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诚信应考，考试作弊将带来严重后果！华南理工大学本科生期末考试《概率论与数理统计》A 卷注意事项：1. 开考前请将密封线内各项信息填写清楚； 2. 所有答案请直接答在试卷上； 3．考试形式：闭卷；4. 本试卷共八大题，满分100分， 考试时间120分钟。
注意： (1.67)0.9525(1.96)0.975(1.45)0.926Φ=Φ=Φ=()()()0.9750.950.9515 2.132,16 1.746,15 1.753t t t ===()()220.9750.025220.950.05220.9750.025(4)11.143(4)0.484(5)11.071(5) 1.145512.83350.831χχχχχχ======一、（12分）设有n 个人排成一行，甲与乙是其中的两个人，求这n 个人的任意排列中，甲与乙之间恰有r 个人的概率。
如果这n 个人围成一圈，试证明甲与乙之间恰有r 个人的概率与r 无关。
(甲到乙是顺时针) 解：()1221(2)!2(1)1)()!(1)(2)!!12)()(1)!1r n C n r n n r P A n n n C n r r P A n n ------==---==--二、（10分） 甲、乙、丙三车间加工同一产品，加工量分别占总量的25%、35%、40%，次品率分别为0.03、0.02、0.01。
现从所有的产品中抽取一个产品，试求 （1）该产品是次品的概率；（2）若检查结果显示该产品是次品，则该产品是乙车间生产的概率是多少？解：设1A ，2A ，3A 表示甲乙丙三车间加工的产品，B 表示此产品是次品。
（1）所求事件的概率为112233()()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A =++0.250.030.350.020.40.010.0185=⨯+⨯+⨯=（2）222()(|)0.350.02(|) = 0.38 ()0.0185P A P B A P A B P B ⨯=≈三、 (10分) 假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周5个工作日里无故障，可获利润10万元；发生一次故障可获利润5万元；发生二次故障所获利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元，求一周内期望利润是多少？解 由条件知)2.0,5(~B X ，即5,,1,0,8.02.05}{5 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-k k k X P kk⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-=====3,2;2,0;1,5;0,10)(X X X X X g Y )(216.5057.02410.05328.010}]5{}4{}3{[2}2{0}1{5}0{10}{)()(5万元=⨯-⨯+⨯==+=+=⨯-=⨯+=⨯+=⨯====∑=X P X P X P X P X P X P k X P k g X Eg EY k四、(15分) 设随机变量和的联合分布在以点为顶点的三角形区域上服从均匀分布,试求 (1) 关于X 的边缘密度 (2) X 和Y 的协方差(3) 随机变量的方差.解 三角形区域为;随机变量和的联合密度为X Y ()()()0,1,1,0,1,1U X Y =+(){},:01,01,1G x y x y x y =≤≤≤≤+≥X Y以表示的概率密度,则当或时, ;当时,有因此同理可得, .现在求和的协方差于是五、（12）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标和纵坐标相互独立，且均服从2(0,2)N 分布. 求 （1）命中环形区域(){}22,12D x y xy =≤+≤的概率；（2）命中点到目标中心距离Z =.（1）()()()2,,0,x y Gf x y x y G∈⎧⎪=⎨∉⎪⎩当当()1f x X 0x ≤1x ≥()10f x =01x <<()()111,22xf x f x y dy dy x ∞-∞-===⎰⎰1122300212, 232EX x dx EX x dx ====⎰⎰()221412918DX EX EX =-=-=21,318EY DY ==X Y 11152212xGEXY xydxdy xdx ydy -===⎰⎰⎰⎰()541cov ,12936X Y EXY EX EY =-⋅=-=-()()11212cov ,18183618DU D X Y DX DY X Y =+=++=+-=X Y {,)}(,)DP X Y D f x y dxdy ∈=⎰⎰2222288111248x y r De dxdy erdrd πθππ+--==⋅⎰⎰⎰⎰（2）.六、（10分）某种电子器件的寿命(小时)具有数学期望μ(未知),方差2400σ=.为了估计μ,随机地取n 只这种器件,在时刻0t =投入测试(设测试是相互独立的)直到失败,测得寿命为12,,,n X X X ,以11ni i X X n ==∑作为μ的估计,为了使{}10.95P X μ-<≥,问n 至少为多少?解、 由于12,,,n X X X 独立同分布,且2,400i i EX DX μσ===.由林德伯格-列维定理得{}1P X P μ⎫⎛-<=<≈Φ-Φ ⎝⎭⎝⎭21210.9520σ⎛⎛=Φ-=Φ-≥ ⎝⎭⎝⎭即0.975Φ≥⎝⎭,1.96≥,故2400 1.961536.64n ≥⨯=. 因此n 至少为1537.七、（10分）(1) 设某机器生产的零件长度（单位：cm ），今抽取容量为16的样本，测得样本均值，样本方差. 求的置信度为0.95的置信区间.(2) 某涤纶厂的生产的维尼纶的纤度（纤维的粗细程度）在正常生产的条件下，服从正态分布N(1.405 , 0.0482)，某日随机地抽取5根纤维，测得纤度为1.32 ，1.55 ，1.36 ，1.40 ，1.44问一天涤纶纤度总体X 的均方差是否正常（α=0.05）?2221122888211()8r r red ee e----=--=-=-⎰22818x y EZ E e dxdy π+-+∞-∞-∞==⎰⎰222288001184r r rerdrd e r drπθπ--+∞+∞==⎰⎰⎰2228882r r r reedr dr +∞---+∞+∞-∞=-+==⎰⎰2~(,)X N μσ10x =20.16s =μ解：（1）的置信度为下的置信区间为()()11221,1X n X nαα--⎛⎫--+-⎪⎝⎭()0.97510,0.4,16,0.05,15 2.132x s n tα=====所以的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132）(2)()()()()()()()()()()()22222001022221220.97512220.0252222222220.975012:0.048:.1~512.83350.83111.32 1.405 1.55 1.405 1.44 1.4050.04813.68313.683512.833niiH HX nnnn Hααασσσσχμχσχχχχχχχχ=--==≠=-====⎡⎤=-+-++-⎣⎦==>==∑，因为，所以拒绝，即这一天涤纶纤度ξ的均方差可以认为不正常。
概论论与数理统计 习题参考解答 习题一8. 掷3枚硬币, 求出现3个正面的概率. 解: 设事件A ={出现3个正面}基本事件总数n =23, 有利于A 的基本事件数n A =1, 即A 为一基本事件, 则125.08121)(3====n n A P A . 9. 10把钥匙中有3把能打开门, 今任取两把, 求能打开门的概率. 解: 设事件A ={能打开门}, 则A 为不能打开门基本事件总数210C n =, 有利于A 的基本事件数27C n =, 467.0157910212167)(21027==⨯⨯⋅⨯⨯==C C A P因此, 533.0467.01)(1)(=-=-=A P A P .10. 一部四卷的文集随便放在书架上, 问恰好各卷自左向右或自右向左的卷号为1,2,3,4的概率是多少?解: 设A ={能打开门},基本事件总数2412344=⨯⨯⨯==P n , 有利于A 的基本事件数为2=A n , 因此, 0833.0121)(===n n A P A . 11. 100个产品中有3个次品,任取5个, 求其次品数分别为0,1,2,3的概率. 解: 设A i 为取到i 个次品, i =0,1,2,3,基本事件总数5100C n =, 有利于A i 的基本事件数为3,2,1,0,5973==-i C C n i i i则00006.09833512196979697989910054321)(006.0983359532195969739697989910054321)(138.09833209495432194959697396979899100543213)(856.0334920314719969798991009394959697)(51002973351003972322510049711510059700=⨯⨯==⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯====⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯====⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯===⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===C C n n A P C C C n n A P C C n n A P C C n n A P12. N 个产品中有N 1个次品, 从中任取n 个(1≤n ≤N 1≤N ), 求其中有k (k ≤n )个次品的概率. 解: 设A k 为有k 个次品的概率, k =0,1,2,…,n ,基本事件总数nN C m =, 有利于事件A k 的基本事件数kn N N k N k C C m --=11,k =0,1,2,…,n ,因此, n k C C C m m A P nNkn N N k N k k ,,1,0,)(11 ===-- 13. 一个袋内有5个红球, 3个白球, 2个黑球, 计算任取3个球恰为一红, 一白, 一黑的概率.解: 设A 为任取三个球恰为一红一白一黑的事件,则基本事件总数310C n =, 有利于A 的基本事件数为121315C C C n A =, 则25.0412358910321)(310121315==⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===C C C C n n A P A 14. 两封信随机地投入四个邮筒, 求前两个邮筒内没有信的概率以及第一个邮筒内只有一封信的概率.解: 设A 为前两个邮筒没有信的事件, B 为第一个邮筒内只有一封信的事件, 则基本事件总数1644=⨯=n , 有利于A 的基本事件数422=⨯=A n , 有利于B 的基本事件数632=⨯=B n , 则25.041164)(====n n A P A 375.083166)(====n n B P B .15. 一批产品中, 一, 二, 三等品率分别为0.8, 0.16, 0.04, 若规定一, 二等品为合格品, 求产品的合格率.解: 设事件A 1为一等品, A 2为二等品, B 为合格品, 则 P (A 1)=0.8, P (A 2)=0.16,B =A 1+A 2, 且A 1与A 2互不相容, 根据加法法则有 P (B )=P (A 1)+P (A 2)=0.8+0.16=0.9616. 袋内装有两个5分, 三个2分, 五个一分的硬币, 任意取出5个, 求总数超过一角的概率. 解: 假设B 为总数超过一角,A 1为5个中有两个5分, A 2为5个中有一个5分三个2分一个1分, A 3为5个中有一个5分两个2分两个1分, 则B =A 1+A 2+A 3, 而A 1,A 2,A 3互不相容, 基本事件总数252762354321678910510=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==C n设有利于A 1,A 2,A 3的基本事件数为n 1,n 2,n 3, 则5.0252126252601056)(,60214532,1052,563216782523123153312238221==++==⨯⨯⨯⨯===⨯===⨯⨯⨯⨯==B P C C C n C C C n C C n 17. 求习题11中次品数不超过一个的概率.解: 设A i 为取到i 个次品, i =0,1,2,3, B 为次品数不超过一个, 则B =A 0+A 1, A 0与A 1互不相容, 则根据11题的计算结果有 P (B )=P (A 0)+P (A 1)=0.856+0.138=0.99419. 由长期统计资料得知, 某一地区在4月份下雨(记作事件A )的概率为4/15, 刮风(用B 表示)的概率为7/15, 既刮风又下雨的概率为1/10, 求P (A |B ), P (B |A ), P (A +B ). 解: 根据题意有P (A )=4/15, P (B )=7/15, P (AB )=1/10, 则633.03019303814101154157)()()()(275.08315/410/1)())|(214.014315/710/1)()()|(==-+=-+=-+=+========AB P B P A P B A P A P PAB A B P B P AB P B A P20. 为防止意外, 在矿内同时设有两种报警系统A 与B , 每种系统单独使用时, 其有效的概率系统A 为0.92, 系统B 为0.93, 在A 失灵的条件下, B 有效的概率为0.85, 求 (1) 发生意外时, 这两个报警系统至少有一个有效的概率 (2) B 失灵的条件下, A 有效的概率解: 设A 为系统A 有效, B 为系统B 有效, 则根据题意有 P (A )=0.92, P (B )=0.93, 85.0)|(=A B P(1) 两个系统至少一个有效的事件为A +B , 其对立事件为两个系统都失效, 即B A B A =+, 而15.085.01)|(1)|(=-=-=A B P A B P , 则988.0012.01)(1)(012.015.008.015.0)92.01()|()()(=-=-=+=⨯=⨯-==B A P B A P A B P A P B A P(2) B 失灵条件下A 有效的概率为)|(B A P , 则829.093.01012.01)()(1)|(1)|(=--=-=-=B P B A P B A P B A P21. 10个考签中有4个难签, 3人参加抽签考试, 不重复地抽取, 每人一次, 甲先, 乙次, 丙最后, 证明3人抽到难签的概率相等.证: 设事件A ,B ,C 表示甲,乙,丙各抽到难签, 显然P (A )=4/10, 而由903095106)|()()(902496104)|()()(902494106)|()()(901293104)|()()(=⨯===⨯===⨯===⨯==A B P A P B A P A B P A P B A P A B P A P B A P A B P A P AB P由于A 与A 互不相容,且构成完备事件组, 因此B A AB B +=可分解为两个互不相容事件的并, 则有1049036902412)()()(==+=+=B A P AB P B P 又因B A B A B A AB ,,,之间两两互不相容且构成完备事件组, 因此有C B A C B A BC A ABC C +++=分解为四个互不相容的事件的并,且720120849030)|()()(72072839024)|()()(72072839024)|()()(72024829012)|()()(=⨯===⨯===⨯===⨯==B A C P B A P C B A P B A C P B A P C B A P B A C P B A P BC A P AB C P AB P ABC P则104720288720120727224()()()()(==+++=+++=C B A P C B A P BC A P ABC P C P 因此有P (A )=P (B )=P (C ), 证毕.22. 用3个机床加工同一种零件, 零件由各机床加工的概率分别为0.5, 0.3, 0.2, 各机床加工的零件为合格品的概率分别等于0.94, 0.9, 0.95, 求全部产品中的合格率. 解: 设A 1,A 2,A 3零件由第1,2,3个机床加工, B 为产品合格, A 1,A 2,A 3构成完备事件组. 则根据题意有P (A 1)=0.5, P (A 2)=0.3, P (A 3)=0.2,P (B |A 1)=0.94, P (B |A 2)=0.9, P (B |A 3)=0.95, 由全概率公式得全部产品的合格率P (B )为93.095.02.09.03.094.05.0)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=i i i A B P A P B P23. 12个乒乓球中有9个新的3个旧的, 第一次比赛取出了3个, 用完后放回去, 第二次比赛又取出3个, 求第二次取到的3个球中有2个新球的概率.解: 设A 0,A 1,A 2,A 3为第一次比赛取到了0,1,2,3个新球, A 0,A 1,A 2,A 3构成完备事件组. 设B 为第二次取到的3个球中有2个新球. 则有22962156101112321)|(,552132101112789321)(,442152167101112321)|(,55272101112389321)(,552842178101112321)|(,2202710111239321)(,552732189101112321)|(,2201101112321)(312162633123933121527231213292312142813122319131213290312330=⋅⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⋅⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⋅⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⋅⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯==C C C A B P C C A P C C C A B P C C C A P C C C A B P C C C A P C C C A B P C C A P根据全概率公式有455.01562.02341.00625.00022.022955214421552755282202755272201)|()()(3=+++=⋅+⋅+⋅+⋅==∑=i i i A B P A P B P 24. 某商店收进甲厂生产的产品30箱, 乙厂生产的同种产品20箱, 甲厂每箱100个, 废品率为0.06, 乙厂每箱装120个, 废品率是0.05, 求: (1)任取一箱, 从中任取一个为废品的概率;(2)若将所有产品开箱混放, 求任取一个为废品的概率. 解: (1) 设B 为任取一箱, 从中任取一个为废品的事件. 设A 为取到甲厂的箱, 则A 与A 构成完备事件组056.005.04.006.06.0)|()()|()()(05.0)|(,06.0)|(4.05020)(,6.05030)(=⨯+⨯=+=======A B P A P A B P A P B P A B P A B P A P A P(2) 设B 为开箱混放后任取一个为废品的事件.则甲厂产品的总数为30×100=3000个, 其中废品总数为3000×0.06=180个, 乙厂产品的总数为20×120=2400个, 其中废品总数为2400×0.05=120个, 因此...055555555.0540030024003000120180)(==++=B P25. 一个机床有1/3的时间加工零件A , 其余时间加工零件B , 加工零件A 时, 停机的概率是0.3, 加工零件B 时, 停机的概率是0.4, 求这个机床停机的概率.解: 设C 为加工零件A 的事件, 则C 为加工零件B 的事件, C 与C 构成完备事件组. 设D 为停机事件, 则根据题意有 P (C )=1/3, P (C )=2/3, P (D |C )=0.3, P (D |C )=0.4, 根据全概率公司有367.04.0323.031)|()()|()()(=⨯+⨯=+=C D P C P C D P C P D P 26. 甲, 乙两部机器制造大量的同一种机器零件, 根据长期资料总结, 甲机器制造出的零件废品率为1%, 乙机器制造出的废品率为2%, 现有同一机器制造的一批零件, 估计这一批零件是乙机器制造的可能性比它们是甲机器制造的可能性大一倍, 今从该批零件中任意取出一件, 经检查恰好是废品, 试由此检查结果计算这批零件为甲机器制造的概率.解: 设A 为零件由甲机器制造, 则A 为零件由乙机器制造, A 与A 构成完备事件组. 由P (A +A )=P (A )+P (A )=1并由题意知P (A )=2P (A ), 得P (A )=1/3, P (A )=2/3. 设B 为零件为废品, 则由题意知P (B |A )=0.01, P (B |A )=0.02,则根据贝叶斯公式, 任抽一件检查为废品条件下零件由甲机器制造的概率为2.005.001.002.03201.03101.031)|()()|()()|()()|(==⨯+⨯⨯==+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P 27. 有两个口袋, 甲袋中盛有两个白球, 一个黑球, 乙袋中盛有一个白球两个黑球. 由甲袋中任取一个球放入乙袋, 再从乙袋中取出一个球, 求取到白球的概率.解: 设事件A 为从甲袋中取出的是白球, 则A 为从甲袋中取出的是黑球, A 与A 构成完备事件组. 设事件B 为从乙袋中取到的是白球. 则P (A )=2/3, P (A )=1/3, P (B |A )=2/4=1/2, P (B |A )=1/4, 则根据全概率公式有417.012541312132)|()()|()()(==⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P28. 上题中若发现从乙袋中取出的是白球, 问从甲袋中取出放入乙袋的球, 黑白哪种颜色可能性大?解: 事件假设如上题, 而现在要求的是在事件B 已经发生条件下, 事件A 和A 发生的条件概率P (A |B )和P (A |B )哪个大, 可以套用贝叶斯公式进行计算, 而计算时分母为P (B )已上题算出为0.417, 因此2.0417.04131)()|()()|(8.0417.02132)()|()()|(=⨯===⨯==B P A B P A P B A P B P A B P A P B A PP (A |B )>P (A |B ), 因此在乙袋取出的是白球的情况下, 甲袋放入乙袋的球是白球的可能性大. 29. 假设有3箱同种型号的零件, 里面分别装有50件, 30件和40件, 而一等品分别有20件, 12件及24件. 现在任选一箱从中随机地先后各抽取一个零件(第一次取到的零件不放回). 试求先取出的零件是一等品的概率; 并计算两次都取出一等品的概率.解: 称这三箱分别为甲,乙,丙箱, 假设A 1,A 2,A 3分别为取到甲,乙,丙箱的事件, 则A 1,A 2,A 3构成完备事件组.易知P (A 1)=P (A 2)=P (A 3)=1/3.设B 为先取出的是一等品的事件. 则6.04024)|(,4.03012)|(,4.05020)|(321======A B P A B P A B P 根据全概率公式有467.036.04.04.0)|()()(31=++==∑=i i i A B P A P B P设C 为两次都取到一等品的事件, 则38.039402324)|(1517.029301112)|(1551.049501920)|(240224323021222502201=⨯⨯===⨯⨯===⨯⨯==C C A C P C C A C P C C A C P根据全概率公式有22.033538.01517.01551.0)|()()(31=++==∑=i i i A C P A P C P30. 发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“·”和“—”。
第一章习 题1．写出下列试验下的样本空间：（1）将一枚硬币抛掷两次答：样本空间由如下4个样本点组成{(,)(,)(,)(,)Ω=正正，正反，反正，反反 （2）将两枚骰子抛掷一次答：样本空间由如下36个样本点组成{(,),1,2,3,4,5,6}i j i j Ω==（3）调查城市居民（以户为单位）烟、酒的年支出答：结果可以用（x ，y ）表示，x ，y 分别是烟、酒年支出的元数.这时，样本空间由坐标平面第一象限内一切点构成 .{(,)0,0}x y x y Ω=≥≥2．甲，乙，丙三人各射一次靶，记-A “甲中靶” -B “乙中靶” -C “丙中靶” 则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件：(1) “甲未中靶”： ;A(2) “甲中靶而乙未中靶”： ;B A(3) “三人中只有丙未中靶”： ;C AB(4) “三人中恰好有一人中靶”： ;C B A C B A C B A(5)“ 三人中至少有一人中靶”： ;C B A(6)“三人中至少有一人未中靶”： ;C B A 或;ABC(7)“三人中恰有两人中靶”： ;BC A C B A C AB(8)“三人中至少两人中靶”： ;BC AC AB(9)“三人均未中靶”： ;C B A(10)“三人中至多一人中靶”： ;C B A C B A C B A C B A(11)“三人中至多两人中靶”： ;ABC 或;C B A3 .设,A B 是两随机事件，化简事件 (1)()()A B A B (2) ()()A B A B解:(1)()()A B A B AB AB B B == , (2) ()()A B A B ()AB AB B A A B B ==Ω= .4．某城市的电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0-9这十个数字中的任一个，求电话号码由五个不同数字组成的概率. 解：51050.302410P P ==. 5．n 张奖券中含有m 张有奖的，k 个人购买，每人一张，求其中至少有一人中奖的概率。
概率论与数理统计答案（华东师大魏宗舒版）第一章 事件与概率1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。
(1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。
(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。
解 (1)记9个合格品分别为 921,正正正，， ，记不合格为次，则，，，，，，，，，)()()(){(1913121次正正正正正正正 =Ω，，，，，，，，，)()()()(2924232次正正正正正正正 ，，，，，，，)()()(39343次正正正正正 )}()()(9898次正次正正正，，，，，，=A ){(1次正，，，，)(2次正)}(9次正，，(2)记2个白球分别为1ω，2ω，3个黑球分别为1b ，2b ，3b ，4个红球分别为1r ，2r ，3r ，4r 。
则=Ω{1ω，2ω，1b ，2b ，3b ，1r ，2r ，3r ，4r }(ⅰ) =A {1ω，2ω} (ⅱ) =B {1r ，2r ，3r ，4r }1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A 表示被选学生是男生，事件B 表示被选学生是三年级学生，事件C 表示该生是运动员。
(1) 叙述C AB 的意义。
(2)在什么条件下C ABC =成立？ (3)什么时候关系式B C ⊂是正确的？ (4) 什么时候B A =成立？解 (1)事件C AB 表示该是三年级男生，但不是运动员。
(2) C ABC = 等价于AB C ⊂，表示全系运动员都有是三年级的男生。
(3)当全系运动员都是三年级学生时。
(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。
1.3 一个工人生产了n 个零件，以事件i A 表示他生产的第i 个零件是合格品（n i ≤≤1）。
用i A 表示下列事件：(1)没有一个零件是不合格品；(2)至少有一个零件是不合格品； (3)仅仅只有一个零件是不合格品； (4)至少有两个零件是不合格品。
华东理工大学概率论与数理统计作业簿(第五册)学院______________ 专业_______________ 班级 ________________学号____________ 姓名_____________ 任课教师 ____________第十九次作业一.填空题：1.在一批垫圈中随机抽取10个，测得它们的厚度(单位:mm)如下：1.23, 1.24, 1.26, 1.29, 1.20, 1.32, 1.23, 1.23, 1.29, 1.28 用矩估计法得到这批垫圈的数学期望“的估计值//=_x = l .257 —,标准差cr的估计值$= s”_[ = 0.037_。
二.计算题：1.设总体X服从泊松分布P(2), (X】，X»…,X”)为样本，分别用矩估计法和极大似然法求参数2的估计量/。
解：矩估计法，因为X ~ P(2),所以总体平均值EX = 2 ,一 1 n_ 1 n而样本平均值x所以2 = x=-yx,；n ,=i n ,=i极大似然法，设(X],X2,…,X”)的一组观测值为(“2,…,X”)，似然函数L(2) = FT P(x = X,.) = FT —取对数，得In 厶(2) = -nA. + (x; In 2 - In x;!),i=l令气◎_” + ]£廿0,解得：i = l£x.=-；da2幺n幺故＜9的极大似然估计量为：i = x o^)=fl/(x,) = ^flx,^ i=l i=l2. 设总体歹服从几何分布P(X =x) = p(l-pY-1 (x = l,2,…),(X”X2,…,X”)为 X 的样本。
(1) 求未知参数p 的矩法估计；(2)求未知参数p 的极大似然估计。
解： ⑴由于g 〜Ge(p),因此砖=丄，由矩法原则可知E^ = X,故p-X. PX(2) 设样本(X 1,X 2,---,X n )的一组观测值为01，勺,…,x”),由于总体为离散型, 因此似然函数 L(p) = Y[P(X i =x .) = p n (l-p^X!~n ,Z = 1取对数，得In L(p) = nlnp + (工二%, -njln(l-p),上式两端关于p 求导，令di"厶(卩)=工+工日兀—”=0, dp p 1-p 解上式，得丄+ ― p =~^ O p 1- p X3. 设总体总体X 的密度函数为/Xx) JP + D 汽其中<9>-1是0, 其他未知参数，(X],X2,…，X”)是来自总体的样本，分别用矩估计法和极大似然法求 9的估计量。
华东理工大学概率论答案【篇一：华东理工大学概率论答案-15,16】选择题：1. 设随机变量?密度函数为p(x)，则??3??1的密度函数p?(y)为（ a ）。
1y?1y?11y?1) b、3p() c、p(3(y?1)) d、3p() a、p(333332. 设随机变量?和?相互独立，其分布函数分别为f?(x) 与f?(y)，则 ?＝max(?,?) 的分布函数f?(z) 等于（ b ） a．max{f?(z),f?(z)}b. f?(z)f?(z)1c．[f?(z)?f?(z)] d. f?(z)?f?(z)?f?(z)f?(z)2二. 填空：已知?～n(0,1),??? 三. 计算题, 则?的概率密度为??(y)?3y22?e?y62。
1. 已知随机变量?~u[0,2]，求???2的概率密度。
?p{?y???解: f?(y)?p{??y}??0?2y}y?0?f?(y)?f?(?y)??y?0?0y?0y?0?1p(y)?p?(?y)?故p?(y)??2y??0????1y?0?＝?4yy?0??00?y?4其他2. 设随机变量x求y?sin(?2x)的概率分布。
x?4k?1x?2k k?1,2,? x?4k?3??1x??解：由于sin()??02?1?故随机变量y的可能取值为：-1，0，1。
随机变量y的p{y??1}??p{x?4k?1}?? k?1k?1??124k?1?112??； 8115?124p{y?0}??p{x?2k}??k?1?1111???； 2k143k?12?122??p{y?1}??p{x?4k?3}??k?1k?1?124k?3?118??， 2115于是随机变量y的分布律为：3．设?~u(0,1) ，求? =?解：对应于? =?ln?ln?的分布。
lnx，y?x?e(lnx)2?f(x) ，由于f(x)?e(lnx)21?2lnx? 。
xlny当x?(0,1)时，??1x?f(y)?ef(x)?0 ，lny?1?e??1??(y)=??(x)|x?f?1(y)|(f(y))|??2ylny?0?其中当y?(??,1]时，,y?(1,??),.其它y??(y)=0是由x?(0,1)时y?(1,??) 而导出的。
