第七章线性差分方程模型的辨识

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= [A ������ −1 C(������ −1 )y k − B ������ −1 C(������ −1 )u k ]2 现在的问题是，选择参数使得误差函数 J 的值为最小，由于参数 a,b,c 在上述 方程中的关系不是线性的，所以不能用一般的 LS 法求解。要采用 GLS 法求解。 GLS 法的算法流程图如下图：
第七章线性差分方程模型的辨识 根据对过程的初步分析，可以是先提出一个结构已定的参数模型来描述过程 的动态特性， 而模型中有一些参数需要通过辨识来加以确定，像这样的辨识问题 称为参数估计问题，最小二乘法是很常用的估计方法。 线性差分方程模型的最小二乘估计 首先讨论一种较简单的情况，即无噪声或噪声较小的情况，这样可以应用一 般最小二乘估计模型参数， 但是对于噪声较大的情况，采用一般最小二乘法估计 通常是有偏差的，需要应用更加复杂的算法，如广义最小二乘法。 辨识问题的提法 设被辨识的动态系统，可用如下 n 阶常系数线性差分方程描述： y k + ������1 ������ ������ − 1 + ⋯ ������������ ������ ������ − ������ = ������1 ������ ������ + ������2 ������ ������ − 1 + ⋯ + ������������ ������ ������ − ������ 系统方程也写成如下算子形式： A ������ −1 y k = B ������ −1 u k , 其中， A ������ −1 = 1 + ������1 ������ −1 + ������2 ������ −2 + ⋯ + ������������ ������ −������ , B ������ −1 = 1 + b������ −1 + ������2 ������ −2 + ⋯ + b������ −������ , 辨识问题的提法，已知： （1） 由方程描述的系统都是稳定的。 （2） 系统的阶是 n 阶。 （3） 输入输出观测数据{u（k）},{y(k)}(k=1,2,…,N+n), 要求根据上述已知条件来估计差分方程的参数： ������1 ，������1 i = 1,2, … N + n , 参数最小二乘估计的基本思想是，选择 ������1 ，������1 i = 1,2, … N + n , 使得系统方程尽可能好的与观测数据拟合，考虑到模型误差测量误差，模型方程 改为： A ������ −1 y k = B ������ −1 u k + ������(������), 其中，������(������)称为模型残差，又称方程误差。 现在的问题就是决定A ������ −1 ，B ������ −1 的系数，是 最小二乘估计 将下式 A ������ −1 y k = B ������ −1 u k + ������(������), 改成以下形式 广义最小二乘估计
输入u(k),y(k)

令Ci=0,计算Θ
产生e(k),计算C
N 产生ū(k),ý(k),计 算Θ
收敛准则满足 吗？
Y
结束
对 GLS 法，当误差函数存在多个局部最小值时，Θ 可能收敛到 J 的局部最小值而不
是全局最小值， 另外由于 GLS 法是一种迭代算法，一般都需要反复计算几次才能 获得结果， 因此计算时间较长， 所以有必要开发计算时间较短的新算法来解决这 一问题。 多级最小二乘估计 多级最小二乘估计简称 MSLS 法，他是解决具有相关残差系统辨识的另一种 有效方法，MSLS 的主要特点是通过三级简单的 LS 估计，最后实现对系统参数和 噪声参数的一致估计。MSLS 比 LS 法优越性在于他没有迭代运算，所以计算时间 较短，也不存在收敛问题。
n+N k=1
������ 2 最小
一般最小二乘法简称 LS 法，广义最下二乘法简称 GLS GLS 的基本思想是， 将相关残差 e(k)用白噪声∈ (������)， 经过传递函数������ (������ −1 )的滤波器 的滤波输出来表示，即 e k = 其中， C(������ −1 )= 1 + ������1 ������ −1 + ������2 ������ −2 + ⋯ + ������������ ������ −������ ������������ (i=1,…p)为常数，p 表示残差模型的阶，������������ 和 p 事先是未知的； {∈ (������)}为白噪声序列 根据方程的误差定义 A ������ −1 y k = B ������ −1 u k + ������(������), 可得： ∈ (������) A ������ −1 y k − B ������ −1 u k = C(������ −1 ) 进而， A ������ −1 C(������ −1 )y k − B ������ −1 C(������ −1 )u k =∈ (������) 由于∈ (������ )为白噪声，所以系统参数和噪声参数可以通过以上方程而得到无偏估 计，为此定义误差函数： ������ = ∈2 ������ 1 ∈ (������) ������(������ −1 )