第七章线性差分方程模型的辨识

第7章 差分方程模型在第三章中我们看到，动态连续模型用微分方程方法建立，与此相应，当时间变化离散后，可以用差分方程方法建立。

有些实际问题既可建立连续模型，又可建立离散模型。

本章将主要讨论差分方程模型。

7.1市场经济中的蛛网模型在自由贸易市场上你注意过这样的现象吗：一个时期以来某种消费品如肉的上市量远大于需求，由于销售不畅导致价格下跌，生产者发现养猪赔钱，于是转而经营其他农副业。

这一段时间猪肉上市量就会大减，供不应求将导致价格上涨。

生产者看到有利可图，有重操旧业。

这样在下一个时期会重现供大于求、价格下降的局面、在这种没有外界干预的情况下，这种现象将如此循环下去。

在完全自由竞争的市场经济中上述现象通常是不可避免的，因为商品的价格是由消费者的需求关系决定的，商品数量越多价格越底，而下一时期商品的数量有生产者的需求关系决定的，商品的价格越低生产的数量越少，这样的需求和供应关系决定了市场经济中商品的价格和数量必然是振荡的。

在现实世界里这样的振荡会出现不同的形式，有的振荡渐小趋向平稳，有的则振幅越来越大，没有外界如政府的干预，将导致经济崩溃。

本节先用图形方法建立所谓“蛛网模型”，对上述现象进行分析，给出市场经济区域稳定的条件，再利用差分方程建模，对结果进行解释，并讨论当市场经济不稳定时政府可以采取什么样的干预措施，最后对上述模型做适当推广。

蛛网模型 记第k 时段商品的数量为k x ，价格为k y ，1,2,3,k = 这里我们把时间离散化为时段，1个时段相当于商品的1个生产周期，如蔬菜、水果是一个种植周期，肉类是牲畜的饲养周期。

同一时段商品的价格k y 取决于数量k x ，设()k k y f x = (1)它反映消费者对这种商品的需求关系，称需求函数，因为商品的数量越多价格越低，所以在图1中用一条下降曲线f 表示它，f 称需求曲线。

下一时段商品的数量1k x +由上一时段价格k y 决定，设1()k k x h y +=,或1()k k y g x += (2)这里g 是h 的反函数，反映生产者的供应关系，称供应函数，因为价格越高生产量越大，所以在图中供应曲线g 是一条上升的曲线。

差分⽅程模型讲义差分⽅程模型—?引⾔数学模型按照离散的⽅法和连续的⽅法，可以分为离散模型和连续模型。

1.确定性连续模型1）微分法建模（静态优化模型），如森林救⽕模型、⾎管分⽀模型、最优价格模型。

2）微分⽅程建模（动态模型），如传染病模型、⼈⼝控制与预测模型、经济增长模型。

3）稳定性⽅法建模（平衡与稳定状态模型），如军备竞赛模型、种群的互相竞争模型、种群的互相依存模型、种群弱⾁强⾷模型。

4）变分法建模（动态优化模型），如⽣产计划的制定模型、国民收⼊的增长模型、渔业资源的开发模型。

2.确定性离散模型1）逻辑⽅法建模，如效益的合理分配模型、价格的指数模型。

2）层次分析法建模，如旅游景点的选择模型、科研成果的综合评价模型。

3）图的⽅法建模，如循环⽐赛的名次模型、红绿灯的调节模型、化学制品的存放模型。

4）差分⽅程建模，如市场经济中的蛛⽹模型、交通⽹络控制模型、借贷模型、养⽼基⾦设置模型、⼈⼝的预测与控制模型、⽣物种群的数量模型。

随着科学技术的发展，⼈们将愈来愈多的遇到离散动态系统的问题，差分⽅程就是建⽴离散动态系统数学模型的有效⽅法。

在⼀般情况下，动态连续模型⽤微分⽅程⽅法建⽴，与此相适应，当时间变量离散化以后，可以⽤差分⽅程建⽴动态离散模型。

有些实际问题既可以建⽴连续模型，乂可建⽴离散模型，究竟采⽤那种模型应视建模的LI的⽽定。

例如，⼈⼝模型既可建⽴连续模型（其中有马尔萨斯模型Malthus.洛杰斯蒂克Logistic模型），乂可建⽴⼈⼝差分⽅程模型。

这⾥讲讲差分⽅程在建⽴离散动态系统数学模型的的具体应⽤。

差分⽅程简介在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建⽴的数学模型也是离散的，譬如，像政治、经济和社会等领域中的实际问题。

有些时候，即使所建⽴的数学模型是连续形式，例如像常见的微分⽅程模型、积分⽅程模型等。

但是, 往往都需要⽤计算机求数值解。

这就需要将连续变量在⼀定的条件下进⾏离散化，从⽽将连续型模型转化为离散型模型。