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习题八1. 已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N(4.55,0.1082).现在测了5炉铁水，其含碳量（%）分别为4.28 4.40 4.42 4.35 4.37问若标准差不改变，总体平均值有无显著性变化（α=0.05）?【解】0010/20.0250.025: 4.55;: 4.55.5,0.05, 1.96,0.1084.364,(4.364 4.55)3.851,0.108.H Hn Z ZxxZZZαμμμμασ==≠=======-===->所以拒绝H0，认为总体平均值有显著性变化.2. 某种矿砂的5个样品中的含镍量（%）经测定为：3.24 3.26 3.24 3.27 3.25设含镍量服从正态分布，问在α=0.01下能否接收假设：这批矿砂的含镍量为3.25.【解】设0010/20.0050.005: 3.25;: 3.25.5,0.01,(1)(4) 4.60413.252,0.013,(3.252 3.25)0.344,0.013(4).H Hn t n tx sxtttαμμμμα==≠===-====-===<所以接受H0，认为这批矿砂的含镍量为3.25.3. 在正常状态下，某种牌子的香烟一支平均1.1克，若从这种香烟堆中任取36支作为样本；测得样本均值为1.008（克），样本方差s2=0.1(g2).问这堆香烟是否处于正常状态.已知香烟（支）的重量（克）近似服从正态分布（取α=0.05）.【解】设0010/20.02520.025: 1.1;: 1.1.36,0.05,(1)(35) 2.0301,36,1.008,0.1,6 1.7456,1.7456(35)2.0301.H Hn t n t nx sxtttαμμμμα==≠===-=========<=所以接受H0，认为这堆香烟（支）的重要（克）正常.4.某公司宣称由他们生产的某种型号的电池其平均寿命为21.5小时，标准差为2.9小时.在实验室测试了该公司生产的6只电池，得到它们的寿命（以小时计）为19，18，20，22，16，25，问这些结果是否表明这种电池的平均寿命比该公司宣称的平均寿命要短？设电池寿命近似地服从正态分布（取α=0.05）. 【解】0100.050.05:21.5;:21.5.21.5,6,0.05, 1.65, 2.9,20,(2021.5)1.267,2.91.65.H Hn z xxzz zμμμασ≥<======-===->-=-所以接受H0，认为电池的寿命不比该公司宣称的短.5.测量某种溶液中的水分，从它的10个测定值得出x=0.452(%),s=0.037(%).设测定值总体为正态，μ为总体均值，σ为总体标准差，试在水平α=0.05下检验.（1）H0：μ=0.5(%)；H1：μ＜0.5(%).（2）:Hσ'=0.04(%)；1:Hσ'＜0.04(%).【解】(1)00.050.050.5;10,0.05,(1)(9) 1.8331,0.452,0.037,(0.4520.5)4.10241,0.037(9) 1.8331.n t n tx sxtt tαμα===-====-===-<-=-所以拒绝H0，接受H1.(2)2222010.9522222220.95(0.04),10,0.05,(9) 3.325,0.452,0.037,(1)90.0377.7006,0.04(9).nx sn sασαχχχσχχ-=======-⨯===>所以接受H0，拒绝H1.6.某种导线的电阻服从正态分布N（μ，0.0052）.今从新生产的一批导线中抽取9根，测其电阻，得s=0.008欧.对于α=0.05，能否认为这批导线电阻的标准差仍为0.005?【解】00102222/20.0251/20.975222220.02522:0.005;:0.005.9,0.05,0.008,(8)(8)17.535,(8)(8) 2.088,(1)80.00820.48,(8).(0.005)H Hn sn sαασσσσαχχχχχχχσ-===≠=======-⨯===>故应拒绝H0，不能认为这批导线的电阻标准差仍为0.005.7.有两批棉纱，为比较其断裂强度，从中各取一个样本，测试得到：第一批棉纱样本：n1=200，x=0.532kg, s1=0.218kg；第二批棉纱样本：n2=200，y=0.57kg, s2=0.176kg.设两强度总体服从正态分布，方差未知但相等，两批强度均值有无显著差异？(α=0.05) 【解】01211212/2120.0250.0250.025:;:.200,0.05,(2)(398) 1.96,0.1981,1.918;(398).w H H n n t n n t z s x y t t t αμμμμα=≠===+-=≈=======-< 所以接受H 0，认为两批强度均值无显著差别.8.两位化验员A ，B 对一种矿砂的含铁量各自独立地用同一方法做了5次分析，得到样本方差分别为0.4322(%2)与0.5006(%2).若A ，B 所得的测定值的总体都是正态分布，其方差分别为σA 2，σB 2，试在水平α=0.05下检验方差齐性的假设222201:;:.A B A B H H σσσσ=≠【解】221212/2120.0250.9750.02521225,0.05,0.4322,0.5006,(1,1)(4,4)9.6,11(4,4)0.1042,(4.4)9.60.43220.8634.0.5006n n s s F n n F F F s F s αα=====--========那么0.9750.025(4,4)(4,4).F F F << 所以接受H 0，拒绝H 1. 9~12. 略。
《概率论与数理统计》习题及答案第⼋章《概率论与数理统计》习题及答案第⼋章1. 设x.,x2,,%…是从总体X中抽岀的样本，假设X服从参数为兄的指数分布，⼏未知，给泄⼊〉0和显著性⽔平a(Ovavl),试求假设H o的⼒$检验统计量及否建域.解选统汁量*=2⼈⼯⼄=2如庆则Z2 -Z2(2n) ?对于给宦的显著性⽔平a,査z'分布表求出临界值加⑵"，使加⑵2))=Q因z2 > z2 > 所以(F"： (2/1)) => (/2 > /； (2n)),从⽽a = P{X2 > 加⑵“} n P{r > Za(2/0)可见仏:2>^的否定域为Z2>Z；(2?).2. 某种零件的尺⼨⽅差为O-2=1.21,对⼀批这类零件检查6件得尺⼨数据(毫⽶)：，，，，，。
设零件尺⼨服从正态分布，问这批零件的平均尺⼨能否认为是毫⽶(a = O.O5).解问题是在/已知的条件下检验假设：“ = 32.50Ho的否定域为1“ l> u af2u0(n5 = 1.96 ,因1“ 1=6.77 >1.96,所以否泄弘，即不能认为平均尺⼨是亳⽶。
3. 设某产品的指标服从正态分布，它的标准差为b = 100,今抽了⼀个容量为26的样本，计算平均值1580,问在显著性⽔平a = 0.05下，能否认为这批产品的指标的期望值“不低于1600。
解问题是在b?已知的条件下检验假设://>1600的否定域为u < -u a/2,其中X-1600 r-r 1580-1600 c , “11 = ------------ V26 = ------------------- x 5.1 = —1.02.100 100⼀叫05 =—1.64.因为// =-1.02>-1.64 =-M005,所以接受H(>,即可以认为这批产品的指标的期望值“不低于1600.4. ⼀种元件，要求其使⽤寿命不低于1000⼩时，现在从这批元件中任取25件，测得其寿命平均值为950⼩时，已知该元件寿命服从标准差为o-=100 ⼩时的正态分布，问这批元件是否合格(<7=0.05)解设元件寿命为X,则X~N(“，IO。
概率统计——习题八参考答案8.1 设t （单位：公斤）表示进货数，],[21t t t ∈，进货t 所获利润记为Y ，则有：⎩⎨⎧<<≤<--=21,,)(t X t at t X t b X t aX Y 又X 的密度函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(2112t x t t t x f所以 ⎰⎰-+---=21121211])([)(t t t t dx t t at dx t t b x t ax Y E 1221212]2)(2[t t t b a t at bt t b a -+-+++-= 令 dt Y dE )(0])([1221=-+++-=t t at bt t b a ，得驻点b a bt at t ++=12。
所以该店应该进ba bt at ++12公斤商品，才可使利润的数学期望最大。
8.2 设⎩⎨⎧=,,,0,1否则只球与盒配对第i X i n i ,,2,1 = 则.1∑==n i i X X ∑===∴===n i i i i X E X E n X P X E 1.1)()(,1}1{)( 8.3 ∑∑∞=∞=--=--⋅-=--=-=0121,1)]1(1[1)1()1()1()1()(k k k k p p p p p p k p p p kp X E )()]1([])1([)(2X E X X E X X X E X E +-=+-=∑∑∞=∞=--+---=-+--=02221)1)(1()1(1)1()1(k k k k p p p k k p p p p p p k k ,)2)(1(])1(2[11)]1(1[2)1(2232p p p p p p p p p p p p --=+--=-+---= .11)2)(1()]([)()(22222p p p p p p p X E X E X D -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-=∴ 8.4 μ+μ-===⎰⎰⎰+∞∞-μ--+∞∞-μ--+∞∞-dx e x dx e x dx x xf X E x x 21)(21)()(μ=μ+=⎰+∞∞--dt e t t 21 ⎰⎰⎰+∞∞--+∞∞-μ--+∞∞-=μ-=-=dy e y dx e x dx x f X E x X D y x 2222121)()()]([)(202==⎰+∞-dy e y y 8.5 用切比雪夫不等式即得,2)(1}2|)({|}2|{|212X D X E X P X P -≥<-=<= 故 .2)211(4)(=-≥X D 8.6 （1）1=ρXY ； （2）73.0)(=+Y X D ；（3）)()(),(y F x F y x F Y X Y X =⇔相互独立与；0=ρ⇔XY Y X 不相关与；=⋂⇔B A B A 互不相容与事件∅； =⋂Ω=⋃⇔B A B A B A 且互为对立事件与事件∅或A B =；)()()(B P A P AB P B A =⇔相互独立与事件。
华东理工大学线性代数 作业簿（第八册）学 院____________专 业____________班 级____________学 号____________姓 名____________任课教师____________6.1 二次型及其标准型1. 填空题(1)设三阶矩阵A 的行列式为0,且有两个特征值为1，1-，矩阵A 与B 合同,B 与C 合同,则矩阵C 是_____阶矩阵,其秩_____)(=C r .解：三，2.(2) 设n 阶矩阵A 与正交阵B 合同，则_____)(=A r . 解：n . 因B 为正交阵，故B 可逆.A 与B 合同即存在可逆矩阵C ，使得B AC C =T ，故)()(B r A r ==n .(3)二次型211221)(),,,(∑∑==-=⋅⋅⋅ni i ni i n x x n x x x f , 则此二次型的矩阵=A , 二次型的秩为______, 二次型的正交变换标准型为________________.解：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------1 (11)...1...111...11n n n ，1-n ，222121,n ny ny ny -++⋅⋅⋅+ 提示：二次型的秩就是二次型的矩阵的秩，也是其标准型中非零项的个数（注：标准型不唯一）. 因此求二次型的秩有两种方法：1) 直接求二次型的矩阵A 的秩，2）先求A 的特征值，A 有几个非零特征值（重根按重数计算），二次型的秩就是几.(4) 二次型,)(T Ax x x f = 其中A A ≠T ，则二次型的矩阵为_____ ____.解：)(21T A A +. 提示：A 不是二次型的矩阵，因A 不是对称阵。
注意到Ax x x f T )(=的值是一个数，即)()(T x f x f =，故有x A A x x f x f x f )(21)]()([21)(T T +=+=. 而)(21T A A +为对称阵.(5) 设n 元(n >2)实二次型()T f x x Ax = )(T A A =其中的正交变换标准型为22212y y -，则=A ______，矩阵A 的迹为 _____.解：0, 1-. 提示：A 的特征值为11,λ=22,λ=-30n λλ=⋅⋅⋅==，根据A A tr ni ini i ==∏∑==11),(λλ 易得.(6) 如果二次型2221231231213(,,)5526f x x x x x cx x x x x =++-+ 236x x - 的秩为2，则参数c = _____，1),,(321=x x x f 表示的曲面为__________.解：3, 椭圆柱面. 提示：二次型的矩阵33⨯A 的秩为2，故0||=A ，由此可求得c = 3. 再求出A 的特征值为9,4,0321===λλλ，即标准型为232294y y f +=，由此知1),,(321=x x x f 为椭圆柱面.2. 已知二次型322322213212332),,(x ax x x x x x x f +++=（0a >） 通过正交变换化成标准型23222152y y y f ++=，求a 的值及所用的正交变换矩阵Q .解：二次型的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3030002a a A ，)9(22a A -=，由123A λλλ=即10)9(22=-a 得 2=a .A 有三个不同的特征值1,2,5,故对应这三个特征值的特征向量线性无关。
第八章 假设检验（一）一、选择题：1．假设检验中，显著性水平为α，则 [ B ](A) 犯第二类错误的概率不超过α (B) 犯第一类错误的概率不超过α (C) α是小于等于%10的一个数，无具体意义 (D) 可信度为α-1.2．设某产品使用寿命X 服从正态分布，要求平均寿命不低于1000小时，现从一批这种产品中随机抽出25只，测得平均寿命为950小时，方差为100小时，检验这批产品是否合格可用 [ A ]（A ）t 检验法 （B ）2χ检验法 （C ）Z 检验法 （U 检验法） （D ）F 检验法 3．从一批零件中随机抽出100个测量其直径，测得的平均直径为5.2cm ，标准方差为1.6cm ，若这批零件的直径是符合标准5cm ，采用了t 检验法，在显著性水平α下，接受域为 [ A ]（A ）2||(99)<t t α （B ）2||(100)<t t α （C ）2||(99)≥t t α （D ）2||(100)≥t t α4．设样本12,,,n X X X 来自正态分布2~(,)X N μσ，在进行假设检验时，采用统计量t =是对于[ C ]（A ）μ未知，检验220σσ= （B ）μ已知，检验220σσ=（C ）2σ未知，检验0μμ= （D ）2σ已知，检验0μμ= 二、计算题：1．已知某炼铁厂铁水含碳量在正常情况下，服从正态分布2(4.52,0.108)N ，现在测定了5炉铁水，其含碳量分别为4.29 4.33 4.77 4.35 4.36 若标准差不变，给定显著性水平05.0=α，问 （1）现在所炼铁水总体均值μ有无显著性变化？（2）若有显著性变化，可否认为现在生产的铁水总体均值 4.52μ<？010.02522: 4.52,: 4.52~(0,1)0.05 1.964.421,0.108|| 2.07 1.96H H x Z N z x Z μμασμ=≠======>提出假设： 选统计量 在给定显著性水平下，取临界值为，由于 计算 所以，现在所炼铁水总体均值有显、.二著性变化。
诚信应考,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试《概率论与数理统计》试卷A 卷（2学分用）注意事项：1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚； 2. 可使用计算器，解答就答在试卷上； 3．考试形式：闭卷；4. 本试卷共 十 大题，满分100分。
考试时间120分钟。
题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 得 分 评卷人一、（本题满分10分）两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.03，第二台出现废品的概率为0.02，已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，加工出来的零件放在一起，求：任意取出的零件是合格品(A)的概率.二、（本题满分12分）甲乙两电影院在竞争1000名观众，假设每位观众在选择时随机的，且彼此相互独立，问甲至少应设多少个座位，才能使观众因无座位而离去的概率小于1%。
三、（本题满分13分）设随机变量X 的密度函数为()xf x A e -= ()x -∞<<+∞,求 (1）系数A, (2) {01}P x ≤≤ (3) 分布函数)(x F 。
四、（本题满分13分）某厂生产某产品1000件，其价格为2000P =元/件，其使用寿命X （单位：天）的分布密度为120000(365)120000365()0365x e x f x x --⎧≥⎪=⎨<⎪⎩现由某保险公司为其质量进行保险：厂方向保险公司交保费0P 元/件，若每件产品若寿命小于1095天（3年），则由保险公司按原价赔偿2000元/件. 试利用中心极限定理计算 (1) 若保费0100P =元/件, 保险公司亏本的概率？ (2) 试确定保费0P ，使保险公司亏本的概率不超过1%._____________ ________姓名 学号学院 专业 座位号( 密 封 线 内 不 答 题 )………………………………………………密………………………………………………封………………………………………线………………………………)99.0)33.2(,946.0)61.1(,926.0)45.1(,96.0(0365.0=Φ=Φ=Φ≈-e五、（本题满分14分）箱中共有6个，其中红球、白球、黑球的个数分别为1、2、3，现从箱中随机地取出两个球，记X 为取出的红球个数,Y 为取出的白球个数， (Ⅰ)求二维随机变量（X,Y)的概率分布. (Ⅱ)求Cov(X,Y).六、（本题满分15分）设二维随机变量（ξ，η）的联合密度函数为()⎩⎨⎧<<<<--=其它,040,20,6),(y x y x k y x f求：（1）常数k ；（2）()1,3P ξη<<； (3) ()1.5P ξ<； (4) ()4P ξη+≤．七、（本题满分13分）设随机变量X 与Y 相互独立，X 的概率分布为{}()11,0,13P X i i ===-，Y 的概率密度为()1010Yy f y ≤≤⎧=⎨⎩其它，记Z X Y =+ （1）求102P Z X ⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭； （2）求Z 的概率密度．八、（本题满分10分）证明题：设随即变量X 的参数为2的指数分布，证明21X Y e -=-在区间（0，1）上服从均匀分布。
