直线与平面垂直的判定与性质
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直线、平面垂直的判定及其性质(答案)【知识要点】一、直线与平面垂直的判定与性质 1、直线与平面垂直的判定(1)定义:如果一条直线与一个平面内的任何一条直线都垂直,那么这条直线和这个平面垂直。
(2)判定定理1:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面。
符号表示:αα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊂⊥⊥l A n m n m n l m l 、,(3)判定定理2:如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面。
符号表示:αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥a b b a2、直线与平面垂直的性质定理如果两条直线同时垂直于一个平面,那么这两条直线平行。
【例题1—1】下列说法中不正确的是( D )A 、空间中,一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B 、同一平面的两条垂线一定共面C 、过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一平面内D 、过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直 二、两个平面垂直的判定与性质 1、两个平面垂直的判定(1)定义:两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,那么这两个平面互相垂直。
(2)判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。
符号表示:βααα⊥⇒⊂⊥a a ,2、两个平面垂直的性质定理(1)如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面。
符号表示:βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⊥a l a a l ,,,(2)如果两个平面垂直,那么经过一个平面内的一点且垂直于另一个平面的直线必在另一个平面内。
符号表示:αβαβα⊂⇒⊥∈∈⊥a a a P P ,,,【例题2—1】如图,已知PA 垂直于圆O 所在的平面,AB 是圆O 的直径,点C 是圆O 上任意一点,过A 作PC AE ⊥与E ,PB AF ⊥于F ,求证: (1)⊥AE 平面PBC ; (2)平面⊥PAC 平面PBC ; (3)EF PB ⊥。
教学过程在四棱锥P-ABCD中,P A⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,P A=AB=BC,E是PC的中点.证明:(1)CD⊥AE;(2)PD⊥平面ABE.规律方法证明线面垂直的方法:一是线面垂直的判定定理;二是利用面面垂直的性质定理;三是平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面,则另一条也垂直于这个平面).解题时,注意线线、线面与面面关系的相互转化;另外,在证明线线垂直时,要注意题中隐含的垂直关系,如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度,经计算满足勾股定理)、直角梯形等等.【训练1】(2013·江西卷改编)教学效果分析教学过程如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB∥CD,AD⊥AB,AB=2,AD=2,AA1=3,E为CD上一点,DE=1,EC=3.证明:BE⊥平面BB1C1C.考点二平面与平面垂直的判定与性质【例2】(2014·深圳一模)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AB=BC=AA1,且AC=2BC,点D是AB的中点.证明:平面ABC1⊥平面B1CD.规律方法证明两个平面垂直,首先要考虑直线与平面的垂直,也教学效果分析教学过程可简单地记为“证面面垂直,找线面垂直”,是化归思想的体现,这种思想方法与空间中的平行关系的证明非常类似,这种转化方法是本讲内容的显著特征,掌握化归与转化思想方法是解决这类问题的关键.【训练2】如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,M是棱CC1的中点.证明:平面ABM⊥平面A1B1M.考点三平行、垂直关系的综合问题教学效果分析教学过程【例3】(2013·山东卷)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥AC,AB⊥P A,AB∥CD,AB=2CD,E,F,G,M,N分别为PB,AB,BC,PD,PC的中点.(1)求证:CE∥平面P AD;(2)求证:平面EFG⊥平面EMN.规律方法线面关系与面面关系的证明离不开判定定理和性质定理,而形成结论的“证据链”依然是通过挖掘题目已知条件来实现的,如图形固有的位置关系、中点形成的三角形的中位线等,都为论证提供了丰富的素材.【训练3】(2013·辽宁卷)如图,AB是圆O的直径,P A垂直圆O所在的平面,C是圆O上的点.(1)求证:BC⊥平面P AC;(2)设Q为P A的中点,G为△AOC的重心,求证:QG∥平面PBC.教学效果分析1.转化思想:垂直关系的转化2.在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线,若这样的直线图中不存在,则可通过作辅助线来解决.如有平面垂直时,一般要用性质定理,在一个平面内作交线的垂线,使之转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键.创新突破6——求解立体几何中的探索性问题【典例】(2012·北京卷)如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1F⊥CD,如图2.(1)求证:DE∥平面A1CB;(2)求证:A1F⊥BE;(3)线段A1B上是否存在点Q,使A1C⊥平面DEQ?说明理由.[反思感悟] (1)解决探索性问题一般先假设其存在,把这个假设作已知条件,和题目的其他已知条件一起进行推理论证和计算,在推理论证和计算无误的前提下,如果得到了一个合理的结论,则说明存在,如果得到了一个不合理的结论,则说明不存在.(2)在处理空间折叠问题中,要注意平面图形与空间图形在折叠前后的相互位置关系与长度关系等,关键是点、线、面位置关系的转化与平面几何知识的应用,注意平面几何与立体几何中相关知识点的异同,盲目套用容易导致错误.【自主体验】(2014·韶关模拟)如图1,在直角梯形ABCD中,∠ADC=90°,CD∥AB,AD=CD=12AB=2,点E为AC中点,将△ADC沿AC折起,使平面ADC⊥平面ABC,得到几何体D-ABC,如图2.(1)求证:DA⊥BC;(2)在CD上找一点F,使AD∥平面EFB.基础巩固题组(建议用时:40分钟)一、填空题1.设平面α与平面β相交于直线m,直线a在平面α内,直线b 在平面β内,且b⊥m,则“α⊥β”是“a⊥b”的________条件.2.(2014·绍兴调研)设α,β为不重合的平面,m,n为不重合的直线,则下列正确命题的序号是________.①若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则m⊥α;②若m⊂α,n⊂β,m⊥n,则n⊥α;③若n⊥α,n⊥β,m⊥β,则m⊥α;④若m∥α,n∥β,m⊥n,则α⊥β.3.如图,AB是圆O的直径,P A垂直于圆O所在的平面,C是圆周上不同于A,B的任一点,则图形中有________对线面垂直.4.若M是线段AB的中点,A,B到平面α的距离分别是4 cm,6 cm,则M到平面α的距离为________.5.(2014·郑州模拟)已知平面α,β,γ和直线l,m,且l⊥m,α⊥γ,α∩γ=m,β∩γ=l,给出下列四个结论:①β⊥γ;②l⊥α;③m⊥β;④α⊥β.其中正确的是________.6.如图,在四棱锥P ABCD中,P A⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足________时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)7.设α,β是空间两个不同的平面,m,n是平面α及β外的两条不同直线.从“①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α”中选取三个作为条件,余下一个作为结论,写出你认为正确的一个命题:________(用代号表示).8.如图,P A⊥圆O所在的平面,AB是圆O的直径,C是圆O上的一点,E,F分别是点A在PB,PC上的正投影,给出下列结论:①AF⊥PB;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________.二、解答题9.(2013·北京卷)如图,在四棱锥P ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面P AD⊥底面ABCD,P A⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点.求证:(1)P A⊥底面ABCD;(2)BE∥平面P AD;(3)平面BEF⊥平面PCD.10.(2013·泉州模拟)如图所示,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,DB=BC,DB⊥AC,点M是棱BB1上一点.(1)求证:B1D1∥平面A1BD;(2)求证:MD⊥AC;(3)试确定点M的位置,使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.能力提升题组(建议用时:25分钟)一、填空题1.如图,在斜三棱柱ABCA1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在底面ABC上的射影H必在直线______上.2.如图,在四面体ABCD中,若截面PQMN是正方形,则在下列命题中,错误的为________.①AC⊥BD;②AC∥截面PQMN;③AC=BD;④异面直线PM与BD所成的角为45°.3.(2013·南通二模)如图,已知六棱锥P ABCDEF的底面是正六边形,P A⊥平面ABC,P A=2AB,则下列结论中:①PB⊥AE;②平面ABC⊥平面PBC;③直线BC∥平面P AE;④∠PDA=45°.其中正确的有________(把所有正确的序号都填上).二、解答题4.(2014·北京西城一模)。
第3讲直线、平面垂直的判定及性质1.直线与平面垂直:(1)方法1:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.(2)方法2:如果两条直线平行,其中一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线垂直于该平面.(3)方法3:如果两个平面垂直,那么一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面.2.面面垂直:(1)方法1:两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.(2) 方法2:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.考向一直线与平面垂直的判定与性质【1】如图,在四棱锥P-ABCD中,P A⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,P A=AB=BC,E是PC的中点.证明:(1)CD⊥AE;(2)PD⊥平面ABE.【2】(2012·南通调研)如图,平面P AC⊥平面ABC,点E、F、O分别为线段P A、PB、AC的中点,点G 是线段CO的中点,AB=BC=AC=4,P A=PC=2 2.求证:(1)P A⊥平面EBO;(2)FG∥平面EBO.【3】(2012·福建卷)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点.(1)求证:B1E⊥AD1;(2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE;若存在,求出AP的长;若不存在,说明理由.【4】(2012·镇江调研)如图所示,四棱锥P-ABCD的底面是一直角梯形,BA⊥AD,CD⊥AD,CD=2AB,P A⊥底面ABCD,E为PC的中点.(1)证明:EB∥平面P AD;(2)若P A=AD,证明:BE⊥平面PDC.【5】(2011·扬州调研)如图,在平行四边形ABCD中,BD⊥CD,正方形ADEF所在的平面和平面ABCD 垂直,点H是BE的中点,点G是AE、DF的交点.(1)求证:GH∥平面CDE;(2)求证:BD⊥平面CDE.【6】(2012·扬州调研)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,点D是BC的中点,BC=BB1.(1)求证:A1C∥平面AB1D;(2)试在棱CC1上找一点M,使MB⊥AB1.考向二平面与平面垂直的判定与性质【7】如图所示,△ABC为正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,EC=CA=2BD,M是EA的中点.求证:(1)DE=DA;(2)平面BDM⊥平面ECA.【8】(2011·江苏卷)如图在四棱锥P -ABCD 中,平面P AD ⊥平面ABCD ,AB =AD ,∠BAD =60°,E ,F 分别是AP ,AD 的中点.求证:(1)直线EF ∥平面PCD ; (2)平面BEF ⊥平面P AD .考向三 线面、面面垂直的综合应用【9】(2012·广东)如图所示,在四棱锥P -ABCD 中,AB ⊥平面P AD ,AB ∥CD ,PD =AD ,E 是PB 的中点,F 是DC 上的点且DF =12AB ,PH 为△P AD 中AD 边上的高. (1)证明:PH ⊥平面ABCD ; (2)若PH =1,AD =2,FC =1,求三棱锥E -BCF 的体积; (3)证明:EF ⊥平面P AB .【10】(2012·南通市第一学期期末考试)在如图所示的几何体中,四边形ABCD 是正方形,MA ⊥平面ABCD ,PD ∥MA ,E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点,且AD =PD =2MA .(1)求证:平面EFG ⊥平面PDC ; (2)求三棱锥P -MAB 与四棱锥P -ABCD 的体积之比.考向四 求线段的长度问题【11】(2011·浙江卷)如图,在三棱锥P -ABC 中,AB =AC ,D 为BC 的中点,PO ⊥平面ABC ,垂足O 落在线段AD 上.已知BC =8,PO =4,AO =3,OD =2.(1)证明:AP ⊥BC ;(2)在线段AP 上是否存在点M ,使得二面角A -MC -B 为直二面角?若存在,求出AM 的长;若不存在,请说明理由.【12】(2011·江西卷)如图,在△ABC 中,∠B =π2,AB =BC =2,P 为AB 边上一动点,PD ∥BC 交AC 于点D ,现将△PDA 沿PD 翻折至△PDA ′,使平面PDA ′⊥平面PBCD .(1)当棱锥A ′-PBCD 的体积最大时,求P A 的长;(2)若点P 为AB 的中点,E 为A ′C 的中点,求证:A ′B ⊥DE .【训练达标】【1】如图,在四棱锥P —ABCD 中,P A ⊥底面ABCD ,AB ⊥AD ,AC ⊥CD ,∠ABC =60°,P A =AB =BC ,E 是PC 的中点.证明:(1)CD ⊥AE ; (2)PD ⊥平面ABE .【2】(2012·江苏)如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,A 1B 1=A 1C 1,D ,E 分别是棱BC ,CC 1上的点(点D不同于点C ),且AD ⊥DE ,F 为B 1C 1的中点.求证:(1)平面ADE ⊥平面BCC 1B 1; (2)直线A 1F ∥平面ADE .【3】如图所示,在四棱锥P —ABCD 中,平面P AD ⊥平面ABCD ,AB ∥DC ,△P AD 是等边三角形,已知BD =2AD =8,AB =2DC =4 5.(1)设M 是PC 上的一点,求证:平面MBD ⊥平面P AD ; (2)求四棱锥P —ABCD 的体积.【4】如图所示,已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 为正方形,E 为线段AD 1的中点,F 为线段BD 1的中点,(1)求证:EF ∥平面ABCD ;(2)设M 为线段C 1C 的中点,当D 1D AD的比值为多少时,DF ⊥平面D 1MB ?并说明理由.【5】如图,在四棱锥P —ABCD 中,P A ⊥底面ABCD ,AB ⊥AD ,AC ⊥CD ,∠ABC =60°,P A =AB =BC ,E 是PC 的中点.(1)求PB 和平面P AD 所成的角的大小;(2)证明AE ⊥平面PCD ;(3)求二面角A —PD —C 的正弦值.【6】如图所示,M,N,K分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB,CD,C1D1的中点.求证:(1)AN∥平面A1MK;(2)平面A1B1C⊥平面A1MK.【7】如图所示,在斜三棱柱A1B1C1—ABC中,底面是等腰三角形,A1B1=A1C1,侧面BB1C1C⊥底面A1B1C1.(1)若D是BC的中点,求证:AD⊥CC1;(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M,若AM=MA1,求证:截面MBC1⊥侧面BB1C1C.【8】如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别是CD、A1D1的中点.(1)求证:AB1⊥BF;(2)求证:AE⊥BF;(3)棱CC1上是否存在点P,使BF⊥平面AEP?若存在,确定点P的位置,若不存在,说明理由.【9】如图所示,在三棱锥P—ABC中,△P AB是等边三角形,∠P AC=∠PBC=90°.(1)证明:AB⊥PC;(2)若PC=4,且平面P AC⊥平面PBC,求三棱锥P—ABC的体积.【10】如图,在三棱柱ABC—A1B1C1中,AA1⊥BC,∠A1AC=60°,A1A=AC=BC=1,A1B= 2.(1)求证:平面A1BC⊥平面ACC1A1;(2)如果D为AB中点,求证:BC1∥平面A1CD.。
直线与平面垂直的判定和性质1.定义:一条直线和平面内的任何一条直线都垂直,我们说这条直线和这个平面互相垂直,直线叫做平面的垂线,平面叫做直线的垂面. 2. 直线和平面垂直的判定定理.如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面. 3.直线和平面垂直的性质定理如果两条直线同垂直与一个平面,那么这两条直线平行 4.唯一性定理(1)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直。
(2)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直。
5.距离(1)点到平面的距离的定义:从平面外一点引一个平面的垂线,这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离. (2)直线和平面的距离的定义:一条直线和一个平面平行,这条直线上任意一点到平面的距离,叫做这条直线和平面的距离.6、平面的斜足、斜线、斜线在平面内的射影(1)直线l 与平面α斜交:当直线l 与平面α相交且不垂直时,叫做直线l 与平面α斜交。
此时l 叫平面α的斜线;直线l 与平面α斜交于点M ,点M 叫斜足。
(2)点的射影:直线α⊥PQ 于Q ,点Q 是点P 在α内的射影。
PQ 是P 到平面α的垂线段。
(3)直线l 在平面α上的射影:直线MQ 叫作直线l 在平面α上的射影。
射影定理:从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中: (1) 射影相等的两条斜线段相等,射影较长的斜线段也较长; (2) 相等的斜线段的射影相等,较长的斜线段的射影较长; (3) 垂线段比任何一条线段都短。
7、直线与平面α所成的角:(1)斜线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角;(2)直线和平面垂直,它们所成的角是90;(3)直线在平面内或与平面平行,它们所成的角是0; 注:一条直线和平面α所成的角的范围是]2,0[π直线和平面所成角的步骤 : ①作图—找出或作出直线在平面上的射影 ②证明—证明所找或所作的角即为所求角 ③计算—通常在三角形中计算角8.三垂线定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直 三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面上的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直例题:1.一条直线和三角形的两边同时垂直,则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( ) A . 垂直 B . 平行 C . 相交不垂直 D .不确定2、下列命题中错误的是( )A .若一直线垂直于一平面,则此直线必垂直于这一平面内所有直线B .若一平面经过另一平面的垂线,则两个平面互相垂直C .若一条直线垂直于平面内的无数条直线,则此直线垂直于这一平面D .若平面内的一条直线和这一平面的一条斜线的射影垂直,则它也和这条斜线垂直3.如图,已知正四棱柱1111D C B A ABCD -中,过点B 作B 1C 的垂线交侧棱CC 1于点E ,交B 1C 于点F ,求证:A 1C ⊥平面BDE ;4.如图,四面体ABCD 中,O 分别是BD的中点,2,CA CB CD BD AB AD ======求证:AO ⊥平面BCD ;5.正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别是AA 1、AB 的中点,则EF 与对角面BDD 1B 1所成角的度数是( )A .30°B .45°C .60°D .150°6.如图,已知三棱锥S -ABC 中,底面ABC 为边长等于2的等边三角形,SA ⊥底面ABC ,SA =3,那么直线SB 与平面SAC 所成角的正弦值为________.7.如图,直线l 是平面α的斜线,AB ⊥α,B 为垂足,如果θ=45°,∠AOC=60°,则∠BOC=( ) A .45° B .30° C .60° D .15°8.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,求: (1)直线1D B 与平面ABCD 所成角的正弦值。
直线、平面垂直的判定及其性质知识要点梳理知识点一、直线和平面垂直的定义与判定1.直线和平面垂直定义如果直线和平面内的任意一条直线都垂直,我们就说直线与平面互相垂直,记作.直线叫平面的垂线;平面叫直线的垂面;垂线和平面的交点叫垂足.2.直线和平面垂直的判定定理判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直.知识点二、斜线、射影、直线与平面所成的角一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线.过斜线上斜足外的一点间平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影90],叫做这条直线和这个平面所成的角.所成的锐角[00至0知识点三、二面角1.二面角定义平面内的一条直线把平面分成两部分,这两部分通常称为半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.2.二面角的平面角在二面角的棱上任取一点,以该点为垂足,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线,则这两条射线构成的角叫做二面角的平面角.二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度.平面角是180]直角的二面角叫做直二面角二面角范围是[00至0知识点四、平面与平面垂直的定义与判定1.平面与平面垂直定义两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面垂直. 表示方法:平面与垂直,记作.2.平面与平面垂直的判定定理判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直. 符号语言: 图形语言:知识点五、直线与平面垂直的性质1.基本性质一条直线垂直于一个平面,那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.2.性质定理1垂直于同一个平面的两条直线平行.2垂直于同一条直线的两个平面平行知识点六、平面与平面垂直的性质性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.如果两个平面互相垂直那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内 例1 在三棱锥P A B C -中,侧面PAC 与面ABC 垂直,3PA PB PC ===.求证:A B B C ⊥; 设23AB BC ==,求A C 与平面PBC 所成角的大小.例2 如图,直角A B C △所在平面外一点S ,且SA SB SC ==,点D 为斜边A C 的中点.求证:SD ⊥平面ABC ;若A B B C =,求证:B D ⊥面S A C .例3 在正方体ABCD-A1B1C1D1中.(1)求直线A1B 和平面ABCD 所成的角;(2)求直线A1B 和平面A1B1CD 所成的角.例4如图所示,河堤斜面与水平面所成二面角为300,堤面上有一条直道CD ,它与堤角的水平线AB 的夹角为450 ,沿这条直道从堤脚C 向上行走10m 到达E 处,此时人升高了多少m ?例5 在四面体ABCD 中,已知AC ⊥BD,∠ BAC= ∠CAD=45°,∠BAD=60°,求证:平面ABC ⊥平面ACD.例6四棱锥P-ABCD 的底面是矩形,AB=2,侧面PAB 是等边三角形,且侧面PAB ⊥底面ABCD.证明:侧面PAB ⊥侧面PBC ;(2)求侧棱PC 与底面ABCD 所成的角A B C DE一、选择题1.两异面直线在平面α内的射影()A.相交直线 B.平行直线 C.一条直线—个点 D.以上三种情况均有可能2.在下列四个命题中,假命题为()A.如果一条直线垂直于平面内的无数条直线,那么这条直线和这个平面垂直B.垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边C.过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内D.如果三条共点直线两两垂直,那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面3.已知P是四边形ABCD所在平面外一点且P在平面ABCD内的射影在四边形ABCD内,若P到这四边形各边的距离相等,那么这个四边形是()A.圆内接四边形 B.矩形 C.圆外切四边形 D.平行四边形4.在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,PA⊥平面ABC,PA=8,则P到BC的距离等于()A.5 B.52 C.35 D.455.A、B两点相距4cm,且A、B与平面a的距离分别为3cm和1cm,则AB与平面a所成角的大小是()A.30°B.60°C.90°D.30°或90°6. 直线a不垂直于平面α,则α内与a垂直的直线有()A.0条B.1条C.无数条D.α内所有直线7. 已知三条直线m,n,l,三个平面α,β,γ.下面四个命题中,正确的是()A.αγαββγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭//B.mll mββ⎫⇒⊥⎬⊥⎭//C.mm nnγγ⎫⇒⎬⎭//////D.mm nnγγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭//8. 设a,b是异面直线,下列命题正确的是()A.过不在a,b上的一点P一定可以作一条直线和a,b都相交B.过不在a,b上的一点P一定可以作一个平面和a,b垂直C.过a一定可以作一个平面与b垂直D.过a一定可以作一个平面与b平行二、填空题1.AB是平面α的斜线段,其长为a,它在平面α内的射影A′B的长为b,则垂线A′A_________.2.如果直线l、m与平面α、β、γ满足:l=β∩γ,l⊥α,mα和m⊥γ,现给出以下四个结论:α∥γ且l⊥m;②αγ且m∥β③αβ且l⊥m;④αγ且l⊥m;其中正确的为“________”3.给出以下四个命题(1)两条平行直线在同一平面内的射影一定是平行直线;(2)两条相交直线在同一平面内的射影一定是相交直线;(3)两条异面直线在同一平面内的射影—定是两条相交直线;(4)一个锐角在平面内的射影一定是锐角.其中假命题的共有_________个.4. αβ,是两个不同的平面,m n ,是平面α及β之外的两条不同的直线,给出四个论断: m n ⊥①;αβ⊥②;n β⊥③;m α⊥④.以其中三个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题__________.5 设O 为平行四边形A B C D 对角线的交点,P 为平面A C 外一点且有P A P C =,PB PD =,则P O 与平面A B C D 的关系是_____________.6.设三棱锥P A B C -的顶点P 在底面ABC 内射影O (在A B C △内部,即过P 作P O ⊥底面ABC ,交于O ),且到三个侧面的距离相等,则O 是A B C △的______心.三、解答题1如图所示,平面α∥平面β,点A ∈α,C ∈α,点B ∈β,D ∈β,点E ,F 分别在线段AB ,CD 上,且AE ∶EB=CF ∶FD.求证:EF ∥β;(2)若E ,F 分别是AB ,CD 的中点,AC=4,BD=6且AC ,BD 所成的角为60°,求EF 的长2在正三棱柱ABC ﹣A1B1C1中,侧棱长为,底面三角形的边长为1,则BC1与侧面ACC1A1所成的角是3.三棱锥 P-ABC 中,PC ⊥平面ABC ,PC =32 ,D 是 BC 的中点,且△ADC 是边长为 2的正三角形,求二面角 P-AB -C 的大小。
2.3 直线、平面垂直的判定及其性质线面垂直→线线垂直:如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线a垂直于平面α。
【线面垂直定义】线线垂直→线面垂直:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直,那么这条直线垂直于这个平面。
【判定】线面垂直→线线平行:如果两条直线同时垂直于一个平面,那么这两条直线平行。
【性质】线面垂直→面面垂直:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。
【判定】面面垂直→线面垂直:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
【性质】三垂线定理:在平面内的一条直线,如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。
一、选择题1.给定空间中的直线l及平面α,条件“直线l与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【解析】直线l与平面α内两条相交直线都垂直,是线面垂直判定定理的条件,故为充要条件.【答案】 C2.空间四边形ABCD中,若AB=BC,AD=CD,E为对角线AC的中点,下列判断正确的是( ) A.面ABD⊥面BDC B.面ABC⊥面ABDC.面ABC⊥面ADC D.面ABC⊥面BED【解析】在等腰三角形ABC、ADC中,E为底边AC的中点,则BE⊥AC,DE⊥AC.又∵BE∩DE=E,∴AC⊥面BDE,故面ABC⊥面BDE,面ADC⊥面BDE.【答案】 D3.对两条不相交的空间直线a和b,必定存在平面α,使得 ( )A.a⊂α,b⊂α B.a⊂α,b∥αC.a⊥α,b⊥α D.a⊂α,b⊥α【解析】当a,b异面时,A不成立;当a,b不平行时,C不成立;当a,b不垂直时,D不成立.故选B.【答案】 B4.设直线m与平面α相交但不垂直,则下列说法中正确的是( )A.在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直B.过直线m有且只有一个平面与平面α垂直C.与直线m垂直的直线不可能与平面α平行D.与直线m平行的平面不可能与平面α垂直【解析】在平面α内有无数条彼此平行的直线与直线m垂直,与直线m垂直的直线可能与平面α平行,与直线m平行的平面可能与平面α垂直.故A,C,D错误.【答案】 B5.设a,b,c是空间三条直线,α,β是空间两个平面,则下列命题中,逆命题不成立...的是( )A.当c⊥α时,若c⊥β,则α∥βB.当b⊂α,且c是a在α内的射影时,若b⊥c,则a⊥bC.当b⊂α时,若b⊥β,则α⊥βD.当b⊂α,且c⊄α时,若c∥α,则b∥c【解析】α⊥β,b⊂α,b不一定垂直于β.故C错误.【答案】 C6.命题p:若平面α⊥β,平面β⊥γ,则必有α∥γ;命题q:若平面α上不共线的三点到平面β的距离相等,则必有α∥β.对以上两个命题,下列结论中正确的是( ) A.命题“p且q”为真 B.命题“p或綈q”为假C.命题“p或q”为假 D.命题“綈p且綈q”为假【解析】命题p,命题q皆为假,所以命题C正确.【答案】 C7.如图,已知△ABC 为直角三角形,其中∠ACB =90°,M 为AB 的中点,PM 垂直于△ABC 所在的平面,那么( )A .PA =PB >PCB .PA =PB <PCC .PA =PB =PCD .PA ≠PB ≠PC【解析】 ∵M 为AB 的中点,△ACB 为直角三角形,∴BM =AM =CM ,又PM ⊥平面ABC ,∴Rt △PMB ≌Rt △PMA ≌Rt △PMC ,故PA =PB =PC .【答案】 C二、填空题8.m 、n 是不同的直线,α、β、γ是不同的平面,有以下四个命题:①若α∥β,α∥γ,则β∥γ;②若α⊥β,m ∥α,则m ⊥β;③若m ⊥α,m ∥β,则α⊥β;④若m ∥n ,n ⊂α,则m ∥α.其中真命题的序号是________.【解析】 由平面平行的传递性知①正确,由面面垂直的判定定理知③正确.【答案】 ①③9.P 为△ABC 所在平面外一点,AC =2a ,连接PA 、PB 、PC ,得△PAB 和△PBC 都是边长为a 的等边三角形,则平面ABC 和平面PAC 的位置关系为________.【解析】如图所示,由题意知PA =PB =PC =AB =BC =a ,取AC 中点D ,连接PD 、BD ,则PD ⊥AC ,BD ⊥AC ,则∠BDP 为二面角P -AC -B 的平面角,又∵AC =2a ,∴PD =BD =22a , 在△PBD 中,PB 2=BD 2+PD 2,∴∠PDB =90°.【答案】 垂直10.(精选考题·四川高考)如图所示,二面角α-l -β的大小是60°,线段AB ⊂α,B ∈l ,AB 与l 所成的角为30°,则AB 与平面β所成的角的正弦值是________________________________________________________________________.【解析】 如图,过点A 作平面β的垂线,垂足为C ,在β内过C 作l 的垂线,垂足为D ,连接AD ,由线面垂直关系可知AD ⊥l ,故∠ADC 为二面角α-l -β的平面角,∴∠ADC =60°.连接CB ,则∠ABC 为AB 与平面β所成的角.设AD =2,则AC =3,CD =1,AB =AD sin30°=4,∴sin ∠ABC =AC AB =34. 【答案】34 三、解答题11.如图所示,在四棱锥P -ABCD 中,PA ⊥底面ABCD ,AB ⊥AD ,AC ⊥CD ,∠ABC =60°,PA =AB =BC ,E 是PC 的中点.求证:(1)CD ⊥AE ;(2)PD ⊥平面ABE .【证明】 (1)在四棱锥P -ABCD 中,∵PA ⊥底面ABCD ,CD ⊂平面ABCD ,∴PA ⊥CD .∵AC ⊥CD ,PA ∩AC =A ,∴CD ⊥平面PAC .而AE ⊂平面PAC ,∴CD ⊥AE .(2)由PA =AB =BC, ∠ABC =60°,可得AC =PA .∵E 是PC 的中点,∴AE ⊥PC .由(1)知,AE ⊥CD ,且PC ∩CD =C ,∴AE ⊥平面PCD ,而PD ⊂平面PCD ,∴AE ⊥PD .∵PA ⊥底面ABCD ,∴PA ⊥AB .又∵AB ⊥AD 且PA ∩AD =A ,∴AB ⊥平面PAD ,而PD ⊂平面PAD ,∴AB ⊥PD .又∵AB ∩AE =A ,∴PD ⊥平面ABE .12.如图,在四棱锥P -ABCD 中,PD ⊥平面ABCD ,PD =DC =BC =1,AB =2,AB ∥DC ,∠BCD =90°.(1)求证:PC ⊥BC ;(2)求点A 到平面PBC 的距离.【解析】 (1)证明:∵PD ⊥平面ABCD ,BC ⊂平面ABCD ,∴PD ⊥BC .由∠BCD =90°,得BC ⊥DC .又PD ∩DC =D ,∴BC ⊥平面PCD .∵PC ⊂平面PCD ,∴PC ⊥BC .(2)如图,连接AC .设点A 到平面PBC 的距离为h .∵AB ∥DC ,∠BCD =90°,∴∠ABC =90°.从而由AB =2,BC =1,得△ABC 的面积S △ABC =1.由PD ⊥平面ABCD 及PD =1,得三棱锥P -ABC 的体积V =13S △ABC ·PD =13.∵PD ⊥平面ABCD ,DC ⊂平面ABCD ,∴PD ⊥DC .又PD =DC =1,∴PC =PD 2+DC 2= 2.由PC ⊥BC ,BC =1,得△PBC 的面积S △PBC =22.由V =13S △PBC h =13×22h =13,得h = 2.因此点A 到平面PBC 的距离为 2.。
2021年新高考数学总复习第八章《立体几何与空间向量》直线、平面垂直的判定与性质1.直线与平面垂直(1)定义如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,则直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α,直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面.(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫a,b⊂αa∩b=Ol⊥al⊥b⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行⎭⎪⎬⎪⎫a⊥αb⊥α⇒a∥b2.直线和平面所成的角(1)定义平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.若一条直线垂直于平面,它们所成的角是直角,若一条直线和平面平行,或在平面内,它们所成的角是0°的角.(2)范围:⎣⎡⎦⎤0,π2.3.平面与平面垂直(1)二面角的有关概念①二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角;②二面角的平面角:在二面角的棱上任取一点,以该点为垂足,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.(2)平面和平面垂直的定义两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊥αl⊂β⇒α⊥β性质定理两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βl⊂βα∩β=al⊥a⇒l⊥α概念方法微思考1.若两平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面吗?提示垂直.若两平行线中的一条垂直于一个平面,那么在平面内可以找到两条相交直线与该直线垂直,根据异面直线所成的角,可以得出两平行直线中的另一条也与平面内的那两条直线成90°的角,即垂直于平面内的这两条相交直线,所以垂直于这个平面.2.两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面吗?提示垂直.在两个相交平面内分别作与第三个平面交线垂直的直线,则这两条直线都垂直于第三个平面,那么这两条直线互相平行.由线面平行的性质定理可知,这两个相交平面的交线与这两条垂线平行,所以该交线垂直于第三个平面.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直,则l⊥α.(×)(2)垂直于同一个平面的两平面平行.(×)(3)直线a⊥α,b⊥α,则a∥b.(√)(4)若α⊥β,a⊥β,则a∥α.(×)(5)若直线a⊥平面α,直线b∥α,则直线a与b垂直.(√)(6)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线,则α⊥β.(×)题组二教材改编2.下列命题中错误的是()A.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面βB.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γD.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β。
直线、平面垂直的判定及其性质知识要点梳理知识点一、直线和平面垂直的定义与判定1.直线和平面垂直定义如果直线和平面内的任意一条直线都垂直.我们就说直线与平面互相垂直.记作.直线叫平面的垂线;平面叫直线的垂面;垂线和平面的交点叫垂足。
要点诠释:(1)定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”.这与“无数条直线”不同.注意区别。
(2)直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式。
(3)若.则。
2.直线和平面垂直的判定定理判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直.则该直线与此平面垂直。
符号语言:特征:线线垂直线面垂直要点诠释:(1)判定定理的条件中:“平面内的两条相交直线”是关键性词语.不可忽视。
(2)要判定一条已知直线和一个平面是否垂直.取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直.至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点.则无关紧要。
知识点二、斜线、射影、直线与平面所成的角一条直线和一个平面相交.但不和这个平面垂直.这条直线叫做这个平面的斜线。
过斜线上斜足外的一点向平面引垂线.过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影。
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角.叫做这条直线和这个平面所成的角。
要点诠释:(1)直线与平面相交但不垂直.直线在平面的射影是一条直线。
(2)直线与平面垂直射影是点。
(3)斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上。
(4)一条直线垂直于平面.它们所成的角是直角;一条直线和平面平行或在平面内.它们所成的角是0°的角。
知识点三、二面角1.二面角定义平面内的一条直线把平面分成两部分.这两部分通常称为半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱.这两个半平面叫做二面角的面。
表示方法:棱为、面分别为的二面角记作二面角.有时为了方便.也可在内(棱以外的半平面部分)分别取点.将这个二面角记作二面角.如果棱记作.那么这个二面角记作二面角或。
直线与平面垂直的判定和性质
性质:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另
一个平面(面面垂直线面垂直)。
判定:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么
这两个平面互相垂直(线面垂直面面垂直)。
判定定理:1.如果两个平面相交所成的二面角是直二面角,那么我们称这两个平面相
互垂直;2.如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直;3.如果
一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面相互垂直。
定理1
如果两个平面相互垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
定理2
如果两个平面相互垂直,那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在
第一个平面内。
定理3
如果两个相交平面都垂直于第三个平面,那么它们的交线垂直于第三个平面。
推断
三个两两垂直的平面的交线两两垂直。
定理4
如果两个平面互相垂直,那么一个平面的垂线与另一个平面平行。
(判定定理推论1
的逆定理)。
推断
如果两个平面互相垂直,那么分别垂直于这两个平面的两条垂线也互相垂直。
(判定
定理推论2的逆定理)。
直线、平面垂直的判定及其性质知识要点梳理知识点一、直线和平面垂直的定义与判定1.直线和平面垂直定义如果直线和平面内的任意一条直线都垂直,我们就说直线与平面互相垂直,记作.直线叫平面的垂线;平面叫直线的垂面;垂线和平面的交点叫垂足。
要点诠释:(1)定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”,这与“无数条直线”不同,注意区别。
(2)直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式。
(3)若,则。
2.直线和平面垂直的判定定理判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。
符号语言:特征:线线垂直线面垂直要点诠释:(1)判定定理的条件中:“平面内的两条相交直线”是关键性词语,不可忽视。
(2)要判定一条已知直线和一个平面是否垂直,取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直,至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点,则无关紧要。
知识点二、斜线、射影、直线与平面所成的角一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线。
过斜线上斜足外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影。
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角。
要点诠释:(1)直线与平面相交但不垂直,直线在平面的射影是一条直线。
(2)直线与平面垂直射影是点。
(3)斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上。
(4)一条直线垂直于平面,它们所成的角是直角;一条直线和平面平行或在平面内,它们所成的角是0°的角。
知识点三、二面角1.二面角定义平面内的一条直线把平面分成两部分,这两部分通常称为半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面。
表示方法:棱为、面分别为的二面角记作二面角.有时为了方便,也可在内(棱以外的半平面部分)分别取点,将这个二面角记作二面角.如果棱记作,那么这个二面角记作二面角或。
线面垂直●知识点1.直线和平面垂直定义如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直,就说这条直线和这个平面垂直.2.线面垂直判定定理和性质定理判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.判定定理:如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于同一平面.判定定理:一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面.性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.3.三垂线定理和它的逆定理.三垂线定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它和这条斜线垂直.逆定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在该平面上的射影垂直.●题型示例【例1】如图所示,已知点S是平面ABC外一点,∠ABC=90°,SA⊥平面ABC,点A在直线SB和SC上的射影分别为点E、F,求证:EF⊥SC.【解前点津】用分析法寻找解决问题的途径,假设EF⊥SC成立,结合AF⊥SC可推证SC⊥平面AEF,这样SC⊥AE,结合AE⊥SB,可推证AE⊥平面SBC,因此证明AE⊥平面SBC是解决本题的关键环节.由题设SA⊥平面ABC,∠ABC=90°,可以推证BC⊥AE,结合AE⊥SB完成AE⊥平面SBC的证明.【规范解答】【解后归纳】题设中条件多,图形复杂,结合题设理清图形中基本元素之间的位置关系是解例1题图决问题的关键.【例2】 已知:M ∩N =AB ,PQ ⊥M 于Q ,PO ⊥N 于O ,OR ⊥M 于R ,求证:QR ⊥AB .【解前点津】 由求证想判定,欲证线线垂直,方法有(1)a ∥b ,a ⊥c ⇒b ⊥c ;(2)a ⊥α,b ⊂α⇒a ⊥b ;(3)三垂线定理及其逆定理.由已知想性质,知线面垂直,可推出线线垂直或线线平行.【解后归纳】 处于非常规位置图形上的三垂线定理或逆定理的应用问题,要抓住“一个面”、“四条线”.所谓“一个面”:就是要确定一个垂面,三条垂线共处于垂面之上.所谓“四条线”:就是垂线、斜线、射影以及平面内的第四条线,这四条线中垂线是关键的一条线,牵一发而动全身,应用时一般可按下面程序进行操作:确定垂面、抓准斜线、作出垂线、连结射影,寻第四条线.【例3】 已知如图(1)所示,矩形纸片AA ′A ′1A 1,B 、C 、B 1、C 1 分别为AA ′,A 1A ′的三等分点,将矩形纸片沿BB 1,CC 1折成如图(2)形状(正三棱柱),若面对角线AB 1⊥BC 1,求证:A 1C ⊥AB 1.【解前点津】 题设主要条件是AB 1⊥BC ,而结论是AB 1⊥A 1C,题设,题断有对答性,可在例3题图解(1)ABB 1A 1上作文章,只要取A 1B 1中点D 1,就把异面直线AB 1与BC 1垂直关系转换到ABB 1A 1同一平面内AB 1与BD 1垂直关系,这里要感谢三垂线逆定理.自然想到题断AB 1与A 1C 垂直用同法(对称原理)转换到同一平面,取AB 中点D 即可,只要证得A 1D 垂直于AB 1,事实上DBD 1A 1,为平行四边形,解题路子清楚了.【解后归纳】 证线线垂直主要途径是:(1)三垂线正逆定理,(2)线面,线线垂直互相转化.利用三垂线正逆定理完成线线归面工作,在平面内完成作解任务.证线线垂直,线面垂直,常常利用线面垂直,线线垂直作为桥梁过渡过来,这种转化思想有普遍意义,利用割补法把几何图形规范化便于应用定义定理和公式,也是不容忽视的常用方法.【例4】 空间三条线段AB ,BC ,CD ,AB ⊥BC ,BC ⊥CD ,已知AB =3,BC =4,CD =6,则AD 的取值范围是 .【解前点津】 如图,在直角梯形ABCD 1中,CD 1=6,AD 1的长是AD 的最小值,其中AH ⊥CD 1,AH =BC =4,HD 1=3,∴AD 1=5;在直角△AHD 2中,CD 2=6,AD 2是AD 的最大值为974)36(22222=++=+AH HD例4题图【解后归纳】 本题出题形式新颖、灵活性大,很多学生对此类题感到无从入手,其实冷静分析,找出隐藏的条件很容易得出结论.●对应训练 分阶提升一、基础夯实1.设M 表示平面,a 、b 表示直线,给出下列四个命题:①M b M a b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊥// ②b a M b M a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥ ③⇒⎭⎬⎫⊥⊥b a M a b ∥M ④⇒⎭⎬⎫⊥b a M a //b ⊥M . 其中正确的命题是 ( )A.①②B.①②③C.②③④D.①②④2.下列命题中正确的是 ( )A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线,则这条直线垂直于这个平面B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,则这条直线垂直于这个平面C.若一条直线平行于一个平面,则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线D.若一条直线垂直于一个平面,则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面3.如图所示,在正方形ABCD 中,E 、F 分别是AB 、BC 的中点.现在沿DE 、DF 及EF 把△ADE 、△CDF 和△BEF 折起,使A 、B 、C 三点重合,重合后的点记为P .那么,在四面体P —DEF 中,必有 ( )A.DP ⊥平面PEFB.DM ⊥平面PEFC.PM ⊥平面DEFD.PF ⊥平面DEF4.设a 、b 是异面直线,下列命题正确的是 ( )A.过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一条直线和a 、b 都相交B.过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一个平面和a 、b 都垂直C.过a 一定可以作一个平面与b 垂直D.过a 一定可以作一个平面与b 平行5.如果直线l ,m 与平面α,β,γ满足:l =β∩γ,l ∥α,m ⊂α和m ⊥γ,那么必有 ( )A.α⊥γ且l ⊥mB.α⊥γ且m ∥βC.m ∥β且l ⊥mD.α∥β且α⊥γ6.AB 是圆的直径,C 是圆周上一点,PC 垂直于圆所在平面,若BC =1,AC =2,PC =1,则P 到AB 的距离为 ( )A.1B.2C.552D.553 7.有三个命题:①垂直于同一个平面的两条直线平行;②过平面α的一条斜线l 有且仅有一个平面与α垂直;第3题图③异面直线a 、b 不垂直,那么过a 的任一个平面与b 都不垂直其中正确命题的个数为 ( )A.0B.1C.2D.38.d 是异面直线a 、b 的公垂线,平面α、β满足a ⊥α,b ⊥β,则下面正确的结论是 ( )A.α与β必相交且交线m ∥d 或m 与d 重合B.α与β必相交且交线m ∥d 但m 与d 不重合C.α与β必相交且交线m 与d 一定不平行D.α与β不一定相交9.设l 、m 为直线,α为平面,且l ⊥α,给出下列命题① 若m ⊥α,则m ∥l ;②若m ⊥l ,则m ∥α;③若m ∥α,则m ⊥l ;④若m ∥l ,则m ⊥α, 其中真命题...的序号是 ( ) A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④10.已知直线l ⊥平面α,直线m 平面β,给出下列四个命题:①若α∥β,则l ⊥m ;②若α⊥β,则l ∥m ;③若l ∥m ,则α⊥β;④若l ⊥m ,则α∥β. 其中正确的命题是 ( )A.③与④B.①与③C.②与④D.①与②二、思维激活11.如图所示,△ABC 是直角三角形,AB 是斜边,三个顶点在平面α的同侧,它们在α内的射影分别为A ′,B ′,C ′,如果△A ′B ′C ′是正三角形,且AA ′=3cm ,BB ′=5cm ,CC ′=4cm ,则△A ′B ′C ′的面积是.12.如图所示,在直四棱柱A 1B 1C 1D 1—ABCD 中,当底面四边形ABCD 满足条件 时,有A 1C ⊥B 1D 1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)13.如图所示,在三棱锥V —ABC 中,当三条侧棱VA 、VB 、VC 之间满足条件 时,有VC ⊥AB .(注:填上你认为正确的一种条件即可)三、能力提高14.如图所示,三棱锥V -ABC 中,AH ⊥侧面VBC ,且H 是△VBC 的垂心,BE 是VC 边上的高.(1)求证:VC ⊥AB ;(2)若二面角E —AB —C 的大小为30°,求VC 与平面ABC所成角的大小.第11题图 第12题图 第13题图15.如图所示,P A ⊥矩形ABCD 所在平面,M 、N 分别是AB 、PC 的中点.(1)求证:MN ∥平面P AD .(2)求证:MN ⊥CD .(3)若∠PDA =45°,求证:MN ⊥平面PCD .16.如图所示,在四棱锥P —ABCD 中,底面ABCD 是平行四边形,∠BAD =60°,AB =4,AD =2,侧棱PB =15,PD =3.(1)求证:BD ⊥平面P AD .(2)若PD 与底面ABCD 成60°的角,试求二面角P —BC —A 的大小.17.已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,∠ACB =90°,∠BAC =30°,BC =1,AA 1=6,M 是CC 1的中点,求证:AB 1⊥A 1M .第15题图第16题图18.如图所示,正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′的棱长为a ,M 是AD 的中点,N 是BD ′上一点,且D ′N ∶NB =1∶2,MC 与BD 交于P .(1)求证:NP ⊥平面ABCD .(2)求平面PNC 与平面CC ′D ′D 所成的角.(3)求点C 到平面D ′MB 的距离.第4课 线面垂直习题解答1.A 两平行中有一条与平面垂直,则另一条也与该平面垂直,垂直于同一平面的两直线平行.2.C 由线面垂直的性质定理可知.3.A 折后DP ⊥PE ,DP ⊥PF ,PE ⊥PF .4.D 过a 上任一点作直线b ′∥b ,则a ,b ′确定的平面与直线b 平行.5.A ,m ⊥γ且m ⊂α,则必有α⊥γ,又因为l =β∩γ则有l ⊂γ,而m ⊥γ则l ⊥m ,故选A.6.D P 作PD ⊥AB 于D ,连CD ,则CD ⊥AB ,AB =522=+BC AC ,52=⋅=AB BC AC CD , ∴PD =55354122=+=+CD PC . 7.D 由定理及性质知三个命题均正确.8.A 显然α与β不平行.9.D 垂直于同一平面的两直线平行,两条平行线中一条与平面垂直,则另一条也与该平面垂直.10.B ∵α∥β,l ⊥α,∴l ⊥m 11.23cm 2 设正三角A ′B ′C ′的边长为a . ∴AC 2=a 2+1,BC 2=a 2+1,AB 2=a 2+4,第18题图又AC 2+BC 2=AB 2,∴a 2=2.S △A ′B ′C ′=23432=⋅a cm 2. 12.在直四棱柱A 1B 1C 1D 1—ABCD 中当底面四边形ABCD 满足条件AC ⊥BD (或任何能推导出这个条件的其它条件,例如ABCD 是正方形,菱形等)时,有A 1C ⊥B 1D 1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形). 点评:本题为探索性题目,由此题开辟了填空题有探索性题的新题型,此题实质考查了三垂线定理但答案不惟一,要求思维应灵活.13.VC ⊥VA ,VC ⊥AB . 由VC ⊥VA ,VC ⊥AB 知VC ⊥平面VAB .14.(1)证明:∵H 为△VBC 的垂心,∴VC ⊥BE ,又AH ⊥平面VBC ,∴BE 为斜线AB 在平面VBC 上的射影,∴AB ⊥VC .(2)解:由(1)知VC ⊥AB ,VC ⊥BE ,∴VC ⊥平面ABE ,在平面ABE 上,作ED ⊥AB ,又AB ⊥VC ,∴AB ⊥面DEC .∴AB ⊥CD ,∴∠EDC 为二面角E —AB —C 的平面角,∴∠EDC =30°,∵AB ⊥平面VCD ,∴VC 在底面ABC 上的射影为CD .∴∠VCD 为VC 与底面ABC 所成角,又VC ⊥AB ,VC ⊥BE ,∴VC ⊥面ABE ,∴VC ⊥DE ,∴∠CED =90°,故∠ECD=60°,∴VC 与面ABC 所成角为60°.15.证明:(1)如图所示,取PD 的中点E ,连结AE ,EN ,则有EN ∥CD ∥AB ∥AM ,EN =21CD =21AB =AM ,故AMNE 为平行四边形. ∴MN ∥AE .∵AE 平面P AD ,MN 平面P AD ,∴MN ∥平面P AD .(2)∵P A ⊥平面ABCD ,∴P A ⊥AB .又AD ⊥AB ,∴AB ⊥平面P AD .∴AB ⊥AE ,即AB ⊥MN .又CD ∥AB ,∴MN ⊥CD .(3)∵P A ⊥平面ABCD ,∴P A ⊥AD .又∠PDA =45°,E 为PD 的中点.∴AE ⊥PD ,即MN ⊥PD .又MN ⊥CD ,∴MN ⊥平面PCD .16.如图(1)证:由已知AB =4,AD =2,∠BAD =60°,故BD 2=AD 2+AB 2-2AD ·AB cos60°=4+16-2×2×4×21=12. 第15题图解又AB 2=AD 2+BD 2,∴△ABD 是直角三角形,∠ADB =90°,即AD ⊥BD .在△PDB 中,PD =3,PB =15,BD =12,∴PB 2=PD 2+BD 2,故得PD ⊥BD .又PD ∩AD =D ,∴BD ⊥平面P AD .(2)由BD ⊥平面P AD ,BD 平面ABCD .∴平面P AD ⊥平面ABCD .作PE ⊥AD 于E ,又PE 平面P AD ,∴PE ⊥平面ABCD ,∴∠PDE 是PD 与底面ABCD 所成的角.∴∠PDE =60°,∴PE =PD sin60°=23233=⨯. 作EF ⊥BC 于F ,连PF ,则PF ⊥BF ,∴∠PFE 是二面角P —BC —A 的平面角.又EF =BD =12,在Rt △PEF 中, tan ∠PFE =433223==EF PE . 故二面角P —BC —A 的大小为arctan 43. 17.连结AC 1,∵11112263A C CC MC AC ===. ∴Rt △ACC 1∽Rt △MC 1A 1,∴∠AC 1C =∠MA 1C 1,∴∠A 1MC 1+∠AC 1C =∠A 1MC 1+∠MA 1C 1=90°.∴A 1M ⊥AC 1,又ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱,∴CC 1⊥B 1C 1,又B 1C 1⊥A 1C 1,∴B 1C 1⊥平面AC 1M .由三垂线定理知AB 1⊥A 1M .点评:要证AB 1⊥A 1M ,因B 1C 1⊥平面AC 1,由三垂线定理可转化成证AC 1⊥A 1M ,而AC 1⊥A 1M 一定会成立.18.(1)证明:在正方形ABCD 中,∵△MPD ∽△CPB ,且MD =21BC , ∴DP ∶PB =MD ∶BC =1∶2.又已知D ′N ∶NB =1∶2,由平行截割定理的逆定理得NP ∥DD ′,又DD ′⊥平面ABCD ,∴NP ⊥平面ABCD .(2)∵NP ∥DD ′∥CC ′,∴NP 、CC ′在同一平面内,CC ′为平面NPC 与平面CC ′D ′D 所成二面角的棱. 又由CC ′⊥平面ABCD ,得CC ′⊥CD ,CC ′⊥CM ,∴∠MCD 为该二面角的平面角.在Rt △MCD 中可知∠MCD =arctan 21,即为所求二面角的大小. (3)由已知棱长为a 可得,等腰△MBC 面积S 1=22a ,等腰△MBD ′面积S 2=246a ,设所求距离为h ,即为三棱锥C —D ′MB 的高.∵三棱锥D ′—BCM 体积为h S D D S 213131='⋅, ∴.3621a S aS h =⋅=。
第五节 直线、平面垂直的判定与性质 一、基础知识1.直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义:直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直, 就说直线l 与平面α互相垂直.(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理:⎣⎢⎡⎦⎥⎤❶如果一条直线与平面内再多(即无数条)的直线垂直,但这些直线不相交就不能说明这条直线与此平面垂直.2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理[要求一平面只需过另一平面的垂线.] 二、常用结论直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任意直线. (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面. (3)垂直于同一条直线的两个平面平行.(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这一条直线与另一个平面也垂直.(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.考点一直线与平面垂直的判定与性质[典例]如图,在四棱锥P-ABCD中,P A⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,P A=AB=BC,E是PC的中点.求证:(1)CD⊥AE;(2)PD⊥平面ABE.[证明](1)在四棱锥P-ABCD中,∵P A⊥底面ABCD,CD⊂底面ABCD,∴P A⊥CD,又∵AC⊥CD,且P A∩AC=A,∴CD⊥平面P AC.∵AE⊂平面P AC,∴CD⊥AE.(2)由P A=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=P A.∵E是PC的中点,∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD,且PC∩CD=C,∴AE⊥平面PCD.∵PD⊂平面PCD,∴AE⊥PD.∵P A⊥底面ABCD,AB⊂底面ABCD,∴P A⊥AB.又∵AB⊥AD,且P A∩AD=A,∴AB⊥平面P AD,∵PD⊂平面P AD,∴AB⊥PD.又∵AB∩AE=A,∴PD⊥平面ABE.[解题技法] 证明线面垂直的4种方法(1)线面垂直的判定定理:l⊥a,l⊥b,a⊂α,b⊂α,a∩b=P⇒l⊥α.(2)面面垂直的性质定理:α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l⇒a⊥β.(3)性质:①a∥b,b⊥α⇒a⊥α,②α∥β,a⊥β⇒a⊥α.(4)α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l⇒l⊥γ.(客观题可用)[口诀归纳]线面垂直的关键,定义来证最常见,判定定理也常用,它的意义要记清.平面之内两直线,两线相交于一点,面外还有一直线,垂直两线是条件.[题组训练]1.(2019·安徽知名示范高中联考)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=BB1,AB1∩A1B =E,D为AC上的点,B1C∥平面A1BD.(1)求证:BD⊥平面A1ACC1;(2)若AB=1,且AC·AD=1,求三棱锥A-BCB1的体积.解:(1)证明:如图,连接ED,∵平面AB1C∩平面A1BD=ED,B1C∥平面A1BD,∴B1C ∥ED , ∵E 为AB 1的中点, ∴D 为AC 的中点, ∵AB =BC ,∴BD ⊥AC .∵A 1A ⊥平面ABC ,BD ⊂平面ABC ,∴A 1A ⊥BD . 又∵A 1A ,AC 是平面A 1ACC 1内的两条相交直线, ∴BD ⊥平面A 1ACC 1.(2)由AB =1,得BC =BB 1=1,由(1)知AD =12AC ,又AC ·AD =1,∴AC 2=2,∴AC 2=2=AB 2+BC 2,∴AB ⊥BC , ∴S △ABC =12AB ·BC =12,∴V A -BCB 1=V B 1-ABC =13S △ABC ·BB 1=13×12×1=16. 2.如图,S 是Rt △ABC 所在平面外一点,且SA =SB =SC ,D 为斜边AC 的中点. (1)求证:SD ⊥平面ABC ;(2)若AB =BC ,求证:BD ⊥平面SAC .证明:(1)如图所示,取AB 的中点E ,连接SE ,DE , 在Rt △ABC 中,D ,E 分别为AC ,AB 的中点. ∴DE ∥BC ,∴DE ⊥AB , ∵SA =SB ,∴SE ⊥AB .又SE ∩DE =E ,∴AB ⊥平面SDE . 又SD ⊂平面SDE ,∴AB ⊥SD .在△SAC 中,∵SA =SC ,D 为AC 的中点,∴SD ⊥AC . 又AC ∩AB =A ,∴SD ⊥平面ABC . (2)∵AB =BC ,∴BD ⊥AC ,由(1)可知,SD ⊥平面ABC ,又BD ⊂平面ABC , ∴SD ⊥BD ,又SD ∩AC =D ,∴BD ⊥平面SAC .考点二 面面垂直的判定与性质[典例] (2018·江苏高考)在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AA 1=AB ,AB 1⊥B 1C 1.求证:(1)AB ∥平面A 1B 1C ; (2)平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC .[证明] (1)在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB ∥A 1B 1.因为AB ⊄平面A 1B 1C ,A 1B 1⊂平面A 1B 1C ,所以AB ∥平面A 1B 1C . (2)在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,四边形ABB 1A 1为平行四边形.又因为AA 1=AB ,所以四边形ABB 1A 1为菱形, 因此AB 1⊥A 1B .因为AB 1⊥B 1C 1,BC ∥B 1C 1, 所以AB 1⊥BC .因为A 1B ∩BC =B ,A 1B ⊂平面A 1BC ,BC ⊂平面A 1BC , 所以AB 1⊥平面A 1BC . 因为AB 1⊂平面ABB 1A 1, 所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC .[解题技法] 证明面面垂直的2种方法[题组训练]1.(2019·武汉调研)如图,三棱锥P -ABC 中,底面ABC 是边长为2的正三角形,P A ⊥PC ,PB =2.求证:平面P AC ⊥平面ABC .证明:取AC 的中点O ,连接BO ,PO . 因为△ABC 是边长为2的正三角形,所以BO ⊥AC ,BO = 3.因为P A ⊥PC ,所以PO =12AC =1.因为PB =2,所以OP 2+OB 2=PB 2,所以PO ⊥OB . 因为AC ∩OP =O , 所以BO ⊥平面P AC . 又OB ⊂平面ABC , 所以平面P AC ⊥平面ABC .2.(2018·安徽淮北一中模拟)如图,四棱锥P -ABCD 的底面是矩形,P A ⊥平面ABCD ,E ,F 分别是AB ,PD 的中点,且P A =AD .求证:(1)AF ∥平面PEC ; (2)平面PEC ⊥平面PCD .证明:(1)取PC 的中点G ,连接FG ,EG ,∵F 为PD 的中点,G 为PC 的中点, ∴FG 为△CDP 的中位线, ∴FG ∥CD ,FG =12CD .∵四边形ABCD 为矩形,E 为AB 的中点, ∴AE ∥CD ,AE =12CD .∴FG =AE ,FG ∥AE , ∴四边形AEGF 是平行四边形,∴AF ∥EG ,又EG ⊂平面PEC ,AF ⊄平面PEC , ∴AF ∥平面PEC .(2)∵P A =AD ,F 为PD 中点,∴AF ⊥PD , ∵P A ⊥平面ABCD ,CD ⊂平面ABCD , ∴P A ⊥CD ,又∵CD ⊥AD ,AD ∩P A =A , ∴CD ⊥平面P AD , ∵AF ⊂平面P AD , ∴CD ⊥AF . 又PD ∩CD =D , ∴AF ⊥平面PCD . 由(1)知EG ∥AF , ∴EG ⊥平面PCD , 又EG ⊂平面PEC , ∴平面PEC ⊥平面PCD .[课时跟踪检测]A 级1.设a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则能得出a⊥b的是() A.a⊥α,b∥β,α⊥βB.a⊥α,b⊥β,α∥βC.a⊂α,b⊥β,α∥βD.a⊂α,b∥β,α⊥β解析:选C对于C项,由α∥β,a⊂α可得a∥β,又b⊥β,得a⊥b,故选C.2.(2019·湘东五校联考)已知直线m,l,平面α,β,且m⊥α,l⊂β,给出下列命题:①若α∥β,则m⊥l;②若α⊥β,则m∥l;③若m⊥l,则α⊥β;④若m∥l,则α⊥β.其中正确的命题是()A.①④B.③④C.①②D.①③解析:选A对于①,若α∥β,m⊥α,l⊂β,则m⊥l,故①正确,排除B.对于④,若m∥l,m⊥α,则l⊥α,又l⊂β,所以α⊥β.故④正确.故选A.3.已知P A垂直于以AB为直径的圆所在的平面,C为圆上异于A,B两点的任一点,则下列关系不正确的是()A.P A⊥BC B.BC⊥平面P ACC.AC⊥PB D.PC⊥BC解析:选C由P A⊥平面ACB⇒P A⊥BC,故A不符合题意;由BC⊥P A,BC⊥AC,P A∩AC=A,可得BC⊥平面P AC,所以BC⊥PC,故B、D不符合题意;AC⊥PB显然不成立,故C符合题意.4.如图,在四面体ABCD中,已知AB⊥AC,BD⊥AC,那么点D在平面ABC内的射影H必在()A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.△ABC内部解析:选A因为AB⊥AC,BD⊥AC,AB∩BD=B,所以AC⊥平央ABD,又AC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面ABD,所以点D在平面ABC内的射影H必在直线AB上.5.如图,在正四面体P-ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,则下面四个结论不成立的是()A.BC∥平面PDFB.DF⊥平面P AEC.平面PDF⊥平面P AED.平面PDE⊥平面ABC解析:选D因为BC∥DF,DF⊂平面PDF,BC⊄平面PDF,所以BC∥平面PDF,故选项A正确.在正四面体中,AE⊥BC,PE⊥BC,AE∩PE=E,所以BC⊥平面P AE,又DF∥BC,则DF⊥平面P AE,从而平面PDF⊥平面P AE.因此选项B、C均正确.6.如图,已知∠BAC=90°,PC⊥平面ABC,则在△ABC,△P AC的边所在的直线中,与PC垂直的直线有________个;与AP垂直的直线有________个.解析:∵PC⊥平面ABC,∴PC垂直于直线AB,BC,AC.∵AB⊥AC,AB⊥PC,AC∩PC=C,∴AB⊥平面P AC,又∵AP⊂平面P AC,∴AB⊥AP,与AP垂直的直线是AB.答案:3 17.设α和β为不重合的两个平面,给出下列命题:①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线,则α∥β;②若α外的一条直线l与α内的一条直线平行,则l∥α;③设α∩β=l,若α内有一条直线垂直于l,则α⊥β;④直线l⊥α的充要条件是l与α内的两条直线垂直.其中所有的真命题的序号是________.解析:①正确;②正确;满足③的α与β不一定垂直,所以③错误;直线l⊥α的充要条件是l与α内的两条相交直线垂直,所以④错误.故所有的真命题的序号是①②.答案:①②8.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,平面α与棱AB,AC,A1C1,A1B1分别交于点E,F,G,H,且直线AA1∥平面α.有下列三个命题:①四边形EFGH是平行四边形;②平面α∥平面BCC1B1;③平面α⊥平面BCFE.其中正确命题的序号是________.解析:如图所示,因为AA1∥平面α,平面α∩平面AA1B1B=EH,所以AA1∥EH.同理AA1∥GF,所以EH∥GF,又ABC-A1B1C1是直三棱柱,易知EH=GF=AA1,所以四边形EFGH是平行四边形,故①正确;若平面α∥平面BB1C1C,由平面α∩平面A1B1C1=GH,平面BCC1B1∩平面A1B1C1=B1C1,知GH∥B1C1,而GH∥B1C1不一定成立,故②错误;由AA1⊥平面BCFE,结合AA1∥EH知EH⊥平面BCFE,又EH⊂平面α,所以平面α⊥平面BCFE,故③正确.答案:①③9.(2019·太原模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠BAD =60°,P A =PD =AD =2,点M 在线段PC 上,且PM =2MC ,N 为AD 的中点.(1)求证:AD ⊥平面PNB ;(2)若平面P AD ⊥平面ABCD ,求三棱锥P -NBM 的体积. 解: (1)证明:连接BD . ∵P A =PD ,N 为AD 的中点, ∴PN ⊥AD .又底面ABCD 是菱形,∠BAD =60°,∴△ABD 为等边三角形, ∴BN ⊥AD ,又PN ∩BN =N ,∴AD ⊥平面PNB . (2)∵P A =PD =AD =2,∴PN =NB = 3.又平面P AD ⊥平面ABCD ,平面P AD ∩平面ABCD =AD ,PN ⊥AD ,∴PN ⊥平面ABCD , ∴PN ⊥NB ,∴S △PNB =12×3×3=32.∵AD ⊥平面PNB ,AD ∥BC , ∴BC ⊥平面PNB .又PM =2MC ,∴V P -NBM =V M -PNB =23V C -PNB =23×13×32×2=23. 10.如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,D ,E 分别为AB ,BC 的中点,点F 在侧棱B 1B 上,且B 1D ⊥A 1F ,A 1C 1⊥A 1B 1.求证:(1)直线DE ∥平面A 1C 1F ; (2)平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .证明:(1)在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AC ∥A 1C 1, 在△ABC 中,因为D ,E 分别为AB ,BC 的中点. 所以DE ∥AC ,于是DE ∥A 1C 1,又因为DE ⊄平面A 1C 1F ,A 1C 1⊂平面A 1C 1F , 所以直线DE ∥平面A 1C 1F .(2)在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AA 1⊥平面A 1B 1C 1, 因为A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1,所以AA 1⊥A 1C 1,又因为A 1C 1⊥A 1B 1,A 1B 1∩AA 1=A 1,AA 1⊂平面ABB 1A 1,A 1B 1⊂平面ABB 1A 1, 所以A 1C 1⊥平面ABB 1A 1, 因为B 1D ⊂平面ABB 1A 1, 所以A 1C 1⊥B 1D ,又因为B 1D ⊥A 1F ,A 1C 1∩A 1F =A 1,A 1C 1⊂平面A 1C 1F ,A 1F ⊂平面A 1C 1F ,所以B 1D ⊥平面A 1C 1F , 因为直线B 1D ⊂平面B 1DE , 所以平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .B 级1.(2018·全国卷Ⅱ)如图,在三棱锥P -ABC 中,AB =BC =22,P A =PB =PC =AC =4,O 为AC 的中点.(1)证明:PO ⊥平面ABC ;(2)若点M 在棱BC 上,且MC =2MB ,求点C 到平面POM 的距离. 解:(1)证明:因为P A =PC =AC =4,O 为AC 的中点, 所以PO ⊥AC ,且PO =2 3. 连接OB , 因为AB =BC =22AC , 所以△ABC 为等腰直角三角形,且OB ⊥AC ,OB =12AC =2.所以PO 2+OB 2=PB 2,所以PO ⊥OB . 又因为AC ∩OB =O ,所以PO ⊥平面ABC . (2)作CH ⊥OM ,垂足为H ,又由(1)可得OP ⊥CH , 所以CH ⊥平面POM .故CH 的长为点C 到平面POM 的距离.由题设可知OC =12AC =2,CM =23BC =423,∠ACB =45°,所以OM =253,CH =OC ·MC ·sin ∠ACB OM =455.所以点C 到平面POM 的距离为455.2.(2019·河南中原名校质量考评)如图,在四棱锥P -ABCD 中,AB ∥CD ,AB ⊥AD ,CD =2AB ,平面P AD ⊥底面ABCD ,P A ⊥AD ,E ,F 分别是CD ,PC 的中点.求证:(1)BE ∥平面P AD ; (2)平面BEF ⊥平面PCD .证明:(1)∵AB ∥CD ,CD =2AB ,E 是CD 的中点, ∴AB ∥DE 且AB =DE ,∴四边形ABED为平行四边形,∴AD∥BE,又BE⊄平面P AD,AD⊂平面P AD,∴BE∥平面P AD.(2)∵AB⊥AD,∴四边形ABED为矩形,∴BE⊥CD,AD⊥CD,∵平面P AD⊥底面ABCD,平面P AD∩底面ABCD=AD,P A⊥AD,∴P A⊥底面ABCD,∴P A⊥CD,又P A∩AD=A,∴CD⊥平面P AD,∴CD⊥PD,∵E,F分别是CD,PC的中点,∴PD∥EF,∴CD⊥EF,又EF∩BE=E,∴CD⊥平面BEF,∵CD⊂平面PCD,∴平面BEF⊥平面PCD.。
直线与平面垂直的判定与性质
典型例题
1、设m 、n 是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面.考查下列命题,其中正确的命题是( )
A .βαβα⊥⇒⊥⊂⊥n m n m ,,
B .n m n m ⊥⇒⊥βαβα//,,//
C .n m n m ⊥⇒⊥⊥βαβα//,,
D .ββαβα⊥⇒⊥=⊥n m n m ,, 解析:正确的命题是n m n m ⊥⇒⊥βαβα//,,//,选B.
2、如图,四面体ABCD 中,O 、E 分别BD 、 BC 的中点,CA =CB =CD =BD =2 求证:AO ⊥平面BCD ;
本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所
成的角以及点到平面的距离基本知识,考查空间想象
能力、逻辑思维能力和运算能力。
)证明:连结OC ,,.BO DO AB AD AO BD ==∴⊥ ,,.BO DO BC CD CO BD ==∴⊥
在AOC ∆中,由已知可得1, 3.AO CO ==
而2,AC = 2
2
2
,AO CO AC ∴+=
90,o AOC ∴∠=即.AO OC ⊥
,BD OC O = AO ∴⊥平面BCD
一、选择题
1.如图,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1,E 是A 1B 1
的中点,则E 到平面AB C 1D 1的距离为( ) A .
2
3
B .22
C .2
1 D .
3
3
2、在正四面体P -ABC 中,D ,E ,F 分别是AB ,BC ,CA 的中点,下面四个结论中不成立...的是( )
(A )BC //平面PDF (B )DF ⊥平面P A E
A B M D E O
C
(C )平面PDF ⊥平面ABC (D )平面P AE ⊥平面 ABC
3、设γβα、、为平面,l n m 、、为直线,则β⊥m 的一个充分条件是 ( )
(A) l m l ⊥=⋂⊥,,βαβα (B) γβγαγα⊥⊥=⋂,,m (C) αγβγα⊥⊥⊥m ,,
(D) αβα⊥⊥⊥m n n ,,
4、如图,ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体,下面结论错误..
的是 (A )BD ∥平面CB 1D 1 (B)AC 1⊥BD
(C)AC 1⊥平面CB 1D 1 (D)异面直线AD 与CB1 所成的角为60°
5、(选做)已知二面角l αβ--的大小为060,,m n 为异面直线,且,m n ββ⊥⊥,则,m n 所成的角为
(A )030 (B )060 (C )090 (D )0120 二、填空题
6、如图,PA ⊥平面ABC ,∠ABC=90°且PA=AC=BC=a 则异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于 .
7、如图,在正三棱柱111C B A ABC -中,1=AB .若二面角1C AB C --的大小为 60,则点C 到平面1ABC 的距离为______________.
8(选做)如图,正方体1AC 的棱长为1,过点作平面1A BD 的垂线,垂足为点H .有下列四个命题
A.点H 是1A BD △的垂心 B.AH 垂直平面11CB D
C.二面角111C B D C --的正切值为2 D.点H 到平面1111A B C D 的距离为34
其中真命题的代号是
.(写出所有真命题的代号)
三、解答题
9、如图,已知两个正四棱锥P -ABCD 与
Q -ABCD 的高都是2,AB =4. 证明PQ ⊥平面ABCD ;
10、在正三角形ABC 中,E 、F 、P 分别是AB 、AC 、BC 边上的点,满足AE:EB =CF:FA =CP:PB =1:2(如图1)。
将△AEF 沿EF 折起到EF A 1∆的位置,使二面角A 1-EF -B 成直二面角,连结A 1B 、A 1P (如图2)求证:A 1E ⊥平面BEP ;
11(选做)如图,在四棱锥P -ABCD 中,P A ⊥底面ABCD ,∠DAB 为直角,AB ‖CD,AD =CD =24,E 、F 分别为PC 、CD 的中点. 试证:CD ⊥平面BEF;
Q
B
C
P
A
D
A
F
E
C
B
A 1
E
F
C
P B
图1
图2
答案: 1、 B 2、 C 3、 D 4、 D 5、B 6、2
7、解析:过C 作CD ⊥AB ,D 为垂足,连接C 1D ,则C 1D ⊥AB ,∠C 1DC=60°,CD=2
3
,则C 1D=3,CC 1=
2
3
,在△CC 1D 中,过C 作CE ⊥C 1D ,则CE 为点C 到平面1ABC 的距离,
334=,所以点C 到平面AB C 1的距离为43 8、 A 、B 、C
9、取AD 的中点,连结PM ,QM .因为P -ABCD 与Q -ABCD 都是正四棱锥,
所以AD ⊥PM ,AD ⊥QM . 从而AD ⊥平面PQM .又⊂PQ 平面PQM ,所以PQ ⊥AD . 同理PQ ⊥AB ,所以PQ ⊥平面ABCD . 10、不妨设正三角形ABC 的边长为3
在图1中,取BE 中点D ,连结DF. AE :EB=CF :FA=1:2∴AF=AD=2而∠A=600
, ∴△ADF 是正三角形,又AE=DE=1, ∴EF ⊥AD 在图2中,A 1E ⊥EF, BE ⊥EF, ∴∠A 1EB 为二面角A 1-EF -B 的平面角。
由题设条件知此二面角为直二面角,A 1E ⊥BE,又BE EF E =∴A 1E ⊥平面BEF,即 A 1E ⊥平面BEP 11、证:由已知//DF
AB =
且DAB ∠为直角。
故ABFD 是矩形。
从而CD BF ⊥。
又PB ⊥
底面ABCD ,CD AD ⊥,故由三垂线定理知.CD PD ⊥ D PDC 中,E 、F 分别为PC 、CD 的中点,故EF//PD,从而CD EF ⊥,由此得CD ⊥面BEF 。