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二、（12分）在某种牌赛中，5张牌为一组，其大小与出现的概率有关。
一付52张的牌（四种花色：黑桃、红心、方块、梅花各13张，即2-10、J=11、Q=12、K=13、A=14），求（1）同花顺（5张同一花色连续数字构成）的概率；（2）3张带一对（3张数字相同、2张数字相同构成）的概率；（3）3张带2散牌（3张数字相同、2张数字不同构成）的概率。
三、（10分）某安检系统检查时，非危险人物过安检被误认为是危险人物的概率是0.02；而危险人物又被误认为非危险人物的概率是0.05。
假设过关人中有96%是非危险人物。
问：（1）在被检查后认为是非危险人物而确实是非危险人物的概率？（2）如果要求对危险人物的检出率超过0.999概率，至少需安设多少道这样的检查关卡？四、（8分）随机变量X 服从),(2σμN ，求)0( >=a a Y X 的密度函数五、（12分）设随机变量X、Y的联合分布律为：已知E(X+Y)=0，求：(1)a，b；（2）X的概率分布函数；（3）E(XY)。
六、（10分）某学校北区食堂为提高服务质量，要先对就餐率p进行调查。
决定在某天中午，随机地对用过午餐的同学进行抽样调查。
设调查了n个同学，其中在北区食堂用过餐的学生数为m，若要求以大于95%的概率保证调查所得的就餐频率与p之间的误差上下在10% 以内，问n应取多大？七、（10分）设二维随机变量(X,Y)在区域：{}b y a x <<<<0,0上服从均匀分布。
（1）求(X,Y)的联合概率密度及边缘概率密度；（2）已知36,12==DY DX ，求参数a 、b ；（3）判断随机变量X 与Y 是否相互独立？八、（8分）证明：对连续型随机变量ξ，如果c E =3||ξ存在，则0>∀t ，3)|(|t ct P ≤>ξ。
九、（12分）设（X ，Y ）的密度函数为⎩⎨⎧<<<<=其他010,10,),(y x Axy y x f 求（1）常数A ；（2）P(X<0.4，Y<1.3)；（3）sY tX Ee +；（4）EX ，DX ，Cov(X ，Y)。
第三章 连续型随机变量及分布习题3.3（p.122）1、⑴设ξ的密度函数为()⎩⎨⎧≤>=-0,00,e x x x f x λλ求3ξη=的密度函数。
解：3x y =，31y x =，032>='x y ，y 严格单调。
由0>x ，则0>y 。
当0>y 时，()()()()3231e3--⋅='=y y h y h f y f yλξηλ ()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=∴--0,00,e 3332y y y y f y ληλ⑵若ξ的密度函数为()x f ，求3ξη=的密度函数。
解：解法同上，()()32331-⋅=y y fy f η2、设随机变量ξ在[]1,0上服从均匀分布 ⑴求ξη21=的密度函数； 解：()[]⎩⎨⎧∈=其它,01,0,1x x f ξ， x y 2=，严格单调，由10≤≤x ，得20≤≤y 。
当20≤≤y 时，()()()()212111=⋅='=y h y h f y f ξη ()[]⎪⎩⎪⎨⎧∈=∴其它,02,0,211y y f η⑵求ξηe 2=的密度函数； 解：()[]⎩⎨⎧∈=其它,01,0,1x x f ξ，x y e =，y x ln =严格单调，由10≤≤x ，得e 1≤≤y 。
当e 1≤≤y 时，()()()()()()yy y y f y h y h f y f 111ln ln 2=⋅='='=ξξη ()[]⎪⎩⎪⎨⎧∈=∴其它,0e ,1,12y yy f η⑶求ξηln 23-=的密度函数。
解：()[]⎩⎨⎧∈=其它,01,0,1x x f ξ， x y ln 2-=，2eyx -=严格单调，由10≤≤x ，得0>y 。
当0>y 时，()()()()2222e 21e 211e e 3y y y y f y h y h f y f ----=⋅='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='=ξξη()⎪⎩⎪⎨⎧>=∴-其它,00,e 2123y y f yη3、设()1,0~N ξ，求下列各随机变量函数的密度函数。
华东理工大学《概率论与数理统计》课程 期末考试试卷开课学院：理学院，专业：数学系 考试形式：闭 卷，所需时间120分钟考生姓名： 学号： 班级 任课教师一、填空题（每题4分，共计24分）1、设随机变量X 的分布函数为20,0(),011,1x F x Ax x x <⎧⎪=≤≤⎨>⎪⎩,则)211(<<-X P ＝ 0.5 ，2、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且(1)(2)1E x x --=，则λ＝ 13、用(,)X Y 的联合分布函数(,)F x y 表示概率(0)P Y a <≤＝(,)(,0)F a F +∞-+∞4、已知随机变量221122~(,),~(,),X N Y N μσμσ且相互独立，设随机变量Z X Y =+，则~Z 221212(,)N μμσσ++ 5、121,,,n X X X 为X 的样本，~(0,)X U θ，记11n i i X X n ==∑，则EX ＝ 2θ6、设总体X 服从正态分布2(0,2)N ，1215,,,X X X 是来自正态总体的简单随机样本，则随机变量221102211152()X X Y X X ++=++～(10,5)F二、选择题（每题3分，共计24分）1、设A 和B 是两个互斥事件，()0,()0P A P B >>，则下列结论正确的（ D ） （A ）()()P A B P A =； （B ）A 与B 不相容； （C ）()()()P AB P A P B =； （D ）()0P A B =2、已知随机事件,A B 为两相互独立的随机事件，()0.6P A B ⋃=，()0.4P A =，则()P B＝（ B ） （A ）21; （B ）31; （C ）41; （D ）513、已知5)2(=+ηξD ，1)2(=-ηξD ，则ξ与η的协方差=),(Cov ηξ （ D ）。
（A ）0.2; （B ）0.3; （C ）0.4; （D ）0.5 4、已知离散型随机变量ξ的概率分布为用切比雪夫不等式估计 ≥<-}5.1{ξξE P （ D ） 。
第三章 离散型随机变量率分布。
，试写出命中次数的概标的命中率为目；设已知射手每次射击射击中命中目标的次数指示射手在这三次独立以本空间上定义一个函数验的样本空间；试在样作为试验，试写出此试察这些次射击是否命中三次独立射击，现将观一射手对某目标进行了7.0.1.343.0441.0189.0027.03210027.0)7.01()()0()0(189.0)7.01()7.01(7.03)(3)1()1()1()1(441.0)7.01(7.07.03)(3)2()2()2()2(343.0)7.0()()3()3()(0)(1)()()(2)()()(3)(},,,{)},,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,{(3,2,1332183217653214323321187654321821321321321321321321321321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-======-⨯-⨯⨯===+=+====-⨯⨯⨯===+=+===================Ω==的分布列为所以，，则简记为将，，则代表击中目标的次数，令则次射中”，“第解：设ξξξξξξξξξξξξξξωξωξωξωξωξωξωξωξωξξωωωA A A P P P A A A P P P P P A A A P P P P P A A A P P P A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A i i A i i i。
出的废品数的概率分布前已取个，求在取得合格品之不再放回而再取来使用，若取得废品就个这批零件中任取个废品，安装机器时从个合格品、一批零件中有1139.2118805499101112123)3(132054109112123)2(13227119123)1(129)0(32101919110111111211213110191111211213111191121311219=⨯⨯⨯=⋅⋅⋅===⨯⨯=⋅⋅===⨯=⋅=====C C C C C C C C P C C C C C C P C C C C P C C P ξξξξξξ，，，可能取值为：代表废品数，则解：令.1188054132054132271293210⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛的分布列为所以，ξ废品数的概率分布。
华东理工大学概率论答案【篇一：华东理工大学概率论答案-15,16】选择题：1. 设随机变量?密度函数为p(x)，则??3??1的密度函数p?(y)为（ a ）。
1y?1y?11y?1) b、3p() c、p(3(y?1)) d、3p() a、p(333332. 设随机变量?和?相互独立，其分布函数分别为f?(x) 与f?(y)，则 ?＝max(?,?) 的分布函数f?(z) 等于（ b ） a．max{f?(z),f?(z)}b. f?(z)f?(z)1c．[f?(z)?f?(z)] d. f?(z)?f?(z)?f?(z)f?(z)2二. 填空：已知?～n(0,1),??? 三. 计算题, 则?的概率密度为??(y)?3y22?e?y62。
1. 已知随机变量?~u[0,2]，求???2的概率密度。
?p{?y???解: f?(y)?p{??y}??0?2y}y?0?f?(y)?f?(?y)??y?0?0y?0y?0?1p(y)?p?(?y)?故p?(y)??2y??0????1y?0?＝?4yy?0??00?y?4其他2. 设随机变量x求y?sin(?2x)的概率分布。
x?4k?1x?2k k?1,2,? x?4k?3??1x??解：由于sin()??02?1?故随机变量y的可能取值为：-1，0，1。
随机变量y的p{y??1}??p{x?4k?1}?? k?1k?1??124k?1?112??； 8115?124p{y?0}??p{x?2k}??k?1?1111???； 2k143k?12?122??p{y?1}??p{x?4k?3}??k?1k?1?124k?3?118??， 2115于是随机变量y的分布律为：3．设?~u(0,1) ，求? =?解：对应于? =?ln?ln?的分布。
lnx，y?x?e(lnx)2?f(x) ，由于f(x)?e(lnx)21?2lnx? 。
xlny当x?(0,1)时，??1x?f(y)?ef(x)?0 ，lny?1?e??1??(y)=??(x)|x?f?1(y)|(f(y))|??2ylny?0?其中当y?(??,1]时，,y?(1,??),.其它y??(y)=0是由x?(0,1)时y?(1,??) 而导出的。
华东理工大学概率论答案-2 华东理工大学概率论答案-2概率论是一门研究随机事件发生规律的数学学科。
它广泛应用于各个领域，如金融、保险、统计学等。
华东理工大学概率论是一门重要的数学课程，对于培养学生的数学思维能力和分析问题的能力有着重要的作用。
本文将对华东理工大学概率论的一些典型题目进行解答，以帮助学生更好地理解和掌握概率论的相关知识。
1.设A、B两个事件，且P(A)=0.6，P(B)=0.3，求P(A∪B)和P(A∩B)。
解：根据概率的定义，P(A∪B)表示事件A或者事件B发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
由于A、B为两个事件，所以有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。
已知P(A)=0.6，P(B)=0.3，代入上式可得P(A∪B)=0.6+0.3-P(A∩B)。
又因为P(A∪B)的取值范围为[0,1]，所以有0 ≤ P(A∪B) ≤ 1。
将已知数据代入上式，可得0 ≤ 0.6+0.3-P(A∩B) ≤ 1。
化简得0.3 ≤ P(A∩B) ≤ 0.9。
所以P(A∩B)的取值范围为[0.3,0.9]。
2.设A、B两个事件，且P(A)=0.4，P(B)=0.5，且P(A∩B)=0.2，求P(A|B)和P(B|A)。
解：P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
根据条件概率的定义，P(A|B)=P(A∩B)/P(B)。
已知P(A∩B)=0.2，P(B)=0.5，代入上式可得P(A|B)=0.2/0.5=0.4。
同理，根据条件概率的定义，P(B|A)=P(A∩B)/P(A)。
已知P(A∩B)=0.2，P(A)=0.4，代入上式可得P(B|A)=0.2/0.4=0.5。
所以P(A|B)=0.4，P(B|A)=0.5。
3.设A、B两个事件，且P(A)=0.6，P(B)=0.3，且A、B相互独立，求P(A∩B)和P(A∪B)。
第二章 离散型随机变量及其分布律第二节 一维离散型随机变量及其分布律习题Page 551、 一个口袋里有6只球，分别标有数字-3、-3、1、1、1、2，从中任取一个球，用ξ表示所得球上的数字，求ξ的分布律。
解答：因为ξ只能取-3、1、2，且分别有2、3、1个，所以ξ的分布律为：ξ-3 1 2 {}i P x ξ=2/63/61/62、 在200个元件中有30个次品，从中任意抽取10个进行检查，用ξ表示其中的次品数，问ξ的分布律是什么？解答：由于200个元件中有30个次品，只任意抽取10个检查，因此10个元件中的次品数可能为0、1、2到10个。
当次品数ξ为k 时，即有k 个次品时，则有10-k 个正品。
所以：ξ的分布律为：103017010200{},0,1,,10k k C C P k k C ξ-===。
3、 一个盒子中有m 个白球，n m -个黑球，不放回地连续随机地从中摸球，直到取到黑球才停止。
设此时取到的白球数为ξ，求ξ的分布律。
解答：因为只要取到黑球就停止，而白球数只有m 个，因此在取到黑球之前，所取到的白球数只可能为0m 中的任意一个自然数。
设在取到黑球时取到的白球数ξ等于k ，则第1k +次取到是黑球，以i A 表示第i 次取到的是白球；_i A 表示第i 次取到的是黑球。
则ξ的分布律为：__12112111{}()()(|)(|)11,0,1,,11k k k k P k P A A A A P A P A A P A A A m m m k n m k mn n n k n kξ++===--+-=⋅⋅⋅⋅=--+-。
4、 汽车沿街道行驶，要通过3个有红绿灯的路口，信号灯出现什么信号相互独立，且红绿灯显示时间相等。
以ξ表示该车首次遇到红灯前已通过的路口数，求ξ的分布律。
解答：因为只有3个路口，因此ξ只可能取0、1、2、3，其中{3}ξ=表示没有碰到红灯。
以i A 表示第i 个路口是红灯，因红绿灯显示时间相等，所以()1/2i P A =，又因信号灯出现什么信号相互独立，所以123,,A A A 相互独立。
概率论与数理统计作业簿（第三册）学 院 ____________专 业 ____________班 级 ____________ 学 号 ____________姓 名 ____________任课教师____________第七次作业一．填空题：1. ξ的分布列为:则=E ξ 2.7 。
2.ξ的分布列为:则=E ξ13， (1)-+=E ξ3， 2=E ξ24。
二．选择题：1. 若对任意的随机变量X ，EX 存在，则))((EX E E 等于（ C ） 。
A ．0 B ．X C ．EX D ．2)(EX2. 现有10张奖券，其中8张为2元，2张为5元，某人从中随机地无放回地抽取3张，则此人所得奖金的数学期望为 （ C ）（A ）6.5 （B ）12 （C ）7.8 （D ）9三．计算题1. 设随机变量X 的概率密度为21101()10x x f x θθθ--⎧<<⎪=-⎨⎪⎩，，其他其中θ >1，求 EX 。
解 21111110011111011----====--⎰⎰EX x x dx x dx x θθθθθθθθθ 2. 设随机变量ξ的概率密度函数,0(=0,0x e x p x x -⎧>⎨≤⎩） 求 2,(2),()E E E e ξξξξ-+。
解 01,x E xe dx ξ+∞-==⎰(2)22,E E ξξ== 22204()()13x x E e E E e e e dx ξξξξ+∞----+=+=+⋅=⎰。
3. 一台机器由三大部件组成，在运转中各部件需要调整的概率分别为0.1，0.2和0.3。
假设各部件的状态相互独立，用ξ表示同时需要调整的部件数，试求ξ的数学期望。
解 设A i =｛第i 个部件需要调整｝（i=1,2,3），则P(A 1)=0.1，P(A 2)= 0.2，P(A 3)=0.3 。
所以123(0)()0.90.80.70.504P P A A A ξ===⨯⨯=， 123123123(1)()()()0.389,P P A A A P A A A P A A A ξ==++= 123123123(2)()()()0.092,P P A A A P A A A P A A A ξ==++=123(3)()0.006.P P A A A ξ===从而00.50410.38920.09330.0060.6E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=。
4. 设球的直径均匀分布在区间[a , b ]内，求球的体积的平均值。
解 设球的直径长为ξ,且[,]U a b ξ~,球的体积为η,与直径ξ的关系为3432πξη⎛⎫= ⎪⎝⎭,那么,332234()()326624b a x a b a b E E E dx b a πξπππηξ++⎛⎫=⋅=⋅==⎪-⎝⎭⎰.第八次作业一．计算题1．对第七次作业第一大题第2小题的 ξ，求D ξ。
解 22235197()()24372D E E ξξξ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，97(13)98D D ξξ-==。
2．上次作业第三大题第3小题中的ξ，求D ξ。
解 222()()00.50410.38940.09390.0060.60.46.D E E ξξξ=-=⨯+⨯+⨯+⨯-=3. 设随机变量ξ具有概率密度01()2120xx p x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其它, 计算 D ξ。
解 12331220101()()(2)()133x x E xp x dx x xdx x x dx x ξ+∞-∞==⋅+⋅-=+-=⎰⎰⎰，1243412222210127()()(2)()4346x x x E x p x dx x xdx x x dx ξ+∞-∞==⋅+⋅-=+-=⎰⎰⎰，221()()[()]6D E E ξξξ=-=。
4. 设随机变量ξ仅在[a , b ]取值，试证2,2b a a E b D ξξ-⎛⎫≤≤≤ ⎪⎝⎭。
证 因为a b ξ≤≤, 所以a E b ξ≤≤. 又因为22222a b a b a b a b b aa b ξ-+++-=-≤-≤-= 22b a a b ξ-+⇒-≤，2.22a b b a D E ξξ+-⎛⎫⎛⎫⇒≤-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5. 已知某种股票的价格是随机变量ξ，其平均值是1元，标准差是0.1元。
求常数a ，使得股价超过1+a 元或低于1-a 元的概率小于10%. 解 已知1,0.1E ξ==，由契比雪夫不等式 20.01{|1|}P a a ξ-≥≤， 令20.010.1a≤， 得 0.32a ≥。
6. 设随机变量ξ的概率分布为1()(1),1,0,12ξxxa P x a x -⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭其中 0<a <1。
试求：D ξ，||D ξ。
解 (1)0(1)10,22a a E a ξ=-⋅+⋅-+⋅= 2222(1)0(1)1,22a aE a a ξ=-⋅+⋅-+⋅=所以 22()D E E a ξξξ=-=。
又 22,E a E E a ξξξ===， 故 22()(1)D E E a a ξξξ=-=-。
第九次作业一．填空题1. 在相同条件下独立的进行3次射击，每次射击击中目标的概率为23，则至少击中一次的概率为（D ）。
A. 274B. 2712C. 2719D. 27262. 某保险公司的某人寿保险险种有1000人投保，每个人在一年内死亡的概率为0.005，且每个人在一年内是否死亡是相互独立的，欲求在未来一年内这1000个投保人死亡人数不超过10人的概率。
用Excel 的BINOMDIST 函数计算。
BINOMDIST （10 , 1000, 0.005, TRUE ）= 0.986531_。
3. 运载火箭运行中进入其仪器仓的粒子数服从参数为4的泊松分布，用Excel的POISSON 函数求进入仪器舱的粒子数大于10的概率。
POISSON （10 , 4 ，TRUE ）=0.9972, 所求概率p =_0.0028_。
4. ~(4)P ξ，由切比雪夫不等式有(|4|6)P ξ-<≥__8/9___。
二．计算题1. 设随机变量ξ的密度函数是1cos ,0()220,x x p x π⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它对ξ独立的随机观察4次，η表示观察值大于3π的次数，求η的概率分布。
解 ()4,B p η~。
设A=“观察值大于3π”，则 311()()cos 3222x p P A P dx πππξ==≥==⎰, 所以η的概率分布为：4411()(1),(0,1,2,3,4)22k k P k k k η-⎛⎫==-= ⎪⎝⎭。
或2. 随机变量ξ服从参数为p 的几何分布，即1()(1),1,2,k P k p p k ξ-==-=（1） 求 ()P s ξ>，其中s 是一个非负整数；（2） 试证(|)()P s t s P t ξξξ>+>=>，其中s ，t 是非负整数。
（几何分布具有无记忆性）。
解 （1）111()()(1)k k s k s P s P k p p ξξ∞∞-=+=+>===-∑∑1(1)(1)(1)(1)sk ss k p p p p p p p∞==--=-=-∑ 或者：11()1()1(1)sk k P s P s p p ξξ-=>=-≤=--∑1(1)1(1)1(1)ss p p p p --=-⋅=---（2） ({}{})()(|)()()P s t s P s t P s t s P s P s ξξξξξξξ>+>>+>+>==>>(1)(1)()(1)s t tsp p P t p ξ+-==-=>-。
3. 设随机变量~(,)B n p ξ，已知 2.4, 1.44E D ξξ==，求参数n 和p 。
解 因为(,)B n p ξ~,所以2.4,6,1.44,0.4.E np n D npq p ξξ===⎧⎧⇒⎨⎨===⎩⎩ 4. 设在时间t (单位：min)内，通过某路口的汽车服从参数与t 成正比的泊松分布。
已知在1分钟内没有汽车通过的概率为0.2，求在2分钟内至少有2辆车通过的概率。
（提示：设t ξ=“t 时间内汽车数”,则()t P t ξλ~） 解: 设t ξ=“t 时间内汽车数”,则()t P t ξλ~,那么()() (0,1,2,)!k tt t e P k k k λλξ-=== , 由已知,得01()(0)0.2ln 50!e P λλξλ-===⇒=, 所以 0212222(2)(2)(2)1(0)(1)10!1!e e P P P λλλλξξξ--≥=-=-==--22242ln 51(2).25e e λλλ---=--=5. 在一次试验中事件A 发生的概率为p ，把这个试验独立重复做两次。
在下列两种情况下分别求p 的值：（1） 已知事件A 至多发生一次的概率与事件A 至少发生一次的概率相等；（2）已知事件A 至多发生一次的条件下事件A 至少发生一次的概率为12。
解 设ξ为两次试验中事件A 发生的次数，则~(2,)B p ξ。
（1）由题意知，(1)(1)P P ξξ≥=≤，即(1)(2)(0)(1)P P P P ξξξξ=+===+=得 (2)(0)P P ξξ===，亦即 220222(1)C p C p =-，解得 12p =。
（2）由条件概率公式({1}{1})(1)(1|1)(1)(1)P P P P P ξξξξξξξ≥≤=≥≤==≤≤ 22(1)211p p p p p-==-+， 根据题意，2112p p =+，解出，13p =。
