直线与平面垂直的判定定理的证明 ppt课件

直线与平面垂直的判定与性 质(共26张ppt)
目 录
• 直线与平面垂直的判定 • 直线与平面垂直的性质 • 直线与平面垂直的证明 • 直线与平面垂直的应用 • 总结与展望 • 参考文献
01
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的定义
01
直线与平面垂直是指直线与平面 内的任意一条直线都垂直。
02
如果一条直线与平面内的任意一 条直线都垂直，则这条直线与该 平面垂直。
建筑设计
在建筑设计中，直线与平面垂直的应用非常重要， 如确定建筑物的垂直度和水平面等。
机械制造
在机械制造中，直线与平面垂直的应用可以帮助 制造出精确的机械部件。
道路建设
在道路建设中，直线与平面垂直的应用可以帮助 确保道路的平直度和坡度等。
05
总结与展望
总结直线与平面垂直的判定与性质
判定方法 通过直线与平面内两条相交直线垂直来判定直线与平面垂直。
通过直线与平面内无数条直线垂直来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
• 通过直线与平面垂直的性质定理来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
01
性质定理
02
03
04
直线与平面垂直，则该直线与 平面内任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直，则该直线所 在的所有直线都与该平面垂直
证明
假设有一条直线l与平面α垂直，那么直线l与平面α内的任意一条直线m都垂直。 由于直线l与平面α内的直线m都垂直，所以它们之间的夹角为90°，即直线l与平 面α内的任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直的性质推论
推论1
证明
推论2
证明
如果一条直线与平面内的两 条相交直线都垂直，那么这

二、直线与平面垂直判定定理：
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直， 则该直线与此平面垂直．
la l b a b a b A
l
l
b

A
a
作用： 判定直线与平面垂直．
记忆：线线垂直，则线面垂直
(2)a , b a b a b ， a （3）
如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直， 我们说直线 l 与平面 互相垂直， 记作 l ．
平面 的垂线
垂足
l
P
直线 l 的垂面

三．定理探索:线面垂直
线线垂直
判断1:如果一条直线和平面内的无数条直线都 假命题，一组平行线； 垂直,那么这条直线就垂直于这个平面. 判断2:如果一条直线和平面内的所有直线都垂 直,那么这条直线就垂直于这个平面. 真命题，操作困难； 判断3:如果一条直线和平面内的一条直线垂直, 那么这条直线就垂直于这个平面. 假命题; 判断4:如果一条直线和平面内的两条直线都垂 假命题; 直,那么这条直线就垂直于这个平面.
一．问题引入
直线与平面的位置关系有 哪几种？ 直线与平面的位置关系有 哪几种？
直线与平面的位置关系有 哪几种？ 复习 :直线与平面的位置关系有 哪几种 ?
线在面内
线 面 位置关系
线面平行 线面相交
垂直 斜交
√
线面垂直的实例
线 面 垂 直 最 重 要
不然倒掉
万 丈 高 楼 平 地 起
回顾复习：
两条相交
真命题，用来判定线面 垂直；
四．线面垂直的判定
如果一条直线和平面α内两相交直线都垂直，那么 判定定理 这条直线就垂直于这个平面． 已知：m 、n是α内的两条相交直线 ，l∩α=B ，且l⊥m，l⊥n。 求证：l⊥α 。

C.②③
√ D.①
4.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是
A.平面DD1C1C C.平面A1B1C1D1
√B.平面A1DB1
D.平面A1DB
5.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
求证：AC⊥平面BDD1B1
D1
A1
D
A
C1 B1
C B
A
随着时间的变化，影子BC的 位置在不断地变化。
B
直线与平面垂直的定义
• 1.旗杆AB是否与地面内的影子垂直？ • 2.旗杆是否与地面内不过B点的直线垂直？
三、点拨精讲(25分钟)
1.线面垂直的定义：
如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直， 我们就说直线l与平面互相垂直，记作l
2.直线和平面垂直的画法
定理应用
例3.如图，四棱锥S-ABCD的底面是矩形，SA⊥底 面ABCD，求证：BC⊥平面SAB
例4 如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点， AN⊥PM，N为垂足. (1)求证：AN⊥平面PBM；
(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.
直线与平面垂直的判定
a
探究
如图，将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，把翻折后的纸片
竖起放置在桌面上，使BD、DC与桌面接触，视察折痕AD与桌
面的位置关系.
A
A
C
D
B
D
C
B
1.如图折叠能使折痕AD垂直于桌面吗？
2.怎样折叠能使折痕AD垂直于桌面?
AD 是 BC 边上的高时，AD与桌面垂直．
A
A
C
D
B
DC
B

绘制图表，将实验数据 可视化展示，便于分析 和比较。
03
分析实验数据，总结直 线与平面垂直的判定方 法和规律。
04
根据实验结果，评估实 验方法的准确性和可靠 性，并提出改进意见。
06
课程总结与回顾
知识点梳理
01
直线与平面垂直的定义
如果直线$l$与平面$alpha$内的任意一条直线都垂直，那么我们就说
角的范围
异面直线所成角的取值范围是 (0, 90°]。
异面直线所成角求解方法
01
02
03
平移法
将两条异面直线平移到同 一个起点上，然后用余弦 定理或三角函数求解。
向量法
建立空间直角坐标系，将 异面直线的方向向量表示 出来，然后通过向量的夹 角公式求解。
投影法
将一条直线投影到另一条 直线上，通过投影长度和 原长度之间的关系，利用 三角函数求解。
易错点提示
忽略直线与平面内两条相交直线 都垂直的条件，只考虑与其中一
条直线垂直或平行的情况。
在证明直线与平面垂直时，未明 确说明平面内的两条相交直线， 或者错误地认为只要与平面内无
数条直线垂直即可。
符号使用不规范，如将直线与平 面垂直的符号误写为平行或相交
等。
下一讲预告
下一讲我们将继续深入学习空间几何中的直线与平面的位置关系，包括直线与平面 平行的判定和性质等内容。
确定未知量
根据题目要求，确定需要求解 的未知量。
建立方程
利用已知条件和几何性质，建 立关于未知量的方程。
求解方程
解方程得到未知量的值，注意 解的合理性。
解答题规范步骤和答案
画出图形
根据题意画出相应 的图形，标注已知 量和未知量。

l
l m,l n
m
,
n
l
//
mA
mI n A
n
②该定理作用：“线线垂直线面垂直”
③应用该定理，关键是证明在平面内有两条相交直线与已知直线
垂直，至于这两条直线是否与已知直线有公共点则是无关紧要的.
例 如图，已知 a//b,a，求证：b.
证明：在平面 内作两条相交直线m，n．
因为直线 a，
又QB1D1I DD1=D1
A1
A 1C 1面 D B B 1D 1
A 1 C 1 B D 1 ， A 1 C 1 D B 1
D
C1 B1
C
另证： QDD1 面A1B1C1D1,DD1 面DBB1D1
面A1B1C1D1 面DBB1D1
A
B
又Q面A1B1C1D1I 面DBB1D1 B1D1，
且A1C1 面A1B1C1D1，A1C1 B1D1
C C1
B
α
B1
1.直线与平面垂直的定义
(1)如果一条直线 l和一个平面内的任意一条直线都垂直， 则称直线 l与平面互相垂直，记作 l . 直线 l 叫做平面 的垂线，平面 叫做直线 l的垂面.
它们惟一的公共点P叫做垂足.
画法：通常把直线画成与表示平面的 平行四边形的一边垂直.
注1： ①定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是同义词，但与 “无数条直线”不同.
A1C1 面DBB1D1
小结论： 正方体中，面的对角线垂直于过另一条面的对角线的对角面； 正方体中，异面的体对角线和面对角线互相垂直.
练 如图为直四棱柱A B C D A 'B 'C 'D '(侧棱与底面垂直

2.3.1 直线与平面垂直的判定
（1）判定定理
学习目标
1、理解直线与平面垂直的定义； 2、掌握直线与平面垂直的判定定理内容及其
应用； 3、应用直线与平面垂直的判定定理解决问题。
• 重点：线面垂直的判定定理内容及其应用。 • 难点：线面垂直的判定定理内容及论证过程 。
Yesterday once more
2.已知：正方体中，AC是面对角线，BD′是与AC 异面的体对角线。
求证：AC⊥BD′
证明：连接BD
∵正方体ABCD-A’B’C’D’
∴DD’⊥平面ABCD，∴DD’ ⊥AC ∵AC、BD 正方形ABCD的为对角线
D’
∴AC⊥BD
A’
∵DD’∩BD=D
∴AC⊥平面D’DB
∴BD平面D’DB,
D
∴AC⊥BD’
A′C⊥B′D′？
A′
D′
B′ C′
A
D
B C
知识盘点
1、线面垂直的定义： 2、线面垂直的判定定理： 3、数学思想方法：转化的思想。
课后作业
• P67—练习1 • P74—习题B组2，4
课后作业
1、如图，圆O所在一平面为 ，AB是圆O的直径，
C是圆周上一点,且PA⊥AC, PA⊥AB, P
求证：（1）PA⊥BC （2）BC⊥平面PAC
• 空间中直线与平面的位置关系：
直线在平面外 a⊂/ α
文字 语言
图形
语言
符号 语言 交点 情况
直线在平面α内
a α
a⊂α 有无数个交点
直线与平面α平行 直线与平面α相交
a α
a
A α
a∥α
a∩α=A
无交点
有且只有一个交点

AB⊥平面a
思考问题2
二面角的有关概念,画法及表示方法. 二面角的平面角的概念. 两个平面垂直的定义. 用三种语言描述平面与平面垂直的判定定理.
二面角的有关概念,画法及表示方法
二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角,
这条直线叫作二面角的棱,这两个半平面叫作二面角的面, 以直线AB为 棱,半平面a,b为面的二面角,记作二面角a-AB-b.
a
A
b
B
二面角的平面角的概念
以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作垂 直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫作二面角的平 面角.如图中的∠AOB.
平面角是直角的二面角叫作直二面角.
O B
b
A
a
两个平面垂直的定义及画法
定义:
两平面相交,如果所成的二面角是直二面 角,就说这两个平面互相垂直.
垂直关系的判定
学习目标
1.探究垂直的判定定理,培养学生的空间想象能力。 2.掌握垂直的判定定理的应用,培养学生分析问题,解决问题的能力。
重点
垂直关系的判定定理及其应用
难点
应用判定定理解决实际问题
直线与平面垂直的判定
思考问题1
直线与平面垂直的定义及画法 直线与平面垂直的判定定理 用三种语言描述直线与平面垂直的判定定理
直线与平面垂直的定义及画法
定义:
如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直,那么称这条直线和 这个平面ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ直。
a
画法:
P a
a b
图(1)
a
c
A
b, c是平面a内 的两条相交直线, 直线a⊥b, a⊥c, 这时, a⊥a.
a
图(2)

怎样的结果？命题一定成立吗?
结论：a⊥OA
P
线斜垂直
线射垂直
逆定理
O α
定理
线射垂直
线斜垂直
逆定理
a
A
人教高中数学必修二直线、平面垂直 的判定 与性质 三垂线定理 课件
人教高中数学必修二直线、平面垂直 的判定 与性质 三垂线定理 课件
例1：如图，在正方体中，O是AC与BD的交点，直线D1O与AC
垂直吗？说明你的理由。
射影OA和a直线之间的垂直关系
α
O
2、直线a可以移动，但只能在平面内移
动。因此，直线a和斜线PA可以相交也
可以异面。
P
3、三垂线定理的实质是平面的一条斜 线和平面内的一条直线垂直的判定定理。
O α
a
A
a
A
人教高中数学必修二直线、平面垂直 的判定 与性质 三垂线定理 课件
新知探究 • 逆定理
思考：
如果将定理中的条件a⊥OA改成a⊥PA，你会得到
器和皮尺作测量工具，能否求出电塔顶与道路的距离？
解：在道边取一点C，使BC与道边所成水平角等于90°， 再在道边取一点D，使水平角CDB等于45°， 测得C、D的距离等于20m A
B
人教高中数学必修二直线、平面垂直 的判定 与性质 三垂线定理 课件
90°
C
45°
D
人教高中数学必修二直线、平面垂直 的判定 与性质 三垂线定理 课件
5. 这是一篇托物言志的铭文，本文言 简义丰 、讲究 修辞。 文章骈 散结合 ，以骈 句为主 ，句式 整齐， 节奏分 明，音 韵和谐 。
6.了解和名著有关的作家作品及相关 的诗句 、名言 、成语 和歇后 语等， 能按要 求向他 人推介 某部文 学名著 。

作业
P41 习题1-6 A组 第7题
正确的是（ B）
A.(1)(3)(4)
BHale Waihona Puke (1)(4)C.(1)D.都正确
3.有一根旗杆AB高8m，它的顶端A挂有一条长
10m的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上
的两点（和旗杆脚不在同一条直线上)C、D,如果
这两点都和旗杆脚B的距离是6m，那么旗杆就和
地面垂直，为什么？
A
C
BD
课堂小结
判定定理的 简单应用 线面垂直的 判定定理 线面垂直的 定义
直线与平面的 一条边垂直
l
P
如果一条直线垂直于一个平面内
的无数条直线，那么这条直线是否
与这个平面垂直？
A
不一定
C C
B B
那我们如何判定直线与平面垂直呢？
动手实践
α
设想把书中的一页取掉，那么这种性质改变吗？ 换个角度再想，要想这种性质不变，至少保留 多少页才合适？
直线与平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则
√ 直，则直线与此平面垂直
定理应用
例1、如图所示，在RtAB中C， B，点90Ｐ0 为 所在A平B面C外一点， 平面 P．A 问 四面A体BC 共有几个PA直B角C 三角形？
注意：
直线与平面之间的垂直关系，可以相互转化， 当线垂直面时，线就会垂直平面内的所有线； 当一条直线垂直于一个平面内的相交直线时， 这条直线就垂直于这个平面．
该直线与此平面垂直．
线不在多，
重在相交
l
la
b
Aa
l b a
l
b
a b A
思想： 直线与平面垂直

有A1C⊥B1D1，说明你的理由.
A1
B1 C1 A
B
D1
AC⊥BD
D
C
D. 小结作业
P67 练习： 1. P74习题2.3B组：2，4.
2.3.1 直线与平面垂直的判定
第二课时 直线和平面所成的角
问题提出
1.直线和平面垂直的定义和判定 定理分别是什么？
定义：如果一条直线与平面内的任 意一条直线都垂直，则称这条直线 与这个平面垂直.
P
A
O
α
理论迁移
例1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中. （1）求直线A1B和平面ABCD所成的角； （2）求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.
D1 A1
C1 B1
D A
O C
B
例2 如图，AB为平面α的一条斜线，
B为斜足，AO⊥平面α，垂足为O，直
线BC在平面α内，已知∠ABC=60°，
思考3：如图，将一块三角形纸片
ABC沿折痕AD折起，把翻折后的纸片
竖起放置在桌面上，使BD、DC与桌
面接触，观察折痕AD与桌面的位置
关系.
A
A
B
CB
D
D
C
如何调整折痕AD的位置，才能使翻折后
直线AD与桌面所在的平面垂直？
A A
B
D
B
D C C
思考4：由上可知当折痕AD垂直平面 α内的两条相交直线时，折痕AD与 平面垂直.由此我们是否能得出直线 与平面垂直的判定方法？
B
A
α
C
思考3:反映斜线与平面相对倾斜度 的平面角的顶点为斜足，角的一边 在斜线上，另一边在平面内的哪个 位置最合适？为什么？
P