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差分方程模型一. 引言数学模型按照离散的方法和连续的方法，可以分为离散模型和连续模型。
1. 确定性连续模型1) 微分法建模(静态优化模型)，如森林救火模型、血管分支模型、最优价格模型。
2) 微分方程建模(动态模型)，如传染病模型、人口控制与预测模型、经济增长模型。
3) 稳定性方法建模(平衡与稳定状态模型)，如军备竞赛模型、种群的互相竞争模型、种群的互相依存模型、种群弱肉强食模型。
4) 变分法建模（动态优化模型），如生产计划的制定模型、国民收入的增长模型、渔业资源的开发模型。
2. 确定性离散模型1) 逻辑方法建模，如效益的合理分配模型、价格的指数模型。
2) 层次分析法建模，如旅游景点的选择模型、科研成果的综合评价模型。
3）图的方法建模，如循环比赛的名次模型、红绿灯的调节模型、化学制品的存放模型。
4）差分方程建模，如市场经济中的蛛网模型、交通网络控制模型、借贷模型、养老基金设置模型、人口的预测与控制模型、生物种群的数量模型。
随着科学技术的发展，人们将愈来愈多的遇到离散动态系统的问题，差分方程就是建立离散动态系统数学模型的有效方法。
在一般情况下，动态连续模型用微分方程方法建立，与此相适应，当时间变量离散化以后，可以用差分方程建立动态离散模型。
有些实际问题既可以建立连续模型，又可建立离散模型，究竟采用那种模型应视建模的目的而定。
例如，人口模型既可建立连续模型(其中有马尔萨斯模型Malthus、洛杰斯蒂克Logistic模型)，又可建立人口差分方程模型。
这里讲讲差分方程在建立离散动态系统数学模型的的具体应用。
二. 差分方程简介在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的数学模型也是离散的，譬如，像政治、经济和社会等领域中的实际问题。
有些时候，即使所建立的数学模型是连续形式，例如像常见的微分方程模型、积分方程模型等。
但是，往往都需要用计算机求数值解。
这就需要将连续变量在一定的条件下进行离散化，从而将连续型模型转化为离散型模型。
第7章 差分方程模型7.1 市场经济中的蛛网模型 7.3 差分形式的阻滞增长模型 7.4 按年龄分组的种群增长§7.1 市场经济中的蛛网模型例1 蛛网模型问题 [问题的提出] 蛛网模型现象供大于求 -> 价格下降 -> 减少产量↑ 数量与价格在振荡 ↓增加产量 <- 价格上涨 <- 供不应求提出的问题1.描述商品数量与价格的变化规律2.商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定3.当不稳定时政府能采 取什么干预手段使之稳定[模型分析与假设] 蛛网模型设kx ~第k 时段商品数量；ky ~第k 时段商品价格消费者的需求关系 → 需求函数 )(k k x f y = → 减函数 生产者的供应关系 → 供应函数)(1k k y h x =+ → 增函数↓)(1+=k k x g yf 与g 的交点P0(x0,y0) ~ 平衡点 一旦xk=x0，则yk=y0xk+1,xk+2,…=x0, yk+1,yk+2, …=y0yx0 y0方程模型在P0点附近用直线近似曲线)(k k x f y =→)0()(00>--=-ααx x y y k k )(1k k y h x =+→)0()(001>-=-+ββy y x x k k)(001x x x x k k --=-+αβ )()(0101x x x x k k --=-+αβ1<αβ )/1(βα< → 0x x k → P0稳定 g f K K < 1>αβ )/1(βα> → ∞→k x P0不稳定 g f K K >方程模型与蛛网模型的一致fK =αgK =β/1[模型的求解]考察α ,β 的含义xk~第k 时段商品数量；yk~第k 时段商品价格)(00x x y y k k --=-αα~ 商品数量减少1单位, 价格上涨幅度)(001y y x x k k -=-+ββ~ 价格上涨1单位, (下时段)供应的增量α~ 消费者对需求的敏感程度 α小, 有利于经济稳定 β~ 生产者对价格的敏感程度 β小, 有利于经济稳定→ 1<αβ 经济稳定经济不稳定时政府的干预办法1. 使α尽量小，如α=0 → 需求曲线变为水平 → 以行政手段控制价格不变2. 使β尽量小，如β =0 → 供应曲线变为竖直 → 靠经济实力控制数量不变x y 0 y0 g fx y 0 x0 gf[模型的推广]生产者管理水平提高)(1k k y h x =+↓生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。
⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+211k k k y y h x 设供应函数为]2/)[(0101y y y x x k k k -+=--+β需求函数不变 )(00x x y y k k --=-α→,2,1,)1(22012=+=++++k x x x x k k k αβαβαβ二阶线性常系数差分方程若x0为平衡点 研究平衡点稳定，即∞→k , xk →x0的条件12)1(22x x x x k k k αβαβαβ+=++++方程通解k kk c c x 2211λλ+= (c1, c2由初始条件确定)2,1λ~特征根，即方程 2*λ*λ+αβλ+αβ =0的根平衡点稳定，即∞→k , xk →x0的条件:12,1<λ48)(22,1αβαβαβλ-±-=→22,1αβλ= 平衡点稳定条件2<αβ 比原来的条件1<αβ放宽了7.3 差分形式的阻滞增长模型连续形式的阻滞增长模型 (Logistic 模型)x(t) ~某种群 t 时刻的数量(人口))1()(N xrx t x-=∞→t , x →N, x=N 是稳定平衡点(与r 大小无关)离散形式 yk ~某种群第k 代的数量(人口),2,1),1(1=-=-+k N y ry y y kk k k若yk=N, 则yk+1,yk+2,…=Ny*=N 是平衡点讨论平衡点的稳定性，即∞→k , yk→N ？离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性)1()1(1N y ry y y kk k k -=-+ →⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=+k k k y N r r y r y )1(1)1(1 ↓变量代换kk y N r rx )1(+=)2()1(1k k k x bx x -=+1+=r b 记 一阶(非线性)差分方程(1)的平衡点y*=N <--> (2)的平衡点b r r x 111*-=+=讨论 x* 的稳定性 一阶非线性差分方程)1()(1k k x f x =+的平衡点及稳定性(1)的平衡点 x*——代数方程 x=f(x)的根 (1)的近似线性方程)2())(()(***1x x x f x f x k k -'+=+稳定性判断 x*也是(2)的平衡点1)(*<'x f x*是(2)和(1)的稳定平衡点 1)(*>'x f x*是(2)和(1)的不稳定平衡点)1(1k k k x bx x -=+的平衡点及其稳定性 1+=r b平衡点 )1()(x bx x f x -== →b x 11*-= 另一平衡点为 x=0稳定性)21()(**x b x f -='b -=2 1)(*<'x f <--> 31<<b <--> x* 稳定 1)0(>='b f 不稳定)1)((3*>'>x f b <--> x* 不稳定21)1(<<b→ 2/1/11*<-=b x*x x k→（单调增）)1(1k k k x bx x -=+的平衡点及其稳定性32)2(<<b → 2/1/11*>-=b x 3)3(>b*x x k→（振荡地）*x x k→（不）Kb=1.7 b=2.6 b=3.3 b=3.45b=3.55 0 0.2000 0.2000 0.2000 0.2000 0.2000 10.27200.41600.52800.55200.5680数值计算结果)1(1k k k x bx x -=+ 初值 x0=0.2 b <3, x →b x 11*-=b=3.3, x →两个极限点 b=3.45, x →4个极限点 b=3.55, x →8个极限点倍周期收敛——x*不稳定情况的进一步讨论3.3=b *x x k →（不） *212*12,x x x x k k →→+子序列单周期不收敛 2倍周期收敛)(1k k x f x =+(*))())(()()2(12k k k k x f x f f x f x ===++))((x f f x =)]1(1)[1(x bx x bx b ---⋅= )1()(x bx x f -=(*)的平衡点 b x 11*-= b b b b x 23212*2,1--+=)(),(*1*2*2*1x f x x f x == 10*2**1<<<<x x xx*不稳定，研究x1*, x2*的稳定性倍周期收敛b b b b x23212*2,1--+=的稳定性2)2()]([])([x f x f'=')()())(())((*2*1)2()2(*2*1x f x f x f x f x x x x ''='='==)21()(x b x f -=')21)(21())((*2*12,)2(*2*1x x b x f x x x --='=1))((*2,1)2(<'x f → 449.361=+< b *212*12,x x x x k k →→+倍周期收敛的进一步讨论1))'((45.3*2,1)2(>⇒>x f b → x1*, x2* (及x*)不稳定出现4个收敛子序列 x4k, x4k+1, x4k+2, x4k+3 平衡点及其稳定性需研究)()4(4k k x f x =+1))'((45.3*2,1)2(>⇒>x f b544.3449.3<<b 时有4个稳定平衡点 → 4倍周期收敛2n 倍周期收敛, n=1,2,… bn~ 2n 倍周期收敛的上界 b0=3, b1=3.449, b2=3.544, … ∞→n , bn →3.57 b>3.57, 不存在任何收敛子序列 → 混沌现象)1(1k k k x bx x -=+的收敛、分岔及混沌现象7.4 按年龄分组的种群增长不同年龄组的繁殖率和死亡率不同 以雌性个体数量为对象x*x 2*x *b=3.4y=f(2)(x) y =xx 0 b建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律[假设与建模]种群按年龄大小等分为n 个年龄组，记i=1,2,… , n 时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记k=1,2,… 第i 年龄组1雌性个体在1时段内的繁殖率为bi第i 年龄组在1时段内的死亡率为di, 存活率为si=1- di xi(k)~时段k 第i 年龄组的种群数量)()1(11k x b k x i ni i ∑==+(设至少1个bi>0)⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=--000000121121n n n s s s b b b b L~Leslie 矩阵(L 矩阵)Tn k x k x k x k x )](),(),([)(21 =~按年龄组的分布向量)()1(k Lx k x =+)0()(x L k x k = 预测任意时段种群按年龄组的分布[数学知识的分析] L 矩阵存在正单特征根1，nk k ,3,2,1=≤λλ特征向量Tn n s s s s s s x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=--11121212111*,,,,1λλλ 若L 矩阵存在bi, bi+1>0, 则nk k ,,3,2,1 =<λλ且*1)(limcx k x kk =∞→λ, c 是由bi, si, x(0)决定的常数解释 )0()(x L k x k= L 对角化 11)],([-=P diag P L n λλ 11)],([-=Pdiag P L k n k k λλ P 的第1列是x*→)0()0,0,1()(lim11x P Pdiag k x kk -∞→= λ*cx =[模型的求解]稳态分析——k 充分大种群按年龄组的分布 *1)(limcx k x k k =∞→λ*)()1x c k x k λ≈ ~ 种群按年龄组的分布趋向稳定，x*称稳定分布, 与初始分布无关。
