2016-2017年北京师范大学附中高二下学期期中数学试卷与解析PDF(理科)

高二下学期期中考试数学（理）一、选择题：（每小题5分，共60分）1. 椭圆2212xy+=上的一点P到焦点1F的距离等于1，则点P到另一个焦点2F的距离是（）A．1 B．3 C1 D ．1-2. 若方程22125x yk k-=+-表示双曲线，则k的取值范围是（）A．(,2)-∞- B．(2,5)- C．[)(,2)5,-∞-+∞ D．(5,)+∞3. 设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线为12y x=±，则双曲线的离心率为（）A．5 B．2D．544. 设椭圆22221x ym n+=（0m>，0n>）的右焦点与抛物线28y x=的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为（）A.2211216x y+= B.2211612x y+= C.2214864x y+= D.2216448x y+=5. xy=与2xy=围成的封闭图形的面积为（）A.31B.41C.61D.216．函数32()32f x ax x=++，若4)1(=-'f，则a的值等于（）A．193B．163C．133D．1037. 曲线123+-=xxy在点（1,0）处的切线方程为（）A.1-=xy B.1+-=xy C. 22-=xy D. 22+-=xy8．把长度为16的线段分成两段，各围成一个正方形，它们的面积和的最小值为（）A. 2B. 4C. 6D.89. dxx⎰421等于（）A.2ln2- B. 2ln2 C. 2ln- D. 2ln10. 设)(xf'是函数f(x)的导函数，=y)(xf'的图象如左下图所示，则y=f(x)的图象最有可能的是（ )（=y)(xf的图象）A B C D11. 方程0333=--xx的实数根的个数为（）A. 3B. 2C. 1D.012. 设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若FCFBFA++=0，则|FA|+|FB|+|FC|=（）A ．9 B. 6 C. 4 D. 3 二、填空题（每小题5分，共20分）13. 曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线的倾斜角为___________________； . 14. 函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是_________________________ 15． 设点P 是双曲线x 2－23y =1上一点，焦点F （2，0），点A （3，2），使|PA |+21|PF |有最小值时，则点P 的坐标是 ．16. 已知)2,4(P 是直线l 被椭圆193622=+y x 所截得的线段的中点，则直线l 的 方程为______________________ .三、解答题（共70分）17. 已知函数23)(bx ax x f +=，当1x =时，有极大值3； （1）求,a b 的值；（2）求函数)(x f 的极小值18. 若双曲线与椭圆1162522=+y x 有相同的焦点，与双曲线1222=-y x 有相同渐近线，求双曲线方程.19. 已知长轴长为22，短轴长为2，焦点在x 轴上的椭圆，过它的左焦点1F 作倾斜角为4π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长． 20. 已知a 为实数，()()2()4f x x x a =--。

2016-2017学年下学期高二年级期中考试数学试卷（理科）试卷分为两卷，卷（I ）100分，卷（II ）50分，共计150分，考试时间120分钟卷（I ）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 1. 复数i-12= A. 2+2i B . 22+22i C. 1-iD. 1+i2. 下列求导正确的是A. （3x 2-2）'=3xB. （log 2x ） '=2ln 1⋅xC. （cosx ） '=sinxD. （xln 1）'=x 3. 曲线y=x ·e x在x=1处切线的斜率等于 A. 2eB. eC. 2D. 14.⎰421dx x等于 A. -21n 2 B. 21n 2 C. -ln 2 D. ln 2 5. 函数f （x ）=3+x lnx 的单调递增区间为 A. （0，e 1） B. （e ，+∞） C. （e 1，+∞） D. （e1，e] 6. 在复平面内，复数ii+-12（i 是虚数单位）的共轭复数对应的点位于 A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限7. 函数f （x ）=216xx+在区间[0，3]的最大值为 A. 3B. 4C. 2D. 58. 已知f （x ）=1+（1+x ）+（1+x ）2+（1+x ）3+…+（1+x ）n，则f '0）= A. nB. n-1C.2)1(-n n D. 21n （n+1） 9. 函数f （x ）=x 3+ax 2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是 A. （-1，2）B. （-3，6）C. （-∞，-3）∪（6，+∞）D. （-∞，-1）∪（2，+∞）10. 方程x 2=xsinx+cosx 的实数解个数是A. 3B. 0C. 2D. 1二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 11. 复数（2+i ）·i 的模为__________.12. 由曲线y=x 2,y=x 3围成的封闭图形的面积为__________.13. 若曲线y=x 3+x-2上的在点P 0处的切线平行于直线y=4x-1，则P 0坐标为__________. 14. 如下图，由函数f （x ）=x 2-x 的图象与x 轴、直线x=2围成的阴影部分的面积为__________.15. 已知S n =11+n +21+n +…+n 21，n ∈N*，利用数学归纳法证明不等式S n >2413的过程中，从n=k 到n=k+l （k ∈N*）时，不等式的左边S k+1=S k +__________.16. 对于函数y=f （x ），x ∈D ，若对于任意x 1∈D ，存在唯一的x 2∈D ，使得))((21x x f =M ，则称函数f （x ）在D 上的几何平均数为M. 那么函数f （x ）=x 3-x 2+1，在x ∈[1，2]上的几何平均数M=____________. f(x)=x 2-x三、解答题：本大题共2小题，共20分. 17. 设函数f （x ）=lnx-x 2+x. （I ）求f （x ）的单调区间； （II ）求f （x ）在区间[21，e]上的最大值. 18. 已知函数f （x ）=11222+-+x a ax ，其中a ∈R . （I ）当a=1时，求曲线y=f （x ）在原点处的切线方程； （II ）求f （x ）的极值.卷（II ）一、选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分1. 若f （x ）=-21x 2+bln （x+2）在（-1，+∞）上是减函数，则实数b 的取值范围是 A. [-1，+∞） B. （-1，+∞） C. （-∞，-1] D. （-∞,-1） 2. 观察（x 1）'=-21x，（x 3）'=3x 2，（sinx ）'=cosx ，由归纳推理可得：若函数f （x ）在其定义域上满足f （-x ）=-f （x ），记g （x ）为f （x ）的导函数，则g （-x ）=A. -f （x ）B. f （x ）C. g （x ）D. -g （x ）3. 若i 为虚数单位，设复数z 满足| z |=1，则|z-1+i|的最大值为 A. 2-1 B. 2-2 C. 2+1 D. 2+2二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.4. 曲线y=x n在x=2处的导数为12，则正整数n=__________.5. 设函数y=-x 2+l 的切线l 与x 轴，y 轴的交点分别为A ，B ，O 为坐标原点，则△OAB 的面积的最小值为__________.6. 对于函数①f （x ）=4x+x 1-5，②f （x ）=|log 2 x|-（21）x，③f （x ）=cos （x+2）-cosx ，判断如下两个命题的真假：命题甲：f （x ）在区间（1，2）上是增函数；命题乙：f （x ）在区间（0，+∞）上恰有两个零点x 1，x 2，且x 1x 2<1. 能使命题甲、乙均为真的函数的序号是_____________.三、解答题：本大题共2小题，共20分 7. 已知函数f （x ）=x 3+ax 2+bx+a 2.（I ）若f （x ）在x=1处有极值10，求a ，b 的值；（II ）若当a=-1时，f （x ）<0在x ∈[1，2]恒成立，求b 的取值范围 8. 已知函数f （x ）=x 3-3ax+e ，g （x ）=1-lnx ，其中e 为自然对数的底数.（I ）若曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线与直线l ：x+2y=0垂直，求实数a 的值； （II ）设函数F （x ）=-x[g （x ）+21x-2]，若F （x ）在区间（m,m+1）（m ∈Z ）内存在唯一的极值点，求m 的值；（III ）用max{m ，n}表示m ，n 中的较大者，记函数h （x ）=max{f （x ），g （x ）}（x>0）. 若函数h （x ）在（0，+∞）上恰有2个零点，求实数a 的取值范围.参考答案 卷（I ）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 DBADCDADCC二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 11 512 121 13 （1，0）或（-1，-4）14115221121+-+k k 165三、解答题：本大题共2小题，共20分. 17. （本小题满分8分）解：（I ）因为f （x ）=lnx-x 2+x 其中x>0 所以f '（x ）=x1-2x+1=x x x )12)(1(+-所以f （x ）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）. （II ）由（I ）f （x ）在[21，1]单调递增，在[1，e]上单调递减， ∴f （x ）max =f （1）=0 f （x ）max =f （1）=a-1 18. （本小题满分12分） （I ）解：当a=1时，f （x ）=122+x x，f '（x ）=-222)1()1)(1(+-+x x x …………2分 由f '（0）=2，得曲线y=f （x ）在原点处的切线方程是2x-y=0. …………4分 （II ）解：f '（x ）=-21)1)((2+-+x ax a x . ……………6分 ①当a=0时，f '（x ）=122+x x. 所以f （x ）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减. ………………7分当a ≠0，f '（x ）=-2a1)1)((2+-+x a x a x . ②当a>0时，令f '（x ）=0，得x 1=-a ，x 2=a1，f （x ）与f '（x ）的情况如下:x （-∞，x 1） x 1 （x 1,x 2） x 2 （x 2,+∞） f '（x ） - 0 + 0 - f （x ）↘f （x 1）↗f （x 2）↘故f （x ）的单调减区间是（-∞，-a ）,（a 1,+∞）；单调增区间是（-a ，a 1）. f （x ）有极小值f （-a ）=-1，有极大值f （a1）=a 2………10分 ③当a<0时，f （x ）与f '（x ）的情况如下： x （-∞，x 2） x 2 （x 2,x 1） x 1 （x 1,+∞） f '（x ） + 0 - 0 + f （x ）↗f （x 2）↘f （x 1）↗所以f （x ）的单调增区间是（-∞，a 1）；单调减区间是（-a1，-a ），（-a,+ ∞）. f （x ）有极小值f （-a ）=-1，有极大值f （a1）=a 2………………12分 综上，a>0时，f （x ）在（-∞，-a ），（a 1，+∞）单调递减；在（-a,a1）单调递增. a=0时，f （x ）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减，f （x ）有极小值f （-a ）=-1，有极大值f （a 1）=a 2；a<0时，f （x ）在（-∞,a 1），（-a,+∞）单调递增；在（a1，-a ）单调递减，f （x ）有极小值f （-a ）=-1，有极大值f （a1）=a 2. 卷（II ）一、选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 题号 1 2 3 答案 CCC二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 题号 4 56 答案3934 ①②三、解答题：本大题共2小题，共20分. 7. （本小题满分8分）解：（I ）f '（x ）=3x 2+2ax+b ，由题设有f '（1）=0，f （1）=10即⎩⎨⎧=+++=++1010232a b a b a 解得⎩⎨⎧=-=33b a 或⎩⎨⎧-==114b a经验证，若⎩⎨⎧=-=33b a 则f '（x ）=3x 2-6x+3=3（x-1）2当x>1或x<1时，均有f '（x ）>0，可知 此时x=1不是f （x ）的极值点，故⎩⎨⎧=-=33b a 舍去⎩⎨⎧-==114b a 符合题意，故⎩⎨⎧-==114b a . （II ）当a=-1时，f （x ）=x 3-x 2+bx+l 若f （x ）<0在x ∈[1，2]恒成立，即 x 3-x 2+bx+1<0在x ∈[1，2]恒成立即b<x x x 123-+-在x ∈[1，2]恒成立令g （x ）=xx x 123-+-，则g '（x ）=2232)1()23(x x x x x x -+--+-=22312xx x ++- （法一：由g '（x ）=0解得x=1…）（法二）由-2x 3+x 2+1=1-x 3+x 2（1-x ） 可知x ∈[1，2]时g '（x ）<0即g （x ）=xx x 123-+-在x ∈[1，2]单调递减（g （x ））max =g （2）=-25∴b<-25时，f （x ）<0在x ∈[1，2]恒成立 8. （本小题满分12分）解：（I ）易得，f '（x ）=3x 2-3a ，所以f '（1）=3-3a ， 依题意，（3-3a ）（-21）=-1，解得a=31; ………3分（II ）因为F （x ）=-x[g （x ）+21x-2]=-x[（1-lnx ）+21x-2]=xlnx-21x 2+x, 则F'（x ）=lnx+l-x+l=lnx-x+2. 设t （x ）=lnx-x+2， 则t '（x ）=x1-1=x x -1.令t '（x ）=0，得x=1.则由t '（x ）>0，得0<x<1，F '（x ）为增函数； 由t '（x ）<0，得x>1，F '（x ）为减函数； 而F '（21e ）=-2-21e +2=-21e<0，F '（1）=1>0. 则F '（x ）在（0，1）上有且只有一个零点x 1， 且在（0，x 1）上F '（x ）<0，F （x ）为减函数； 在（x 1，1）上F '（x ）>0，F （x ）为增函数. 所以x 1为极值点，此时m=0.又F '（3）=ln3-1>0，F '（4）=21n2-2<0, 则F '（x ）在（3，4）上有且只有一个零点x 2， 且在（3，x 2）上F '（x ）>0，F （x ）为增函数； 在（x 2，4）上F '（x ）<0，F （x ）为减函数. 所以x 2为极值点，此时m=3.综上m=0或m=3. …………………9分（III ）（1）当x ∈（0，e ）时，g （x ）>0，依题意，h （x ）≥g（x ）>0，不满足条件； （2）当x=e 时，g （e ）=0，f （e ）=e 3-3ae+e ，①若f （e ）=e 3-3ae+e≤0，即a≥312+e ，则e 是h （x ）的一个零点；②若f （e ）=e 3-3ae+e>0，即a<312+e ，则e 不是h （x ）的零点；（3）当x ∈（e ，+∞）时，g （x ）<0，所以此时只需考虑函数f （x ）在（e,+∞）上零点的情况.因为f '（x ）=3x 2-3a>3e 2-3a ，所以①当a≤e 2时，f '（x ）>0，f （x ）在（e ，+∞）上单调递增. 又f （e ）=e 3-3ae+e ，所以（i ）当a≤312+e 时，f （e ）≥0，f （x ）在（e ，+∞）上无零点；（ii ）当312+e <a≤e 2时，f （e ）<0，又f （2e ）=8e 3-6ae+e≥8e 3-6e 3+e>0，所以此时f （x ）在（e ，+∞）上恰有一个零点；②当a>e 2时，令f '（x ）=0，得x=±a .由f '（x ）<0，得e<x<a ；由f '（x）>0，得x>a；所以f（x）在（e，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增. 因为f（e）=e3-3ae+e<e3-3e3+e<0，f（2a）=8a3-6a2+e>8a2-6a2+e=2a2+e>0，所以此时f（x）在（e，+∞）上恰有一个零点；综上，a>312e. …………12分。

2016-2017学年高二下学期期中试卷（理）数学一、选择题1、命题“若q则p”的否命题是（）A、若q则￢pB、若￢q则pC、若￢q则￢pD、若￢p则￢q2、已知命题p：存在x0＞0，使2 ＜1，则￢p是（）A、对任意x＞0，都有2x≥1B、对任意x≤0，都有2x＜1C、存在x0＞0，使2 ≥1D、存在x0≤0，使2 ＜13、已知向量→m=（λ+1，1，2），=（λ+2，2，1），若（→m+ ）⊥（→m﹣），则λ=（）A、B、﹣C、﹣2D、﹣14、设f（x）=ax3+3x2+2，若f′（﹣1）=4，则a的值等于（）A、B、C、D、5、如果函数y=f（x）的图象如图，那么导函数y=f′（x）的图象可能是（）A、B、C、D、6、已知椭圆+ =1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），则m=（）A、2B、3C、4D、97、函数f（x）= x2﹣lnx的递减区间为（）A、（﹣∞，1）B、（0，1）C、（1，+∞）D、（0，+∞）8、若f（x）是定义在R上的可导函数，且满足（x﹣1）f′（x）≥0，则必有（）A、f（0）+f（2）＜2f（1）B、f（0）+f（2）＞2f（1）C、f（0）+f（2）≤2f（1）D、f（0）+f（2）≥2f（1）9、直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A、2B、4C、2D、410、三棱锥O﹣ABC中，M，N分别是AB，OC的中点，且= ，= ，= ，用，，表示，则等于（）A、（﹣+ + ）B、（+ ﹣）C、（﹣+ ）D、（﹣﹣+ ）11、在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=CC1=2，则异面直线AB1和BC1所成角的余弦值为（）A、0B、C、﹣D、12、若函数f（x）= +bx+c有极值点x1， x2（x1＜x2），且f（x1）=x1，则关于x的方程[f（x）]2+2af（x）+b=0的不同实数根的个数为（）A、1B、2C、3D、4二、填空题13、如图，函数F（x）=f（x）+ x2的图象在点P处的切线方程是y=﹣x+8，则f（5）+f′（5）=________．14、若直线l的方向向量，平面α的一个法向量，则直线l与平面α所成角的正弦值等于________．15、若“x∈[2，5]或x∈{x|x＜1或x＞4}”是假命题，则x的取值范围是________．16、若函数f（x）在其定义域的一个子集[a，b]上存在实数（a＜m＜b），使f（x）在m处的导数f′（m）满足f（b）﹣f（a）=f′（m）（b﹣a），则称m是函数f（x）在[a，b]上的一个“中值点”，函数f（x）= x3﹣x2在[0，b]上恰有两个“中值点”，则实数b的取值范围是________．三、解答题17、设集合A={x|x2+2x﹣3＜0}，集合B={x||x+a|＜1}．(1)若a=3，求A∪B；(2)设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围．18、已知命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根，若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数m的取值范围．19、已知函数f（x）=ax2+blnx在x=1处有极值．(1)求a，b的值；(2)判断函数y=f（x）的单调性并求出单调区间．20、如图所示，已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=4，E是棱CC1上的点，且BE⊥B1C．(1)求CE的长；(2)求证：A1C⊥平面BED；(3)求A1B与平面BDE夹角的正弦值．21、已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点与抛物线y2=4x的焦点F重合．(1)求椭圆的方程；(2)过F的直线l交椭圆于A、B两点，椭圆的左焦点力F'，求△AF'B的面积的最大值．22、已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）．(1)当a=﹣4时，求函数f（x）在[1，e]上的最大值及相应的x值；(2)当x∈[1，e]时，讨论方程f（x）=0根的个数．(3)若a＞0，且对任意的x1， x2∈[1，e]，都有，求实数a的取值范围．2016-2017学年高二下学期期中试卷（理）数学答案解析部分一、<b >选择题</b>1、【答案】C【考点】四种命题间的逆否关系【解析】【解答】解：根据否命题的定义，同时否定原命题的条件和结论即可得到命题的否命题．∴命题“若q则p”的否命题是的否命题是：若￢q则￢p．故选：C．【分析】根据否命题的定义进行判断即可．2、【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】解：∵命题p：存在x0＞0，使2 ＜1为特称命题，∴￢p为全称命题，即对任意x＞0，都有2x≥1．故选：A【分析】由全称命题和特称命题的关系和否定规律可得．3、【答案】B【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直【解析】【解答】解：∵向量→m=（λ+1，1，2），=（λ+2，2，1），（→m+ ）⊥（→m﹣），则∴（→m+ ）•（→m﹣）=（2λ+3，3，3）•（﹣1，﹣1，1）=﹣2λ﹣3=0，解得．故选：B．【分析】利用向量垂直的性质直接求解．4、【答案】D【考点】导数的运算【解析】【解答】解：f′（x）=3ax2+6x，∴f′（﹣1）=3a﹣6=4，∴a=故选D．【分析】先求出导函数，再代值算出a．5、【答案】A【考点】函数的单调性与导数的关系【解析】【解答】解：由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负，故选A．【分析】由y=f（x）的图象得函数的单调性，从而得导函数的正负．6、【答案】B【考点】椭圆的简单性质【解析】【解答】解：∵椭圆+ =1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），∴25﹣m2=16，∵m＞0，∴m=3，故选：B．【分析】利用椭圆+ =1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），可得25﹣m2=16，即可求出m．7、【答案】B【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】解：f（x）的定义域是（0，+∞）， f′（x）=x﹣= ，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故函数f（x）在（0，1）递减，故选：B．【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．8、【答案】D【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】解：∵（x﹣1）f'（x）≥0 ∴x＞1时，f′（x）≥0；x＜1时，f′（x）≤0∴f（x）在（1，+∞）为增函数；在（﹣∞，1）上为减函数∴f（2）≥f（1）f（0）≥f（1）∴f（0）+f（2）≥2f（1）故选D．【分析】对x分段讨论，解不等式求出f′（x）的符号，判断出f（x）的单调性，利用函数的单调性比较出函数值f（0），f（2）与f（1）的大小关系，利用不等式的性质得到选项．9、【答案】D【考点】定积分【解析】【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为2，积分下限为0，曲线y=x3与直线y=4x 在第一象限所围成的图形的面积是∫（4x﹣x3）dx，而∫（4x﹣x3）dx=（2x2﹣x4）| =8﹣4=4，∴曲边梯形的面积是4，故选：D．【分析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分上限为2，积分下限为0的积分，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．10、【答案】B【考点】空间向量的基本定理及其意义【解析】【解答】解：∵= ，= ，= ，=，= ，∴= == ﹣+ ，∴= + ，故选：B．【分析】利用向量的平行四边形法则、三角形法则可得：= ，= ，= ，= ，= ，代入化简即可得出．11、【答案】D【考点】异面直线及其所成的角【解析】【解答】解：∵在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=CC1=2，∴以A为原点，在平面ABC中过A作AC 的垂直为x轴，以AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B1（，1，2），B（，1，0），C1（0，2，2），=（），=（﹣，1，2），设异面直线AB1和BC1所成角为θ，则cosθ= = = ．∴异面直线AB1和BC1所成角的余弦值为．故选：D．【分析】以A为原点，在平面ABC中过A作AC的垂直为x轴，以AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AB1和BC1所成角的余弦值．12、【答案】C【考点】利用导数研究函数的极值【解析】【解答】解：函数f（x）=x3+ ax2+bx+c有两个极值点x1， x2，∴f′（x）=3x2+ax+b=0有两个不相等的实数根，∴△=a2﹣12b＞0．而方程3（f（x））2+af（x）+b=0的△1=△＞0，∴此方程有两解且f（x）=x1或x2，不妨取0＜x1＜x2， f（x1）＞0．①把y=f（x）向下平移x1个单位即可得到y=f（x）﹣x1的图象，∵f（x1）=x1，可知方程f（x）=x1有两解．②把y=f（x）向下平移x2个单位即可得到y=f（x）﹣x2的图象，∵f（x1）=x1，∴f（x1）﹣x2＜0，可知方程f（x）=x2只有一解．综上①②可知：方程f（x）=x1或f（x）=x2．只有3个实数解．即关于x的方程3（f（x））2+af（x）+b=0的只有3不同实根．故选：C．【分析】函数f（x）=x3+ ax2+bx+c有两个极值点x1， x2，可得f′（x）=3x2+ax+b=0有两个不相等的实数根，必有△=a2﹣12b＞0．而方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的△1=△＞0，可知此方程有两解且f（x）=x1或x2．再分别讨论利用平移变换即可解出方程f（x）=x1或f（x）=x2解得个数．二、<b >填空题</b><b></b>13、【答案】-5【考点】函数的值，利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【解答】解：F（5）=f（5）+5=﹣5+8=3，所以f（5）=﹣2．又F′（x）=f′（x）+ x，所以F′（5）=f′（5）+ ×5=﹣1，解得f′（5）=﹣3，f（5）+f′（5）=﹣5．故答案为：﹣5【分析】根据切点在函数F（x）的图象上，求出切点坐标，然后求出函数F（x）的导函数F'（x），根据F'（5）=﹣1求出f′（5），从而求出所求．14、【答案】【考点】直线与平面所成的角【解析】【解答】解：∵直线l的方向向量，平面α的一个法向量，∴直线l与平面α所成的角的正弦值=| |= ．故答案为．【分析】利用向量的夹角公式，即可求出直线l与平面α所成角的正弦值．15、【答案】[1，2）【考点】元素与集合关系的判断，四种命题的真假关系【解析】【解答】解：若“x∈[2，5]或x∈{x|x＜1或x＞4}”是假命题则它的否命题为真命题即{x|x ＜2或x＞5}且{x|1≤x≤4}是真命题所以的取值范围是[1，2），故答案为[1，2）．【分析】原命题是假命题可转化成它的否命题是真命题进行求解，求出满足条件的x即可．16、【答案】【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】解：f′（x）=x2﹣2x，设= b2﹣b，由已知可得x1， x2为方程x2﹣2x﹣b2+b=0在（0，b）上有两个不同根，令g（x）=x2﹣2x﹣b2+b，则，解得：＜b＜3，故答案为：．【分析】根据新定义得到x1， x2为方程x2﹣2x﹣b2+b=0在（0，b）上有两个不同根，构造函数g（x）=x2﹣2x﹣b2+b，列出不等式组，解得即可三、<b >解答题</b>17、【答案】（1）解：解不等式x2+2x﹣3＜0，得﹣3＜x＜1，即A=（﹣3，1），当a=3时，由|x+3|＜1，解得﹣4＜x＜﹣2，即集合B=（﹣4，﹣2），所以A∪B=（﹣4，1）（2）解：因为p是q成立的必要不充分条件，所以集合B是集合A的真子集又集合A=（﹣3，1），B=（﹣a﹣1，﹣a+1），所以或，解得0≤a≤2，即实数a的取值范围是0≤a≤2【考点】并集及其运算，必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【分析】（1）通过解不等式，求出集合A、B，从而求出其并集即可；（2）问题转化为集合B是集合A的真子集，得到关于a的不等式组，解出即可．18、【答案】解：∵方程表示焦点在y轴上的椭圆，∴0＜m+1＜3﹣m，解得：﹣1＜m＜1，∴若命题p为真命题，求实数m的取值范围是（﹣1，1）；若关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根，则判别式△=4m2﹣4（2m+3）＜0，即m2﹣2m﹣3＜0，得﹣1＜m＜3．若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，则p，q为一个真命题，一个假命题，若p真q假，则，此时无解，柔p假q真，则，得1≤m＜3．综上，实数m的取值范围是[1，3）【考点】命题的真假判断与应用【解析】【分析】若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，则p，q为一个真命题，一个假命题，进而可得实数m的取值范围．19、【答案】（1）解：因为函数f（x）=ax2+blnx，所以．又函数f（x）在x=1处有极值，所以即可得，b=﹣1（2）解：由（1）可知，其定义域是（0，+∞），且当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：所以函数y=f（x）的单调减区间是（0，1），单调增区间是（1，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值【解析】【分析】（1）函数f（x）=ax2+blnx在x=1处有极值得到f（1）= ，f′（1）=0得到a、b 即可；（2）找到函数的定义域，在定义域中找到符合条件的驻点来讨论函数的增减性求出单调区间即可．20、【答案】（1）解：如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz．∴D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（2，0，4），B1（2，2，4），C1（0，2，4），D1（0，0，4）．设E点坐标为（0，2，t），则=（﹣2，0，t），=（﹣2，0，﹣4）．∵BE⊥B1C，∴•=4+0﹣4t=0．∴t=1，故CE=1．（2）证明：由（1）得，E（0，2，1），=（﹣2，0，1），又=（﹣2，2，﹣4），=（2，2，0）∴•=4+0﹣4=0，且•=﹣4+4+0=0．∴⊥且⊥，即A1C⊥DB，A1C⊥BE，又∵DB∩BE=B，∴A1C⊥平面BDE，即A1C⊥平面BED（3）解：由（2）知=（﹣2，2，﹣4）是平面BDE的一个法向量．又=（0，2，﹣4），∴cos＜，＞= = ．∴A1B与平面BDE夹角的正弦值为【考点】直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出、，利用•=0，即可求得结论；（2）证明⊥且⊥，可得A1C⊥DB，A1C⊥BE，从而可得A1C⊥平面BED；（3）由（2）知=（﹣2，2，﹣4）是平面BDE的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求A1B与平面BDE夹角的正弦值．21、【答案】（1）解：根据题意，得F（1，0），∴c=1，又，∴a=2，∴b2=a2﹣c2=3，∴椭圆的方程为：（2）解：显然l的斜率不为0，设l：x=my+1，联立直线l与椭圆方程，化简，得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，设A（x1， y1），B（x2， y2），则△＞0恒成立，由韦达定理，得y1+y2= ，y1y2= ，∴==|y1﹣y2|=== ，令t= ，t≥1，则m2=t2﹣1，∴= = ，令（t≥1），则= ＞0，∴u（t）在[1，+∞）上单调递增，∴当t=1即m=0时，u min（t）=u（1）=4，（）max=3，故当m=0时，△AF'B的面积的最大值为3【考点】椭圆的简单性质【解析】【分析】（1）根据题意得F（1，0），即c=1，再通过及c2=a2﹣b2计算可得椭圆的方程；（2）由题设l：x=my+1，A（x1， y1），B（x2， y2），联立直线l与椭圆方程，结合韦达定理，得=，利用换元法计算即可．22、【答案】（1）解：当a=﹣4时，f（x）=﹣4lnx+x2，函数的定义域为（0，+∞）．．当x∈时，f′（x）0，所以函数f（x）在上为减函数，在上为增函数，由f（1）=﹣4ln1+12=1，f（e）=﹣4lne+e2=e2﹣4，所以函数f（x）在[1，e]上的最大值为e2﹣4，相应的x值为e（2）解：由f（x）=alnx+x2，得．若a≥0，则在[1，e]上f′（x）＞0，函数f（x）=alnx+x2在[1，e]上为增函数，由f（1）=1＞0知，方程f（x）=0的根的个数是0；若a＜0，由f′（x）=0，得x= （舍），或x= ．若，即﹣2≤a＜0，f（x）=alnx+x2在[1，e]上为增函数，由f（1）=1＞0知，方程f（x）=0的根的个数是0；若，即a≤﹣2e2， f（x）=alnx+x2在[1，e]上为减函数，由f（1）=1，f（e）=alne+e2=e2+a≤﹣e2＜0，所以方程f（x）=0在[1，e]上有1个实数根；若，即﹣2e2＜a＜﹣2，f（x）在上为减函数，在上为增函数，由f（1）=1＞0，f（e）=e2+a．= ．当，即﹣2e＜a＜﹣2时，，方程f（x）=0在[1，e]上的根的个数是0．当a=﹣2e时，方程f（x）=0在[1，e]上的根的个数是1．当﹣e2≤a＜﹣2e时，，f（e）=a+e2≥0，方程f（x）=0在[1，e]上的根的个数是2．当﹣2e2＜a＜﹣e2时，，f（e）=a+e2＜0，方程f（x）=0在[1，e]上的根的个数是1；（3）解：若a＞0，由（2）知函数f（x）=alnx+x2在[1，e]上为增函数，不妨设x1＜x2，则变为f（x2）+ ＜f（x1）+ ，由此说明函数G（x）=f（x）+ 在[1，e]单调递减，所以G′（x）= ≤0对x∈[1，e]恒成立，即a 对x∈[1，e]恒成立，而在[1，e]单调递减，所以a ．所以，满足a＞0，且对任意的x1， x2∈[1，e]，都有成立的实数a的取值范围不存在【考点】利用导数求闭区间上函数的最值，不等式的证明，根的存在性及根的个数判断【解析】【分析】（1）把a=﹣4代入函数解析式，求出函数的导函数，由导函数的零点把给出的定义[1，e]分段，判出在各段内的单调性，从而求出函数在[1，e]上的最大值及相应的x值；（2）把原函数f（x）=alnx+x2求导，分a≥0和a＜0讨论打哦函数的单调性，特别是当a＜0时，求出函数f（x）在[1，e]上的最小值及端点处的函数值，然后根据最小值和F（e）的值的符号讨论在x∈[1，e]时，方程f（x）=0根的个数；（3）a＞0判出函数f（x）=alnx+x2在[1，e]上为增函数，在规定x1＜x2后把转化为f（x2）+ ＜f（x1）+ ，构造辅助函数G（x）=f（x）+ ，由该辅助函数是减函数得其导函数小于等于0恒成立，分离a后利用函数单调性求a的范围．。

高二下学期期中考试数学（理）一、 选择题：（每小题5分，共60分）1. 椭圆2212x y +=上的一点P 到焦点1F 的距离等于1，则点P 到另一个焦点2F 的距离是（ ） A ．1 B ．3 C 1 D ．12. 若方程22125x y k k-=+-表示双曲线，则k 的取值范围是（ ）A ．(,2)-∞- B．(2,5)- C ．[)(,2)5,-∞-+∞ D ．(5,)+∞3. 设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为12y x =±，则双曲线的离心率为（ ） A ．5 B ．54 4. 设椭圆22221x y m n +=（0m >，0n >）的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为（ ）A.2211216x y +=B.2211612x y += C.2214864x y += D.2216448x y += 5. x y =与2x y =围成的封闭图形的面积为（ ）A. 31B. 41C. 61D. 21 6．函数32()32f x ax x =++，若4)1(=-'f ，则a 的值等于（ ）A ．193B ．163C ．133D ．1037. 曲线123+-=x x y 在点（1,0）处的切线方程为（ ）A.1-=x yB.1+-=x yC. 22-=x yD. 22+-=x y8．把长度为16的线段分成两段，各围成一个正方形，它们的面积和的最小值为（ ）A. 2B. 4C. 6D.89. dx x ⎰421等于（ ）A.2ln 2-B. 2ln 2C. 2ln -D.2ln 10. 设)(x f '是函数f (x )的导函数，=y )(x f '的图象如左下图所示，则y =f (x )的图象最有可能的是（ )（=y )(x f '的图象） A B C D11. 方程0333=--x x 的实数根的个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D.012. 设F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若++=0，则|FA|+|FB|+|FC|=（ ）A ．9 B. 6 C. 4 D. 3二、填空题（每小题5分，共20分）13. 曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线的倾斜角为___________________； . 14. 函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是_________________________ 15． 设点P 是双曲线x 2－23y =1上一点，焦点F （2，0），点A （3，2），使|PA |+21|PF |有最小值时，则点P 的坐标是 ．16. 已知)2,4(P 是直线l 被椭圆193622=+y x 所截得的线段的中点，则直线l 的 方程为______________________ .三、解答题（共70分） 17. 已知函数23)(bx ax x f +=，当1x =时，有极大值3；（1）求,a b 的值；（2）求函数)(x f 的极小值18. 若双曲线与椭圆1162522=+y x 有相同的焦点，与双曲线1222=-y x 有相同渐近线，求双曲线方程.19. 已知长轴长为22，短轴长为2，焦点在x 轴上的椭圆，过它的左焦点1F 作倾斜角为4π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．20. 已知a 为实数，()()2()4f x x x a =--。

2016-2017学年高二下学期期中考试数学（理科）试题一、选择题（每小题5分，满分60分）1．复数z ＝11＋i3(i 是虚数单位)，则z 的共轭复数为( )．11.i 22A - 11B.i 22+ C.1i - D.1i + 2.给出下列命题，其中正确的命题为 （ ）A.若直线a 和b 共面，直线b 和c 共面，则a 和c 共面B.直线a 与平面α不垂直，则a 与平面α内的所有的直线都不垂直C.直线a 与平面α不平行，则a 与平面α内的所有的直线都不平行D.异面直线,a b 不垂直，则过a 的任何平面与b 都不垂直 3.已知直线,a b ，平面,αβ，则//a α的一个充分条件是（ ）.,A a b b α⊥⊥ .//,//B a ββα .,//C b a a b ⊂ .//,//,D a b b a αα⊄4.设,x y R ∈，向量()()(),1,1,1,,1,2,4,2,a x b y c ===-且,//a c b c ⊥，则a b +=（ ）A .3C .4D5.已知()()()1,0,0,0,1,0,0,0,1A B C 三点，()1,1,1n =，则以n 为方向向量的直线与平面ABC 的关系是（ ）A.垂直B.不垂直C.平行D.以上都有可能6.若{},,a b c 为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是（ ）{}.,,A a a b a b +- {}B.,,b a b a b +- {}C.,,c a b a b +- {}D.,,2a b a b a b +-+7.已知正四棱柱''''ABCD A B C D -的底面是边长为1的正方形，若平面ABCD 内有且仅有1个点到顶点A '的距离为1，则异面直线,AA BC '' 所成的角为 ( )A.6πB.4π C. 3π D. 512π8.一个几何体的三视图如右图所示，正视图与侧视图为全等的矩形， 俯视图为正方形，则该几何体的体积为（ ） A.4B.8C.9D.129.已知四棱锥S ABCD -的底面是边长为2的正方形，SD ABCD SD AB ⊥=平面，且，则四棱锥S ABCD -的外接球的表面积为（ ）.9A π C.12π D.10π10. 在四棱锥P ­ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，AB ＝PA ．若BC 边上有且只有一个点Q ，使得PQ ⊥QD ，求此时二面角A ­PD ­Q 的余弦值（ ）611、如图在Rt△ABC 中，AC ＝1，BC ＝x ，D 是斜边AB 的中点，将△BCD 沿直线CD 翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB⊥AD，则x 的取值范围是( ) A ．(0，3]B.⎝⎛⎦⎥⎤22，2 C ．(3，2 3] D ．(2，4]12．棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -在空间直角坐标系中移动，但保持点A 、B 分别在x 轴、y 轴上移动，则点1C 到原点O 的最远距离为 （ ）A ．．．5 D ．4 二、填空题（每小题5分，满分20分）13.在复平面内，复数21ii-对应的点坐标为______ 14．在三棱锥P ABC -中，6,3PB AC ==,G 为PAC 的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB 和AC ，则该截面的周长为______15.如图，已知边长为1的正'A BC ∆的顶点'A 在平面α内，顶点,B C 在平面α外的同一侧，点','B C 分别为,B C 在平面α内的投影，设''BB CC ≤，直线'CB 与平面''A CC 所成的角为ϕ。

北京师大附中高二数学试卷（理）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分为110分，考试时间为1。

第Ⅰ卷一、选择题（每小题4分，共32分。

）1. 下列求导数运算正确的是（）A. B.C. D.2. 设曲线在点处的切线与直线垂直，则（）A. 2B.C.D.3. 极坐标方程化为直角坐标方程是（）A. B.C. D.4. 已知函数，其导函数的图像大致为（）5. 定积分的值为（）A. B. C. D.6. 设，则集合中元素的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 无数个7. 要做一个圆锥形漏斗，母线长为，要使其体积最大，则其高应为（）A. B. C. D.8. 从如图所示的正方形区域内任取一个点，则点取自阴影部分的概率为（）A. B. C. D.二、填空题（每小题4分，共24分）9. 复数，，则等于_________________。

10. 函数的单调增区间为_____________，单调减区间为_____________。

11. 极坐标系中，直线的方程是，则点到直线的距离为________。

12. 记等差数列的前项和，利用倒序求和的方法得：；类似的，记等比数列的前项的积为，且，试类比等差数列求和的方法，可将表示成首项，末项与项数的一个关系式，即公式_______________。

13. 如图，在圆内接四边形中，对角线，相交于点。

已知，，，则_____________，的长是______________。

14. 已知数列，，1，－，－，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前项之和等于____________。

第Ⅱ卷三、解答题（共5个小题，共44分）15. 已知，求证：16. 求证：17. 已知函数，其中实数。

（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若在处取得极值，试讨论的单调性。

18. 图中竖直线段和斜线段都表示通道，并且在交点处相遇，若竖直线段有一条的为第一层，有两条的为第二层，以此类推，竖直线段有条的为第层，每一层的竖直通道从左到右分别称为第1通道、第2通道，……，现在有一个小球从入口向下（只能向下，不能向上）运动，小球在每个交点处向左到达下一层或者向右到达下一层的可能性是相同的。

北京师大附中2016-2017 学年放学期高二年级期中考试数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8 道小题，每题 5 分，共 40 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的.1. 会合，那么A∩B＝（）A. B.C. D.【答案】 A【分析】求解一元二次不等式可得，联合交集的定义可得此题选择 A 选项 .2. 设复数z 知足，则＝（）A. B. C. D.【答案】 C【分析】由题意可得：.此题选择 C 选项 .3. 已知非零实数a， b 知足，则以下不等式中必定成立的是（）A. B. C. D.【答案】 D【分析】项错，如取，，，项错，，，正负没法判断，故与大小没法判断，项错，，没法判断正负，项对，恒为正．应选．4. 设，则p 是q 成立的（）A. 充足不用要条件B. 必需不充足条件C. 充足必需条件D. 既不充足也不用要条件【答案】 A【分析】试题剖析：由指数函数的性质可知，当必有，所以的充足条件，而当时，可得，此时不必定有，所以的不用要条件，综上所述，的充足而不用要条件，所以正确选项为 A.考点：充足条件与必需条件.5.若，则（）A. B. C. D.【答案】 B【分析】取，则：，选项 A 错误；，选项 C 错误；，选项 D 错误；对于选项 C：在为减函数，又∴，选项B正确.此题选择 B 选项 .6.以下四个命题：①，使；②命题“”的否认是“”；③假如，且，那么；④“若，则”的逆否命题为真命题，此中正确的命题是（）A. ①B. ②C. ③D. ④【答案】 D【分析】中故不存在，使，①错；命题“”的否认是“”，故②错；假如，且，那么，故③错；“若，则”为真命题，故其逆否命题为真命题，故④对.此题选择 D 选项 .7. 某四棱锥的三视图以下图，该四棱锥的表面积是（）A. B. C. 26 D.【答案】 A【分析】几何体如图，表面积为，选 A.点睛 : 空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，要点是剖析三视图确立几何体中各元素之间的地点关系及数目．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意连接部分的办理．(3)旋转体的表面积问题注意其侧面睁开图的应用．8. 函数在的图像大概为（）A. B.C. D.【答案】 D【分析】故函数为偶函数，当时，，故清除A,B;当时，，，由函数零点存在定理可知在上有解，故函数在不是单一的，故清除 C.此题选择D选项.点睛：函数图象的识辨可从以下方面下手：(1) 从函数的定义域，判断图象的左右地点；从函数的值域，判断图象的上下地点．(2)从函数的单一性，判断图象的变化趋向．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4) 从函数的特点点，清除不合要求的图象．利用上述方法清除、挑选选项．二、填空题：本大题共 6 道小题，每题 5 分，共 30 分.9. 在平面直角坐标系中，双曲线的焦距是____________ .【答案】【分析】试题剖析：．故答案应填：【考点】双曲线性质【名师点睛】此题要点考察双曲线几何性质，而双曲线的几何性质与双曲线的标准方程息息有关，明确双曲线标准方程中各个量的对应关系是解题的要点，点在 x 轴，实轴长为，虚轴长为，焦距为，渐近线方程为揭露焦，离心率为．10. 复数z 知足，则在复平面内，复数z 对应的点的坐标为_____________，复数z 的模＝__________.【答案】(1). （－ 1，－ 3）(2).【分析】由,得，∴复数 z 对应的点的坐标为(-1,-3) ，.11. 若知足则的最大值为_________.【答案】 4【分析】由拘束条件作出可行域如图，由图可知A(2,0).化目标函数z=2x- y 为 y=2x- z，由图可知，当直线y=2x- z过 A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为.点睛：求线性目标函数 z＝ ax＋ by(ab≠0)的最值，当 b＞ 0 时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时， z 值最大，在 y 轴截距最小时， z 值最小；当 b＜ 0 时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时， z 值最小，在 y 轴上截距最小时，z值最大 .12. 已知函数 f （ x）是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，当时，，则＝ __________.【答案】－2【分析】试题剖析：由于函数是定义在R 上的周期为 2 的奇函数，所以，所以，即，，所以.【考点】函数的奇偶性和周期性【名师点睛】此题考察函数的奇偶性、周期性，属于基础题，在求值时，只需把利用奇偶性与周期性化为自变量在上的函数值即可．而的求解还需用到奇函数的性质. 13. 已知函数在R上单一递减，且对于x 的方程恰有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是___________.【答案】【分析】试题剖析：由函数在 R 上单一递减得，又方程恰有两个不相等的实数解，所以，所以的取值范围是.【考点】函数综合【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：（1）直接法：直接依据题设条件建立对于参数的不等式，再经过解不等式确立参数范围；（2）分别参数法：先将参数分别，转变为求函数值域的问题加以解决；（3）数形联合法：先对分析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，而后数形联合求解．14.如图，某机器人的运动轨道是边长为1 米的正三角形 ABC，开机后它从 A 点出发，沿轨道先逆时针运动再顺时针运动，每运动6 米改变一次运动方向（假定按此方式无穷运动下去），运动过程中随时记录逆时针运动的总行程s1温顺时针运动的总行程s2， x 为该机器人的“运动状态参数”，规定：逆时针运动时x＝ s1，顺时针运动时x＝ -s2，机器人到 A 点的距离 d 与x 知足函数关系d＝ f（x），现有以下结论：①f（ x）的值域为［ 0， 1］；②f （ x）是以 3 为周期的函数；③f （ x）是定义在R 上的奇函数；④f （ x）在区间［－ 3，－ 2］上单一递加.此中正确的有 _________（写出全部正确结论的编号）.【答案】①②④【分析】∵ x∈ [0,3] 时，点 P 作逆时针运动，分段以下：(1)当 x∈ [0,1], 点 P 在 AB 上 ,f(x)= x；(2)当 x∈ (1,2], 点 P 在 BC 上 ,在△ABP 中运用余弦定理可得：，即；(3) 当 x∈ (2,3] 时,点 P 在 CA 上 ,f(x)=3- x，又∵ x∈ [-3,0) 时，点 P 作顺时针运动，函数时求解方法同上，(1) 当 x∈ [-1,0), 点 P 在 AC 上 ,f(x)=- x；(3)当 x∈ [-3,-2) 时 ,点 P 在 BA 上,f(x)=3- x，依据以上剖析 ,画出函数 f(x)的图象如图，明显：①正确；②正确；③错误，该函数为偶函数；④正确.故填：①②④ .点睛：解函数应用题的一般程序：第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数目关系；第二步：建模——将文字语言转变成数学语言，用数学知识成立相应的数学模型；第三步：求模——求解数学模型，获得数学结论；第四步：复原——将用数学方法获得的结论复原为实质问题的意义；第五步：反省回首——对于数学模型获得的数学结果，一定考证这个数学解对实质问题的合理性．三、解答题：本大题共 6 道题，共 80 分.写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤 .15.求以下函数的值域：（Ⅰ ）（Ⅱ ）【答案】（Ⅰ ）；（Ⅱ）.【分析】试题剖析：(Ⅰ )对函数的分析式进行恒等变形：，据此可得函数的值域为；(Ⅱ )联合函数的定义域和均值不等式的结论可得函数的值域为.试题分析：(Ⅰ )整理函数的分析式有：；(Ⅱ )函数的定义域为，，当且仅当时等号成立.故函数的值域为.16. 已知函数.（Ⅰ）判断函数的奇偶性并求函数的零点；（Ⅱ）写出的单一区间；（只需写出结果）（Ⅲ）试议论方程的根的状况 .【答案】 ( Ⅰ) 答案看法析； ( Ⅱ) 单一递加区间为；单一递减区间为（－1， 1）； ( Ⅲ ) 答案看法析 .【分析】试题剖析：（Ⅰ ）第一确立函数的定义域，而后联合可得为奇函数 .令，可得函数的零点为－2，0， 2.（Ⅱ）函数的单一递加区间为；单一递减区间为（－1，1）.（Ⅲ ）联合函数的分析式绘制函数图象，察看图象可得：当或时，方程有一个根；当时，方程有两个根；当时，方程有三个根 .试题分析：（Ⅰ ）函数的定义域为 R，对于坐标原点对称，由于，所以为奇函数 .令，即，解得：，所以函数的零点为－ 2， 0， 2.（Ⅱ）函数的单一递加区间为；单一递减区间为（－1，1）.（Ⅲ ）由函数的分析式可得：，绘制函数图象以下图，察看函数图象可得：当或时，方程有一个根；当时，方程有两个根；当时，方程有三个根.17.如图，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，平面 ABCD ⊥平面ABEF ， AF ∥ BE， AB⊥ BE， AB＝ BE＝ 2，AF ＝1.（Ⅰ）求证： AC⊥平面 BDE ；（Ⅱ）求证： AC∥平面 DEF ；（Ⅲ）求三棱锥A— DEF 的体积 .【答案】 ( Ⅰ) 证明看法析； ( Ⅱ) 证明看法析； ( Ⅲ).【分析】试题剖析：（Ⅰ）由面面垂直的性质可得 BE ⊥平面 ABCD ， BE⊥ AC，且 AC ⊥BD.联合线面垂直的判判定理有 AC ⊥平面 BDE .（Ⅱ）设 AC ∩BD ＝ O，很明显 O 为 BD 中点，设 G 为 DE 的中点，连接OG ， FG ，联合几何关系可证得四边形AOGF 为平行四边形，故AC∥FG ，由线面平行的判判定理可得AC∥平面 DEF .（Ⅲ）由（Ⅰ）可知BE⊥平面 ABCD ，则 AF ⊥AD .又 AB⊥ AD，故 AD ⊥平面 ABEF ，转变极点有：.试题分析：（Ⅰ）由于平面ABCD ⊥平面 ABEF ，平面 ABCD ∩平面 ABEF ＝AB，且 AB⊥ BE，所以 BE⊥平面 ABCD ，由于平面 ABCD ，所以 BE⊥ AC，又由于四边形ABCD 为正方形，所以AC⊥ BD. 由于 BD∩BE ＝B，所以 AC⊥平面 BDE .（Ⅱ）设 AC ∩BD ＝ O，由于四边形ABCD 为正方形，所以 O为BD中点，设 G 为 DE 的中点，连接OG，FG，则 OG∥ BE，且，由已知 AF∥ BE，且，则 AF∥OG，且 AF＝OG.所以四边形AOGF 为平行四边形，所以 AO∥ FG，即 AC∥ FG ，由于平面 DEF ，平面DEF，所以 AC∥平面 DEF .（Ⅲ）由（Ⅰ）可知BE⊥平面 ABCD ，由于 AF∥ BE，所以 AF ⊥平面 ABCD ，所以 AF⊥ AB， AF⊥ AD.又由于四边形ABCD 为正方形，所以AB⊥ AD，所以 AD⊥平面 ABEF ，由于 AB＝ AD ＝ 2AF＝ 2，所以，故三棱锥的体积为.18. 如图，椭圆E：经过点A（0，－1），且离心率为.（Ⅰ）求椭圆 E 的方程；（Ⅱ）经过点（ 1， 1），且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不一样两点P， Q（均异于点A），证明：直线 AP 与 AQ 的斜率之和为 2.【答案】 ( Ⅰ)；(Ⅱ)证明看法析.【分析】试题剖析：（Ⅰ）利用待定系数法联合题意可求得，，椭圆的方程为.（Ⅱ）设直线PQ 的方程为，与椭圆方程联立可得，设联合韦达定理可得.试题分析：（Ⅰ）由题意知，综合，解得，所以，椭圆的方程为.（Ⅱ）由题设知，直线PQ 的方程为，代入，得，由已知，设则，进而直线 AP 与 AQ 的斜率之和.19. 已知函数与函数的图象在点（0， 0）处有同样的切线 .（Ⅰ）求 a 的值；（Ⅱ）设，求函数在上的最小值 .【答案】 ( Ⅰ)；(Ⅱ).【分析】试题剖析：（Ⅰ ）由函数的分析式可得，，联合题意可知，.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，则. 分类议论可得：当时，的最小值为，当时，的最小值为，当时，的最小值为.试题分析：（Ⅰ）由于，所以，由于，所以，由于与的图象在（ 0， 0）处有同样的切线，所以，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，令，则.（1 ）当时，，所以在上是增函数，故的最小值为；（2）当时，由得，，①若，即，则，所以在上是增函数，故的最小值为.②若，即，则，，所以在上是减函数，在上是增函数，故的最小值为；③若，即，则，所以在上是减函数，故的最小值为.综上所述，当时，的最小值为，当时，的最小值为，当时，的最小值为.20. 已知椭圆C：的长轴长为4，焦距为.（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）过动点M（ 0， m）（ m>0 ）的直线交 x 轴与点 N，交C 于点 A， P（ P 在第一象限），且M是线段PN 的中点，过点 P 作 x 轴的垂线交 C 于另一点Q，延伸线 QM 交 C 于点 B. （i）设直线 PM、QM 的斜率分别为 k、，证明为定值 .（i i ）求直线 AB 的斜率的最小值 .【答案】 ( Ⅰ)；(Ⅱ)(i)证明看法析；(ii).【分析】试题剖析：（Ⅰ）由题意可得，椭圆C的方程为.（Ⅱ ）（ i）设，由题意可得，联合斜率公式可得PM的斜率， QM 的斜率，故为定值－ 3.（ii ）设，直线 PA 的方程为，与椭圆方程联立可得.则，，同理，故.联合均值不等式的结论可得当且仅当时，直线 AB 的斜率有最小值为.试题分析：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，由题意知，所以，所以椭圆 C 的方程为.（Ⅱ ）（ i）设，由，可得，所以直线 PM 的斜率，直线 QM 的斜率，此时，所以为定值－ 3.（ii ）设，直线 PA 的方程为，直线 QB 的方程为，联立，整理得.由可得，所以，同理，所以，，所以.由所以，可知，，等号当且仅当时获得，此时，即，切合题意，所以直线 AB 的斜率的最小值为.点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意察看应用题设中的每一个条件，明确确立直线、椭圆的条件；(2)加强有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．(3)。

高二数学（理）试卷第Ⅰ卷（模块卷）本试卷分第Ⅰ卷（模块卷，100分）和第Ⅱ卷（综合卷，50分）两部分，共150分，考试时间120分钟。

一、选择题（4′×10＝40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 复数i +11＋2i等于 A. 21i + B. 21i - C. －21 D. 212. 已知命题p ：∀x∈Ｒ，2x>0，那么命题⌝p 为A. ∃x∈Ｒ，2x<0B. ∀x∈Ｒ，2x<0C. ∃x∈Ｒ，2x≤0D. ∀x∈Ｒ，2x≤03. 将4名同学录取到3所大学，每所大学至少要录取一名，则不同的录取方法共有A. 12B. 24C. 36D. 724. 若复数z 满足iz+1＝2i ，则z 对应的点位于 A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5. 设p ，q 是简单命题，则“p ∧q”为假是“p ∨q”为假的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 6. 已知复数z ＝2)31(3i i-+，则|z|＝A. 21B. 41C. 1D. 27. 已知函数f （x ）＝ 31x 3＋x ，则不等式f （2－x 2）＋f （2x ＋1）>0的解集是A. （－∞，－2－1）⋃（2－1，＋∞）B. （－2－1，2－1）C. （－∞，－1）⋃（3，＋∞）D. （－1，3）8. 凸n 边形有f （n ）条对角线，则凸n ＋1边形有对角线条数f （n ＋1）为A. f （n ）＋n ＋1B. f （n ）＋nC. f （n ）＋n －1D. f （n ）＋n －29. 已知f （n ）＝（2n ＋7）·3n＋9，存在自然数m ，使得对任意n∈N，都能使m 整除f （n ），则最大的m 的值为A. 6B. 26C. 30D. 3610. 已知函数f （x ）的导函数f′（x ）的图象如图所示，那么函数f （x ）的图象最有可能的是二、填空题（4′×5＝20分。

2016-2017学年北京市首师大附中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（4分）在极坐标系中，圆心为，且过极点的圆的方程是（）A．ρ＝2sinθB．ρ＝﹣2sinθC．ρ＝2cosθD．ρ＝﹣2cosθ2．（4分）已知平面向量，，，＝（﹣1，1），＝（2，3），＝（﹣2，k），若（+）∥，则实数k＝（）A．4B．﹣4C．8D．﹣83．（4分）在等比数列{a n}中，a3+a4＝4，a2＝2，则公比q等于（）A．﹣2B．1或﹣2C．1D．1或24．（4分）用数学归纳法证明，第二步证明从k 到k+1，左端增加的项数为（）A．2k﹣1B．2k C．2k﹣1D．2k+15．（4分）在△ABC所在平面内有一点O，满足，，则等于（）A．B．C．3D．6．（4分）已知a n＝log n+1（n+2）（n∈N*），观察下列算式：a1•a2＝log23•log34＝＝2；a1•a2•a3•a4•a5•a6＝log23•log34•…•log78＝＝3，…；若a1•a2•a3•…•a m＝2017（m∈N*），则m的值为（）A．22017+2B．22017C．22017﹣2D．22017﹣47．（4分）函数f（x）＝x2﹣sin|x|在[﹣2，2]上的图象大致为（）A．B．C．D．8．（4分）数列{a n}满足a1＝1，前n项和为S n，S n+1＝4a n+2，则a2017的值为（）A．3025×22016B．3025×22017C．6053×22015D．6053×22016二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）9．（4分）已知复数为纯虚数，那么实数a＝．10．（4分）＝．11．（4分）圆（θ为参数）被直线y＝0截得的弦长为．12．（4分）设，是单位向量，且，若与的夹角不超过90°，则λ的最大值是．13．（4分）已知数列{a n}满足：a1＝1，a3＝7，对于任意正整数n，m，p，q（p≠q），总有＝成立．则a4＝，通项a n＝．14．（4分）已知A（1，0），点B在曲线G：y＝ln（x+1）上，若线段AB与曲线相交且交点恰为线段AB的中点，则称B为曲线G关于曲线M的一个关联点，则曲线G关于曲线M的关联点的个数为个．三、解答题：共大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（11分）在如图所示的多面体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC＝BC＝BD＝2AE＝2，M是AB的中点．（1）求证：CM⊥EM．（2）若F为线段ED上一点，且，求证：BF∥平面EMC．（3）在棱DC上是否存在一点N，使得直线MN与平面EMC所成的角为60°．若存在，指出点N的位置；若不存在，请说明理由．16．（11分）已知函数f（x）＝x2﹣2ax+4（a﹣1）ln（x+1），其中实数a＜3．（Ⅰ）判断x＝1是否为函数f（x）的极值点，并说明理由；（Ⅱ）若f（x）≤0在区间[0，1]上恒成立，求a的取值范围．17．（11分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），离心率为．过焦点F2的直线l（斜率不为0）与椭圆C交于A，B两点，线段AB 的中点为D，O为坐标原点，直线OD交椭圆于M，N两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当四边形MF1NF2为矩形时，求直线l的方程．18．（11分）如果数列A：a1，a2，…，a m（m∈Z，且m≥3），满足：①a i∈Z，（i＝1，2，…，m）；②a1+a2+…+a m＝1，那么称数列A为“Ω”数列．（Ⅰ）已知数列M：﹣2，1，3，﹣1；数列N：0，1，0，﹣1，1．试判断数列M，N是否为“Ω”数列；（Ⅱ）是否存在一个等差数列是“Ω”数列？请证明你的结论；（Ⅲ）如果数列A是“Ω”数列，求证：数列A中必定存在若干项之和为0．2016-2017学年北京市首师大附中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（4分）在极坐标系中，圆心为，且过极点的圆的方程是（）A．ρ＝2sinθB．ρ＝﹣2sinθC．ρ＝2cosθD．ρ＝﹣2cosθ【解答】解：∵在极坐标系中，圆心在，且过极点的圆的直角坐标方程是：x2+（y﹣1）2＝1，即x2+y2﹣2y＝0，它的极坐标方程为：ρ＝2sinθ．故选：A．2．（4分）已知平面向量，，，＝（﹣1，1），＝（2，3），＝（﹣2，k），若（+）∥，则实数k＝（）A．4B．﹣4C．8D．﹣8【解答】解：∵＝（﹣1，1），＝（2，3），∴+＝（1，4），若（+）∥，则，即k＝﹣8，故选：D．3．（4分）在等比数列{a n}中，a3+a4＝4，a2＝2，则公比q等于（）A．﹣2B．1或﹣2C．1D．1或2【解答】解：∵等比数列{a n}中，a3+a4＝4，a2＝2，∴a3+a4＝2q+2q2＝4，∴q2+q﹣2＝0，解得q＝1或q＝﹣2故选：B．4．（4分）用数学归纳法证明，第二步证明从k到k+1，左端增加的项数为（）A．2k﹣1B．2k C．2k﹣1D．2k+1【解答】解：当n＝k时，左端＝，那么当n＝k+1时左端＝，＝∴左端增加的项为，所以项数为：2k．故选：B．5．（4分）在△ABC所在平面内有一点O，满足，，则等于（）A．B．C．3D．【解答】解：∵，，∴，∴，∴O，B，C共线，BC为圆的直径，如图∴AB⊥AC．∵||＝||，∴||＝||＝1，|BC|＝2，|AC|＝，故∠ACB＝．则＝||||cos30°＝2×＝3，故选：C．6．（4分）已知a n＝log n+1（n+2）（n∈N*），观察下列算式：a1•a2＝log23•log34＝＝2；a1•a2•a3•a4•a5•a6＝log23•log34•…•log78＝＝3，…；若a1•a2•a3•…•a m＝2017（m∈N*），则m的值为（）A．22017+2B．22017C．22017﹣2D．22017﹣4【解答】解：∵a n＝log n+1（n+2），，，……，归纳推理得，∴m＝22017﹣2．故选：C．7．（4分）函数f（x）＝x2﹣sin|x|在[﹣2，2]上的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）＝x2﹣sin|x|在[﹣2，2]是偶函数，则：f（x）＝x2﹣sin x在（0，2]可得f′（x）＝2x﹣cos x，令2x﹣cos x＝0，可得方程只有一个解，如图：可知f（x）＝x2﹣sin x在（0，2]由一个极值点，排除A，C，f（2）＝4﹣sin2＞3，排除D．故选：B．8．（4分）数列{a n}满足a1＝1，前n项和为S n，S n+1＝4a n+2，则a2017的值为（）A．3025×22016B．3025×22017C．6053×22015D．6053×22016【解答】解：∵S n+1＝4a n+2①，S n＝4a n﹣1+2②，①﹣②可得：a n+1＝4a n﹣4a n﹣1，∴a n+1﹣2a n＝2a n﹣4a n﹣1＝2（a n﹣2a n﹣1）令b n＝a n+1﹣2a n，∴b n＝2b n﹣1，b1＝a2﹣2a1，∵S2＝4a1+2＝6＝a1+a2，∴a2＝5，∴b1＝5﹣2＝3，∴{b n}是首项为3，公比为2的等比数列，∴，∴，∴，令，∴，，∴{c n}是首项为，公差为的等差数列，∴，∴，∴．故选：A．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）9．（4分）已知复数为纯虚数，那么实数a＝．【解答】解：＝＝，又已知复数为纯虚数，∴，解得a＝．故答案为：．10．（4分）＝．【解答】解：，故答案为：．11．（4分）圆（θ为参数）被直线y＝0截得的弦长为2．【解答】解：圆（θ为参数），转换为直角坐标方程为：（x+1）2+（y﹣1）2＝2，圆心（﹣1，1）到直线y＝0的距离d＝1，∴弦长．故答案为：212．（4分）设，是单位向量，且，若与的夹角不超过90°，则λ的最大值是．【解答】解：∵与的夹角不超过90°，∴，∴，∵，是单位向量，且，∴1﹣2λ≥0，解得，即λ的最大值为．故答案为：．13．（4分）已知数列{a n}满足：a1＝1，a3＝7，对于任意正整数n，m，p，q（p≠q），总有＝成立．则a4＝10，通项a n＝3n﹣2．【解答】解：∵a1＝1，a3＝7，对于任意正整数n，m，p，q（p≠q），总有＝成立，∴，∴a2＝4，∴，即，∴a4＝10，∴该数列为1，4，7，10…为首项是1，公差为3的等差数列，∴a n＝1+（n﹣1）•3＝3n﹣2故答案为：10；3n﹣2．14．（4分）已知A（1，0），点B在曲线G：y＝ln（x+1）上，若线段AB与曲线相交且交点恰为线段AB的中点，则称B为曲线G关于曲线M的一个关联点，则曲线G关于曲线M的关联点的个数为1个．【解答】解：设B（m，n），m＞﹣1，AB线段中点，∵B在G上，C在M上，得消去n得，作出函数与函数g（x）＝ln（x+1）的图象，两函数在x＞﹣1上只有一个交点，即仅存在一个点（m，n）满足条件．故答案为：1．三、解答题：共大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（11分）在如图所示的多面体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC＝BC＝BD＝2AE＝2，M是AB的中点．（1）求证：CM⊥EM．（2）若F为线段ED上一点，且，求证：BF∥平面EMC．（3）在棱DC上是否存在一点N，使得直线MN与平面EMC所成的角为60°．若存在，指出点N的位置；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：∵AC＝BC，M是AB的中点，∴CM⊥AB，又∵EA⊥平面ABC，CM⊥EA，∵EA∩AB＝A点，∴CM⊥平面AEM，∴CM⊥EM．（2）证明：如图，以M为原点，MB，MC为x，y轴，建立如图所示的坐标系M﹣xyz，∴M（0，0，0），，，，，∴，，设平面EMC的一个法向量．∴，∴，取，∵，∴，∴，∴平面EMC．（3）解：在棱DC上存在一点N，设，且，∴，∴，∴，，z＝2﹣2λ，若直线MN与平面EMC所成角为60°，∴，解得，∴存在点N符合条件，且N点是棱DC的中点．16．（11分）已知函数f（x）＝x2﹣2ax+4（a﹣1）ln（x+1），其中实数a＜3．（Ⅰ）判断x＝1是否为函数f（x）的极值点，并说明理由；（Ⅱ）若f（x）≤0在区间[0，1]上恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）＝x2﹣2ax+4（a﹣1）ln（x+1）可得函数f（x）定义域为（﹣1，+∞），＝，令g（x）＝x2+（1﹣a）x+（a﹣2），经验证g（1）＝0，因为a＜3，所以g（x）＝0的判别式△＝（1﹣a）2﹣4（a﹣2）＝a2﹣6a+9＝（a﹣3）2＞0，由二次函数性质可得，1是函数g（x）的异号零点，所以1是f'（x）的异号零点，所以x＝1是函数f（x）的极值点．（Ⅱ）已知f（0）＝0，因为，又因为a＜3，所以a﹣2＜1，所以当a≤2时，在区间[0，1]上f'（x）＜0，所以函数f（x）单调递减，所以有f（x）≤0恒成立；当2＜a＜3时，在区间[0，a﹣2]上f'（x）＞0，所以函数f（x）单调递增，所以f（a﹣2）＞f（0）＝0，所以不等式不能恒成立；所以a≤2时，有f（x）≤0在区间[0，1]恒成立．17．（11分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），离心率为．过焦点F2的直线l（斜率不为0）与椭圆C交于A，B两点，线段AB 的中点为D，O为坐标原点，直线OD交椭圆于M，N两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当四边形MF1NF2为矩形时，求直线l的方程．【解答】解：（I）由已知可得：，解得a2＝6，b2＝2，∴椭圆C的方程为；（II）由题意可知直线l的斜率存在，设直线l方程为y＝k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），N（﹣x3，﹣y3）．联立，化为（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6＝0，∴x1+x2＝，y1+y2＝k（x1+x2﹣4）＝，∴线段AB的中点D，∴直线OD的方程为：x+3ky＝0（k≠0）．联立，解得＝，x3＝﹣3ky3．∵四边形MF1NF2为矩形，∴＝0，∴（x3﹣2，y3）•（﹣x3﹣2，﹣y3）＝0，∴＝0，∴＝0，解得k＝，故直线方程为y＝．18．（11分）如果数列A：a1，a2，…，a m（m∈Z，且m≥3），满足：①a i∈Z，（i＝1，2，…，m）；②a1+a2+…+a m＝1，那么称数列A为“Ω”数列．（Ⅰ）已知数列M：﹣2，1，3，﹣1；数列N：0，1，0，﹣1，1．试判断数列M，N是否为“Ω”数列；（Ⅱ）是否存在一个等差数列是“Ω”数列？请证明你的结论；（Ⅲ）如果数列A是“Ω”数列，求证：数列A中必定存在若干项之和为0．【解答】（本小题共13分）解：（Ⅰ）数列M不是“Ω”数列；数列N是“Ω”数列．…（2分）（Ⅱ）不存在一个等差数列是“Ω”数列．证明：假设存在等差数列是“Ω”数列，则由a1+a2+…+a m＝1 得a1+am＝∉Z，与a i∈Z矛盾，所以假设不成立，即不存在等差数列为“Ω”数列．…（7分）（Ⅲ）将数列A按以下方法重新排列：设S n为重新排列后所得数列的前n项和（n∈Z且1≤n≤m），任取大于0的一项作为第一项，则满足﹣+1≤S1≤，假设当2≤n≤m时，若S n﹣1＝0，则任取大于0的一项作为第n项，可以保证﹣+1≤S n≤，若S n﹣1≠0，则剩下的项必有0或与S n﹣1异号的一项，否则总和不是1，所以取0或与S n﹣1异号的一项作为第n项，可以保证﹣+1≤S n≤．如果按上述排列后存在S n＝0成立，那么命题得证；否则S1，S2，…，S m这m个整数只能取值区间[﹣+1，]内的非0整数，因为区间[﹣+1，]内的非0整数至多m﹣1个，所以必存在S i＝S j（1≤i＜j≤m），那么从第i+1项到第j项之和为S i﹣S j＝0，命题得证．综上所述，数列A中必存在若干项之和为0．…（13分）。

2016-2017学年下学期期中考 高二理科数学 参考答案13．514．-10 15．1416．3 三、解答题（共6题，共70分） 17．【解析】（1）没有抓到白球，即取到的全是红球，∴没有抓到白球的概率是304236C C 1C 5=；…3分 （2）X的所有可能取值为1，2，3………………………………………………………4分()124236C C 1P X 1,C 5===()214236C C P X 2C ===35，()304236C C 1P X 3C 5===，………7分∴X 8分8()5E X =。

………………………………………………………10分18．【解析】(1)连接AC 交BD 于点O ，连接OE ；在△CPA 中，E ，O 分别是边CP ，CA 的中点，∴OE ∥PA ，而OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，∴PA ∥平面BDE . ……………………4分(2)如图建立空间直角坐标系，设PD ＝DC ＝2.则A (2,0,0)，P (0,0,2)，E (0,1,1)，B (2,2,0),∴ DE ＝(0,1,1)，DB＝(2,2,0)，……………………5分设n ＝(x ，y ，z )是平面BDE 的一个法向量，则由00n DE n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得0220y z x y ⎧⎨⎩＋＝，＋＝取y ＝－1，得n ＝(1，－1,1)， 又DA＝(2,0,0)是平面DEC 的一个法向量．……………………9分∴cos 〈n ，DA 〉＝n DA n DA⋅⋅3＝.……………………11分 故结合图形知二面角B-DE-C的余弦值为3……………………12分 19．【解析】（1）平均值为11万元，中位数为7万元. ……………………2分（2）年薪高于7万的有5人，低于或等于7万的有5人；ξ取值为0，1，2.()25210209C P C ξ===，()1155210519C C P C ξ===，()25210229C P C ξ===，………6分∴ξ的分布列为数学期望为0121999E ξ=⨯+⨯+⨯=.……………………8分（3）设(),1,2,3,4i i x y i =分别表示工作年限及相应年薪，则 2.5,6x y ==，()()()1217 1.45ˆni i i n i i x x y y b x x ==--===-∑∑6 1.4 2.5ˆ 2.5ˆa y bx =-=-⨯=， 得线性回归方程： 1.4 2.5y x =+.………………………………11分 可预测该员工第5年的年薪收入为9.5万元. …………………12分20将22⨯列联表中的数据代入计算，得2K 的观测值：()2100301045151003.030, 3.030 3.8414555752533K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯ ， ∴在犯错误概率不超过0.05前提下，不能认为赞成“自助游”与性别有关系.………6分(2)X 的所有可能取值为0,1,2,3,依题意()()i 3ii 33313,,i ?·,i 0,1,2,3444X B P X C -⎛⎫⎛⎫⎛⎫~=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴X 的分布列为：()94E X np ==.………………………………………………………………………12分 21．（Ⅰ）当2,a =212()2ln ,'(),2f x x x f x x x =-=- 1'(1)1,(1),2f f =-=()fx 在(1,(1))f 处的切线方程为()112y x -=--，即2230.x y +-=……………4分（Ⅱ）由2'().a x af x x x x-=-=由0a >及定义域为(0,)+∞，令'()0,fx x ==得1,01,a <≤即在(1,e)上，'()0f x >，)(x f 在[1,e]上单调递增， 因此，()f x 在区间[1,e]的最小值为1(1)2f =． ②若21e,1e ,a<<<<即在（上，'()0f x <，)(x f 单调递减;在上，'()0f x >，)(x f 单调递增，因此()f x 在区间[1,e]上的最小值为1(1ln ).2f a a =- 2e,e ,a ≥即在(1,e)上，'()0f x <，)(x f 在[1,e]上单调递减， 因此，在()f x 区间[1,e]上的最小值为21(e)e 2f a =-． 综上，()2min221,01,21()1ln ,1,21,.2a f x a a a e e a a e ⎧<≤⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩………………………………………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知当01a <≤或2e a ≥时，)(xf 在(1,e)上是单调递增或递减函数，不可能存在两个零点．当21e a <<时，要使()f x 在区间(1,e)上恰有两个零点，则∴21(1ln )0,21(1)0,21(e)e 0,2a a f f a ⎧-<⎪⎪⎪=>⎨⎪⎪=->⎪⎩即2e1e 2a a >⎧⎪⎨<⎪⎩，此时，21e e 2a <<．所以，a 的取值范围为21(e,e ).2…12分 22．【解析】(I )椭圆的长轴长为a =又与椭圆22124x y +=有相同的离心率2e =,故2, 2.c b == 所以椭圆M 的方程为22184x y +=………………………………………………4分 (II)若l 的斜率存在，设:l ,y kx m =+因l 与C 相切，故r =， 即()2221m r k =+. ①……………………………………5分又将直线l 方程代入椭圆M 的方程得()222124280,k x kmx m +++-=…………6分设()()1122,,,,A x y B x y 由韦达定理得1x +2x =24,12kmk -+12x x =222812m k -+，由0OA OB ⋅= 得到12x x +12y y =()21k +222812m k-++km 2412km k -++2m =0 化简得22388m k =+，② ……………………………………………………8分联立①②得283r =。