高二数学 直线与平面垂直的判定和性质章节试卷

（测试时间：120分钟满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是( )A．平行B．垂直C．在平面α内D．无法确定解析：选D 当平面α内的两条直线相交时，直线l⊥平面α，即l与α相交，当面α内的两直线平行时，l⊂α或l∥α或l与α斜交．2．下列说法中正确的个数是( )①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α.②若直线l与平面α内的两条相交直线垂直，则l⊥α.③若直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α.A．3 B．2C．1 D．0解析：选B 对于①不能断定该直线与平面垂直，该直线与平面可能平行，也可能斜交，也可能在平面内，所以是错误的，②③是正确的．3.如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是( )A．平行B．垂直相交C．垂直但不相交D．相交但不垂直4．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则P到BC的距离是( )A. 5 B．2 5C．3 5 D．4 5解析：选D 如图所示，作PD⊥BC于D，连AD.∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥CD.∴CB⊥平面PAD，∴AD⊥BC.在△ACD中，AC＝5，CD＝3，∴AD＝4.在Rt△PAD中，PA＝8，AD＝4，∴PD＝82＋42＝4 5.5．下列命题中：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．其中正确的是( )A．①③B．②④C．③④D．①②6．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角( ) A．相等B．互补C．不确定D．相等或互补答案：C7.在四棱锥P—ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是( )A．平面PAB⊥平面PADB．平面PAB⊥平面PBCC．平面PBC⊥平面PCDD．平面PCD⊥平面PAD解析：选C 由面面垂直的判定定理知：平面PAB⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PBC，平面PCD⊥平面PAD，A、B、D正确．8.如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B－PA－C的大小为( )A．90°B．60°C．45°D．30°解析：选A ∵PA⊥平面ABC，BA，CA⊂平面ABC，∴BA⊥PA，CA⊥PA，因此，∠BAC即为二面角B－PA－C的平面角．又∠BAC＝90°，故选A. 9．如图所示，在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是( )A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC10．已知直线m，n，平面α，β，给出下列命题：①若m⊥α，m⊥β，则α⊥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β；④若异面直线m，n互相垂直，则存在过m的平面与n垂直．其中正确的命题是( ) A．②③B．①③C．②④D．③④解析：选D 对于①，垂直于同一条直线的两个平面互相平行，不可能垂直，所以①不正确；对于②，平行于同一条直线的两个平面相交或平行，所以②不正确；③④正确，故选D. 11．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，直线l过点A且垂直于平面ABC，动点P∈l，当点P逐渐远离点A时，∠PCB的大小( )A．变大B．变小C．不变D．有时变大有时变小解析：选C 由于BC⊥CA，l⊥平面ABC，∴BC⊥l，故BC⊥平面ACP，∴BC⊥CP，∴∠PCB＝90°，故选C.12．如图所示，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是( )A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAED．直线PD与平面ABC所成的角为45°第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下面结论错误的是.(填序号)①BD∥平面CB1D1;②AC1⊥BD;③AC1⊥平面CB1D1;④异面直线AD与CB1所成的角为60°.答案:④14.如图,∠ACB=90°,平面ABC外有一点P,PC=4 cm,点P到角的两边AC,BC的距离都等于2 cm,则PC与平面ABC所成角的大小为.解析:过P作PO⊥平面ABC于点O,连接CO,则CO为∠ABC的平分线,且∠PCO为PC与平面ABC所成的角,设其为θ,连接OF,易知△CFO为直角三角形.又PC=4,PF=2,∴CF=2,∴CO=2,在Rt△PCO中,cosθ=,∴θ=45°.答案:45°15.在正方体ABCD-A'B'C'D'中,过对角线BD'的一个平面交AA'于E,交CC'于F,则:①四边形BFD'E一定是平行四边形;②四边形BFD'E有可能是正方形;③四边形BFD'E在底面ABCD内的投影一定是正方形;④平面BFD'E有可能垂直于平面BB'D.以上结论正确的为.(写出所有正确结论的序号)解析:如图所示:∵BE=FD',ED'=BF,∴四边形BFD'E为平行四边形.∴①正确.②不正确(四边形BFD'E有可能是矩形).③正确(其射影是正方形ABCD).④正确.当E,F分别是AA',CC'中点时正确.答案:①③④16. (2016广东河源高二期中)如图,四棱锥S-ABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,给出下列结论:①AC⊥SB;②AB∥平面SCD;③SA与平面ABD所成的角等于SC与平面ABD所成的角;④AC ⊥SO;⑤AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角,其中正确结论的序号是.解析:∵SD⊥底面ABCD,∴∠SAD和∠SCD分别是SA与平面ABD所成的角、SC与平面ABD所成的角.∵AD=CD,SD=SD,∴∠SAD=∠SCD,则③正确.∵AC⊥平面SBD,SO⊂平面SBD,∴AC⊥SO,则④正确.∵AB∥CD,∴∠SCD是AB与SC所成的角,∠SAB是DC与SA所成的角,∵△SDA≌△SDC,∴SA=SC.∵AB=CD,SB>SD,∴∠SCD≠∠SAB,则⑤不正确.答案:①②③④三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.如图，在直角三角形BMC中，∠BCM＝90°，∠MBC＝60°，BM＝5，MA＝3且MA⊥AC，AB ＝4，求MC与平面ABC所成角的正弦值．18.如图，在锥体P－ABCD中，ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，PA＝PD，E，F分别是BC，PC 的中点．证明：AD⊥平面DEF.证明：取AD的中点G，连接PG，BG.∵PA＝PD，∴AD⊥PG.设菱形ABCD边长为1.∵DE∩EF＝E，∴AD⊥平面DEF.19．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，直线SC⊥平面ABCD，E是SA的中点，求证：平面EDB⊥平面ABCD.证明：连接AC ，交BD 于点F ，连接EF ， ∴EF 是△SAC 的中位线， ∴EF ∥SC . ∵SC ⊥平面ABCD ， ∴EF ⊥平面ABCD . 又EF ⊂平面EDB . ∴平面EDB ⊥平面ABCD .20．如图所示，在矩形ABCD 中，已知AB ＝12AD ，E 是AD 的中点，沿BE 将△ABE 折起至△A ′BE的位置，使A ′C ＝A ′D ，求证：平面A ′BE ⊥平面BCDE .证明：如图所示，取CD 的中点M ，BE 的中点N ，连接A ′M ，A ′N ，MN ，则MN ∥BC . ∵AB ＝12AD ，E 是AD 的中点，∴AB ＝AE ，即A ′B ＝A ′E .又A′N⊂平面A′BE，∴平面A′BE⊥平面BCDE.21．如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4 5.(1)设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；(2)求四棱锥P－ABCD的体积．解：(1)证明：在△ABD中，∵AD＝4，BD＝8，AB＝45，∴AD2＋BD2＝AB2，∴AD⊥BD.又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面PAD.又BD⊂平面MBD，∴平面MBD⊥平面PAD.(2)过P作PO⊥AD，垂足为O.∵平面PAD⊥平面ABCD，∴V P －ABCD ＝13×24×23＝16 3. 22．如图，是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为的中点，点B 和点C 为线段AD 的三等分点，平面AEC 外一点F 满足FC ⊥平面BED ，FB ＝5a .(1)证明：EB ⊥FD ；(2)求点B 到平面FED 的距离．解：(1)证明：∵FC ⊥平面BED ，BE ⊂平面BED ，∴EB ⊥FC .又点E 为的中点，B 为直径AC 的中点，∴EB ⊥BC .又∵FC ∩BC ＝C ，∴EB ⊥平面FBD .∵FD ⊂平面FBD ，∴EB ⊥FD .(2)如图，在平面BEC 内过C 作CH ⊥ED ，连接FH .则由FC ⊥平面BED 知，ED ⊥平面FCH .∵Rt △DHC ∽Rt △DBE ， ∴DC DE ＝CH BE . 在Rt △DBE 中，DE ＝BE2＋BD2＝BE2＋2BC 2＝5a ，∴CH ＝DC·BE DE ＝a·a 5a ＝55a .。

2019-2020学年高中数学必修二《直线、平面垂直的判定及其性质》测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共40小题）1．如图，在下列四个正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD1与平面EFG不垂直的是（）A．B．C．D．【分析】画出截面图形，利用直线与平面垂直的判定定理判断即可．【解答】解：如图在正方体中，E，F，G，M，N，Q均为所在棱的中点，是一个平面图形，直线BD1与平面EFMNQG垂直，并且选项A、B、C中的平面与这个平面重合，满足题意，只有选项D直线BD1与平面EFG不垂直．故选：D．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．2．如图，A﹣BCDE是一个四棱锥，AB⊥平面BCDE，且四边形BCDE为矩形，则图中互相垂直的平面共有（）A．4组B．5组C．6组D．7组【分析】先有AB⊥平面BCDE得到3组互相垂直的平面．再利用四边形BCDE为矩形得到其他互相垂直的平面即可．【解答】解：因为AB⊥平面BCDE，所以平面ABC⊥平面BCDE，平面ABD⊥平面BCDE，平面ABE⊥平面BCDE，又因为四边形BCDE为矩形，所以BC⊥平面ABE⇒平面ABC⊥平面ABE，同理可得平面ACD⊥平面ABC．平面ADE⊥平面ABE故图中互相垂直的平面共有6组．故选：C．【点评】本题考查面面垂直的判定．在证明面面垂直时，其常用方法是在其中一个平面内找两条相交直线和另一平面内的某一条直线垂直3．如图甲所示，在正方形ABCD中，EF分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，如图乙所示，那么，在四面体A﹣EFH中必有（）A．AH⊥△EFH所在平面B．AG⊥△EFH所在平面C．HF⊥△AEF所在平面D．HG⊥△AEF所在平面【分析】本题为折叠问题，分析折叠前与折叠后位置关系、几何量的变与不变，可得HA、HE、HF三者相互垂直，根据线面垂直的判定定理，可判断AH与平面HEF的垂直．【解答】解：根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，∴AH⊥平面EFH，A正确；。

2019-2020学年高中数学必修二《2.3直线、平面垂直的判定及其性质》测试卷参考答案与试题解析一．填空题（共23小题）1．已知直线l⊥平面α，垂足为O，三角形ABC的三边分别为BC＝1，AC＝2，AB＝．若A∈l，C∈α，则BO的最大值为1+．【分析】先将原问题转化为平面内的最大距离问题解决，以O为原点，OA为y轴，OC 为x轴建立直角坐标系，B、O两点间的距离表示处理，结合三角函数的性质求出其最大值即可．【解答】解：将原问题转化为平面内的最大距离问题解决，以O为原点，OA为y轴，OC为x轴建立直角坐标系，如图．设∠ACO＝θ，B（x，y），则有：x＝AC cosθ+BC sinθ＝2cosθ+sinθ，y＝BC cosθ＝cosθ．∴x2+y2＝4cos2θ+4sinθcosθ+1＝2cos2θ+2sin2θ+3＝2sin（2θ+）+3，当sin（2θ+）＝1时，x2+y2最大，为2+3，则B、O两点间的最大距离为1+．故答案为1+．【点评】本题考查了点、线、面间的距离计算，解答关键是将空间几何问题转化为平面几何问题解决，利用三角函数的知识求最大值．2．如图，矩形ABCD的边AB＝4，AD＝2，P A⊥平面ABCD，P A＝3，点E在CD上，若PE⊥BE，则PE＝．【分析】先求出DE，可得AE，即可求出PE．【解答】解：∵P A⊥平面ABCD，PE⊥BE，∴AE⊥BE，∵AB＝4，AD＝2，∴4＝DE（4﹣DE），∴DE＝2，∴AE＝2，∵P A＝3，∴PE＝＝，故答案为．【点评】本题考查空间距离的计算，考查线面垂直的性质，属于中档题．3．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1各条棱所在的直线中，与直线AA1垂直的条数共有8条．【分析】利用正方体的结构特征求解．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与棱AA1垂直的棱有：A1D1，AD，B1C1，BC，A1B1，AB，C1D1，CD．故答案为：8．。

第二章点、直线、平面之间的地点关系2.3直线、平面垂直的判断及其性质直线与平面垂直的判断A 级基础稳固一、选择题1．以下说法中正确的个数是()①假如直线 l 与平面α内的两条订交直线都垂直，则 l⊥α；②假如直线 l 与平面α内的随意一条直线垂直，则 l ⊥α；③假如直线 l 不垂直于α，则α内没有与 l 垂直的直线；④假如直线 l 不垂直于α，则α内也能够有无数条直线与 l 垂直．A．0B．1C．2D．3分析：由直线和平面垂直的定理知①正确；由直线与平面垂直的定义知，②正确；当l 与α不垂直时， l 可能与α内的无数条直线垂直，故③错误，④正确．答案： D2．已知直线 m，n 是异面直线，则过直线n 且与直线 m 垂直的平面()A．有且只有一个B．至多一个C．有一个或无数个D．不存在分析：若异面直线 m、n 垂直，则切合要求的平面有一个，不然不存在．答案： B3．假如一条直线垂直于一个平面内的以下各样状况，能保证该直线与平面垂直的是 ()①三角形的两边②梯形的两边③圆的两条直径④正六边形的两条边A．①③B．②C．②④D．①②③分析：由线面垂直的判断定理可知①③ 是正确的，而② 中线面可能平行、订交．④中因为正六边形的两边不必定订交，所以也没法判定线面垂直．答案： A4.以下图，假如MC⊥菱形 ABCD 所在平面，那么MA 与 BD 的地点关系是 ()A．平行B．垂直订交C．垂直但不订交D．订交但不垂直分析：因为 ABCD 是菱形，所以 BD⊥AC.又 MC ⊥平面 ABCD ，则 BD⊥MC.因为 AC∩ MC＝C，所以 BD ⊥平面 AMC .又 MA ? 平面AMC ，所以 MA ⊥BD.明显直线MA 与直线BD 不共面，所以直线MA 与 BD 的地点关系是垂直但不订交．答案： C5.以下图， PA⊥平面 ABC，△ ABC 中 BC⊥AC，则图中直角三角形的个数是 ()A．1B．2C．3D．4PA⊥BCPA⊥平面 ABC分析：?AC⊥BC?BC? 平面 ABC PA∩AC＝ABC⊥平面 PAC? BC⊥PC，所以直角三角形有△PAB，△PAC，△ABC，△PBC.答案： D二、填空题6．已知△ ABC 所在平面外一点P 到△ ABC 三极点的距离都相等，则点 P 在平面 ABC 内的射影是△ ABC 的____________________ (填“重心”、“外心”、“心里”、“垂心”)．分析： P 到△ABC 三极点的距离都相等，则点P 在平面 ABC 内的射影到△ABC 三极点的距离都相等，所以是外心．答案：外心7．已知正三棱锥 S-ABC 的全部棱长都相等，则 SA 与平面 ABC 所成角的余弦值为 ________．分析：因为 S-ABC 为正三棱锥，所以设点 S 在底面 ABC 上的射影为△ ABC 的中心 O，连结 SO，AO，以下图，则∠SAO 为 SA 与2底面 ABC 所成的角，设三棱锥的棱长为a，在 Rt△SOA 中，AO＝3·asin360°＝3 a，SA＝a，AO3所以 cos∠SAO＝SA＝3 .3答案：38．以下图，平面α∩β＝CD，EA⊥α，垂足为 A，EB⊥β，垂足为 B，则 CD 与 AB 的地点关系是 ________．分析：因为 EA⊥α，CD? α，依据直线和平面垂直的定义，则有CD⊥EA.相同，因为 EB⊥β，CD? β，则有 EB⊥CD.又 EA∩EB＝E，所以 CD⊥平面 AEB .又因为 AB? 平面 AEB ，所以 CD⊥AB.答案： CD⊥AB三、解答题9.(2015 重·庆卷 )以下图，三棱锥P-ABC 中， PC⊥平面 ABC，∠A CB＝90°.D，E 分别为线段 AB，BC 上的点，且 CD＝DE ＝ 2，CE＝2.证明： DE⊥平面 PCD.证明：由 PC⊥平面 ABC，DE ? 平面 ABC，故 PC⊥DE .由 CE＝2，CD＝ DE ＝2，得△ CDE 为等腰直角三角形，故CD⊥DE.由 PC∩CD＝C，故 DE⊥平面 PCD.10．以下图，四边形 ABCD 为矩形， AD ⊥平面 ABE ，F 为 CE 上的点，且 BE⊥平面 ACE.求证： AE⊥BE.证明：因为 AD ⊥平面 ABE ，AD∥BC，所以 BC⊥平面 ABE .又 AE? 平面 ABE ，所以 AE⊥BC.因为 BF ⊥平面 ACE，AE? 平面 ACE，所以 AE⊥BF .又因为 BF ? 平面 BCE，BC? 平面 BCE， BF ∩BC＝B，所以 AE⊥平面 BCE.又 BE? 平面 BCE，所以 AE⊥BE.B 级能力提高1．如图①所示，在正方形SG1G2G3中，E、F 分别是边G1G2，G2G3的中点， D 是 EF 的中点，现沿 SE、SF 及 EF 把这个正方形折成一个如图②所示的几何体，使 G1、G2、G3三点重合于点 G，则下面结论建立的是 ()图①图②A．SG⊥平面 EFG B．SD⊥平面 EFGC．GF⊥平面 SEF D．GD⊥平面 SEF分析：在图①是，SG1⊥G1E，SG3⊥G3F ，所以在图②中，SG⊥GE，SG⊥GF ，又 GE∩GF ＝G，所以 SG⊥平面 EFG .答案： A2．在三棱柱 ABC-A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面 BB1C1C 的中点，则 AD 与平面 BB1C1C 所成角的大小是________．分析：以下图，取 BC 的中点 E，连结 DE，AE，则 AE⊥面BB1C1C.所以 AE⊥DE，所以 AD 与平面 BB1C1C 所成角即为∠ADE ，设AB ＝，则AE＝3a，DE ＝a，a有 tan∠ADE ＝ 3，所以∠ADE ＝ 60°.答案： 60°3.如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝2，D 是 A1B1的中点．(1)求证： C1D⊥平面 A1B.(2)当点 F 在 BB1上什么地点时，会使得 AB1⊥平面 C1DF ？证明你的结论．证明： (1)因为直三棱柱 ABC-A1B1C1中，AC＝BC，所以 A1C1＝B1C1.又 D 是 A1B1的中点，所以 C1D⊥A1B1.因为 AA1⊥平面 A1B1C1，C1D? 平面 A1B1C1，所以 AA1⊥C1D.又 AA1，A1B1? 平面 A1B，AA1∩A1B1＝A1，所以 C1D⊥平面 A1B.(2)当点 F 为 BB1的中点时， AB1⊥平面 C1DF .证明以下：作 DE⊥AB1交 AB1于点 E，延伸 DE 交 BB1于点 F，连结 C1F，此时 AB1⊥平面 C1DF ，点 F 即为所求．事实上，因为C1D⊥平面 A1B，AB1? 平面 A1B，所以 C1D⊥AB1.又 AB1⊥DF ，DF ∩C1D＝D，所以 AB1⊥平面 C1DF .由已知得 A1B1＝ 2.连结 A1B，在矩形 A1B1BA 中， A1B1＝A1A，所以四边形 A1B1BA 是正方形，所以 A1B⊥AB1，所以 DF ∥A1B.又 D 为 A1B1的中点，所以 F 为 BB1的中点．故当 F 为 BB1的中点时， AB1⊥平面 C1DF .。

第 1 题 .已知直线 a ，b和平面，且a b ， a，则b与的地点关系是．答案： b//或b．第 2 题 . 已知两个平面垂直，以下命题①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的随意一条直线．② 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线．③ 一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面．④ 过一个平面内随意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．此中正确的个数是（）A．３Ｂ．２Ｃ．１Ｄ．０答案：Ｂ．第3题.已知平面，，且，//，求证．答案：证明：设l ，在平面内作直线a l ．由于，因此 a．过 a 作一个平面与平面订交于直线 b ，由//，得a// b．又 b，因此．由于a，因此b．第 4 题 .已知平面，，知足，，l ，求证： l．答案：在平面内做两条订交直线分别垂直于平面，与平面的交线，再利用面面垂直的性质定理证直线l平面．第 5 题 .如图，已知平面，，直线a知足，a，a，试判断直线 a 与平面的地点关系．b a答案：解：在内作垂直于与交线的直线 b ，由于，因此b．由于 a，因此a// b．又由于a，因此a//．即直线 a 与平面平行．第 6 题 .如下图，ABCD 为正方形，SA平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于E，F ，G．求证：AE SB， AG SD ．SFGD E CBA答案：证明：∵ SA平面ABCD，∴SA BC ．又 AB BC ，∴ BC 平面SAB．∵ AE平面 SAB，∴ BC AE ，∵ SC平面 AEFG ，∴ SC AE， AE平面 SBC ，∴ AE SB ．同理 AG SD ．第7题.已知直线l平面，有以下几个判断：①若 m l，则m//；②若 m，则 m// l ；③若 m//，则m l ；④若 m// l ，则m．上述判断中正确的选项是）（Ａ．①②③Ｂ．②③④Ｃ．①③④Ｄ．①②④答案：Ｂ．第8题.，是两个不一样的平面，m， n 是平面及以外的两条不一样的直线，给出四个论断：① m n ；②；③n；④ m．以此中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你以为正确的一个命题．答案：②③④①或①③④② ．第9题.如下图，四棱锥 P ABCD 的底面是正方形， PA底面 ABCD ， AE PD ，EF// CD ， AM EF ．求证： MF 是异面直线 AB 与 PC 的公垂线．P答案：证明：∵ PA 底面，∴ PA AB ．已知 AB AD ，∴ AB面PAD ．∴BA AE．E又 AM // CD// EF ，且 AM EF ．∴ AEFM 是矩形，∴ AM MF ．F又∵ AE PD，AE CD ，∴ AE平面 PCD ．DA又MF// AE，∴MF平面 PCD ．∴ MF PC ．M∴ MF 是异面直线AB与PC的公垂线．B C第10题. PB PD 设 O 为平行四边形ABCD 对角线的交点，，则 PO 与平面 ABCD 的关系是P 为平面．AC外一点且有PA PC，答案：垂直第 11题 . 如图，直角△ABC所在平面外一点S，且 SA SB SC，点 D为斜边 AC 的中点．（１）求证： SD 平面 ABC ；（２）若 AB BC ，求证： BD面 SAC．SA CDB答案：证明：（１）∵ SA SC，D为AC的中点，∴ SD AC ．连接BD．在 Rt △ ABC 中，则 AD DC BD ．∴△ ADS ≌△ BDS ，∴ SD BD ．又 AC BD D，∴SD面ABC．（２）∵BA BC，D 为 AC的中点，∴BD AC．又由（１）知SD面ABC，∴SD BD ．于是 BD 垂直于平面SAC 内的两条订交直线．∴ BD面SAC．第 12 题.在三棱锥（１）求证：AB P ABCBC ；中，侧面PAC与面ABC 垂直，PA PB PC 3 ．（２）设AB BC 2 3，求AC与平面PBC所成角的大小．答案：证明：如图（１）所示，取AC中点D ，连接BD，PD．∵ PA PC，∴ PD AC．又平面PAC平面ABC ，∴ PD面 ABC．∵ PA PB PC ，∴ DA DB DC．可知AC 为△ ABC 的外接圆直径．∴ AB BC．PA CDB图（１）（２）解：如图（２），作 CF PB 于 F ，连接 AF ， DF ．∵△ PBC ≌△ PBA ，∴ AF PB ， AF CF ．∴PB 平面 AFC ．∴面 AFC 面 PBC ，交线为 CF ．∴直线 AC 在平面 PBC 内的射影为直线 CF ．∴ACF 为 AC 与平面 PBC 所成的角．在 Rt △ ABC 中，AB BC 2 3，∴BD6．在 Rt △ PDC 中，DC6， PD3．在 Rt △ PDB 中， DF PD DB362．PB3在 Rt △ FDC 中，tanDF23 DCF6．DC3∴ACF30t ．即 AC 与平面 PBC 所成角为 30t ．PFA CDB图（２）第 13 题 . 在正方形 ABCD 中，E ，F 分别是 AB 及 BC 的中点， M 是 EF 的中点，沿 DE ， DF及 EF 把 △ DAE ， △ DFC ， △ EBF 折起使 A ， B ， C 三点重合，重合后的点记作P ，那么在四周体 P DEF 中必有（ ） Ａ． DP 面 PEF Ｂ． DM 面 PEF Ｃ． PM 面 DEF Ｄ． PF 面 DEF答案：Ａ．第 14 题 . 直线 a 不垂直于平面 ，则内与 a 垂直的直线有（）Ａ． 0 条 Ｂ． 1条Ｃ．无数条Ｄ．内全部直线答案：Ｃ．第15题. 已知三条直线m ， n l，， ．下边四个命题中， 正确的选项是（）， ，三个平面////mlＡ．Ｂ．l m//mm// //Ｃ．Ｄ．//m nnmnn答案：Ｄ．第 16 题 . 在空间四边形 ABCD 中，若 AB BC ， AD CD ， E 为对角线 AC 的中点，以下判断正确的选项是（ ）Ａ．平面 ABD 平面 BDC Ｂ．平面 ABC 平面 ABD Ｃ．平面 ABC 平面 ADCＤ．平面 ABC平面 BED答案：Ｄ．第17题.， ， ， 是四个不一样平面，若 ， ， ， ，则（ ）Ａ．// 且 //Ｂ．//或 //Ｃ．这四个平面中可能随意两个都不平行Ｄ．这四个平面中至多有一对平面平行答案：Ｂ．第18题.Ａ．过不在Ｂ．过不在设 a ，b是异面直线，以下命题正确的选项是（a ，b上的一点P必定能够作一条直线和a ，b上的一点P必定能够作一个平面和a ，a ，）b 都订交b 垂直Ｃ．过Ｄ．过a 必定能够作一个平面与a 必定能够作一个平面与b 垂直b 平行答案：Ｄ．第19题.已知 a ，b是异面直线，a， b， c ， AB 是a， b 的公垂线，求证： AB// c ．答案：证明：过 A 作 b'，则 b'// b ．∵ AB b ，∴ AB b' ．又∵ AB a ， a b' A ，设a， b' 确立平面，∴ AB．又 a， c，∴ a c ．同理 b' c ．∴ c．∴ AB//c ．Aab'cB b第 20 题 .下边四个命题：①若直线a//平面，则内任何直线都与 a 平行；②若直线 a平面，则内任何直线都与 a 垂直；③若平面// 平面，则内任何直线都与平行；④若平面平面，则内任何直线都与垂直．此中正确的两个命题是（）Ａ．①与②Ｂ．②与③Ｃ．③与④Ｄ．②与④答案：Ｂ．第21题.设平面平面，且l，直线a，直线b，且a 不与l垂直，b 不与 l 垂直，那么 a 与b（Ａ．可能垂直，不行能平行Ｃ．可能垂直，也可能平行）Ｂ．可能平行，不行能垂直Ｄ．不行能垂直，也不可以垂直答案：Ｂ．第22题.已知：如下图，平面平面，l，在l 上取线段AB 4 ，AC，BD分别在平面和平面内，且AC AB，DB AB，AC 3 ，BD12 ，求 CD长．CBA lD答案：解：连接 BC ．∵ AC AB ，∴ AC， AC BD ．∵ BD AB ，∴ BD， BD BC ．∴△ CBD 是直角三角形．在 Rt △ BAC 中，BC AC2AB23242 5 ，在 Rt △CBD 中，CD5212213 ．∴CD 长为 13．CBA lD第 23 题 . 在正三棱柱ABC A1B1C1中，若 AB1 BC1．求证： AB1 AC1．答案：证明：取AB中点 D ，A1B1中点 D1，连接 A1D ， BD1，CD， C1D1，由正三棱柱性质知， CD AB ，C1D1A1B1．又正三棱柱侧面与底面垂直，∴ CD 面ABB1A1，C1D1面 ABB1 A1，∴ A1 D ， BD1分别为 AC1与 BC1在面 ABB1 A 上的射影．∵ AB1BC1，∴ AB1BD1．又 A1D1∥BD ，∴A1D// BD1．∴A1D AB1．∴ AB AC ．11C1D1B1A1CA BD第 24 题 .设三棱锥P ABC 的极点 P 在底面 ABC 内射影 O （在△ ABC 内部，即过 P 作PO 底面 ABC ，交于 O ），且到三个侧面的距离相等，则O 是△ ABC 的（）Ａ．外心Ｂ．垂心Ｃ．心里Ｄ．重心答案：Ｃ．第 25 题 . 如下图，AB是圆O的直径，C是异于A，B两点的圆周上的随意一点，PA垂直于圆O 所在的平面，则△ PAB ，△ PAC ，△ ABC ，△ PBC 中，直角三角形的个数是（）Ａ．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．4PA 答案：Ｄ．第26题.已知直线 a ，b和平面，有以下四个命题：①若 a//， a// b ，则 b//；②若 a， b A ，则a与 b 异面；③若 a// b ， b，则 a；④若 a b ， a，则 b//．此中真命题的个数是（）Ａ． 0Ｂ． 1Ｃ． 2Ｄ． 3答案：Ｂ．O B C。

2.3.1 直线与平面垂直的判定时间:30分钟，总分：70分班级：姓名：一、选择题（共6小题，每题5分，共30分）1．下列命题中，正确的有( )①如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直．②过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直．③如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．④垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面．⑤过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内．A．2个 B．3个 C．4个D．5个【答案】C【解析】②③④⑤正确，①中当这无数条直线都平行时，结论不成立.2.一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是( )A．(0°，90°) B．[0°，90°] C．(0°，90°] D．[0°，180°]【答案】B【解析】由线面角的定义知B正确．3.如图，三条相交于点P的线段PA，PB，PC两两垂直，P在平面ABC外，PH⊥平面ABC于H，则垂足H是△ABC的( )A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心【答案】C【解析】∵PC⊥PA，PC⊥PB，PA∩PB＝P，∴PC⊥平面PAB．又∵AB⊂平面PAB，∴AB⊥PC．又∵AB⊥PH，PH∩PC＝P，∴AB⊥平面PCH.又∵CH⊂平面PCH，∴AB⊥CH.同理BC⊥AH，AC⊥BH.∴H为△ABC的垂心．.4.给出下列三个命题：①一条直线垂直于一个平面内的三条直线，则这条直线和这个平面垂直；②一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等，则这条直线和这个平面垂直；③一条直线在平面内的射影是一点，则这条直线和这个平面垂直．其中正确的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】①中三条直线不一定存在两条直线相交，因此直线不一定与平面垂直；②中直线与平面所成角必为直角，因此直线与平面垂直；③根据射影定义知正确．故选C．5.若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面 ( )A．有且只有一个 B．可能有一个，也可能不存在C．有无数多个 D．一定不存在【答案】B【解析】当a与b垂直时，过a且与b垂直的平面有且只有1个，当a与b不垂直时，过a 且与b垂直的平面不存在．故选B。

高中数学试卷直线与平面垂直的判定与性质2一、填空题1.如图,已知六棱锥P ABCDEF-的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,2PA AB=,则下列结论中:①PB AE⊥;②平面ABC⊥平面PBC;③直线BC平面PAE;④45PDA∠=︒.其中正确的有__________(把所有正确的序号都填上)2.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A BD C--,有如下四个结论:①AC BD⊥;②ACD∆是等边三角形;③AB与平面BCD成60的角;④AB与CD所成的角为60。

其中正确的编号是__________.3.如图,在四面体D ABC-中,若AB CB=,AD CD=,E是AC的中点,则下列正确的是( )A.平面ABC⊥平面ABDB.平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDEC.平面ABD⊥平面BDCD.平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE4.将一幅斜边长相等的直角三角板拼接成如图所示的空间图形,其中AD BD==30BAC∠=︒,若它们的斜边AB重合,让三角板ABD以AB为轴转动,则下列说法正确的是__________.①当平面ABD⊥平面ABC时,C、D②在三角板ABD转动过程中,总有AB CD⊥;③在三角板ABD转动过程中,三棱锥D ABC-体积的最大值为6.5.如图,正方形BCDE的边长为a,已知AB BC=,将直角ABE∆沿BE边折起,A点在平面BCDE上的射影为D点,则对翻折后的几何体有如下描述:①AB与DE所成角的正切值是.②//AB CD.③平面EAB⊥平面ADEB④平面EAB⊥平面ADE.其中正确的叙述有__________(写出所有正确结论的编号).6.将正方形ABCD沿AC折成二面角后,DAB∠=__________.7.在正方体1111ABCD ABC D-中,直线1BD与平面ABCD所成的角的余弦值为.8.如图,P是正方形ABCD平面外的一点,且PA⊥平面ABCD,则在,,,,PAB PBC PCD PAD PAC∆∆∆∆∆及PBD∆中,直角三角形有__________个.9.如图AB为圆O的直径,点C在圆周上(异于A,B点)直线PA垂直于圆所在的平面,点M为线段PB的中点,有以下四个命题:①//PA平面MOB;②//MO平面PAC;③OC⊥平面PAB;④平面PAC⊥平面PAB,其中正确的命题是__________.10.已知正方体1AC的棱长为1,点P是面11AA D D的中心,点Q是面1111A B C D的对角线11B D上的一点,且//PQ平面11AA B B.则线段P Q、的长为__________.11.夹在互相垂直的两个平面之间的长为2a的线段和这两个平面所成的角分别为45和30,过这条线段的两个端点分别向这两个平面的交线作垂线,则两垂足间的距离为__________.12.在斜三棱柱111ABC A B C-中,90BAC∠=,1BC AC⊥,则1C在底面ABC上的射影H必在__________.13.如图,在正方体1111ABCD A BC D-中,,E F分别为棱1DD,AB上的点.给出下列命题:①1AC⊥平面1B EF;②在平面1111A B C D内总存在与平面1B EF平行的直线;③平面1B EF与平面ABCD所成二面角的大小与点E的位置有关,与点F的位置无关.其中真命题有______个.14.已知,m n是两条不同的直线,,αβ为两个不同的平面,有下列四个命题:①若αβ⊥,mα⊂,nβ⊂,则m n⊥;②若mα⊥,nβ⊥,m n⊥,则αβ⊥;③若//mα,//nβ,//m n,则//αβ;④若mα⊥,//nβ,//αβ,则m n⊥;其中所有正确命题的序号是__________.15.已知,,a b l表示三条不同的直线,,,αβγ表示三个不同平面,有下列四个命题:①若,a bαββγ⋂=⋂=且a b,则αγ;②若,a b相交且都在,αβ外,,,,a ab bαβαβ,则αβ;③若,,,a ab a bβαββ⊥⋂=⊂⊥,则bα⊥④若,,,,a b m l a l bαβαβ⊂⊂⋂=⊥⊥,则l m⊥.其中正确命题的序号是__________.16.如图,三棱锥P ABC-,平面PAB⊥平面PBC,若PB BC⊥,则△ABC的形状为__________.17.已知平面α,β,γ,直线,l m满足:αγ⊥,mγα⋂=,lγβ⋂=,l m⊥,那么可推出的结论有__________(请将你认为正确的结论的序号都填上).①mβ⊥; ②lα⊥; ③βγ⊥;④αβ⊥.18.从空间一点P像二面角lαβ--的两个面,αβ分别作垂线,PE PF,,E F为垂足,若60EPF∠=,则二面角的大小为__________.19.如图,AB为圆O的直径,C为圆周上的点,PA⊥圆O所在的平面,则图中直角三角形的个数是__________.二、解答题20.已如图所示,在△ABC中,已知SA⊥平面ABC,SA AB=,AB BC⊥,SB BC=,DE垂直平分SC,且分别交于AC,SC于点D,E,求二面角E BD C--的大小.21.过点S引三条长度相等不共面的线段SA、SB、SC,且60ASB ASC∠=∠=︒,90BSC∠=︒,求证:平面ABC⊥平面BSC。

高二数学垂直试题答案及解析1.在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，PA⊥平面ABC，PA=8，则P到BC的距离是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图：取BC的中点为E,连结AE及PE,由AB=AC=5知:,又因为PA⊥平面ABC，所以，从而有，所以线段PE的长就是P到BC的距离；在中有AE=4，又PA=8，在中有，故选B．【考点】线面的垂直及点到直线的距离．2.在类比此性质，如下图，在四面体P－ABC 中，若PA、PB、PC两两垂直，底面ABC上的高为h，则得到的正确结论为________________．【答案】【解析】如图所示，两两垂直，则平面，所以,在直角三角形中有,平面,则,又,故平面,那么,在直角三角形中，,可得.【考点】线面垂直的判定与性质.3.如图,已知长方形中,, ,为的中点．将沿折起，使得平面平面．(1)求证：；(2)若点是线段的中点，求二面角的余弦值．【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)根据面面垂直可得线面垂直,进而得到线线垂直．根据矩形的边长,可证明,根据平面平面,且为交线,可证平面,进而得到．(2)要求二面角首先得找到二面角的平面角,根据是线段的中点,取的中点,则,根据(1)可知平面,过做,则可证明即二面角的平面角,根据已知条件可求出该角的余弦值．(1)即．平面平面,平面,(2)取的中点,则,由(1)知平面,平面．过做,连接．因为,,所以平面,则．所以根据二面角的平面角定义可知,即二面角的平面角，由已知【考点】线线垂直的证明,找二面角的平面角以及求角．4.如图，在四棱锥中，，，为正三角形，且平面平面．（1）证明：；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）取的中点，然后利用矩形及正三角形的性质可证明，，从而可证明结果；（2）可考虑分别以，为轴，轴，轴建立空间直线坐标系，通过求两个平面的法向量的夹角来求二面角的余弦值．或考虑通过过点作，然后证明为所求二面角的一个平面角，再在中进行计算．（1）证明：取的中点，连接，∵为正三角形，∴．又∵在四边形中，，∴,且，∴四边形ABCO为平行四边形，∴，∴，∴．（2）(法一)：由（1）知，且平面平面∴平面，所以分别以，为轴，轴，轴建立如图，所示的直角坐标系，并设，则，,∴，，，，，∴，,,．设平面，平面的法向量分别为，则∴∴分别取平面，平面的一个法向量，∴，∴二面角的余弦值为．(法一)：由（1）知，且平面平面，∴平面，过点作，垂足为，连接，则，于是为所求二面角的一个平面角，设，则，，，∴∴二面角的余弦值为．【考点】1、空间直线与平面的垂直关系；2、空间向量的应用；3、二面角．5.如图，正方形所在的平面与平面垂直，是和的交点，，且．（1）求证：平面；（2）求二面角的大小．【答案】(1)详见解析;(2）.【解析】（1）要证AM⊥平面EBC，关键是寻找线线垂直，利用四边形ACDE是正方形，可得AM⊥EC．利用平面ACDE⊥平面ABC，BC⊥AC，可得BC⊥平面EAC，从而有BC⊥AM．故可证；（2）先求出二面角A-EB-C的平面角．再在Rt△EAB中，利用AH⊥EB，有AE•AB=EB•AH．设EA=AC=BC=2a可得AB＝2a，EB＝2a，∴AH＝＝．从而可求二面角A-EB-C的平面角 .证明：（1）∵四边形是正方形，∵平面平面，又∵，平面．平面，．平面． 6分（2）过作于，连结．平面，．平面．是二面角的平面角．∵平面平面，平面．．在中，，有．设可得，，．．．∴二面角等于． 12分.【考点】1.用空间向量求直线与平面的夹角； 2.用空间向量求平面间的夹角.6.如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且，点C为圆O上一点，且．点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD=DB．（1）求证：；（2）求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析;(2)．【解析】（1）先利用平面几何知识与线面垂直的性质证线线垂直，由线线垂直得到线面垂直，再由线面垂直得到线线垂直；（2）作出二面角的平面角，证明符合二面角的定义，再在三角形中求二面角的平面角,从而求出所求的二面角．试题解析：(1)如图,连接，由知，点为的中点，又∵为圆的直径，∴，由知，，∴为等边三角形，从而．∵点在圆所在平面上的正投影为点，∴平面，又平面，∴，由得，平面，又平面，∴．（2）方法1:（综合法）如图,过点作，垂足为，连接,由（1）知平面，又∵平面，∴，又∵，∴平面，又∵平面，∴，∴为二面角的平面角．由（Ⅰ）可知，，∴，则，∴在中，，∴，即二面角的余弦值为．方法2:（坐标法）以为原点，、和的方向分别为轴、轴和轴的正向，建立如图所示的空间直角坐标系,设，由，得，，，∴，，，，∴，，，由平面，知平面的一个法向量为．设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，∴，设二面角的平面角的大小为，则，∴二面角的余弦值为．【考点】1.直线与平面垂直的判定；2.二面角的平面角及求法．7.如图,直棱柱中,分别是的中点,.⑴证明:;⑵求EC与平面所成角的正弦值.【答案】(1)见解析；（2）sin∠ECD=.【解析】（1）线线垂直转化为线面垂直的思想.（2）通过证明线面垂直，找到了线面所成的角，再根据所给的线段的关系求出EC与平面所成角的正弦值.试题解析：⑴由,知,又,故,,故;⑵设,故可得,,,故,故,又由⑴得,故,故所求角的平面角为,故.【考点】1.线线垂直的证明.2.直线与平面所成的角的计算.8.设是两条直线，是两个平面，下列能推出的是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】∵∥，且，∴，又∵，∴，选项C正确.【考点】线线垂直的判定.9.在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2.”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的面面积与底面面积间的关系。

§2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定一、基础过关1．已知直线a∥b，平面α∥β，a⊥α，则b与β的位置关系是() A．b⊥βB．b∥βC．b⊂βD．b⊂β或b∥β2．直线a⊥直线b，b⊥平面β，则a与β的关系是() A．a⊥βB．a∥βC．a⊂βD．a⊂β或a∥β3．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是() A．垂直且相交B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交D．不垂直也不相交4．如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定5. 在正方体ABCD－A 1B1C1D1中，(1)直线A1B与平面ABCD所成的角是________；(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________；(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角是______．6. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝______.7．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．求证：CF⊥平面EAB.8. 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱P A垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，P A＝AD.求证：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD.二、能力提升9. 如图所示，P A⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为()A．4 B．3 C．2 D．110．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中() A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直11．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)．12. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为ABCD的中心，求证：B1O⊥平面P AC.三、探究与拓展13．已知平面α外两点A、B到平面α的距离分别为1和2，A、B两点在α内的射影之间距离为3，求直线AB和平面α所成的角．答案1．A 2.D 3．C 4．B 5．(1)45° (2)30° (3)90° 6．90°7．证明 在平面B 1BCC 1中， ∵E 、F 分别是B 1C 1、B 1B 的中点， ∴△BB 1E ≌△CBF ， ∴∠B 1BE ＝∠BCF ，∴∠BCF ＋∠EBC ＝90°，∴CF ⊥BE ， 又AB ⊥平面B 1BCC 1，CF ⊂平面B 1BCC 1， ∴AB ⊥CF ，又AB ∩BE ＝B ， ∴CF ⊥平面EAB .8．证明 (1)∵P A ⊥底面ABCD ， ∴CD ⊥P A .又矩形ABCD 中，CD ⊥AD ，且AD ∩P A ＝A ，∴CD ⊥平面P AD ，∴CD ⊥PD .(2)取PD 的中点G ，连接AG ，FG .又∵G 、F 分别是PD 、PC 的中点，∴GF 綊12CD ，∴GF 綊AE ，∴四边形AEFG 是平行四边形，∴AG ∥EF . ∵P A ＝AD ，G 是PD 的中点， ∴AG ⊥PD ，∴EF ⊥PD ， ∵CD ⊥平面P AD ，AG ⊂平面P AD . ∴CD ⊥AG .∴EF ⊥CD .∵PD ∩CD ＝D ，∴EF ⊥平面PCD . 9．A 10．B 11．∠A 1C 1B 1＝90°12．证明 连接AB 1，CB 1，设AB ＝1.∴AB 1＝CB 1＝2，∵AO ＝CO ，∴B 1O ⊥AC .连接PB 1.∵OB 21＝OB 2＋BB 21＝32， PB 21＝PD 21＋B 1D 21＝94， OP 2＝PD 2＋DO 2＝34，∴OB 21＋OP 2＝PB 21.∴B 1O ⊥PO ，又∵PO ∩AC ＝O ，∴B 1O ⊥平面P AC .13．解 (1)如图①，当A 、B 位于平面α同侧时，由点A 、B 分别向平面α作垂线，垂足分别为A 1、B 1，则AA 1＝1，BB 1＝2，B 1A 1＝ 3.过点A 作AH ⊥BB 1于H ，则AB 和α所成角即为∠HAB .而tan ∠BAH ＝2－13＝33.∴∠BAH ＝30°.(2)如图②，当A 、B 位于平面α异侧时，经A 、B 分别作AA 1⊥α于A 1，BB 1⊥α于B 1，AB ∩α＝C ，则A 1B 1为AB 在平面α上的射影，∠BCB 1或∠ACA 1为AB 与平面α所成 的角．∵△BCB 1∽△ACA 1， ∴BB 1AA 1＝B 1C CA 1＝2， ∴B 1C ＝2CA 1，而B 1C ＋CA 1＝3，∴B 1C ＝233.∴tan ∠BCB 1＝BB 1B 1C ＝2233＝3，∴∠BCB 1＝60°.综合(1)、(2)可知：AB 与平面α所成的角为30°或60°.2.3.2 平面与平面垂直的判定一、基础过关1．过两点与一个已知平面垂直的平面( )A ．有且只有一个B ．有无数个C ．一个或无数个D ．可能不存在 2．不能肯定两个平面一定垂直的情况是( )A ．两个平面相交，所成二面角是直二面角B ．一个平面经过另一个平面的一条垂线C ．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线D ．平面α内的直线a 与平面β内的直线b 是垂直的 3．设有直线m 、n 和平面α、β，则下列结论中正确的是( )①若m ∥n ，n ⊥β，m ⊂α，则α⊥β； ②若m ⊥n ，α∩β＝m ，n ⊂α，则α⊥β； ③若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β. A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 4．设l 是直线，α，β是两个不同的平面，下列结论中正确的是( )A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥βB ．若l ∥α，l ⊥β，则α⊥βC ．若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥βD ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β5．过正方形ABCD 的顶点A 作线段AP ⊥平面ABCD ，且AP ＝AB ，则平面ABP 与平面CDP 所成的二面角的度数是________．6．如图所示，已知P A ⊥矩形ABCD 所在的平面，图中互相垂直的平面有________对．7．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，PD ∥MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且AD ＝PD ＝2MA .求证：平面EFG ⊥平面PDC . 8. 如图所示，四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝ 3.(1)证明：平面PBE ⊥平面P AB ； (2)求二面角A —BE —P 的大小． 二、能力提升9．在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，把菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD ＝32，则二面角B －AC －D 的余弦值为( )A.13B.12C.223D.32 10．在正四面体P －ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，下面四个结论中不成立的是( )A ．BC ∥面PDFB ．DF ⊥面P AEC ．面PDF ⊥面ABCD ．面P AE ⊥面ABC11．如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，E 、F 分别是A 1B 、A 1C 的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.12．如图，在三棱锥P—ABC中，P A⊥底面ABC，P A＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC.(1)求证：BC⊥平面P AC.(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．三、探究与拓展13．如图所示，三棱锥P—ABC中，D是AC的中点，P A＝PB＝PC＝5，AC＝22，AB＝2，BC＝ 6.(1)求证：PD⊥平面ABC；(2)求二面角P—AB—C的正切值．答案1．C 2.D 3.B 4.B5．45°6．57．证明因为MA⊥平面ABCD，PD∥MA，所以PD⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC.因为四边形ABCD为正方形，所以BC⊥DC.又PD∩DC＝D，所以BC⊥平面PDC.在△PBC中，因为G、F分别为PB、PC的中点，所以GF∥BC，所以GF⊥平面PDC.又GF⊂平面EFG，所以平面EFG⊥平面PDC.8．(1)证明如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD.又AB∥CD，所以BE⊥AB.又因为P A⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以P A⊥BE.而P A∩AB＝A，因此BE⊥平面P AB.又BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面P AB.(2)解由(1)知，BE⊥平面P AB，PB⊂平面P AB，所以PB⊥BE.又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．在Rt△P AB中，tan∠PBA＝P AAB＝3，则∠PBA＝60°.故二面角A—BE—P的大小是60°.9．B 10．C11．证明(1)由E、F分别是A1B、A1C的中点知EF∥BC.因为EF⊄平面ABC，BC⊂平面ABC.所以EF∥平面ABC.(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1.又A1D⊂平面A1B1C1，故CC1⊥A1D.又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D⊂平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.12．(1)证明∵P A⊥底面ABC，∴P A⊥BC.又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC.又∵AC∩P A＝A，∴BC⊥平面P AC.(2)解∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面P AC，∴DE⊥平面P AC.又∵AE⊂平面P AC，PE⊂平面P AC，∴DE⊥AE，DE⊥PE.∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角．∵P A⊥底面ABC，∴P A⊥AC，∴∠P AC＝90°.∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC.这时∠AEP＝90°，故存在点E，使得二面角A—DE—P为直二面角．13．(1)证明连接BD，∵D是AC的中点，P A＝PC＝5，∴PD⊥AC.∵AC＝22，AB＝2，BC＝6，∴AB 2＋BC 2＝AC 2.∴∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC .∴BD ＝12AC ＝2＝AD .∵PD 2＝P A 2－AD 2＝3，PB ＝5， ∴PD 2＋BD 2＝PB 2.∴PD ⊥BD . ∵AC ∩BD ＝D ，∴PD ⊥平面ABC .(2)解 取AB 的中点E ，连接DE 、PE ，由E 为AB 的中点知DE ∥BC ， ∵AB ⊥BC ，∴AB ⊥DE . ∵PD ⊥平面ABC ，∴PD ⊥AB .又AB ⊥DE ，DE ∩PD ＝D ，∴AB ⊥平面PDE ，∴PE ⊥AB . ∴∠PED 是二面角P —AB —C 的平面角．在△PED 中，DE ＝12BC ＝62，PD ＝3，∠PDE ＝90°，∴tan ∠PED ＝PDDE ＝ 2.∴二面角P —AB —C 的正切值为 2.2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质一、基础过关1．已知两个平面互相垂直，那么下列说法中正确的个数是( )①一个平面内的直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；②一个平面内垂直于这两个平面交线的直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线； ③过一个平面内一点垂直于另一个平面的直线，垂足必落在交线上； ④过一个平面内的任意一点作交线的垂线，则此直线必垂直于另一个平面． A ．4B ．3C ．2D ．1 2．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是( ) A ．相交B ．平行C ．异面D ．相交或平行3．若m 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( )①⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ⊥α⇒n ⊥α； ② ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ⊥α⇒m ∥n ； ③⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ∥α⇒m ⊥n; ④⎭⎪⎬⎪⎫m ∥αm ⊥n ⇒n ⊥α.A ．1B ．2C ．3D ．4 4．在△ABC 所在的平面α外有一点P ，且P A ＝PB ＝PC ，则P 在α内的射影是△ABC 的( )A ．垂心B ．内心C ．外心D ．重心5. 如图所示，AF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，且AF ＝DE ，AD ＝6，则EF ＝________.6．若α⊥β，α∩β＝AB，a∥α，a⊥AB，则a与β的关系为________．7. 如图，在三棱锥P－ABC中，P A⊥平面ABC，平面P AB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.8. 如图所示，在正方体ABCD—A 1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点．二、能力提升9. 如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为π4和π6.过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A′、B′，则AB∶A′B′等于()A．2∶1 B．3∶1 C．3∶2 D．4∶310．设α－l－β是直二面角，直线a⊂α，直线b⊂β，a，b与l都不垂直，那么() A．a与b可能垂直，但不可能平行B．a与b可能垂直，也可能平行C．a与b不可能垂直，但可能平行D．a与b不可能垂直，也不可能平行11．直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是________．(只填序号)①a和b垂直于正方体的同一个面；②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；③a和b平行于同一条棱；④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．12．如图所示，在多面体P—ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，AB∥DC，△P AD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4 5.(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面P AD；(2)求四棱锥P—ABCD的体积．三、探究与拓展13．如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点，DC 1⊥BD . (1)证明：DC 1⊥BC ；(2)求二面角A 1－BD －C 1的大小．答案1．B 2.B 3．C 4．C 5．6 6．a ⊥β7．证明 在平面P AB 内，作AD ⊥PB 于D . ∵平面P AB ⊥平面PBC ， 且平面P AB ∩平面PBC ＝PB . ∴AD ⊥平面PBC . 又BC ⊂平面PBC ， ∴AD ⊥BC .又∵P A ⊥平面ABC ， BC ⊂平面ABC ，∴P A ⊥BC ，∴BC ⊥平面P AB . 又AB ⊂平面P AB ， ∴BC ⊥AB .8．证明 (1)∵ADD 1A 1为正方形， ∴AD 1⊥A 1D .又∵CD ⊥平面ADD 1A 1， ∴CD ⊥AD 1. ∵A 1D ∩CD ＝D ， ∴AD 1⊥平面A 1DC . 又∵MN ⊥平面A 1DC ， ∴MN ∥AD 1.(2)连接ON ，在△A 1DC 中，A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC .∴ON 綊12CD 綊12AB ， ∴ON ∥AM .又∵MN ∥OA ，∴四边形AMNO 为平行四边形，∴ON ＝AM .∵ON ＝12AB ，∴AM ＝12AB ， ∴M 是AB 的中点．9．A 10．C11．①②③12．(1)证明 在△ABD 中，∵AD ＝4，BD ＝8，AB ＝45，∴AD 2＋BD 2＝AB 2.∴AD ⊥BD .又∵面P AD ⊥面ABCD ，面P AD ∩面ABCD ＝AD ，BD ⊂面ABCD ， ∴BD ⊥面P AD ，又BD ⊂面BDM ，∴面MBD ⊥面P AD .(2)解 过P 作PO ⊥AD ，∵面P AD ⊥面ABCD ，∴PO ⊥面ABCD ，即PO 为四棱锥P —ABCD 的高．又△P AD 是边长为4的等边三角形，∴PO ＝2 3.在底面四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝2DC ，∴四边形ABCD 为梯形．在Rt △ADB 中，斜边AB 边上的高为4×845＝855， 此即为梯形的高．∴S 四边形ABCD ＝25＋452×855＝24. ∴V P —ABCD ＝13×24×23＝16 3. 13．(1)证明 由题设知，三棱柱的侧面为矩形．由于D 为AA 1的中点，故DC ＝DC 1.又AC ＝12AA 1，可得DC 21＋DC 2＝CC 21，所以DC 1⊥DC .而DC 1⊥BD ，CD ∩BD ＝D ，所以DC 1⊥平面BCD .因为BC ⊂平面BCD ，所以DC 1⊥BC .(2)解 DC 1⊥BC ，CC 1⊥BC ⇒BC ⊥平面ACC 1A 1⇒BC ⊥AC ，取A 1B 1的中点O ，过点O 作OH ⊥BD 于点H ，连接C 1O ，C 1H ，A 1C 1＝B 1C 1⇒C 1O ⊥A 1B 1，面A 1B 1C 1⊥面A 1BD ⇒C 1O ⊥面A 1BD ，又∵DB ⊂面A 1DB ，∴C 1O ⊥BD ，又∵OH ⊥BD ，∴BD ⊥面C 1OH ，C 1H ⊂面C 1OH ，∴BD ⊥C 1H ，得点H 与点D 重合，且∠C 1DO是二面角A1－BD－C的平面角，设AC＝a，则C1O＝22a，C1D＝2a＝2C1O⇒∠C1DO＝30°，故二面角A1－BD－C1的大小为30°.。

第二章点、线、平面之间的位置关系章末复习练习题第三单元：直线、平面垂直的判断及其性质一、选择题(每小题5分，共20分)1．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是() A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥mD．若l∥α，m∥α，则l∥m2．已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则() A．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直B．β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直C．β内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直D．β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直3．已知m是平面α的一条斜线，点A∉α，l为过点A的一条动直线，那么下列情形可能出现的是()A．l∥m，l⊥αB．l⊥m，l⊥αC．l⊥m，l∥αD．l∥m，l∥α4．正方体ABCD—A′B′C′D′中，E为A′C′的中点，则直线CE垂直于() A．A′C′B．BD C．A′D′D．AA′二、填空题(每小题5分，共15分)5. 如图，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△P AC的边所在的直线中：与PC垂直的直线有______________；与AP垂直的直线有________．6. 如图，P A⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E、F分别是点A在PB、PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．7．已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α∥β.当满足条件________时，有m⊥β.(填所选条件的序号)三、解答题(共22分)8．(10分)如图所示，在斜三棱柱A1B1C1—ABC中，底面是等腰三角形，A1B1＝A1C1，侧面BB1C1C⊥底面A1B1C1.(1)若D是BC的中点，求证：AD⊥CC1；(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM＝MA1，9．(12分)如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是CD、A1D1的中点．(1)求证：AB1⊥BF；(2)求证：AE⊥BF；(3)棱CC1上是否存在点P，使BF⊥平面AEP？若存在，确定点P的位置，若不存在，说明理由．B组专项能力提升一、选择题(每小题5分，共15分)1．已知l，m是不同的两条直线，α，β是不重合的两个平面，则下列命题中为真命题的是() A．若l⊥α，α⊥β，则l∥βB．若l∥α，α⊥β，则l∥βC．若l⊥m，α∥β，m⊂β，则l⊥αD．若l⊥α，α∥β，m⊂β，则l⊥m2．(2012·浙江)已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中() A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直3. 如图，在斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的投影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部二、填空题(每小题5分，共15分)4．已知P为△ABC所在平面外一点，且P A、PB、PC两两垂直，则下列命题：①P A⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.其中正确的个数是________．5．在正四棱锥P—ABCD中，P A＝32AB，M是BC的中点，G是△P AD的重心，则在平面P AD中经过G点且与直线PM垂直的直线有________条．6．已知a、b、l表示三条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面，有下列四个命题：①若α∩β＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥γ；②若a、b相交，且都在α、β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则α∥β；③若α⊥β，α∩β＝a，b⊂β，a⊥b，则b⊥α；④若a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，l⊄α，则l⊥α.其中正确命题的序号是________．三、解答题7．(13分)如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥BC，∠A1AC＝60°，A1A＝AC＝BC＝1，A1B＝ 2.(1)求证：平面A1BC⊥平面ACC1A1；(2)如果D为AB中点，求证：BC1∥平面A1CD.。