华理概率论答案第三册

a ≤ Eξ ≤ b,
Dξ
≤
⎛ ⎜⎝
b
− 2
a
⎞2 ⎟⎠
。
证 因为 a ≤ ξ ≤ b , 所以 a ≤ Eξ ≤ b .
又因为
a−b =a− a+b ≤ξ − a+b ≤b− a+b = b−a
2
2
2
22
⇒
ξ
− a+b 2
≤
b−a 2
， ⇒ Dξ
≤
E
⎛ ⎜⎝
ξ
−
a
+ 2
b
⎞ ⎟⎠
≤
⎛ ⎜⎝
b
− 2
∑ ∑ ∑ 解
Eξ
=
∞
k
k =0
⋅
1 2k +1
=
∞
k⋅
k =1
1 2k +1
=
1 4
∞ k =1
k
⋅
⎛ ⎜⎝
1 2
⎞k ⎟⎠
−1
，
令 x=1， 则 2
∑ ∑( ) ∑ ∞
∞
k ⋅ xk−1 =
k =1
k =1
xk
′
=
⎛ ⎝⎜
∞ k =1
xk
⎞′ ⎟⎠
=
⎛1 ⎝⎜ 1− x
−1⎞⎟⎠′
=
1 (1− x)2
∫ 解 Eξ = +∞ xe−xdx = 1； 0 E(2ξ + 3) = 2Eξ + 3 = 5 ；
∫ E(ξ + e−2ξ ) = Eξ + E(e−2ξ ) = 1+ +∞ e−2x ⋅ e−xdx = 4 ；
0
3
∫ ∫ E(max{ξ , 2}) =
+∞
max{x, 2}p(x)dx =
+∞ max{x, 2}e−xdx
⎧ x 0≤ x≤1
3. 设随机变量ξ 具有概率密度 p(x) = ⎪⎨2 − x 1 < x ≤ 2 , 计算 Dξ 。
⎪⎩ 0
其它
∫ ∫ ∫ 解
E(ξ ) =
+∞
xp(x)dx =
1
x ⋅ xdx +
2 x ⋅ (2 − x)dx = x3 1 + (x2 − x3 ) 2 = 1，
−∞
0
1
3
3
= 1− e−2 − 2e−2 = 1− 3e−2 .
2. 设随机变量ξ ~ B(n, p) ，已知 Eξ = 2.4, Dξ = 1.44 ，则参数 n= 6
，
p = 0.4
。
解
⎧Eξ ⎨⎩Dξ
= =
np = 2.4, npq = 1.44,
⇒
⎧n
⎨ ⎩
p
= 6, = 0.4.
3. 某保险公司的某人寿保险险种有 1000 人投保，每个人在一年内死亡的概率 为 0.005，且每个人在一年内是否死亡是相互独立的，欲求在未来一年内这 1000 个投保人死亡人数不超过 10 人的概率。用 Excel 的 BINOMDIST 函 数计算。BINOMDIST（10 , 1000, 0.005, TRUE）= 0.986531_。
X
0
1
2
3
P
27/64
27/64
9/64
1/64
故 EX = 0× 27 +1× 27 + 2× 9 + 3× 1 = 3 。（或 EX = np = 0.75 ） 64 64 64 64 4
6. 设ξ 是非负连续随机变量且 Eξ 存在，对任意α > 0 试证
P(ξ
<
α
)
≥
1−
Eξ α
证 设ξ 的密度函数是 p(x) ，由α > 0 得
所以 Dξ = Eξ 2 − (Eξ )2 = a 。
Eξ 2 = (−1)2 ⋅ a + 02 ⋅ (1− a) +12 ⋅ a = a,
2
2
又 E ξ = a, E ξ 2 = Eξ 2 = a ， 故 D ξ = E ξ 2 − (E ξ )2 = a(1− a) 。
7. 设随机变量ξ U (−1,1) . (1) 试求 P(| ξ |> 0.6) ; (2) 试用切比雪夫不等式给出 P(| ξ |≥ 0.6) 的上界.
则
Dξ
=
p(1 −
p)
=
pq
≤
⎛ ⎜⎝
p+ 2
q
⎞2 ⎟⎠
=
1 4
。
第九次作业
一． 填空题
1. 设 X 服从泊松分布，若 EX 2 = 6 ，则 P( X > 1) = 1− 3e−2 。
解 X ~ P(λ), 6 = EX 2 = DX + (EX )2 = λ + λ 2 故 λ = 2 .
P( X > 1) = 1− P( X ≤ 1) = 1− P( X = 0) − P( X = 1)
−
⎛ ⎜⎝
1 3
⎞2 ⎟⎠
=
97 72
，
D(1− 3ξ )
=
9Dξ
=
97 8
。
2. 对第七次作业第三大题第 3 小题中的ξ ，求 Dξ 。 解 Dξ = E(ξ 2 ) − (Eξ )2 = 0× 0.504 +1× 0.389 + 4× 0.093 + 9× 0.006 − 0.62 = 0.46.
解
设球的直径长为 ξ
,且 ξ
∼ U[a,b] ,球的体积为η
,与直径 ξ
的关系为η
=
4π 3
⎛ξ ⎜⎝ 2
⎞3 ⎟⎠
,那
∫ 么,
Eη
=
4π 3
⋅E
⎛ξ ⎜⎝ 2
⎞3 ⎟⎠
=
π 6
⋅
Eξ 3
=
π 6
b x3 dx = π (a + b)(a2 + b2 ) 。
a b−a
24
5. 6 个元件装在 3 台仪器上，每台仪器装两个，元件的可靠性为 0.5。如果一台仪器中
解 （1） P(| ξ |> 0.6) =0.4
（2） 因为 Eξ = 0, Dξ = 1 ，所以 3
P(| ξ
|≥ 0.6)
=
P(| ξ
− Eξ
|≥ 0.6)
≤
1 3× 0.62
= 100 。 108
8. 证明：事件在一次试验中发生次数ξ 的方差一定不超过 1 。 4
证 设事件 A 在一次试验中发生的概率为 p ，又设随机变量
a
⎞2 ⎟⎠
。
5. 已知某种股票的价格是随机变量ξ ，其平均值是 1 元，标准差是 0.1 元。求
常数 a，使得股价超过 1+a 元或低于 1-a 元的概率小于 10%。(提示: 应用 切比雪夫不等式)。
解 已知 Eξ = 1, Dξ = 0.1，
由契比雪夫不等式
P{|
ξ
− 1 |≥
a}
≤
0.01 a2
P(ξ = 2) = P( A1A2 A3) + P( A1A2 A3 ) + P( A1A2 A3 ) = 0.092,
从而
P(ξ = 3) = P( A1A2 A3) = 0.006. Eξ = 0× 0.504 +1× 0.389 + 2× 0.093 + 3× 0.006 = 0.6 。
4. 设球的直径均匀分布在区间[a , b]内，求球的体积的平均值。−∞ Nhomakorabea0
∫ ∫ = 2 2e−xdx + +∞ xe−xdx = 2(1− e−2 ) + 2e−2 + e−2 = 2 + e−2 。
0
2
3. 一台机器由三大部件组成，在运转中各部件需要调整的概率分别为 0.1，0.2 和 0.3。假设各部件的状态相互独立，用ξ 表示同时需要调整的部件数，试
求ξ 的数学期望。
3
（1）η 的概率分布（分布律），
（2） Eη和Dη 。
解 η ∼ B (4, p) 。
∫ （1）设 A=“观察值大于 π ”，则 3
p = P( A) = P(ξ ≥ π ) = 3
π π 3
1 2
cos
x 2
dx
=
1 2
,
所以η
的概率分布为：
P(η
=
k)
=
⎛ ⎜ ⎝
4 k
⎞ ⎟ ⎠
1k 2
(1 −
，
0< x <1
⎪⎩0
， 其他
其中θ >1，求 EX 。
∫ ∫ 解
1
EX = x
1
2−θ
1
x θ −1 dx =
1
1
xθ −1dx
=
1
θ
xθ −1
1
=
1
。
0 θ −1
0θ −1
θ 0θ
2. 设随机变量ξ 的概率密度函数
p
(
x）=
⎧e− ⎨
x
,
⎩ 0,
x>0 x≤0
求 Eξ , E(2ξ + 3), E(ξ + e−2ξ ) 和 E(max{ξ , 2}) 。
二． 选择题
1. 在相同条件下独立的进行 3 次射击，每次射击击中目标的概率为 2 ，则至 3
少击中一次的概率为
（D）
A. 4 27
B. 12 27
C. 19 27
D. 26 27