+1≤2,所以f(x)的定义域为[1,2],所以1≤lg x≤2,即10≤x≤100,所以函数f(lg x)的定义域为[10,100].【答案】(1)[-3,6)(2)C题型二求函数的解析式【例2】(1)已知f2+1=lg x,则f(x)=.(2)设y=f(x)是二次函数,方程f(x)=0有两个相等的实根,且f'(x)=2x+2,则f(x)的解析式为.【解析】(1)令t=2x +1(t>1),则x=2t-1,∴f(t)=lg2t-1,即f(x)=lg2x-1(x>1).(2)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f'(x)=2ax+b=2x+2,∴a=1,b=2,∴f(x)=x2+2x+c.又∵方程f(x)=0有两个相等的实根,∴Δ=4-4c=0,得c=1.故f(x)=x2+2x+1.【答案】(1)lg2x-1(x>1)(2)f(x)=x2+2x+1求函数解析式常用的方法有待定系数法、换元法、配凑法、转化法、构造方程组法.【变式训练2】(1)已知f(x+1)=x+2x,则f(x)=.(2)已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f(x)=2f1·x-1,则f(x)=.【解析】(1)设x+1=t(t≥1),则x=t-1,所以f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1(t≥1),所以f(x)=x2-1(x≥1).(2)在f(x)=2f1x ·x-1中,用1x代替x,得f1x=2f(x)·1x-1,将f1=2f(x)x-1代入f(x)=2f1·x-1中,可求得f(x)=2x+1.【答案】(1)x2-1(x≥1)(2)23x+13题型三分段函数问题【例3】(1)函数f(x)=sin(πx2),-1<x<0,e x-1,x≥0满足f(1)+f(a)=2,则a的所有可能值为().A.1或-22B.-22C .1D .1或 22(2)已知f (x )= (1-2a )x +3a ,x <1,ln x ,x ≥1的值域为R ,则a 的取值范围是 .【解析】(1)∵f (1)=e 1-1=1且f (1)+f (a )=2,∴f (a )=1.当-1<a<0时,f (a )=sin (πa 2)=1,∵0<a 2<1,∴0<πa 2<π,∴πa 2=π2⇒a=- 22;当a ≥0时,f (a )=e a-1=1⇒a=1.综上可得a=- 2或a=1,故选A .(2)要使函数f (x )的值域为R ,应满足 1−2a >0,ln1≤1−2a +3a ,即 a <1,a ≥−1,∴-1≤a<12, 故a 的取值范围是 -1,12 .【答案】(1)A (2) -1,12解决分段函数问题先确定自变量的值属于哪个区间,其次选定相应的解析式,根据要求求【变式训练3】(1)已知函数f (x )=sin πx ,x ≤0,f (x -1),x >0,则f 23 的值为( ).A .-1B .- 3C .1D . 3(2)设函数f (x )= 3x -b ,x <1,2x,x ≥1,若f f 56 =4,则b= . 【解析】(1)由函数的解析式可得f 23 =f 23-1 =f -13 =sin π· -13 =- 32,故选B .(2)f 5 =3×5-b=5-b ,若5-b<1,即b>3,则3× 5-b -b=15-4b=4,解得b=7,不满足条件,舍去;若52-b ≥1,即b ≤32,则252-b =4,解得b=12,满足条件.【答案】(1)B (2)1方法一分类讨论思想的应用分类讨论思想在函数中应用广泛,如求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后通过分类讨论求解.【突破训练1】已知函数f(x)=2x,x>0,x+1,x≤0,若f(a)+f(1)=0,则实数a的值为().A.-3B.-1C.1D.3【解析】当a>0时,由f(a)+f(1)=0得2a+2=0,故不存在实数a满足条件;当a≤0时,由f(a)+f(1)=0得a+1+2=0,解得a=-3,满足条件.故选A.【答案】A方法二待定系数法的应用若已知函数类型求解析式,可用待定系数法求解,先设出f(x),然后利用题目中的已知条件,列出关于待定系数的方程组,进而求出待定的系数.【突破训练2】若二次函数g(x)满足g(1)=1,g(-1)=5,且图象过原点,则g(x)的解析式为().A.g(x)=2x2-3xB.g(x)=3x2-2xC.g(x)=3x2+2xD.g(x)=-3x2-2x【解析】设g(x)=ax2+bx+c(a≠0),∵g(1)=1,g(-1)=5,且g(x)的图象过原点,∴a+b+c=1,a-b+c=5,c=0,解得a=3,b=−2,c=0,∴g(x)=3x2-2x,故选B.【答案】B1.(2017广西南宁质检)下图中可作为函数y=f(x)的图象的是().【解析】选项D是“多对一”,而选项A、B、C均为“一对多”,由函数的定义知选D.【答案】D2.(2014年江西卷)已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(a∈R).若f(g(1))=1,则a=().A.1B.2C.3D.-1【解析】∵g(x)=ax2-x,∴g(1)=a-1.∵f(x)=5|x|,∴f(g(1))=f(a-1)=5|a-1|=1,∴|a-1|=0,∴a=1.【答案】A3.(2017山东淄博月考)函数f(x)=2−xln x的定义域是().A.(0,2)B.(0,1)∪(1,2)C.(0,2]D.(0,1)∪(1,2]【解析】要使函数有意义,则有2−x≥0,x>0,ln x≠0,即x≤2,x>0,x≠1,所以0<x≤2且x≠1,所以函数f(x)的定义域为(0,1)∪(1,2],故选D.【答案】D4.(2017安徽黄山质检)已知f(x)是一次函数,且f(f(x))=x+2,则f(x)=().A.x+1B.2x-1C .-x+1D .x+1或-x-1【解析】设f (x )=kx+b (k ≠0),则由f (f (x ))=x+2,可得k (kx+b )+b=x+2,即k 2x+kb+b=x+2,∴k 2=1,kb+b=2,解得k=1,b=1,则f (x )=x+1.故选A .【答案】A5.(2016河南八市高三质检)已知函数f (x )= x 2-x,x ≥0,g (x ),x <0是奇函数,则g (f (-2))的值为( ).A .0B .2C .-2D .-4【解析】因为函数f (x )= x 2-x,x ≥0,g (x ),x <0是奇函数,所以f (-2)=-f (2)=-(4-2)=-2,所以g (f (-2))=g (-2)=f (-2)=-f (2)=-2,故选C .【答案】C6.(2017江西金溪高三上期中)设函数f (x )=1+log 6x,x ≥4,f (x 2),x <4,则f (3)+f (4)=.【解析】f (3)=f (9)=1+log 69,f (4)=1+log 64, 故f (3)+f (4)=1+log 69+1+log 64=2+log 6(9×4)=4. 【答案】47.(2017徐州沛县高三上第一次质检)函数y=lg (3x+1)+12−x 的定义域是 .【解析】由题意可得 3x +1>0,2−x ≠0,解得x>-13且x ≠2,故函数y=lg (3x+1)+12−x 的定义域是 x x >−13且x ≠2 .【答案】 x x >−1且x ≠28.(2017山东青岛一中检测)奇函数f (x )在(0,+∞)上的表达式为f (x )=x+ x ,则在(-∞,0)上f (x )的表达式为f (x )= .【解析】设x<0,则-x>0,∴f (-x )=-x+ -x .又∵f (x )为奇函数,∴f (x )=-f (-x )=x- -x ,即当x ∈(-∞,0)时,f (x )=x- -x .【答案】x- -x9.(2017山东省烟台市高三上期中)设函数f (x )= 1x-1(x ≥0),1(x <0),若f (a )>a ,则实数a 的取值范围是 .【解析】当a ≥0时,f (a )=12a-1>a ,解得a<-2,无解; 当a<0时,f (a )=1a >a ,解得a<-1或a>1(舍去).综上可得,a<-1. 【答案】(-∞,-1)10.(2017四川遂宁零诊)设函数f (x )= x -1,则f x2 +f 4x 的定义域为( ).A . 12,4B .[2,4]C .(1,+∞)D . 12,2【解析】函数f (x )= x -1的定义域为[1,+∞),则 x2≥1,4x≥1,解得2≤x ≤4, 故所求函数的定义域为[2,4]. 【答案】B11.(2017湖北武汉四月调考)已知函数f (x )满足f 1x +1x f (-x )=2x (x ≠0),则f (-2)=( ).A .-7B .9C .7D .-9【解析】已知函数f (x )满足f 1x +1x f (-x )=2x (x ≠0),令x=2可得f 12 +12f (-2)=4; ①令x=-12可得f (-2)-2f 12=-1. ②联立①②可得f(-2)=72.【答案】C12.(2017山东烟台高三上期中)已知函数f(x)=lg(1-x)的值域为(-∞,0),则函数f(x)的定义域为().A.[0,+∞)B.(0,1)C.[-9,+∞)D.[-9,1)【解析】∵函数f(x)=lg(1-x)的值域为(-∞,0),∴lg(1-x)<0,∴0<1-x<1,解得0<x<1,则函数f(x)的定义域为(0,1).【答案】B13.(2017河北衡水武邑中学高三上二调)已知函数f(x)=sinπx3,x<1,-log2x,x≥1,且f(a)=-3,则f(6-a)等于().A.12B.-12C.32D.-32【解析】∵f(x)=sin πx3,x<1,-log2x,x≥1,且f(a)=-3,∴当a<1时,f(a)=sin aπ3=-3,不成立;当a≥1时,f(a)=-log2a=-3,解得a=8.∴f(6-a)=f(-2)=sin-2π3=-32.【答案】D14.(2017铁岭市协作体第一次联考)设函数f(x)=ln(−x),x<0,-ln x,x>0,若f(m)>f(-m),则实数m的取值范围是.【解析】已知函数f(x)=ln(−x),x<0,当m>0时,f(m)>f(-m),即为-ln m>ln m,则ln m<0,解得-ln x,x>0,0<m<1;当m<0时,f(m)>f(-m),即为ln(-m)>-ln(-m),则ln(-m)>0,解得m<-1.综上可得,m<-1或0<m<1.【答案】(-∞,-1)∪(0,1)§2.2函数的单调性与最值一函数的单调性一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,都有,那么就说函数f(x)在区间D上是增函数;当x1<x2时,都有,那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.二函数的单调区间。

（时间：40分钟)1．一质点运动时速度与时间的关系为v(t)＝t2－t＋2，质点做直线运动,则此质点在时间内的位移为（)A.176B。

错误!C.错误! D.错误!答案A解析质点在时间内的位移为错误!（t2－t＋2）d t＝错误!错误!＝错误!。

2．函数f(x）＝错误!则错误!d x的值为（)A．π＋6 B．π－2C．2πD．8答案 A解析错误!－2f(x)d x＝错误!（2－x)d x＋错误!错误!d x＝错误!错误!＋错误!×π×22＝6＋π,故选A。

3。

如图,在矩形O ABC内：记抛物线y＝x2＋1与直线y＝x＋1围成的区域为M（图中阴影部分)．随机往矩形O ABC 内投一点P，则点P落在区域M内的概率是( )A。

错误!B.错误!C。

错误! D.错误!答案B解析根据定积分知识可得阴影部分面积S＝错误!d x＝错误!，点P落在区域M内的概率为关于面积的几何概型，所以由几何概型的概率计算公式得P＝错误!＝错误!,故选B.4．由曲线f（x)＝x与y轴及直线y＝m(m＞0）围成的图形的面积为错误!，则m的值为( ）A．2 B．3C．1 D．8答案 A解析 S ＝错误! (m －错误!)d x ＝错误!错误!＝m 3－错误!m 3＝错误!,解得m ＝2。

5．定积分错误!｜x 2－2x |d x ＝（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8答案 D解析 ∵｜x 2－2x ｜＝错误!∴错误!|x 2－2x ｜d x ＝错误!(x 2－2x ）d x ＋错误!（－x 2＋2x ）d x＝错误!错误!错误!＋错误!错误!错误!＝8.6．函数f （x ）＝错误!的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为________．答案 错误!解析 根据定积分的几何意义结合图形可得所求的封闭图形的面积为S ＝12×1×1＋错误!cos x d x ＝错误!＋sin x 错误!＝错误!＋sin 错误!－sin0＝错误!.7．正方形的四个顶点A（－1，－1)，B（1，－1），C（1，1）,D（－1，1）分别在抛物线y＝－x2和y＝x2上,如图所示．若将一个质点随机投入正方形ABC D中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．答案2 3解析由几何概型的概率计算公式可知，所求概率P＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!。

高考数学一轮复习第2章第5节一、选择题1．(2010·重庆南开中学)函数y＝lg(x＋1)的反函数的图象为()[答案] D[解析]解法1：∵函数y＝lg(x＋1)的图象过点(0,0)，故反函数过点(0,0)，排除A、B、C，选D.解法2：函数y＝lg(x＋1)的反函数为y＝10x－1，故选D.2．(2010·浙江杭州质检)使“lg m<1”成立的一个充分不必要条件是()A．m∈(0，＋∞)B．m∈{1,2}C．0<m<10D．m<1[答案] B[解析]由lg m<1得，0<m<10，∴当m∈{1,2}时，lg m<1成立，但lg m<1成立时，不一定有m∈{1,2}，故选B.[点评]使命题p成立的集合为A，使命题q成立的集合为B，若A B，则p是q的充分不必要条件，本题中{1,2}{m|0<m<10}，∴m∈{1,2}是lg m<1成立的充分不必要条件．3．(2010·江西文)若函数y＝ax1＋x的图象关于直线y＝x的对称，则a为()A．1B．－1 C．±1 D．任意实数[解析] 由题意知，函数y ＝ax 1＋x的反函数与其是同一函数，∵x ＝1时，y ＝a 2，∴x ＝a2时，y ＝a 22＋a＝1，解得a ＝－1或2，结合选项知选B. [点评] ①可以先求出y ＝ax 1＋x 的反函数y ＝x a －x ，即y ＝－x －a ＋x 与函数y ＝ax1＋x 是同一函数，比较系数知a ＝－1(或由x a －x ＝ax1＋x恒成立求得a ＝－1)． ②如果不是选择题，上面求得a ＝－1或2后，还要继续检验来确定a 的取值． 4．(文)若x ∈(e －1,1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a [答案] C [解析] ∵x ∈(e－1,1)，∴－1<ln x <0∵b －a ＝2ln x －ln x ＝ln x <0，∴b <a .①∵a －c ＝ln x －ln 3x ＝ln x (1－ln x )(1＋ln x )<0，∴a <c ② 由①②得：b <a <c .(理)(2010·全国Ⅰ理，8)设a ＝log 32，b ＝ln2，c ＝5－12，则( )A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <a <bD ．c <b <a [答案] C[解析] a ＝log 32＝1log 23，b ＝ln2＝1log 2e ，而log 23>log 2e >1，所以a <b ，c ＝5－12＝15，而5>2＝log 24>log 23，所以c <a ，综上c <a <b .5．已知f (x )＝log 2a －2－x x －a 的是奇函数，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．±1D ．a ∈R[解析] 由a －2－xx －a >0得，a －2<x <a ，∵f (x )为奇函数，∴a －2＝－a ⇒a ＝1. 经验证可知：a ＝1时，f (x )是奇函数，∴a ＝1为所求．6．(2010·上海大同中学模考)如果一个点是一个指数函数的图象与一个同底的对数函数图象的公共点，那么称这个点为“世博点”．在下面的五个点M (1,1)，N (1,2)，P (2,1)，Q (2,2)，G (2，12)中，“世博点”的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 [答案] B[解析] 设两函数分别为y ＝a x 与y ＝log a x 把五个点的坐标分别代入可知只有Q 点适合，故选B.7．(文)(2010·广东佛山顺德区质检)已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x ) x >0g (x ) x <0是偶函数，f (x )＝log a x 对应的图象如右图所示，则g (x )＝( )A ．2xB ．log 12(－x )C ．log 2(－x )D ．－log 2(－x ) [答案] C[解析] ∵f (x )＝log a x 的图象过点(2,1)，∴log a 2＝1，∴a ＝2，即f (x )＝log 2x ，设h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x ) x >0g (x ) x <0，当x <0时，－x >0，∴h (－x )＝f (－x )＝log 2(－x )，又h (x )为偶函数，∴h (－x )＝h (x )，∴当x <0时，h (x )＝log 2(－x )，即g (x )＝log 2(－x )．(理)如果函数y ＝a －x (a >0，且a ≠1)是减函数，那么函数f (x )＝log a 1x ＋1的图象大致是( )[答案] C[解析] 由函数y ＝a －x (a >0，且a ≠1)是减函数，知a >1，∴0<1a <1，f (x )＝log a 1x ＋1＝－log a (x ＋1)＝log 1a(x ＋1)．函数f (x )的图象可以看做由函数y ＝log 1a x 的图象向左平移1个单位的长度得到，∴f (x )是减函数．8．(2010·佛山质检)已知函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，则( ) A ．f (3)<f (－2)<f (1) B ．f (1)<f (－2)<f (3) C ．f (－2)<f (1)<f (3) D ．f (3)<f (1)<f (－2) [答案] B[解析] 因为f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，所以a >1，f (1)<f (2)<f (3)．又函数f (x )＝log a |x |为偶函数，所以f (2)＝f (－2)，所以f (1)<f (－2)<f (3)．故选B.9．(2010·江西师大附中、临川一中联考)已知函数f (x )满足f (x )＝f (4－x )，且当x >2时，f (x )是增函数，若a ＝f (1.20.9)，b ＝f (0.91.2)，c ＝f (log 139)，则a 、b 、c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．c <a <bC ．b <c <aD ．a <b <c [答案] D[解析] 由已知得函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，故f (x )在(－∞，2)上是减函数，∵log 139＝－2<0<0.91.2<0.90＝1.20<1.20.9<2，∴a <b <c ，选D.10．(文)已知函数y ＝f (x )满足：①对任意实数x ，有f (2＋x )＝f (2－x )；②对任意2≤x 1<x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0.则a ＝f (2log 24)，b ＝f (log 124)，c ＝f (1)的大小关系是( )A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <b <aD ．c <a <b [答案] D[解析] ∵f (2＋x )＝f (2－x )，∴f (x )＝f (4－x )，∴b ＝f (log 124)＝f (－2)＝f (6)，c ＝f (1)＝f (3)，a ＝f (2log 24)＝f (4)．又对任意2≤x 1<x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，∴f (x )在[2，＋∞)上为增函数， ∴f (3)<f (4)<f (6)，即c <a <b .(理)(2010·青岛一中)若函数f (x )＝log a (x 3－ax )(a >0，a ≠1)在区间⎝⎛⎭⎫－12，0上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．[14，1)B ．[34，1)C ．(94，＋∞)D ．(1，94)[答案] B[解析] 设u (x )＝x 3－ax ，由复合函数的单调性，可分0<a <1和a >1两种情况讨论： ①当0<a <1时，u (x )＝x 3－ax 在(－12，0)上单调递减，即u ′(x )＝3x 2－a ≤0在(－12，0)上恒成立，∴a ≥34，∴34≤a <1；②当a >1时，u (x )＝x 3－ax 在(－12，0)上单调递增，即u ′(x )＝3x 2－a ≥0在(－12，0)上恒成立，∴a ≤0，∴a 无解． 综上可知34≤a <1，故选B.二、填空题11．(文)已知a 23＝49 (a >0)，则log 23a ＝________.[答案] 3[解析] 解法1：∵a 23＝49 (a >0)，∴log a 49＝23，∴log a 23＝13，∴log 23a ＝3.解法2：设log 23a ＝x ，则a ＝⎝⎛⎭⎫23x ， ∴⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫23x 23＝49， 即⎝⎛⎭⎫2323x ＝⎝⎛⎭⎫232，∴23x ＝2，∴x ＝3. (理)(2010·上海松江区模拟)方程lg x ＋lg(x ＋3)＝1的解是x ＝________. [答案] 2[解析] 方程化为⎩⎪⎨⎪⎧ x >0x ＋3>0x (x ＋3)＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >0x >－3x ＝2或－5，∴x ＝2.12．(文)(2010·北京延庆县模考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－xx ∈(－∞，1]log 81x x ∈(1，＋∞)，则满足f (x )＝14的x值为______．[答案] 3[解析] 由f (x )＝14得，⎩⎪⎨⎪⎧x ≤12－x ＝14或⎩⎪⎨⎪⎧x >1log 81x ＝14，∴x ＝3.(理)设a >1，若仅有一个常数c 使得对于任意的x ∈[a,2a ]，都有y ∈[a ，a 2]满足方程log a x ＋log a y ＝c ，这时a 的取值的集合为________．[答案] {2}[解析] 依题意得y ＝a cx ，当x ∈[a,2a ]时，y ＝a cx单调减，∴⎩⎪⎨⎪⎧12a c －1＝a a c －1＝a 2，∴c ＝3，a 2＝2a ，又a >1，所以a ＝2.13．(2010·重庆南开中学)不等式|1＋log 2x |>2的解集是________． [答案] (0，18)∪(2，＋∞)[解析] 不等式化为1＋log 2x >2或1＋log 2x <－2， ∴log 2x >1或log 2x <－3， ∴x >2或0<x <18.14．(2010·安徽江南十校联考)已知实数a ，b 满足log 12a ＝log 13b ，下列五个关系式：①a >b >1，②0<b <a <1，③b >a >1，④0<a <b <1，⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有________(填序号)．[答案] ①④[解析] 当a ＝b ＝1时，显然满足题意． 故⑤a ＝b 有可能成立；当a ≠1且b ≠1时， 根据log 12a ＝log 13b 得lg a lg 12＝lg blg 13，因此lg a ＝lg 12lg 13lg b ＝(log 1312)lg b ＝log 32·lg b .∵0<log 32<1，∴0<lg a <lg b ，或lg b <lg a <0，故③b >a >1和②0<b <a <1有可能成立．故填①④.[点评] 函数关系问题借助函数图象来解决常能起到事半功倍的功效，本题若在同一坐标系中画出函数y ＝log 12x 与y ＝log 13x 的图象(由对数函数在x >1、0<a <1时底大图低的特点，草图很容易画出)，作垂直于y 轴的直线与两图象交点的纵坐标相等可知，在l 1状态下，0<b <a <1，在l 2状态下，b >a >1，在x 轴上，a ＝b ＝1，故可知②③⑤都有可能．三、解答题15．(文)已知函数f (x )＝log a (a x －1)(a >0且a ≠1)． (1)证明函数f (x )的图象在y 轴的一侧；(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)是f (x )图象上两点，证明直线AB 的斜率大于0.[解析] (1)由a x －1>0，得a x >1.当a >1时，解得x >0，此时f (x )的图象在y 轴右侧； 当0<a <1时，解得x <0，此时f (x )的图象在y 轴左侧． ∴对a >0且a ≠1的任意实数a ，f (x )的图象总在y 轴一侧． (2)①当a >1时，x >0，由0<x 1<x 2得，1<ax 1<ax 2， ∴0<ax 1－1<ax 2－1，即ax 2－1ax 1－1>1.∴f (x 2)－f (x 1)＝log a (ax 2－1)－log a (ax 1－1) ＝log a ax 2－1ax 1－1>0.直线AB 的斜率k AB ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1>0.②当0<a <1时，由x 1<x 2<0得， ax 1>ax 2>1，f (x 2)－f (x 1)>0. 同上可得k AB >0.(理)(2010·石狮质检)已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围．(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．[解析] (1)由题意，3－ax >0对一切x ∈[0,2]恒成立，∵a >0且a ≠1，∴g (x )＝3－ax 在[0,2]上是减函数，从而g (2)＝3－2a >0得a <32.∴a 的取值范围为(0,1)∪⎝⎛⎭⎫1，32. (2)假设存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1. 由题设f (1)＝1，即log a (3－a )＝1，∴a ＝32，此时f (x )＝log 32⎝⎛⎭⎫3－32x ，当x ＝2时，函数f (x )没有意义，故这样的实数a 不存在．16．(文)已知过原点O 的一条直线与函数y ＝log 8x 的图象交于A 、B 两点，分别过A 、B 作y 轴的平行线与函数y ＝log 2x 的图象交于C 、D 两点．(1)证明点C 、D 和原点O 在同一直线上； (2)当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标．[分析] (1)证明三点在同一条直线上，只须证明k OC ＝k OD ； (2)解方程组得x 1，x 2，代入解析式即可求解． [解析] (1)设点A 、B 的横坐标分别为x 1、x 2，由题设知x 1>1，x 2>1，则点A 、B 的纵坐标分别为log 8x 1、log 8x 2. 因为A 、B 在过点O 的直线上， 所以log 8x 1x 1＝log 8x 2x 2(*)点C 、D 的坐标分别为(x 1，log 2x 1)、(x 2，log 2x 2)，由于log 2x 1＝log 8x 1log 82＝3log 8x 1，log 2x 2＝3log 8x 2，OC 的斜率为k 1＝log 2x 1x 1＝3log 8x 1x 1，OD 的斜率为k 2＝log 2x 2x 2＝3log 8x 1x 1，由此可知k 1＝k 2，即O 、C 、D 在同一直线上． (2)由于BC 平行于x 轴，知log 2x 1＝log 8x 2， 即得log 2x 1＝13log 2x 2，∴x 2＝x 13，代入(*)得，x 13log 8x 1＝3x 1log 8x 1， 由于x 1>1，知log 8x 1≠0，故x 13＝3x 1， ∵x 1>1，∴x 1＝3，于是点A 的坐标为(3，log 83)．(理)函数y ＝log a x (x >1，a >1)图象上有A 、B 、C 三点，横坐标分别为m ，m ＋2，m ＋4. (1)求△ABC 的面积S ＝f (m )； (2)判断S ＝f (m )的单调性和值域．[解析] (1)首先作出y ＝log a x (x >1，a >1)的图象，如图所示． 过A 、B 、C 分别向x 轴作垂线，垂足为A 1、B 1、C 1，则S △ABC ＝S 梯形AA 1B 1B ＋S 梯形BB 1C 1C －S 梯形AA 1C 1C ＝12[log a m ＋log a (m ＋2)]×2＋12[log a (m ＋2)＋log a (m ＋4)]×2－12[log a m ＋log a (m ＋4)]×4＝2log a (m ＋2)－log a m －log a (m ＋4) ＝log a (m ＋2)2m (m ＋4).又log a m >0，∴m >1.故S ＝f (m )＝log a (m ＋2)2m (m ＋4)(m >1)．(2)由f (m )＝log a (m ＋2)2m (m ＋4)＝log a ⎝⎛⎭⎫1＋4m (m ＋4)，∵1＋4m (m ＋4)在(1，＋∞)上为减函数，又a >1，故f (m )在(1，＋∞)上为减函数． 下面求值域，∵m >1，∴m (m ＋4)＝m 2＋4m ＝(m ＋2)2－4>5， 则0<4m (m ＋4)<15，从而有1<1＋4m (m ＋4)<95.又a >1，∴0<log a ⎝⎛⎭⎫1＋4m (m ＋4)<log a 95，即0<f (m )<log a 95，故f (m )的值域为(0，log a 95)．17．(2010·杭州冲刺)已知函数f (x )＝ln(e x ＋a )(a 为常数)是实数集R 上的奇函数，函数g (x )＝λf (x )＋sin x 是区间[－1,1]上的减函数．(1)求g (x )在x ∈[－1,1]上的最大值；(2)若g (x )≤t 2＋λt ＋1对∀x ∈[－1,1]及λ∈(－∞，－1]恒成立，求t 的取值范围； (3)(理)讨论关于x 的方程ln xf (x )＝x 2－2ex ＋m 的根的个数．[解析] (1)f (x )＝ln(e x ＋a )是奇函数， 则ln(e －x ＋a )＝－ln(e x ＋a )恒成立．∴(e －x ＋a )(e x ＋a )＝1.1＋ae －x ＋ae x ＋a 2＝1，∴a (e x ＋e －x ＋a )＝0，∴a ＝0.又∵g (x )在[－1,1]上单调递减， ∴g (x )max ＝g (－1)＝－λ－sin1.(2)只需－λ－sin1≤t 2＋λt ＋1在λ∈(－∞，－1]上恒成立，∴(t ＋1)λ＋t 2＋sin1＋1≥0在λ∈(－∞，－1]上恒成立．令h (λ)＝(t ＋1)λ＋t 2＋sin1＋1(λ≤－1)，则⎩⎪⎨⎪⎧t ＋1≤0－t －1＋t 2＋sin1＋1≥0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧t ≤－1t 2－t ＋sin1≥0， ∵Δ＝(－1)2－4sin1<0，∴t 2－t ＋sin1≥0恒成立，∴t ≤－1. (3)(理)由(1)知f (x )＝x ， ∴方程为ln xx＝x 2－2ex ＋m ，令f 1(x )＝ln x x，f 2(x )＝x 2－2ex ＋m ，∵f ′1(x )＝1－ln x x 2， 当x ∈(0，e )时，f ′1(x )≥0，∴f 1(x )在(0，e ]上为增函数； x ∈[e ，＋∞)时，f ′1(x )≤0，∴f 1(x )在[0，e )上为减函数．∴当x ＝e 时，f 1(x )max ＝f 1(e )＝1e. 而f 2(x )＝(x －e )2＋m －e 2，∴函数f 1(x )、f 2(x )在同一坐标系的大致图象如图所示，∴①当m －e 2>1e， 即m >e 2＋1e时，方程无解． ②当m －e 2＝1e ，即m ＝e 2＋1e时，方程有一个根． ③当m －e 2<1e ，即m <e 2＋1e 时，方程有两个根．。

第二章 函 数考点集训(四) 第4讲 函数的概念、解析式及定义域1．函数f (x )＝1log 2x －1的定义域为A ．(0，2)B ．(0，2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)2．若函数y ＝f (x )的定义域为[0，2]，则函数g (x )＝f （2x ）x －1的定义域是 A ．[0，1] B ．[0，1)C ．[0，1)∪(1，4]D ．(0，1)3．已知f ：x →－sin x 是集合A (A ⊆[0，2π])到集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12的一个映射，则集合A 中的元素个数最多有A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a·2x，x ≥0，2－x，x ＜0(a ∈R )，若f [f (－1)]＝1，则a ＝A.14B.12 C ．1 D ．25．若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (x )＝ A ．x －1 B ．x ＋1 C ．2x ＋1 D ．3x ＋36．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ＜1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是__________．7．二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )＞2x ＋5.8．函数f (x )对一切函数x 、y 均有f (x ＋y )－f (y )＝x (x ＋2y ＋1)成立，且f (1)＝0， (1)求f (0)的值；(2)试确定函数f (x )的解析式．9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cx ＋1，（0<x <c ），2－x c 2＋1，（c ≤x <1）满足f (c 2)＝98. (1)求常数c 的值； (2)解不等式f (x )＞28＋1.考点集训(五) 第5讲 函数的值域与最值1．函数y ＝log 2x ＋log x (2x )的值域为A ．(－∞，－1]B ．[3，＋∞)C ．[－1，3]D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)2．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a<b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于A ．－1B ．1C ．6D ．123．若函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，则函数F (x )＝f (x )＋1f （x ）的值域是 A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，103 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，103C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，524．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，|x|≥1，x ，|x|＜1，g (x )是二次函数，若f [g (x )]的值域是[0，＋∞)，则g (x )的值域是A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B ．(－∞，－1]∪[0，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．[1，＋∞)5．已知f (x )＝12(x ＋|x|)，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ＜0，x 2，x ≥0，函数f [g (x )]＝______________，值域为__________．6．若函数f (x )＝12x 2－x ＋a 的定义域和值域均为[1，b ](b ＞1)，求a ，b 的值．7．若a ∈R ，函数f (x )＝13x 3＋12ax 2－(a ＋1)x .当x ∈[－1，2]时，－1≤f (x )≤23恒成立，求实数a 的取值范围．8．已知函数f (x )＝x 2＋4ax ＋2a ＋6.(1)若函数f (x )的值域为[0，＋∞)，求a 的值；(2)若函数f (x )的函数值均为非负数，求f (a )＝2－a |a ＋3|的值域．9．已知函数y ＝1＋x 1－x＋lg(3－4x ＋x 2)的定义域为M .(1)求M ；(2)当x ∈M 时，求f (x )＝a ·2x ＋2＋3×4x(a ＞－3)的最小值．考点集训(六) 第6讲 函数的单调性1．下列函数中，定义域是R 且为增函数的是A ．y ＝e －xB ．y ＝x 3C ．y ＝ln xD ．y ＝|x |2．下列函数中，在(－1，1)内有零点且单调递增的是A ．y ＝log 12xB ．y ＝2x－1C ．y ＝x 2－12D ．y ＝－x 33．函数f (x )(x ∈R )的图象如下图所示，则函数g (x )＝f (log a x )(0＜a ＜1)的单调减区间是A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 B ．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C ．[a ，1]D ．[a ，a ＋1]4．已知f (x )＝3－axa －1(a ≠1)在区间(0，4]上是增函数，则实数a 的取值范围是A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 B ．(0，1) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1 D ．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1 5．已知y ＝f (x )是定义在(－2，2)上的增函数，若f (m －1)＜f (1－2m )，则m 的取值范围是______________．6．已知下列四个命题：①若f (x )为减函数，则－f (x )为增函数；②若f (x )为增函数，则函数g (x )＝1f （x ）在其定义域内为减函数；③若f (x )与g (x )均为(a ，b )上的增函数，则f (x )·g (x )也是区间(a ，b )上的增函数；④若f (x )与g (x )在(a ，b )上分别是递增与递减函数，且g (x )≠0，则f （x ）g （x ）在(a ，b )上是递增函数．其中正确命题的序号是________．7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x －10（x ≤2），log 3（x －1）－6（x ＞2）.若f (6－a 2)＞f (5a )，则实数a 的取值范围是____________．8．已知函数f (x )＝a ·2x ＋b ·3x，其中常数a ，b 满足ab ≠0. (1)若ab ＞0，判断函数f (x )的单调性；(2)若ab ＜0，求f (x ＋1)＞f (x )时x 的取值范围．9．已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x ＞0时，f (x )＜0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数；(2)求f (x )在[－3，3]上的最大值和最小值．考点集训(七) 第7讲 函数的奇偶性、周期性和对称性1．下列函数为奇函数的是A ．f (x )＝1＋22x －1B ．f (x )＝xsin xC ．f (x )＝log 2|x|D ．f (x )＝x 2＋2x2．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且y ＝f (x )的图象关于直线x ＝13对称，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝ A ．0 B ．1 C ．－1 D ．23．对于函数f (x )，若存在常数a ≠0，使得x 取定义域内的每一个值，都有f (x )＝f (2a －x )，则称f (x )为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是A ．f (x )＝xB ．f (x )＝x 2C ．f (x )＝tan xD ．f (x )＝cos(x ＋1)4．x 为实数，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数f (x )＝x －[x ]在R 上为 A ．奇函数 B ．偶函数 C ．增函数 D ．周期函数5．若奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，又f (－3)＝0，则不等式xf （x ）<0的解集为A ．(－3，0)∪(3，＋∞)B ．(－3，0)∪(0，3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0，3)6．偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________．7．若f (x )＝ln(e 3x＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝__________．8．奇函数f (x )满足对任意x ∈R 都有f (2＋x )＋f (2－x )＝0，且f (1)＝9，则f (2 015)＋f (2 016)＋f (2 017)的值为________．9．已知函数f (x )＝2|x －2|＋ax (x ∈R )有最小值． (1)求实数a 的取值范围．(2)设g (x )为定义在R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝f (x )，求g (x )的解析式．考点集训(八) 第8讲 二次函数和二次方程1．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a>b>c ，且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象是2．定义域为R 的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )，且当x ∈(0，1]时，f (x )＝x 2－x ，则当x ∈[－2，－1]时，f (x )的最小值为A ．－116B ．－18C ．－14D ．03．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1，4)内有解，则实数a 的取值范围是 A ．a <－2 B ．a >－2 C ．a >－6 D ．a <－64．对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a －b ≥1，a ，a －b <1.设f (x )＝(x 2－1)⊗(4＋x )，若函数y ＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同交点，则k 的取值范围是A ．(－2，1)B ．[0，1]C ．[－2，0)D ．[－2，1)5．若函数f (x )＝ax 2＋20x ＋14(a >0)对任意实数t ，在闭区间[t －1，t ＋1]上总存在两实数x 1、x 2，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥8成立，则实数a 的最小值为________．6．已知函数f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a >0)，对任意的x 1∈[－1，2]都存在x 0∈[－1，2]，使得g (x 1)＝f (x 0)，则实数a 的取值范围是____________．7．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2，3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1，3]上的最大值为1，求实数a 的值．8．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5(a >1)．(1)若f (x )的定义域和值域均是[1，a ]，求实数a 的值；(2)若f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，求实数a 的取值范围．9．已知函数f (x )＝ax 2＋ax 和g (x )＝x －a .其中a ∈R 且a ≠0.(1)若函数f (x )与g (x )的图象的一个公共点恰好在x 轴上，求a 的值；(2)若p 和q 是方程f (x )－g (x )＝0的两根，且满足0<p <q <1a，证明：当x ∈(0，p )时，g (x )<f (x )<p －a .考点集训(九) 第9讲 指数与指数函数、幂函数1．已知幂函数f (x )＝x α的图象过点(4，2)，若f (m )＝3，则实数m 的值为 A. 3 B ．± 3 C ．±9 D ．92．当α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，1，3时，幂函数y ＝x α的图象不可能经过的象限是A ．第二象限B ．第三象限C ．第四象限D ．第二、四象限3．若x ∈(0，1)，则下列结论正确的是A ．lg x>x 12>2xB ．2x>lg x>x 12C ．x 12>2x >lg xD ．2x>x 12>lg x4．幂函数y ＝x －1，y ＝x m与y ＝x n在第一象限内的图象如图所示，则m 与n 的取值情况为A ．－1<m<0<n<1B ．－1<n<0<mC ．－1<m<0<nD ．－1<n<0<m<15．已知函数f (x )＝|2x－1|，a<b<c ，且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是A ．a<0，b<0，c<0B ．a<0，b ≥0，c>0C ．2－a <2cD ．2a ＋2c<26．化简下列各式：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫214－12－(0.01)0.5＝__________；(2)a 2bb3a ·4a b3＝____________．7．已知函数f (x )＝2x－12x (x ∈R )．(1)讨论f (x )的单调性与奇偶性；(2)若2xf (2x )＋mf (x )≥0对任意的x ∈[0，＋∞)恒成立，求m 的取值范围．8．已知函数g ()x ＝ax 2－2ax ＋1＋b ()a >0在区间[]2，3上有最小值1和最大值4，设f ()x ＝g ()x x.(1)求a 、b 的值；(2)若不等式f ()2x －k ·2x≥0在区间[]－1，1上有解，求实数k 的取值范围．9．已知f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3(a ＞0且a ≠1)．(1)求函数f (x )的定义域； (2)讨论f (x )的奇偶性；(3)求a 的取值范围，使f (x )＞0在定义域上恒成立．考点集训(十) 第10讲 对数与对数函数1．设a ＝log 2π，b ＝log 12π，c ＝π－2，则A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞b ＞a2．已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a ＝b<c B ．a ＝b>c C ．a<b<c D ．a>b>c3．已知函数f (x )＝|lg x|，若0<a<b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋4b 的取值范围是 A ．(4，＋∞) B ．[4，＋∞) C ．(5，＋∞) D ．[5，＋∞)4．函数f (x )＝(x －1)ln |x|的图象大致为5．若函数f (x )＝log a (ax －3)在区间[1，3]上单调递增，则a 的取值范围是 A ．(1，＋∞) B ．(0，1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 D ．(3，＋∞) 6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x>0，log 12（－x ），x<0.若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是A ．(－1，0)∪(0，1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0，1)7．设f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (2＋x )＝f (2－x )，当x ∈[－2，0]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x－1.若在区间(－2，6)内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a ＞0且a ≠1)恰有4个不同的实数根，则实数a 的取值范围是A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 B ．(1，4) C ．(1，8) D ．(8，＋∞)8．已知f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，x ∈(－1，1)．现有下列命题：①f (－x )＝－f (x )；②f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋x 2＝2f (x )；③|f (x )|≥2|x |.其中的所有正确命题的序号是 A ．①②③ B ．②③ C ．①③ D ．①②9．已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x1＋x.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 017的值．(2)当x ∈(－a ，a ]，其中a ∈(0，1)，a 是常数时，函数f (x )是否存在最小值？若存在，求出f (x )的最小值；若不存在，请说明理由．考点集训(十一) 第11讲函数图象及其变换1．函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝e x关于y轴对称，则f(x)＝A．e x＋1 B．e x－1C．e－x＋1 D．e－x－12．在去年年初，某公司的一品牌电子产品，由于替代品的出现，产品销售量逐渐下降，五月份公司加大了宣传力度，销售量出现明显的回升，九月份，公司借大学生开学之机，采取了促销等手段，产品的销售量猛增，十一月份之后，销售量有所回落．下面大致能反映出该公司去年该产品销售量的变化情况的图象是3．现有四个函数①y＝x·sin x，②y＝x·cos x，③y＝x·|cos x|，④y＝x·2x的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的一组是A．①④②③ B．①④③②C．④①②③ D．③④②①4．函数f(x)＝sin x·ln |x|的部分图象为5．下列四个图中，函数y ＝10（ln |x ＋1|）x ＋1的图象可能是6．函数y ＝(x －1)3＋1的图象的对称中心是__________．7．(1)已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，且当x ∈R 时，f (m ＋x )＝f (m －x )恒成立．求证y ＝f (x )的图象关于直线x ＝m 对称；(2)若函数y ＝log 2|ax －1|的图象的对称轴是x ＝2，求非零实数a 的值．8．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x＋2的图象关于A (0，1)对称．(1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋a x，且g (x )在区间(0，2]上为减函数，求实数a 的取值范围．已知函数f (x )＝|2x |，现将y ＝f (x )的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到函数h (x )的图象．(1)求函数h (x )的解析式；(2)函数y ＝h (x )的图象与函数g (x )＝kx 2的图象在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上至少有一个交点，求实数k 的取值范围．考点集训(十二) 第12讲 函数与方程1．已知函数f (x )＝2x＋x ，g (x )＝log 3x ＋x ，h (x )＝x －1x的零点依次为a ，b ，c ，则A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c2．函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0，2)内的零点个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．33．f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为 A ．4 B ．5 C ．6 D ．74．已知a ＞1，设函数f (x )＝a x＋x －4的零点为m ，g (x )＝log a x ＋x －4的零点为n ，则mn 的最大值为A ．8B ．4C ．2D ．15．若函数f (x )满足f (x )＋1＝1f （x ＋1），当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ，若在区间(－1，1]上，g (x )＝f (x )－mx －2m 有两个零点，则实数m 的取值范围是A ．0＜m ≤13B ．0＜m ＜13C.13＜m ≤1D.13＜m ＜1 6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧14x ＋1，x ≤1，ln x ，x ＞1，则方程f (x )＝ax 恰有两个不同的实数根时，实数a 的取值范围是 A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1e C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，e 7．设a 为非零实数，偶函数f (x )＝x 2＋a|x －m|＋1(x ∈R )在区间(2，3)上存在唯一零点，则实数a 的取值范围是______________．8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤1，x 2－2x ＋2，x ＞1，若关于x 的函数g (x )＝f (x )－m 有两个零点，则实数m 的取值范围是__________．9．已知二次函数f (x )的最小值为－4，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f （x ）x－4ln x 的零点个数．考点集训(十三) 第13讲 函数的综合应用1．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是2．农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成.2015年某地区农民人均收入为3 150元(其中工资性收入为1 800元，其他收入为1 350元)，预计该地区自2016年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其他性收入每年增加160元．根据以上数据，2020年该地区的农民工的人均收入介于A ．4 200元～4 400元B ．4 400元～4 460元C ．4 460元～4 800元D ．4 800元～5 000元3．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x )＝f (2－x )，若f (x )在区间[]1，2上是减函数，则函数f (x )A ．在区间[]－2，－1上是增函数，区间[]3，4上是增函数B ．在区间[]－2，－1上是增函数，区间[]3，4上是减函数C ．在区间[]－2，－1上是减函数，区间[]3，4上是增函数D ．在区间[]－2，－1上是减函数，区间[]3，4上是减函数 4．给出下列命题：①在区间(0，＋∞)上，函数y ＝x －1，y ＝x 12，y ＝(x －1)2，y ＝x 3中有三个是增函数； ②若log m 3<log n 3<0，则0<n <m <1；③若函数f (x )是奇函数，则f (x －1)的图象关于点A (1，0)对称；④已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －2，x ≤2，log 3（x －1），x >2，则方程f (x )＝12有两个实数根．其中正确命题的个数为 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个5．某种储蓄按复利计算利息，若本金为a 元，每期利率为r ，存期是x ，本利和(本金加利息)为y 元，则本利和y 随存期x 变化的函数关系式为______________．6．已知最小正周期为2的函数y ＝f (x )，当x ∈[－1，1]时，f (x )＝x 2，则函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象与y ＝|log 5x |的图象交点个数为________个．7．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m ＜n )． (1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )＞0的解集；(2)若a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a，比较f (x )与m 的大小．8．已知f (x )＝|2x －1|＋ax －5(a 是常数，a ∈R )． (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集；(2)如果函数y ＝f (x )恰有两个不同的零点，求a 的取值范围．9．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b 为实数)，x ∈R ，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）（x >0），－f （x ）（x <0）.(1)若f (－1)＝0，且函数f (x )的值域为[0，＋∞)，求F (x )的表达式；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－2，2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围；(3)设mn <0，m ＋n >0，a >0且f (x )为偶函数，判断F (m )＋F (n )能否大于零？第二章 函 数第4讲 函数的概念、解析式及定义域【考点集训】1．C 2.B 3.B 4.A 5.B 6.(－∞，8]7．【解析】(1)设二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)． ∵f(0)＝1，∴c ＝1.把f(x)的表达式代入f(x ＋1)－f(x)＝2x ，有a(x ＋1)2＋b(x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x. ∴2ax ＋a ＋b ＝2x.∴a ＝1，b ＝－1.∴f(x)＝x 2－x ＋1.(2)由x 2－x ＋1＞2x ＋5，即x 2－3x －4＞0， 解得x ＞4或x ＜－1.故原不等式解集为{x|x ＞4或x ＜－1}． 8．【解析】(1)令x ＝1，y ＝0，得f(1)－f(0)＝2. 又∵f(1)＝0，∴f(0)＝－2.(2)令y ＝0，则f(x)－f(0)＝x(x ＋1)，由(1)知，f(x)＝x(x ＋1)＋f(0)＝x(x ＋1)－2＝x 2＋x －2.9．【解析】(1)因为0＜c ＜1，所以c 2＜c ，由f(c 2)＝98，即c 3＋1＝98，c ＝12.(2)由(1)得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，⎝⎛⎭⎪⎫0＜x ＜12，2－4x＋1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤x ＜1.由f(x)＞28＋1得，当0＜x ＜12时， 解得24＜x ＜12， 当12≤x ＜1时，解得12≤x ＜58， 所以f(x)＞28＋1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|24＜x ＜58.第5讲 函数的值域与最值【考点集训】1．D 2.C 3.C 4.C 5.⎩⎪⎨⎪⎧0，x ＜0，x 2，x ≥0 [0，＋∞) 6．【解析】∵f(x)＝12(x －1)2＋a －12，∴其对称轴为x ＝1，即函数f(x)在[1，b]上单调递增．∴f(x)min ＝f(1)＝a －12＝1，……①f(x)max ＝f(b)＝12b 2－b ＋a ＝b ，……②又b ＞1，由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝3，∴a ，b 的值分别为32，3.7．【解析】因为f′(x)＝(x －1)[x ＋(a ＋1)]， 又因为－1，1∈[－1，2]，所以f(－1)＝32a ＋23∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，23，f(1)＝－12a －23∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，23，即－1≤32a ＋23≤23且－1≤－12a －23≤23，解之得－109≤a ≤0.所以－1≤－(a ＋1)≤19.①当a ＝0时，f(x)max ＝max {f(－1)，f(2)}＝23，f(x)min ＝f(1)＝－23，满足条件．②当－109≤a<0时，所以f(x)min ＝min {(f －1)，f(1)}≥－1，f(2)＝23，所以只要f(－(a ＋1))≤23恒成立即可．设g(a)＝f(－(a ＋1))＝16(a ＋4)(a ＋1)2，因为g′(a)＝12(a ＋3)(a ＋1)，所以g(a)max ＝max {g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－109，g(0)}＝g(0)＝23， 则f(－(a ＋1))≤23恒成立．故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－109，0. 8．【解析】(1)∵函数的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝16a 2－4(2a ＋6)＝0⇒2a 2－a －3＝0⇒a ＝－1或a ＝32.(2)∵对一切x ∈R 函数值均为非负，∴Δ＝8(2a 2－a －3)≤0⇒－1≤a ≤32，∴a ＋3＞0，∴f (a )＝2－a |a ＋3|＝－a 2－3a ＋2，＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋322＋174⎝ ⎛⎭⎪⎫a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32.∵二次函数f (a )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32上单调递减， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32≤f (a )≤f (－1)，即－194≤f (a )≤4， ∴f (a )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－194，4. 9．【解析】(1)依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 1－x ≥0，且x ≠1，3－4x ＋x 2＞0，解得M ＝[－1，1)．(2)∵f (x )＝a ·2x ＋2＋3×4x＝3⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2a 32－43a 2，又12≤2x ＜2，a ＞－3，∴－2a3＜2. 若－2a 3≤12，即a ≥－34时，f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋34，若12＜－2a 3＜2，即－3＜a ＜－34时，则2x＝－23a ， 即x ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3时，f (x )min ＝－43a 2. 第6讲 函数的单调性【考点集训】1．B 2.B 3.C 4.A 5.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，23 6.① 7.－6＜a ＜1 8．【解析】(1)当a ＞0，b ＞0时，任意x 1，x 2∈R ，令x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝a (2x 1－2x 2)＋b (3x 1－3x 2)， ∵2x 1＜2x 2，a ＞0⇒a (2x 1－2x 2)＜0， 3x 1＜3x 2，b ＞0⇒b (3x 1－3x 2)＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，函数f (x )在R 上是增函数．当a ＜0，b ＜0时，同理，函数f (x )在R 上是减函数．(2)f (x ＋1)－f (x )＝a ·2x ＋2b ·3x＞0，当a ＜0，b ＞0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32x＞－a 2b ，则 x ＞log 1.5⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b ； 当a ＞0，b ＜0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32x＜－a 2b ，则x ＜log 1.5⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b . 9．【解析】(1)法一：∵函数f (x )对于任意x ，y ∈R 总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )， ∴令x ＝y ＝0，得f (0)＝0.再令y ＝－x ，得f (－x )＝－f (x )． 在R 上任取x 1＞x 2，则x 1－x 2＞0，f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2)． 又∵x ＞0时，f (x )＜0，而x 1－x 2＞0，∴f (x 1－x 2)＜0， 即f (x 1)＜f (x 2)．因此f (x )在R 上是减函数． 法二：设x 1＞x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2＋x 2)－f (x 2) ＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)－f (x 2) ＝f (x 1－x 2)．又∵x ＞0时，f (x )＜0，而x 1－x 2＞0， ∴f (x 1－x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， ∴f (x )在R 上为减函数．(2)由(1)得f (x )在R 上是减函数， ∴f (x )在[－3，3]上也是减函数，∴f (x )在[－3，3]上的最大值和最小值分别为f (－3)与f (3)． 而f (3)＝3f (1)＝－2，f (－3)＝－f (3)＝2.∴f (x )在[－3，3]上的最大值为2，最小值为－2. 第7讲 函数的奇偶性、周期性和对称性【考点集训】1．A 2.A 3.D 4.D 5.B 6.3 7.－328.09．【解析】(1)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧（a ＋2）x －4， x ≥2，（a －2）x ＋4， x<2，要使函数f(x)有最小值，需⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2≥0，a －2≤0，所以－2≤a ≤2，即当a ∈[－2，2]时，f(x)有最小值． (2)因为g(x)为定义在R 上的奇函数， 所以g (0)＝0.设x >0，则－x <0， 所以g (x )＝－g (－x )＝(a －2)x －4，所以g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －2）x －4，x >0，0，x ＝0，（a －2）x ＋4，x <0.第8讲 二次函数和二次方程【考点集训】1．D 2.A 3.A 4.D 5.8 6.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，127．【解析】(1)当a ＝2时，f(x)＝x 2＋3x －3，x ∈[－2，3]，对称轴x ＝－32∈[－2，3]，∴f(x)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－92－3＝－214，f(x)max ＝f(3)＝15，∴函数f(x)的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15. (2)函数f(x)的对称轴为x ＝－2a －12.①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f(x)max ＝f(3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13满足题意；②当－2a －12>1，即a<－12时，f(x)max ＝f(－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意．综上可知a ＝－13或－1.8．【解析】(1)∵f(x)＝(x －a)2＋5－a 2(a>1)， ∴f(x)在[1，a]上是减函数． 又定义域和值域均为[1，a]． ∴⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝a ，f （a ）＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＋5＝a ，a 2－2a 2＋5＝1，解得a ＝2. (2)∵f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，∴a ≥2. 又x ＝a ∈[1，a ＋1]，且(a ＋1)－a ≤a －1，∴f(x)max ＝f(1)＝6－2a ，f(x)min ＝f(a)＝5－a 2.∵对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f(x 1)－f(x 2)|≤4， ∴f(x)max －f(x)min ≤4，得－1≤a ≤3.又a ≥2，∴2≤a ≤3.故实数a 的取值范围是[2，3]． 9．【解析】(1)设函数g(x)图象与x 轴的交点坐标为(a ，0)，又∵点(a ，0)也在函数f(x)的图象上，∴a 3＋a 2＝0. 而a ≠0，∴a ＝－1.(2)由题意可知f(x)－g(x)＝a(x －p)(x －q)．∵0<x<p<q<1a，∴a(x －p)(x －q)>0，∴当x ∈(0，p)时，f(x)－g(x)>0，即f(x)>g(x)．又f(x)－(p －a)＝a(x －p)(x －q)＋x －a －(p －a)＝(x －p)(ax －aq ＋1)，x －p<0，且ax －aq ＋1>1－aq>0，∴f(x)－(p －a)<0，∴f(x)<p －a ， 综上可知，g(x)<f(x)<p －a. 第9讲 指数与指数函数、幂函数【考点集训】1．D 2.D 3.D 4.D 5.D 6．(1)1115 (2)1b8a 7b 77．【解析】(1)由f(－x)＝2－x －12－x ＝12x －2x ＝－f(x)知f(x)是奇函数．由y 1＝2x与y 2＝－2－x是(－∞，＋∞)上的增函数，得f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数．(2)当x ∈[0，＋∞)时，2x ⎝⎛⎭⎪⎫22x －122x ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x ≥0， 即⎝⎛⎭⎪⎫2x －12x ()22x ＋1＋m ≥0恒成立， 因为x ≥0时，2x －12x ≥0， 所以22x ＋1＋m ≥0，m ≥－(22x ＋1)，所以m ≥－(20＋1)＝－2.8．【解析】(1)g(x)＝a(x －1)2＋1＋b －a ，因为a>0，所以g(x)在区间[2，3]上是增函数，故⎩⎪⎨⎪⎧g （2）＝1，g （3）＝4，，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0. (2)由已知可得f(x)＝x ＋1x －2，所以f(2x )－k·2x ≥0，可化为2x ＋12x －2≥k·2x ，化为1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2·12x ≥k ，令t ＝12x ，则k ≤t 2－2t ＋1，因x ∈[－1，1]，故t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，记h(t)＝t 2－2t ＋1，因为t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，故h(t)max ＝1，所以k 的取值范围是(－∞，1]． 9．【解析】(1)由于a x －1≠0，则a x ≠1，得x ≠0，所以函数f(x)的定义域为{x|x ≠0，x ∈R }．(2)对于定义域内任意x ，有f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －x －1＋12(－x )3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a x 1－a x ＋12(－x )3 ＝⎝⎛⎭⎪⎫－1－1a x －1＋12(－x )3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3 ＝f (x )．∴f (x )是偶函数．(3)当a ＞1时，对任意x ＞0，由指数函数的性质知a x ＞1，∴a x －1＞0，1a x －1＋12＞0， 又x ＞0时，x 3＞0，∴x 3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12＞0， 即当x ＞0时，f (x )＞0.又由(2)，f (x )为偶函数，知f (－x )＝f (x )，当x ＜0时，－x ＞0，有f (－x )＝f (x )＞0成立．综上知a ＞1时，f (x )＞0在定义域上恒成立．对于0＜a ＜1时，f (x )＝（a x ＋1）x 32（a x －1）， 当x ＞0时，1＞a x ＞0，a x ＋1＞0，a x －1＜0，x 3＞0，此时f (x )＜0，不满足题意；当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝f (x )＜0，也不满足题意．综上，所求a 的取值范围是a ＞1.第10讲 对数与对数函数【考点集训】1．C 2.B 3.C 4.A 5.D 6.C 7.D 8.A9．【解析】(1)易知f(x)的定义域是(－1，1)．因为f(x)＝－x ＋log 21－x 1＋x， 所以f(－x)＝x ＋log 21＋x 1－x ＝－(－x)＋log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x －1＝－⎝⎛⎭⎪⎫－x ＋log 21－x 1＋x ＝－f(x)，即f(x)＋f(－x)＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 017＝0. (2)令t ＝1－x 1＋x ＝－1＋21＋x，则其在区间(－1，1)内单调递减．因为y ＝log 2t 为增函数， 所以f(x)＝－x ＋log 21－x 1＋x在区间(－1，1)内单调递减． 所以当x ∈(－a ，a]，其中a ∈(0，1)时，函数f(x)存在最小值f(a)＝－a ＋log 21－a 1＋a. 第11讲 函数图象及其变换【考点集训】1．D 2.C 3.A 4.A 5.C 6.(1，1)7．【解析】(1)设P(x 0，y 0)是y ＝f(x)图象上任意一点，则y 0＝f(x 0)．又P 点关于x ＝m 的对称点为P′，则P′的坐标为(2m －x 0，y 0)．由已知f(x ＋m)＝f(m －x)，得f(2m －x 0)＝f[m ＋(m －x 0)]＝f[m －(m －x 0)]＝f(x 0)＝y 0.即P′(2m－x 0，y 0)在y ＝f(x)的图象上．∴y ＝f(x)的图象关于直线x ＝m 对称．(2)对定义域内的任意x ，有f(2－x)＝f(2＋x)恒成立．∴|a(2－x)－1|＝|a(2＋x)－1|恒成立，即|－ax ＋(2a －1)|＝|ax ＋(2a －1)|恒成立．又∵a ≠0，∴2a －1＝0，得a ＝12. 8．【解析】(1)设f(x)图象上任一点P(x ，y)，则点P 关于(0，1)点的对称点P′(－x ，2－y)在h(x)的图象上，即2－y ＝－x －1x＋2， ∴y ＝f(x)＝x ＋1x(x ≠0)． (2)g(x)＝f(x)＋a x ＝x ＋a ＋1x ，g ′(x)＝1－a ＋1x 2. ∵g(x)在(0，2]上为减函数，∴1－a ＋1x 2≤0在(0，2]上恒成立，即a ＋1≥x 2在(0，2]上恒成立，∴a ＋1≥4，即a ≥3，故a 的取值范围是[3，＋∞)．9．【解析】(1)h(x)＝2|x －1|＋1；(2)函数y ＝h(x)的图象与函数g(x)＝kx 2的图象在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上至少有一个交点，等价于h(x)－g(x)＝0在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上有解， 即2|x －1|＋1－kx 2＝0在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上有解， 解法一：用分离参数处理：kx 2＝2|x －1|＋1在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上有解，k ＝2|x －1|＋1x 2在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上有解， 等价于k ＝2|x －1|＋1x 2在x ∈[1，3]上有解或者 k ＝2|x －1|＋1x 2在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1上有解， 因为k ＝2（x －1）＋1x 2＝－1x 2＋2x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12＋1， ∵1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1，∴k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤59，1， k ＝2（1－x ）＋1x 2＝3x 2－2x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －132－13， ∵1x∈(1，2]，∴k ∈(]1，8， 综上，k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤59，8. 解法二：用实根分布：原题等价于kx 2－2(x －1)－1＝0在x ∈[1，3]上有解或者kx 2－2(1－x)－1＝0在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上有解． ①先处理kx 2－2(x －1)－1＝0在x ∈[1，3]上有解，令g(x)＝kx 2－2(x －1)－1，当k ＝0时显然无解，当k<0时，g(1)·g(3)≤0⇒59≤k ≤1(舍)， 当k>0，g(1)·g(3)≤0⇒59≤k ≤1 或者⎩⎪⎨⎪⎧1≤1k ≤3Δ＝4－4k ≥0g （1）≥0g （3）≥0⇒k ＝1，所以59≤k ≤1； ②再kx 2－2(1－x)－1＝0在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上有解： 令h(x)＝kx 2＋2x －3，k ＝0时显然无解．当k>0时，h(1)·h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤0⇒1≤k ≤8，所以1≤k ≤8当k<0时，h(1)·h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤0⇒1≤k ≤8(舍) 或者⎩⎪⎨⎪⎧12≤－1k ≤1Δ＝4＋12k ≥0h （1）≤0h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤0⇒k ∈∅，所以1≤k ≤8， 综合①②知，k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤59，8. 第12讲 函数与方程【考点集训】1．A 2.B 3.B 4.B 5.A 6.B7.⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，－52 8.(1，2] 9．【解析】(1)∵f(x)是二次函数，且关于x 的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x ≤3，x ∈R }，∴f (x )＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a ，且a ＞0.∴f (x )min ＝f (1)＝－4a ＝－4，a ＝1.故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－2x －3.(2)∵g (x )＝x 2－2x －3x －4ln x ＝x －3x－4ln x －2(x ＞0)， ∴g ′(x )＝1＋3x 2－4x ＝（x －1）（x －3）x 2.又因为g (x )在(3，＋∞)单调递增，因而g (x )在(3，＋∞)上只有1个零点．故g (x )在(0，＋∞)只有1个零点．第13讲 函数的综合应用【考点集训】1．A 2.C 3.B 4.C5．y ＝a(1＋r)x ，x ∈N * 6.57．【解析】(1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )，当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )＞0即为a (x ＋1)(x －2)＞0.当a ＞0时，不等式F (x )＞0的解集为{x |x ＜－1或x ＞2}；当a ＜0时，不等式F (x )＞0的解集为{x |－1＜x ＜2}．(2)f (x )－m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m＝(x －m )(ax －an ＋1)，∵a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a， ∴x －m ＜0，1－an ＋ax ＞0，∴f (x )－m ＜0，即f (x )＜m .8．【解析】(1)当a ＝1时，f (x )＝|2x －1|＋x －5＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －6，x ≥12，－x －4，x ＜12.由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，3x －6≥0，解得x ≥2；由⎩⎪⎨⎪⎧x ＜12，－x －4≥0，解得x ≤－4.所以f (x )≥0的解集为{x |x ≥2或x ≤－4}．(2)由f (x )＝0，得|2x －1|＝－ax ＋5.作出y ＝|2x －1|和y ＝－ax ＋5的图象，观察可以知道， 当－2＜a ＜2时，这两个函数的图象有两个不同的交点， 即函数y ＝f (x )有两个不同的零点．故a 的取值范围是(－2，2)．9．【解析】(1)∵f (－1)＝0，∴a －b ＋1＝0，又x ∈R ，f (x )≥0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝b 2－4a ≤0，∴b 2－4(b －1)≤0⇒b ＝2，a ＝1.∴f (x )＝x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2.∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2（x >0），－（x ＋1）2（x <0）.(2)∵g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2－k 22＋1－（2－k ）24，当k －22≤－2或k －22≥2，即k ≤－2或k ≥6时，g (x )在[－2，2]上是单调函数．(3)∵f (x )是偶函数，∴f (x )＝ax 2＋1，∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋1（x >0）－ax 2－1（x <0）.∵m ·n <0，不妨设m >n ，则n <0.又m ＋n >0，m >－n >0，∴|m |>|－n |，∴F (m )＋F (n )＝f (m )－f (n )＝am 2＋1－an 2－1＝a (m 2－n 2)>0， ∴F (m )＋F (n )大于零．。