2018届高考数学文第一轮总复习全程训练 第二章 函数、
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2018版高中数学一轮全程复习(课件)第二章 函数、导数及其应用 2.10
第三页，编辑于星期六：二十二点 二十三分。
2．设 f(x)＝xln x，若 f′(x0)＝2，则 x0＝( ) A．e2 B．e
ln 2 C. 2
D．ln 2
解析：由已知有 f′(x)＝ln x＋x·1x＝ln x＋1， 所以 f′(x0)＝2⇒ln x0＋1＝2⇒x0＝e.故选 B. 答案：B
第四页，编辑于星期六：二十二点 二十三分。
第十五页，编辑于星期六：二十二点 二十三分。
(4)y′＝ln
x′x2＋1－ln x2＋12
xx2＋1′
＝1xx2＋x21＋－122xln
x＝x2＋x1x－2＋21x22ln
x .
(5)令 u＝2x－5，y＝ln u，
则 y′＝(ln u)′u′＝2x－1 5·2＝2x－2 5，
即 y′2x－2 5.
第五页，编辑于星期六：二十二点 二十三分。
4．(2017·保定市高三调研)已知曲线 y＝ln x 的切线过原点， 则此切线的斜率为( )
A．e B．－e
1 C.e
D．－1e
解析：y＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，设切点为(x0，y0)，则 k＝f′(x0)，∴切线方程为 y－y0＝x10(x－x0)，又切线过点(0,0)， 代入切线方程得 x0＝e，y0＝1，∴k＝f′(x0)＝x10＝1e.
__Δl_ix_m→(_02_)f_f(_xx0_)＋_在_Δ_Δx_x_x－_＝_f.xx00 处 的 瞬 时 变 化 率 是 ： Δlixm→0
Δy Δx
＝
②
第九页，编辑于星期六：二十二点 二十三分。
2．导数的概念 (1)f(x)在 x＝x0 处的导数就是 f(x)在 x＝x0 处的③_瞬__时__变__化__率_， 记作 y′| x＝x0 或 f′(x0)，即 f′(x0)＝Δlixm→0 fx0＋ΔΔxx－fx0. (2)当把上式中的 x0 看作变量 x 时，f′(x)即为 f(x)的导函数， 简称导3．数导，数即的y几′何＝意f′义(x)＝④_Δl_ixm→_0__f_x_＋__Δ_Δ_xx_－__f_x___. 函 数 f(x) 在 x ＝ x0 处 的 导 数 就 是 ⑤ 曲__线___y_＝__f(_x_)_在__点__P_(_x_0_，_f(_x_0_))_处__的__切__线__的__斜__率____，即曲线 y＝f(x) 在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率 k＝f′(x0)，切线方程为⑥ _y_－__y_0_＝__f′__(_x_0_)(_x_－_.x0)
2018版高中数学一轮全程复习(课件)第二章 函数、导数及其应用 2.11.2
第六页，编辑于星期六：二十二点 二十三分。
——[通·一类]—— 1．设 f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1 的导数为 f′(x)，若函数 y＝f′(x)
的图象关于直线 x＝－12对称，且 f′(1)＝0. (1)求实数 a，b 的值； (2)求函数 f(x)的极值．
第七页，编辑于星期六：二十二点 二十三分。
——[悟·技法]—— 求函数 f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤
(1)求函数在(a，b)内的极值； (2)求函数在区间端点的函数值 f(a)，f(b)； (3)将函数 f(x)的各极值与 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为 最大值，最小的一个为最小值．
第十二页，编辑于星期六：二十二点 二十三分。
第九页，编辑于星期六：二十二点 二十三分。
考向二 利用导数研究函数的最值 [例 2] (2017·湖北省七市(州)联考)设 n∈N*，a，b∈R，函 数 f(x)＝alxnn x＋b，已知曲线 y＝f(x)在点(1,0)处的切线方程为 y＝ x－1. (1)求 a，b； (2)求 f(x)的最大值．
第十八页，编辑于星期六：二十二点 二十三分。
——[通·一类]—— 3．(2017·云南省第一次统一检测)已知常数 a≠0，f(x)＝aln x
＋2x. (1)当 a＝－4 时，求 f(x)的极值； (2)当 f(x)的最小值不小于－a 时，求实数 a 的取值范围．
第十九页，编辑于星期六：二十二点 二十三分。
考向三 函数极值与最值的综合问题 [互动讲练型] [例 3] (2016·全国甲，理 21)(1)讨论函数 f(x)＝xx－＋22ex 的单 调性，并证明：当 x>0 时，(x－2)ex＋x＋2>0； (2)证明：当 a∈[0,1)时，函数 g(x)＝ex－xa2x－a(x>0)有最小 值．设 g(x)的最小值为 h(a)，求函数 h(a)的值域．
——[通·一类]—— 1．设 f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1 的导数为 f′(x)，若函数 y＝f′(x)
的图象关于直线 x＝－12对称，且 f′(1)＝0. (1)求实数 a，b 的值； (2)求函数 f(x)的极值．
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——[悟·技法]—— 求函数 f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤
(1)求函数在(a，b)内的极值； (2)求函数在区间端点的函数值 f(a)，f(b)； (3)将函数 f(x)的各极值与 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为 最大值，最小的一个为最小值．
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考向二 利用导数研究函数的最值 [例 2] (2017·湖北省七市(州)联考)设 n∈N*，a，b∈R，函 数 f(x)＝alxnn x＋b，已知曲线 y＝f(x)在点(1,0)处的切线方程为 y＝ x－1. (1)求 a，b； (2)求 f(x)的最大值．
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——[通·一类]—— 3．(2017·云南省第一次统一检测)已知常数 a≠0，f(x)＝aln x
＋2x. (1)当 a＝－4 时，求 f(x)的极值； (2)当 f(x)的最小值不小于－a 时，求实数 a 的取值范围．
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考向三 函数极值与最值的综合问题 [互动讲练型] [例 3] (2016·全国甲，理 21)(1)讨论函数 f(x)＝xx－＋22ex 的单 调性，并证明：当 x>0 时，(x－2)ex＋x＋2>0； (2)证明：当 a∈[0,1)时，函数 g(x)＝ex－xa2x－a(x>0)有最小 值．设 g(x)的最小值为 h(a)，求函数 h(a)的值域．
2018版高考数学文北师大版全国一轮复习练习 第二章 函
第2讲 函数的单调性与最大(小)值基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a 的值为( )A ．－2B ．2C ．－6D ．6解析 由图像易知函数f (x )＝|2x ＋a |的单调增区间是[－a 2，＋∞)，令－a2＝3，∴a ＝－6. 答案 C2．(2016·北京卷)下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是( )A ．y ＝11－xB ．y ＝cos xC ．y ＝ln(x ＋1)D ．y ＝2－x解析 ∵y ＝11－x 与y ＝ln(x ＋1)在(－1,1)上为增函数，且y ＝cos x 在(－1,1)上不具备单调性．∴A ，B ，C 不满足题意．只有y ＝2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(－1,1)上是减函数．答案 D3．定义新运算“⊕”：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a 2；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，在区间[－2,2]上的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2， 当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数． ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6. 答案 C4．已知函数y ＝f (x )的图像关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．b <a <cC ．b <c <aD ．a <b <c解析 ∵函数图像关于x ＝1对称，∴a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，又y ＝f (x )在(1，＋∞)上单调递增，∴f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (3)，即b <a <c .答案 B5．f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是( )A ．(8，＋∞)B ．(8,9]C ．[8,9]D ．(0,8)解析 2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2，可得f [x (x －8)]≤f (9)，因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有⎩⎨⎧x >0，x －8>0，x (x －8)≤9，解得8<x ≤9.答案 B 二、填空题6．(2017·郑州模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．解析由题意知g (x )＝⎩⎨⎧x 2 (x >1)，0 (x ＝1)，－x 2 (x <1)，函数的图像如图所示的实线部分，根据图像，g (x )的减区间是[0,1)． 答案 [0,1)7．(2017·南昌调研)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．解析 由于y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1,1]上递增，所以f (x )在[－1,1]上单调递减，故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3. 答案 38．(2017·潍坊模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．解析 作出函数f (x )的图像如图所示，由图像可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4.答案 (－∞，1]∪[4，＋∞) 三、解答题9．已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)． (1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值． (1)证明 设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0， ∵f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)解 ∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，又由(1)得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是单调增函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f (2)＝2，易知a ＝25. 10．已知函数f (x )＝2x －ax 的定义域为(0,1](a 为实数)． (1)当a ＝1时，求函数y ＝f (x )的值域；(2)求函数y ＝f (x )在区间(0,1]上的最大值及最小值，并求出当函数f (x )取得最值时x 的值．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝2x －1x ，任取1≥x 1＞x 2＞0，则f (x 1)－f (x 2)＝2(x 1－x 2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2 ＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1x 1x 2. ∵1≥x 1＞x 2＞0，∴x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0.∴f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )在(0,1]上单调递增，无最小值，当x ＝1时取得最大值1，所以f (x )的值域为(－∞，1]．(2)当a ≥0时，y ＝f (x )在(0,1]上单调递增，无最小值，当x ＝1时取得最大值2－a ；当a ＜0时，f (x )＝2x ＋－ax ， 当－a2≥1，即a ∈(－∞，－2]时，y ＝f (x )在(0,1]上单调递减，无最大值，当x ＝1时取得最小值2－a ； 当－a 2＜1，即a ∈(－2,0)时，y ＝f (x )在⎝⎛⎦⎥⎤0，－a 2上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a 2，1上单调递增，无最大值，当x ＝－a2时取得最小值2－2a . 能力提升题组(建议用时：20分钟)11．(2017·郑州质检)若函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝( )A ．4B ．2 C.12 D.14解析 当a >1，则y ＝a x 为增函数，有a 2＝4，a －1＝m ，此时a ＝2，m ＝12， 此时g (x )＝－x 在[0，＋∞)上为减函数，不合题意． 当0<a <1，则y ＝a x 为减函数， 有a －1＝4，a 2＝m ，此时a ＝14，m ＝116.此时g (x )＝34x 在[0，＋∞)上是增函数．故a ＝14. 答案 D12．(2017·枣阳第一中学模拟)已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若存在f (a )＝g (b )，则实数b 的取值范围为( )A ．[0,3]B ．(1,3)C ．[2－2，2＋2]D ．(2－2，2＋2)解析 由题可知f (x )＝e x －1>－1，g (x )＝－x 2＋4x －3＝－(x －2)2＋1≤1， 若f (a )＝g (b )，则g (b )∈(－1,1]， 即－b 2＋4b －3>－1，即b 2－4b ＋2<0， 解得2－2<b <2＋ 2.所以实数b 的取值范围为(2－2，2＋2)． 答案 D13．对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎨⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________． 解析 依题意，h (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，0<x ≤2，－x ＋3，x >2.当0<x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数， 当x >2时，h (x )＝3－x 是减函数， ∴h (x )在x ＝2时，取得最大值h (2)＝1. 答案 114．已知函数f (x )＝lg(x ＋ax －2)，其中a 是大于0的常数． (1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值； (3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围． 解 (1)由x ＋ax －2＞0，得x 2－2x ＋a x＞0，当a ＞1时，x 2－2x ＋a ＞0恒成立，定义域为(0，＋∞)， 当a ＝1时，定义域为{x |x ＞0且x ≠1}，当0＜a ＜1时，定义域为{x |0＜x ＜1－1－a 或x ＞1＋1－a }． (2)设g (x )＝x ＋ax －2，当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时，∴g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－ax 2>0.因此g (x )在[2，＋∞)上是增函数， ∴f (x )在[2，＋∞)上是增函数． 则f (x )min ＝f (2)＝ln a2.(3)对任意x ∈[2，＋∞)，恒有f (x )>0. 即x ＋ax －2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立． ∴a >3x －x 2.令h (x )＝3x －x 2，x ∈[2，＋∞)．由于h (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋94在[2，＋∞)上是减函数，∴h (x )max ＝h (2)＝2. 故a >2时，恒有f (x )>0.因此实数a 的取值范围为(2，＋∞).。
2018版高中数学一轮全程复习(课件)第二章 函数、导数及其应用 2.4
解析：由题意知 m2－2m－3 为奇数且 m2－2m－3<0，由 m2 －2m－3<0 得－1<m<3，又 m∈N*，故 m＝1 或 2.
当 m＝1 时，m2－2m－3＝1－2－3＝－4(舍去)．当 m＝2 时， m2－2m－3＝22－2×2－3＝－3，所以 m＝2.
答案：2
第二十二页，编辑于星期六：二十二点 二十三 分。
第二十六页，编辑于星期六：二十二点 二十三 分。
——[悟·技法]—— 求二次函数解析式的方法
第二十七页，编辑于星期六：二十二点 二十三 分。
——[通·一类]—— 3．已知二次函数 f(x)有两个零点 0 与－2，且它有最小值－
1.求 f(x)的解析式． 解析：由于 f(x)有两个零点 0 和－2， 所以可设 f(x)＝ax(x＋2)(a≠0)， 这时 f(x)＝ax(x＋2)＝a(x＋1)2－a. 由于 f(x)有最小值－1，
y＝xα(α∈R)才是幂函数，如
y＝3x
1 2
不是幂函数．
第十五页，编辑于星期六：二十二点 二十三分。
第十六页，编辑于星期六：二十二点 8 页]
考向一 幂函数的图象与性质[自主练透型]
[例 1]
(1)(2017·太原模拟)当
0<x<1
时，f(x)＝x2，g(x)＝x
a＝－4， 解得b＝4，
c＝7.
故所求二次函数为 f(x)＝－4x2＋4x＋7.
第二十四页，编辑于星期六：二十二点 二十三 分。
方法二：利用二次函数的顶点式．设 f(x)＝a(x－m)2＋n. ∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线对称轴为 x＝2＋2－1＝12. ∴m＝12，又根据题意函数有最大值 8，∴n＝8， ∴y＝f(x)＝a(x－12)2＋8. ∵f(2)＝－1，∴a(2－12)2＋8＝－1，解得 a＝－4， ∴f(x)＝－4(x－12)2＋8＝－4x2＋4x＋7.
当 m＝1 时，m2－2m－3＝1－2－3＝－4(舍去)．当 m＝2 时， m2－2m－3＝22－2×2－3＝－3，所以 m＝2.
答案：2
第二十二页，编辑于星期六：二十二点 二十三 分。
第二十六页，编辑于星期六：二十二点 二十三 分。
——[悟·技法]—— 求二次函数解析式的方法
第二十七页，编辑于星期六：二十二点 二十三 分。
——[通·一类]—— 3．已知二次函数 f(x)有两个零点 0 与－2，且它有最小值－
1.求 f(x)的解析式． 解析：由于 f(x)有两个零点 0 和－2， 所以可设 f(x)＝ax(x＋2)(a≠0)， 这时 f(x)＝ax(x＋2)＝a(x＋1)2－a. 由于 f(x)有最小值－1，
y＝xα(α∈R)才是幂函数，如
y＝3x
1 2
不是幂函数．
第十五页，编辑于星期六：二十二点 二十三分。
第十六页，编辑于星期六：二十二点 8 页]
考向一 幂函数的图象与性质[自主练透型]
[例 1]
(1)(2017·太原模拟)当
0<x<1
时，f(x)＝x2，g(x)＝x
a＝－4， 解得b＝4，
c＝7.
故所求二次函数为 f(x)＝－4x2＋4x＋7.
第二十四页，编辑于星期六：二十二点 二十三 分。
方法二：利用二次函数的顶点式．设 f(x)＝a(x－m)2＋n. ∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线对称轴为 x＝2＋2－1＝12. ∴m＝12，又根据题意函数有最大值 8，∴n＝8， ∴y＝f(x)＝a(x－12)2＋8. ∵f(2)＝－1，∴a(2－12)2＋8＝－1，解得 a＝－4， ∴f(x)＝－4(x－12)2＋8＝－4x2＋4x＋7.
2018版高中数学一轮全程复习(课件)第二章 函数、导数及其应用 2.5
第十六页，编辑于星期六：二十二点 二十三分。
[解析]
(1)
原
式
＝23
1 3
×1
＋
2
3 4
×2
1 4
＋
4×27＝110.
(2)
a3 3 ·
53
b 4 3 3
32
5
＝a ·b ＝a ＝a a. 2 12
15 10
4
5 b2
4 a3
－
2 3
1 3
＝
2
＋
第十七页，编辑于星期六：二十二点 二十三分。
——[悟·技法]—— 指数幂的运算规律
(2)两个重要公式
⑥ a
(ⅰ)n
an＝|a|＝⑦⑧
a －a
a≥0 a<0
n为奇数 n为偶数 ；
(ⅱ)(n a)n＝⑨____a____(注意 a 必须使n a有意义)．
第十页，编辑于星期六：二十二点 二十三分。
2．分数指数幂 (1)正数的正分数指数幂是：
a
m n
＝
⑩
__n__a_m___(a>0，m，
第二十二页，编辑于星期六：二十二点 二十三 分。
——[悟·技法]—— 指数函数图象可解决的两类热点问题
(1)求解指数型函数的图象与性质问题 对指数型函数的图象与性质问题(单调性、最值、大小比较、 零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称 变换得到其图象，然后数形结合使问题得解． (2)求解指数型方程、不等式问题 一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型 函数图象数形结合求解．
第十八页，编辑于星期六：二十二点 二十三分。
——[通·一类]——
1．求值与化简：
2018版高考数学文北师大版全国一轮复习练习 第二章 函
第8讲 函数与方程、函数的应用基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2017·赣中南五校联考)函数f (x )＝3x －x 2的零点所在区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(－2，－1)D ．(－1,0)解析 由于f (－1)＝－23<0，f (0)＝30－0＝1>0， ∴f (－1)·f (0)<0.则f (x )在(－1,0)内有零点． 答案 D2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x－1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )A.12，0 B ．－2,0 C.12D ．0解析 当x ≤1时，由f (x )＝2x －1＝0，解得x ＝0；当x >1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12，又因为x >1，所以此时方程无解．综上函数f (x )的零点只有0. 答案 D3．函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)解析 因为函数f (x )＝2x －2x －a 在区间(1,2)上单调递增，又函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则有f (1)·f (2)<0，所以(－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0，所以0<a <3. 答案 C4．(2017·德阳一诊)将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt .假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min 甲桶中的水只有a4 L ，则m 的值为( )A ．5B ．8C ．9D ．10解析 ∵5 min 后甲桶和乙桶的水量相等， ∴函数y ＝f (t )＝a e nt 满足f (5)＝a e 5n ＝12a ，可得n ＝15ln 12，∴f (t )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12， 因此，当k min 后甲桶中的水只有a4 L 时，f (k )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14a ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14， ∴k ＝10，由题可知m ＝k －5＝5. 答案 A5．(2017·湖北七校联考)已知f (x )是奇函数且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( )A.14 B.18 C ．－78D ．－38解析 令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)，因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ，只有一个实根，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78. 答案 C 二、填空题6．(2016·浙江卷)设函数f (x )＝x 3＋3x 2＋1，已知a ≠0，且f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2，x ∈R ，则实数a ＝________，b ＝________. 解析 ∵f (x )＝x 3＋3x 2＋1，则f (a )＝a 3＋3a 2＋1， ∴f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2＝(x －b )(x 2－2ax ＋a 2) ＝x 3－(2a ＋b )x 2＋(a 2＋2ab )x －a 2b ＝x 3＋3x 2－a 3－3a 2. 由此可得⎩⎨⎧2a ＋b ＝－3，①a 2＋2ab ＝0，②a 3＋3a 2＝a 2b .③∵a ≠0，∴由②得a ＝－2b ，代入①式得b ＝1，a ＝－2. 答案 －2 17．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，至少应过滤________次才能达到市场要求(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)． 解析 设过滤n 次才能达到市场要求， 则2%⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ≤0.1%，即⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ≤120，所以n lg 23≤－1－lg 2，所以n ≥7.39，所以n ＝8. 答案 88．(2015·安徽卷)在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图像只有一个交点，则a 的值为________．解析 函数y ＝|x －a |－1的图像如图所示，因为直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图像只有一个交点，故2a ＝－1，解得a ＝－12.答案 －12 三、解答题9．已知二次函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x ＋1－2a ，(1)判断命题：“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；(2)若y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点，求实数a 的取值范围．解 (1)“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”是真命题． 依题意，f (x )＝1有实根，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0有实根，因为Δ＝(2a －1)2＋8a ＝(2a ＋1)2≥0对于任意的a ∈R 恒成立，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0必有实根，从而f (x )＝1必有实根．(2)依题意，要使y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点，只需⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)>0，f (0)<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－4a >0，1－2a <0，34－a >0，解得12<a <34.故实数a的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪12<a <34. 10．(2017·陕西实验中学月考)候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为v ＝a ＋b log 3Q10(其中a 、b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s. (1)求出a 、b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？解 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ，故有a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎨⎧ a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝1.(2)由(1)知，v ＝－1＋log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2，即－1＋log 3Q 10≥2，即log 3Q10≥3，解得Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．能力提升题组 (建议用时：20分钟)11．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧0，x ≤0，e x ，x >0，则使函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点的实数m 的取值范围是( )A ．[0,1)B ．(－∞，1)C ．(－∞，1]∪(2，＋∞)D ．(－∞，0]∪(1，＋∞)解析 函数g (x )＝f (x )＋x －m 的零点就是方程f (x )＋x ＝m 的根，画出h (x )＝f (x )＋x ＝⎩⎨⎧x ，x ≤0，e x ＋x ，x >0的大致图像(图略)．观察它与直线y ＝m 的交点，得知当m ≤0或m >1时，有交点，即函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点． 答案 D12．(2017·合肥质检)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )A ．3.50分钟B ．3.75分钟C ．4.00分钟D ．4.25分钟解析 根据图表，把(t ，p )的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得⎩⎨⎧0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，0.5＝25a ＋5b ＋c ，消去c 化简得⎩⎨⎧7a ＋b ＝0.1，9a ＋b ＝－0.3，解得⎩⎨⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2.所以p ＝－0.2t 2＋1.5t －2＝－15⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－152t ＋22516＋4516－2＝－15⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1542＋1316，所以当t ＝154＝3.75时，p 取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟． 答案 B13．(2015·湖南卷)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________．解析 由f (x )＝|2x －2|－b ＝0，得|2x －2|＝b .在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x －2|与y ＝b 的图像，如图所示．则当0<b <2时，两函数图像有两个交点，从而函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点． 答案 (0,2)14．设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x (x >0)．(1)作出函数f (x )的图像；(2)当0<a <b ，且f (a )＝f (b )时，求1a ＋1b 的值；(3)若方程f (x )＝m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围． 解 (1)如图所示．(2)∵f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －1，x ∈(0，1]，1－1x ，x ∈(1，＋∞)，故f (x )在(0,1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数． 由0<a <b 且f (a )＝f (b )， 得0<a <1<b ，且1a －1＝1－1b ，∴1a ＋1b ＝2.(3)由函数f (x )的图像可知，当0<m <1时，函数f (x )的图像与直线y ＝m 有两个不同的交点，即方程f (x )＝m 有两个不相等的正根.。
2018版高中数学一轮全程复习(课件)第二章 函数、导数及其应用 2.1
3．函数 y＝lgxx－＋11的定义域是(
)
A．(－1，＋∞)
B．[－1，＋∞)
C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．[－1,1)∪(1，＋∞)
解析：由题意得xx－＋11≠>00，， 所以xx≠>－1，1， 选 C. 答案：C
第五页，编辑于星期六：二十二点 二十三分。
4．(2017·黑龙江哈尔滨一模)若函数 f(x)＝22xx－＋42，，xx>≤0，0，
第二十七页，编辑于星期六：二十二点 二十三 分。
解析：(1)依题意，f(－2)＝f(0)＝0，f(－1)＝－1，f(1)＝3， 因此 f(x)的值域是{－1,0,3}．
(2)设 y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，∴f(x)∈[ 2，＋∞)． (3)f(x)＝22xx－＋11＝2x2＋x＋1－1 2＝1－2x＋2 1.
第七页，编辑于星期六：二十二点 二十三分。
6．函数 y＝ 16－4x的值域是________． 解析：∵0<4x，∴0≤16－4x<16，∴0≤y<4. 答案：[0,4)
第八页，编辑于星期六：二十二点 二十三分。
一、必记 3●个知识点
1．函数与映射的概念
函数
映射
两集合 A， B
A，B 是两个非空数集
第十五页，编辑于星期六：二十二点 二十三分。
[解析] (1)若函数有意义，则 3－2x－x2≥0， 即 x2＋2x－3≤0，解得－3≤x≤1. (2)∵f(2x)的定义域是[－1,1]， ∴－1≤x≤1.∴12≤2x≤2， 即 y＝f(x)的定义域是12，2. 由12≤log2x≤2⇒ 2≤x≤4. ∴f(log2x)的定义域是[ 2，4]． [答案] (1)[－3,1] (2)[ 2，4]
2018版高中数学一轮全程复习(课件)第二章 函数、导数及其应用 2.11.1
第二十八页，编辑于星期六：二十二点 二十三 分。
(3)g′(x)＝x2－ax＋2， 依题意，存在 x∈(－2，－1)， 使不等式 g′(x)＝x2－ax＋2<0 成立， 即 x∈(－2，－1)时，a<(x＋2x)max＝－2 2， 当且仅当 x＝2x即 x＝－ 2时等号成立． 所以满足要求的 a 的取值范围是(－∞，－2 2)．
第三页，编辑于星期六：二十二点 二十三分。
2．如图所示是函数 f(x)的导函数 f′(x)的图象，则下列判断 中正确的是( )
A．函数 f(x)在区间(－3,0)上是减函数 B．函数 f(x)在区间(－3,2)上是减函数 C．函数 f(x)在区间(0,2)上是减函数 D．函数 f(x)在区间(－3,2)上是单调函数 解析：当 x∈(－3,0)时，f′(x)<0，则 f(x)在(－3,0)上是减函 数．其他判断均不正确． 答案：A
第二十四页，编辑于星期六：二十二点 二十三 分。
——[悟·技法]—— 导数法证明函数 f(x)在(a，b)内的单调性的步骤
(1)求 f′(x)； (2)确认 f′(x)在(a，b)内的符号； (3)作出结论：f′(x)＞0 时为增函数；f′(x)＜0 时为减函数． 提醒：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对 不等式解集的影响进行分类讨论．
第二十七页，编辑于星期六：二十二点 二十三 分。
[解析] (1)f′(x)＝x2－ax＋b， 由题意得ff′0＝0＝1，0， 即bc＝＝10，. (2)由(1)得，f′(x)＝x2－ax＝x(x－a)(a>0)， 当 x∈(－∞，0)时，f′(x)>0； 当 x∈(0，a)时，f′(x)<0； 当 x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0. 所以函数 f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(a，＋∞)，单调 递减区间为(0，a)．
(3)g′(x)＝x2－ax＋2， 依题意，存在 x∈(－2，－1)， 使不等式 g′(x)＝x2－ax＋2<0 成立， 即 x∈(－2，－1)时，a<(x＋2x)max＝－2 2， 当且仅当 x＝2x即 x＝－ 2时等号成立． 所以满足要求的 a 的取值范围是(－∞，－2 2)．
第三页，编辑于星期六：二十二点 二十三分。
2．如图所示是函数 f(x)的导函数 f′(x)的图象，则下列判断 中正确的是( )
A．函数 f(x)在区间(－3,0)上是减函数 B．函数 f(x)在区间(－3,2)上是减函数 C．函数 f(x)在区间(0,2)上是减函数 D．函数 f(x)在区间(－3,2)上是单调函数 解析：当 x∈(－3,0)时，f′(x)<0，则 f(x)在(－3,0)上是减函 数．其他判断均不正确． 答案：A
第二十四页，编辑于星期六：二十二点 二十三 分。
——[悟·技法]—— 导数法证明函数 f(x)在(a，b)内的单调性的步骤
(1)求 f′(x)； (2)确认 f′(x)在(a，b)内的符号； (3)作出结论：f′(x)＞0 时为增函数；f′(x)＜0 时为减函数． 提醒：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对 不等式解集的影响进行分类讨论．
第二十七页，编辑于星期六：二十二点 二十三 分。
[解析] (1)f′(x)＝x2－ax＋b， 由题意得ff′0＝0＝1，0， 即bc＝＝10，. (2)由(1)得，f′(x)＝x2－ax＝x(x－a)(a>0)， 当 x∈(－∞，0)时，f′(x)>0； 当 x∈(0，a)时，f′(x)<0； 当 x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0. 所以函数 f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(a，＋∞)，单调 递减区间为(0，a)．
2018版高中数学一轮全程复习(课件)第二章 函数、导数及其应用 2.11.3
第四页，编辑于星期六：二十二点 二十三分。
(2)因 V(r)＝π5(300r－4r3)，所以 V′(r)＝π5(300－12r2)．令 V′(r)＝0，解得 r1＝5，r2＝－5(因为 r2＝－5 不在定义域内，舍 去)．
当 r∈(0,5)时，V′(r)＞0，故 V(r)在(0,5)上为增函数； 当 r∈(5,5 3)时，V′(r)＜0，故 V(r)在(5,5 3)上为减函数． 由此可知，V(r)在 r＝5 处取得最大值，此时 h＝8，即当 r ＝5，h＝8 时，该蓄水池的体积最大．
第十七页，编辑于星期六：二十二点 二十三分。
考向三 利用导数研究恒成立问题 [分层深化型] [例 3] (2016·四川，21)设函数 f(x)＝ax2－a－ln x，其中 a ∈R. (1)讨论 f(x)的单调性； (2)确定 a 的所有可能取值，使得 f(x)>1x－e1－x 在区间(1，＋ ∞)内恒成立(e＝2.718…为自然对数的底数)．
知 f′(x)＝ex－2，x∈R.
令 f′(x)＝0，得 x＝ln2.
于是当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，ln2)
ln2
(ln2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
2－2ln2＋2a
故 f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，
单调递增区间是(ln2，＋∞)，
f(x)在 x＝ln2 处取得极小值，
第十九页，编辑于星期六：二十二点 二十三分。
(2)令 g(x)＝1x－ex1－1，s(x)＝ex－1－x， 则 s′(x)＝ex－1－1. 而当 x＞1 时，s′(x)＞0， 所以 s(x)在区间(1，＋∞)内单调递增． 又由 s(1)＝0，有 s(x)＞0， 从而当 x＞1 时，g(x)＞0. 当 a≤0，x＞1 时，f(x)＝a(x2－1)－ln x＜0. 故当 f(x)＞g(x)在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有 a＞0. 当 0＜a＜12时， 12a＞1.
(2)因 V(r)＝π5(300r－4r3)，所以 V′(r)＝π5(300－12r2)．令 V′(r)＝0，解得 r1＝5，r2＝－5(因为 r2＝－5 不在定义域内，舍 去)．
当 r∈(0,5)时，V′(r)＞0，故 V(r)在(0,5)上为增函数； 当 r∈(5,5 3)时，V′(r)＜0，故 V(r)在(5,5 3)上为减函数． 由此可知，V(r)在 r＝5 处取得最大值，此时 h＝8，即当 r ＝5，h＝8 时，该蓄水池的体积最大．
第十七页，编辑于星期六：二十二点 二十三分。
考向三 利用导数研究恒成立问题 [分层深化型] [例 3] (2016·四川，21)设函数 f(x)＝ax2－a－ln x，其中 a ∈R. (1)讨论 f(x)的单调性； (2)确定 a 的所有可能取值，使得 f(x)>1x－e1－x 在区间(1，＋ ∞)内恒成立(e＝2.718…为自然对数的底数)．
知 f′(x)＝ex－2，x∈R.
令 f′(x)＝0，得 x＝ln2.
于是当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，ln2)
ln2
(ln2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
2－2ln2＋2a
故 f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，
单调递增区间是(ln2，＋∞)，
f(x)在 x＝ln2 处取得极小值，
第十九页，编辑于星期六：二十二点 二十三分。
(2)令 g(x)＝1x－ex1－1，s(x)＝ex－1－x， 则 s′(x)＝ex－1－1. 而当 x＞1 时，s′(x)＞0， 所以 s(x)在区间(1，＋∞)内单调递增． 又由 s(1)＝0，有 s(x)＞0， 从而当 x＞1 时，g(x)＞0. 当 a≤0，x＞1 时，f(x)＝a(x2－1)－ln x＜0. 故当 f(x)＞g(x)在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有 a＞0. 当 0＜a＜12时， 12a＞1.
2018版高中数学一轮全程复习(课件)第二章 函数、导数及其应用 2.6
4．若函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)的图象如图所示，则下列 函数图象正确的是( )
第二十九页，编辑于星期六：二十二点 二十三 分。
解析：由图象可知 loga3＝1，所以 a＝3.A 选项，y＝3－x＝13 x 为指数函数，在 R 上单调递减，故 A 不正确．B 选项，y＝x3 为幂函数，图象正确．C 选项，y＝(－x)3＝－x3，其图象和 B 选 项中 y＝x3 的图象关于 x 轴对称，故 C 不正确．D 选项，y＝log3(－ x)，其图象与 y＝log3x 的图象关于 y 轴对称，故 D 选项不正确．综 上，可知选 B.
第三十二页，编辑于星期六：二十二点 二十三 分。
——[悟·技法]—— 1.求对数形函数定义域的策略 列出对应的不等式(组)求解，注意对数函数的底数和真数的
第二十五页，编辑于星期六：二十二点 二十三 分。
——[悟·技法]—— 利用对数函数的图象可求解的两类热点问题
(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数， 在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形 结合思想求解．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象 问题，利用数形结合法求解．
第一页，编辑于星期六：二十二点 二十三分。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第二页，编辑于星期六：二十二点 二十三分。
[小题热身]
1．函数 y＝ xln(1－x)的定义域为( )
A．(0,1)
B．[0,1)
C．(0,1]
D．[0,1]
解析：由题意，得1x≥－0x>，0， 解得 0≤x<1，故函数 y＝ xln(1 －x)的定义域为[0,1)．
[授课提示：对应学生用书第 023 页]
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天天练5 函数的周期性与对称性及性质的综合应用一、选择题1．若函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 对一切实数都有f(2＋x) ＝ f(2－x)则( )A ．f(2)<f(1)< f(4)B ．f(1)<f(2)< f(4)C ．f(2)<f(4)< f(1)D ．f(4)<f(2)< f(1)2．已知定义为R 的函数f (x )满足f (－x )＝－f ()x ＋4，且函数f (x )在区间()2，＋∞上单调递增．如果x 1<2<x 2，且x 1＋x 2<4，则f ()x 1＋f ()x 2的值( )A ．恒小于0B ．恒大于0C ．可能为0D ．可正可负3．已知f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x ＋log 2x ，则f (2015)＝( )A ．－2 B.12C ．2D ．54．下列函数中，其图象既是轴对称图形又在区间(0，＋∞)上单调递增的是 ( )A ．y ＝1xB ．y ＝－x 2＋1C ．y ＝2xD ．y ＝lg|x ＋1|5．已知函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x －2)，y ＝f (x －2)关于y 轴对称，当x ∈(0,2)时，f (x )＝log 2x 2，则下列结论中正确的是( )A ．f (4.5)＜f (7)＜f (6.5)B ．f (7)＜f (4.5)＜f (6.5)C ．f (7)＜f (6.5)＜f (4.5)D ．f (4.5)＜f (6.5)＜f (7)6．定义在R 上的非常数函数满足：f (10＋x )为偶函数，且f (5－x )＝f (5＋x )，则f (x )一定是( )A ．是偶函数，也是周期函数B ．是偶函数，但不是周期函数C ．是奇函数，也是周期函数D ．是奇函数，但不是周期函数7．已知f (x )为定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，有f (x ＋1)＝－f (x )，且当x ∈[0,1)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，给出下列命题①f (2014)＋f (－2015)＝0；②函数f (x )在定义域上是周期为2的函数；③直线y ＝x 与函数f (x )的图象有2个交点；④函数f (x )的值域为(－1,1)．其中正确的是( )A ．①②B ．②③C ．①④D ．①②③④8．已知f (x )＝1＋x 1－3x ，f 1(x )＝f []f (x )，f 2(x )＝f []f 1(x )，…，f n ＋1(x )＝f []f n (x )，则f 2016(－2)＝( )A ．－17 B. 17C. －35 D ．3二、填空题9．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且y ＝f (x )的图象关于直线x ＝12对称，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝ __________.10．(2016·四川卷)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝4x ，则f (－52)＋f (1)＝__________.11．(2016·太原期末)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当x ∈[－3，－1)时，f (x )＝－(x ＋2)2，当x ∈[－1,3)时，f (x )＝x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2016)＝__________.三、解答题12．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式；(3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)．1.A 由已知对称轴为x ＝2，由于抛物线开口向上，所以越靠近对称轴值越小．2．A 图象关于点()2，0对称．f (x )在区间()2，＋∞上单调递增，在区间()－∞，2上也单调递增．我们可以把该函数想象成是奇函数向右平移了两个单位．∵2<x 2<4－x 1，且函数在()2，＋∞上单调递增，所以f ()x 2<f ()4－x 1，又由f (－x )＝－f ()x ＋4，有f (4－x 1)＝f []－()x 1－4＝－f ()x 1－4＋4＝－f ()x 1，∴f ()x 1＋f ()x 2<f ()x 1＋f ()4－x 1＝f ()x 1－f ()x 1＝0.3．A 因为f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，所以f ()x ＋4＝f (x )，f (－x )＝－f (x )，f (x )＝2x ＋log 2x ，∴f ()2015＝f ()－1＋2016＝f ()－1＝－f ()1＝－2，故选A.4．D 对于A ，函数y ＝1x 关于原点对称且在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减；对于B ，函数y ＝－x 2＋1关于y 轴对称且在(0，＋∞)上单调递减；对于C ，函数y ＝2x 无对称性且在R 上单调递增；对于D 函数y ＝lg|x ＋1|关于x ＝－1对称且在(－1，＋∞)上单调递增；故选D.5．A ∵f (x ＋2)＝f (x －2)，y ＝f (x ＋2)关于y 轴对称，∴f (x )是以4为周期的周期函数，其图象的对称轴为x ＝2，∵当x ∈(0,2)时，f (x )＝log 2x 2，∴f (x )在区间(0,2)是增函数；∴f (4.5)＝f (0.5)，f (7)＝f (3)＝f (2＋1)＝f (2－1)＝f (1)，f (6.5)＝f (2.5)＝f (2＋0.5)＝f (2－0.5)＝f (1.5)，∵0＜0.5＜1＜1.5＜2，且函数y ＝f (x )在区间[0,2]上是增函数，∴f (0.5)＜f (1)＜f (1.5)，即f (4.5)＜f (7)＜f (6.5)，故选A.6．A ∵f (10＋x )为偶函数，∴f (10＋x ) ＝ f (10－x )．∴f (x )有两条对称轴 x ＝ 5与x ＝10 ，因此f (x )是以10为其一个周期的周期函数， ∴x ＝0即y 轴也是f (x )的对称轴，因此f (x )还是一个偶函数．7．C 由于当x ≥0时，有f (x ＋1)＝－f (x )，所以f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，从而当x ∈[1,2)时，x －1∈[0,1)，有f (x －1)＝log 2x ，又f ((x －1)＋1)＝－f (x －1)⇒f (x －1)＝－f (x )＝log 2x ⇒f (x )＝－log 2x即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x ∈[0，1)－log 2x ，x ∈[1，2)； 再注意f (x )为定义在R 上的偶函数，所以可作出函数f (x )的图象如下：对于①f (2014)＋f (－2015)＝f (2×1007＋0)＋f (2015)＝f (0)＋f (2×1007＋1)＝0＋f (1)＝－log 21＝0，故①正确；排除B ； 对于②由图象可知函数不是周期函数，故②是错误的；排除A 、D ；对于③由图象可知直线y ＝x 与函数f (x )的图象只有1个交点，故③错误；对于④由图象可知函数的值域为(－1,1)，故④正确．故选C.8．A 由f (x )＝1＋x 1－3x ，知f 1(x )＝x －13x ＋1， f 2(x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x ＋1＝x ，f 3(x )＝f (x )． f (x )为周期函数，故f 3n (x )＝f (x )，f 2016(x )＝f (x )，f 2016()－2＝f ()－2＝－17.9．0解析：∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (x )＝－f (－x )，又∵f (x )的图象关于直线x ＝12对称，∴f (x )＝f (1－x )＝－f (－x )＝－f (2－x )⇒f (x )＝f (x ＋2)，在f (x )＝f (1－x )中，令x ＝0，∴f (0)＝f (1)＝0，∴f (0)＝f (1)＝…＝f (5)＝0，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝0.10．－2解析：因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0.又f (x )＝－f (－x )，f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x ＋1)＝－f (1－x )，令x ＝0，得f (1)＝－f (1)，所以f (1)＝0.f (－52)＝f (－2－12)＝f (－12)＝－f (12)＝－2，所以f (－52)＋f (1)＝－2.11．336解析：由题意得f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1，f (4)＝f (－2)＝0，f (5)＝f (－1)＝－1，f (6)＝f (0)＝0，所以数列{f (n )}从第一项起，每连续6项的和为1，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2016)＝336×1＝336.12．解析：(1)证明 ∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)解∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]，∴4－x∈[0,2]，∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8，又f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x2＋6x－8，即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2,4]．(3)解∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1.又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015)＝0.∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)＝f(2 016)＝f(0)＝0.2016-2017学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（下）第一次模拟数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，2}，N={x}，若M∪N={0，1，2，3}，则x的值为（）A．3 B．2 C．1 D．02．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（）A．球B．圆柱C．圆台D．圆锥3．在区间[0，5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为（）A．B．C．D．4．某程序框图如图所示，若输入x的值为1，则输出y的值是（）A．2 B．3 C．4 D．55．已知向量=（1，2），=（x，4），若∥，则实数x的值为（）A．8 B．2 C．﹣2 D．﹣86．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（）A．15，5，25 B．15，15，15 C．10，5，30 D．15，10，207．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面但不垂直D．异面且垂直8．不等式（x+1）（x﹣2）≤0的解集为（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|x≥2或x≤﹣1}D．{x|x＞2或x ＜﹣1}9．已知两点P（4，0），Q（0，2），则以线段PQ为直径的圆的方程是（）A．（x+2）2+（y+1）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=10 C．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 D．（x+2）2+（y+1）2=1010．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A、B到点C的距离AC=BC=1km，且∠ACB=120°，则A、B两点间的距离为（）A．km B．km C．1.5km D．2km二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．11．计算：log21+log24=．12．已知1，x，9成等比数列，则实数x=．13．已知点（x，y）在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则z=x+y的最大值是．14．已知a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，则a的值为•15．如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，E、F分别是AB、CD的中点，现在沿EF 把这个矩形折成一个直二面角A﹣EF﹣C（如图2），则在图2中直线AF与平面EBCF所成的角的大小为．三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知，＜θ＜π．（1）求tanθ；（2）求的值．17．某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清．（1）试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；（2）已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？18．已知等比数列{a n}的公比q=2，且a2，a3+1，a4成等差数列．（1）求a1及a n；（2）设b n=a n+n，求数列{b n}的前5项和S5．19．已知二次函数f（x）=x2+ax+b满足f（0）=6，f（1）=5（1）求函数f（x）解析式（2）求函数f（x）在x∈[﹣2，2]的最大值和最小值．20．已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0．（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：为定值；（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE 的面积最大．2016-2017学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（下）第一次模拟数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，2}，N={x}，若M∪N={0，1，2，3}，则x的值为（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】并集及其运算．【分析】根据M及M与N的并集，求出x的值，确定出N即可．【解答】解：∵集合M={0，1，2}，N={x}，且M∪N={0，1，2，3}，∴x=3，故选：A．2．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（）A．球B．圆柱C．圆台D．圆锥【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知该几何体为圆锥．【解答】解：根据三视图可知，该几何体为圆锥．故选D．3．在区间[0，5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由题意，要使此数大于3，只要在区间（3，5]上取即可，利用区间长度的比求．【解答】解：要使此数大于3，只要在区间（3，5]上取即可，由几何概型的个数得到此数大于3的概率为为；故选B．4．某程序框图如图所示，若输入x的值为1，则输出y的值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出正确的答案．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；输入x=1，y=1﹣1+3=3，输出y的值为3．故选：B．5．已知向量=（1，2），=（x，4），若∥，则实数x的值为（）A．8 B．2 C．﹣2 D．﹣8【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据向量平行的坐标公式建立方程进行求解即可．【解答】解：∵∥，∴4﹣2x=0，得x=2，故选：B6．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（）A．15，5，25 B．15，15，15 C．10，5，30 D．15，10，20【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义，建立比例关系即可等到结论．【解答】解：∵高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．∴从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别，高二：，高三：45﹣15﹣10=20．故选：D7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面但不垂直D．异面且垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】连接AC，则AC∥A1C1，AC⊥BD，即可得出结论．【解答】解：∵正方体的对面平行，∴直线BD与A1C1异面，连接AC，则AC∥A1C1，AC⊥BD，∴直线BD与A1C1垂直，∴直线BD与A1C1异面且垂直，故选：D．8．不等式（x+1）（x﹣2）≤0的解集为（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|x≥2或x≤﹣1}D．{x|x＞2或x ＜﹣1}【考点】一元二次不等式的解法．【分析】根据一元二次不等式对应方程的实数根，即可写出不等式的解集．【解答】解：不等式（x+1）（x﹣2）≤0对应方程的两个实数根为﹣1和2，所以该不等式的解集为{x|﹣1≤x≤2}．故选：A．9．已知两点P（4，0），Q（0，2），则以线段PQ为直径的圆的方程是（）A．（x+2）2+（y+1）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=10 C．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 D．（x+2）2+（y+1）2=10【考点】圆的标准方程．【分析】求出圆心坐标和半径，因为圆的直径为线段PQ，所以圆心为P，Q的中点，应用中点坐标公式求出，半径为线段PQ长度的一半，求出线段PQ的长度，除2即可得到半径，再代入圆的标准方程即可．【解答】解：∵圆的直径为线段PQ，∴圆心坐标为（2，1）半径r===∴圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．故选：C．10．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A、B到点C的距离AC=BC=1km，且∠ACB=120°，则A、B两点间的距离为（）A．km B．km C．1.5km D．2km【考点】解三角形的实际应用．【分析】直接利用与余弦定理求出AB的数值．【解答】解：根据余弦定理AB2=a2+b2﹣2abcosC，∴AB===（km）．故选：A．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．11．计算：log21+log24=2．【考点】对数的运算性质．【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可．【解答】解：log21+log24=0+log222=2．故答案为：2．12．已知1，x，9成等比数列，则实数x=±3．【考点】等比数列．【分析】由等比数列的性质得x2=9，由此能求出实数x．【解答】解：∵1，x，9成等比数列，∴x2=9，解得x=±3．故答案为：±3．13．已知点（x，y）在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则z=x+y的最大值是5．【考点】简单线性规划．【分析】利用目标函数的几何意义求最大值即可．【解答】解：由已知，目标函数变形为y=﹣x+z，当此直线经过图中点（3，2）时，在y轴的截距最大，使得z最大，所以z的最大值为3+2=5；故答案为：5．14．已知a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，则a的值为4•【考点】函数的零点．【分析】根据函数零点的定义，得f（a）=0，从而求出a的值．【解答】解：a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，∴f（a）=2﹣log2a=0，∴log2a=2，解得a=4．故答案为：4．15．如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，E、F分别是AB、CD的中点，现在沿EF 把这个矩形折成一个直二面角A﹣EF﹣C（如图2），则在图2中直线AF与平面EBCF所成的角的大小为45°．【考点】直线与平面所成的角．【分析】由题意，AE⊥平面EFBC，∠AFE是直线AF与平面EBCF所成的角，即可得出结论．【解答】解：由题意，AE⊥平面EFBC，∴∠AFE是直线AF与平面EBCF所成的角，∵AE=EF，∴∠AFE=45°．故答案为45°．三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知，＜θ＜π．（1）求tanθ；（2）求的值．【考点】三角函数的化简求值．【分析】（1）由，＜θ＜π结合同角平方关系可求cosθ，利用同角基本关系可求（2）结合（1）可知tanθ的值，故考虑把所求的式子化为含“切”的形式，从而在所求的式子的分子、分母同时除以cos2θ，然后把已知tanθ的值代入可求．【解答】解：（1）∵sin2θ+cos2θ=1，∴cos2θ=．又＜θ＜π，∴cosθ=∴．（2）=．17．某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清．（1）试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；（2）已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？【考点】频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布直方图中各小长方形的面积之和等于1，求出a的值，频率分布直方图中最高的小长方体的底面边长的中点即是众数；（2）求出本公司职员平均费用不少于8元的频率就能求出公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元．【解答】解：（1）据题意得：（0.05+0.10+a+0.10+0.05+0.05）×2=1，解得a=0.15，众数为：；（2）该公司职员早餐日平均费用不少于8元的有：×2=200，18．已知等比数列{a n}的公比q=2，且a2，a3+1，a4成等差数列．（1）求a1及a n；（2）设b n=a n+n，求数列{b n}的前5项和S5．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）运用等比数列的通项公式和等差数列的中项的性质，解方程可得首项，进而得到所求通项公式；（2）求得b n=2n﹣1+n，再由数列的求和方法：分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：（1）由已知得a2=2a1，a3+1=4a1+1，a4=8a1，又a2，a3+1，a4成等差数列，可得：2（a3+1）=a2+a4，所以2（4a1+1）=2a1+8a1，解得a1=1，故a n=a1q n﹣1=2n﹣1；（2）因为b n=2n﹣1+n，所以S5=b1+b2+b3+b4+b5=（1+2+...+16）+（1+2+ (5)=+=31+15=46．19．已知二次函数f（x）=x2+ax+b满足f（0）=6，f（1）=5（1）求函数f（x）解析式（2）求函数f（x）在x∈[﹣2，2]的最大值和最小值．【考点】二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值．【分析】（1）利用已知条件列出方程组求解即可．（2）利用二次函数的对称轴以及开口方向，通过二次函数的性质求解函数的最值即可．【解答】解：（1）∵；（2）∵f（x）=x2﹣2x+6=（x﹣1）2+5，x∈[﹣2，2]，开口向上，对称轴为：x=1，∴x=1时，f（x）的最小值为5，x=﹣2时，f（x）的最大值为14．20．已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0．（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：为定值；（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE 的面积最大．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）把圆C的方程化为标准方程，写出圆心和半径；（2）设出直线l的方程，与圆C的方程组成方程组，消去y得关于x的一元二次方程，由根与系数的关系求出的值；（3）解法一：设出直线m的方程，由圆心C到直线m的距离，写出△CDE的面积，利用基本不等式求出最大值，从而求出对应直线方程；解法二：利用几何法得出CD⊥CE时△CDE的面积最大，再利用点到直线的距离求出对应直线m的方程．【解答】解：（1）圆C：x2+y2+2x﹣3=0，配方得（x+1）2+y2=4，则圆心C的坐标为（﹣1，0），圆的半径长为2；（2）设直线l的方程为y=kx，联立方程组，消去y得（1+k2）x2+2x﹣3=0，则有：；所以为定值；（3）解法一：设直线m的方程为y=kx+b，则圆心C到直线m的距离，所以，≤，当且仅当，即时，△CDE的面积最大，从而，解之得b=3或b=﹣1，故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0．解法二：由（1）知|CD|=|CE|=R=2，所以≤2，当且仅当CD⊥CE时，△CDE的面积最大，此时；设直线m的方程为y=x+b，则圆心C到直线m的距离，由，得，由，得b=3或b=﹣1，故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0．2017年5月5日。