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§2. 3 高阶导数一般地, 函数y =f (x )的导数y '=f '(x )仍然是x 的函数. 我们把y '=f '(x )的导数叫做函数y =f (x )的二阶导数, 记作 y ''、f ''(x )或22dx y d , 即 y ''=(y ')', f ''(x )=[f '(x )]' , )(22dxdy dx d dx y d =. 相应地, 把y =f (x )的导数f '(x )叫做函数y =f (x )的一阶导数.类似地, 二阶导数的导数, 叫做三阶导数, 三阶导数的导数叫做四阶导数, ⋅ ⋅ ⋅, 一般地, (n -1)阶导数的导数叫做n 阶导数, 分别记作y ''', y (4), ⋅ ⋅ ⋅ , y (n ) 或33dx y d , 44dx y d , ⋅ ⋅ ⋅ , nn dx y d . 函数f (x )具有n 阶导数, 也常说成函数f (x )为n 阶可导. 如果函数f (x )在点x 处具有n 阶导数, 那么函数f (x )在点x 的某一邻域内必定具有一切低于n 阶的导数. 二阶及二阶以上的导数统称高阶导数.y '称为一阶导数, y '', y ''', y (4), ⋅ ⋅ ⋅, y (n )都称为高阶导数.例1．y =ax +b , 求y ''.解: y '=a , y ''=0.例2．s =sin ω t , 求s ''.解: s '=ω cos ω t , s ''=-ω 2sin ω t .例3．证明: 函数22x x y -=满足关系式y 3y ''+1=0.证明: 因为22212222x x x x x x y --=--=', 22222222)1(2x x x x x x x x y -------='')2()2()1(22222x x x x x x x ----+-=32321)2(1y x x -=--=, 所以y 3y ''+1=0.例4．求函数y =e x 的n 阶导数.解; y '=e x , y ''=e x , y '''=e x , y ( 4)=e x ,一般地, 可得y ( n )=e x ,即 (e x )(n )=e x .例5．求正弦函数与余弦函数的n 阶导数.解: y =sin x ,)2sin(cos π+=='x x y ,)22sin()2 2 sin()2 cos(ππππ⋅+=++=+=''x x x y , )23sin()2 2 2sin()2 2cos(ππππ⋅+=+⋅+=⋅+='''x x x y , )24sin()2 3cos()4(ππ⋅+=⋅+=x x y , 一般地, 可得)2 sin()(π⋅+=n x y n , 即)2sin()(sin )(π⋅+=n x x n . 用类似方法, 可得)2cos()(cos )(π⋅+=n x x n . 例6．求对函数ln(1+x )的n 阶导数解: y =ln(1+x ), y '=(1+x )-1, y ''=-(1+x )-2,y '''=(-1)(-2)(1+x )-3, y (4)=(-1)(-2)(-3)(1+x )-4,一般地, 可得y (n )=(-1)(-2)⋅ ⋅ ⋅(-n +1)(1+x )-n n n x n )1()!1()1(1+--=-, 即 nn n x n x )1()!1()1()]1[ln(1)(+--=+-. 例6．求幂函数y =x μ (μ是任意常数)的n 阶导数公式.解: y '=μx μ-1,y ''=μ(μ-1)x μ-2,y '''=μ(μ-1)(μ-2)x μ-3,y ( 4)=μ(μ-1)(μ-2)(μ-3)x μ-4,一般地, 可得y (n )=μ(μ-1)(μ-2) ⋅ ⋅ ⋅ (μ-n +1)x μ-n ,即 (x μ )(n ) =μ(μ-1)(μ-2) ⋅ ⋅ ⋅ (μ-n +1)x μ-n .当μ=n 时, 得到(x n )(n ) = μ(μ-1)(μ-2) ⋅ ⋅ ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1=n ! .而 (x n )( n +1)=0 .如果函数u =u (x )及v =v (x )都在点x 处具有n 阶导数, 那么显然函数u (x )±v (x )也在点x 处具有n 阶导数, 且(u ±v )(n )=u (n )+v (n ) .(uv )'=u 'v +uv '(uv )''=u ''v +2u 'v '+uv '',(uv )'''=u '''v +3u ''v '+3u 'v ''+uv ''' ,用数学归纳法可以证明∑=-=nk k k n k nn v u C uv 0)()()()(,这一公式称为莱布尼茨公式.例8．y =x 2e 2x , 求y (20).解: 设u =e 2x , v =x 2, 则(u )(k )=2k e 2x (k =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , 20),v '=2x , v ''=2, (v )(k ) =0 (k =3, 4, ⋅ ⋅ ⋅ , 20),代入莱布尼茨公式, 得y (20)=(u v )(20)=u (20)⋅v +C 201u (19)⋅v '+C 202u (18)⋅v ''=220e 2x ⋅ x 2+20 ⋅ 219e 2x ⋅ 2x !21920⋅+218e 2x ⋅ 2 =220e 2x (x 2+20x +95).§2. 4 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率一、隐函数的导数显函数: 形如y =f (x )的函数称为显函数. 例如y =sin x , y =ln x ++e x .隐函数: 由方程F (x , y )=0所确定的函数称为隐函数.例如, 方程x +y 3 -1=0确定的隐函数为y 31x y -=.如果在方程F (x , y )=0中, 当x 取某区间内的任一值时, 相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在, 那么就说方程F (x , y )=0在该区间内确定了一个隐函数.把一个隐函数化成显函数, 叫做隐函数的显化. 隐函数的显化有时是有困难的, 甚至是不可能的. 但在实际问题中, 有时需要计算隐函数的导数, 因此, 我们希望有一种方法, 不管隐函数能否显化, 都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来.例1．求由方程e y +xy -e =0 所确定的隐函数y 的导数.解: 把方程两边的每一项对x 求导数得(e y )'+(xy )'-(e )'=(0)',即 e y ⋅ y '+y +xy '=0,从而 y ex y y +-='(x +e y ≠0). 例2．求由方程y 5+2y -x -3x 7=0 所确定的隐函数y =f (x )在x =0处的导数y '|x =0.解: 把方程两边分别对x 求导数得5y ⋅y '+2y '-1-21x 6=0,由此得 2521146++='y x y . 因为当x =0时, 从原方程得y =0, 所以 21|25211|0460=++='==x x y x y . 例3. 求椭圆191622=+y x 在)323 ,2(处的切线方程. 解: 把椭圆方程的两边分别对x 求导, 得 0928='⋅+y y x . 从而 yx y 169-='. 当x =2时, 323=y , 代入上式得所求切线的斜率 43|2-='==x y k .所求的切线方程为 )2(43323--=-x y , 即03843=-+y x . 解: 把椭圆方程的两边分别对x 求导, 得 0928='⋅+y y x . 将x =2, 323=y , 代入上式得 03141='⋅+y , 于是 k =y '|x =243-=. 所求的切线方程为 )2(43323--=-x y , 即03843=-+y x . 例4．求由方程0sin 21=+-y y x 所确定的隐函数y 的二阶导数.解: 方程两边对x 求导, 得 0cos 211=⋅+-dx dy y dx dy , 于是 ydx dy cos 22-=. 上式两边再对x 求导, 得 3222)cos 2(sin 4)cos 2(sin 2y y y dx dyy dx y d --=-⋅-=. 对数求导法: 这种方法是先在y =f (x )的两边取对数, 然后再求出y 的导数.设y =f (x ), 两边取对数, 得ln y = ln f (x ),两边对x 求导, 得 ])([ln 1'='x f y y, y '= f (x )⋅[ln f (x )]'.对数求导法适用于求幂指函数y =[u (x )]v (x )的导数及多因子之积和商的导数.例5．求y =x sin x (x >0)的导数.解法一: 两边取对数, 得ln y =sin x ⋅ ln x ,上式两边对x 求导, 得 xx x x y y 1sin ln cos 1⋅+⋅=', 于是 )1sin ln (cos xx x x y y ⋅+⋅=' )sin ln (cos sin xx x x x x +⋅=. 解法二: 这种幂指函数的导数也可按下面的方法求:y =x sin x =e sin x ·ln x , )sin ln (cos )ln (sin sin ln sin xx x x x x x e y x x x +⋅='⋅='⋅. 例6. 求函数)4)(3()2)(1(----=x x x x y 的导数. 解: 先在两边取对数(假定x >4), 得ln y 21=[ln(x -1)+ln(x -2)-ln(x -3)-ln(x -4)], 上式两边对x 求导, 得 )41312111(211-----+-='x x x x y y , 于是 )41312111(2-----+-='x x x x y y . 当x <1时, )4)(3()2)(1(x x x x y ----=; 当2<x <3时, )4)(3()2)(1(x x x x y ----=; 用同样方法可得与上面相同的结果.注: 严格来说, 本题应分x >4, x <1, 2<x <3三种情况讨论, 但结果都是一样的.二、由参数方程所确定的函数的导数设y 与x 的函数关系是由参数方程⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ确定的. 则称此函数关系所表达的函数为由参数方程所确定的函数.在实际问题中, 需要计算由参数方程所确定的函数的导数. 但从参数方程中消去参数t 有时会有困难. 因此, 我们希望有一种方法能直接由参数方程算出它所确定的函数的导数. 设x =ϕ(t )具有单调连续反函数t =ϕ-1(x ), 且此反函数能与函数y =ψ(t )构成复合函数y =ψ[ϕ-1(x ) ], 若x =ϕ(t )和y =ψ(t )都可导, 则 )()(1t t dtdx dt dy dx dt dt dy dx dy ϕψ''=⋅=⋅=,即 )()(t t dx dy ϕψ''=或dtdx dt dy dx dy =. 若x =ϕ(t )和y =ψ(t )都可导, 则)()(t t dx dy ϕψ''=. 例7. 求椭圆⎩⎨⎧==t b y t a x sin cos 在相应于4 π=t 点处的切线方程. 解: t ab t a t b t a t b dx dy cot sin cos )cos ()sin (-=-=''=. 所求切线的斜率为ab dx dyt -==4π. 切点的坐标为224 cos 0a a x ==π, 224sin 0b b y ==π. 切线方程为)22(22a x a b b y --=-, 即 bx +ay 2-ab =0.例8．抛射体运动轨迹的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧-==22121gt t v y t v x , 求抛射体在时刻t 的运动速度的大小和方向. y =v 2t -g t 2解: 先求速度的大小.速度的水平分量与铅直分量分别为x '(t )=v 1, y '(t )=v 2-gt ,所以抛射体在时刻t 的运动速度的大小为 22)]([)]([t y t x v '+'=2221)(gt v v -+=. 再求速度的方向,设α是切线的倾角, 则轨道的切线方向为 12)()(tan v gt v t x t y dx dy -=''==α. 已知x =ϕ(t ), y =ψ(t ), 如何求二阶导数y ''?由x =ϕ(t ), )()(t t dx dy ϕψ''=, dxdt t t dt d dx dy dx d dx y d ))()(()(22ϕψ''== )(1)()()()()(2t t t t t t ϕϕϕψϕψ'⋅''''-'''=)()()()()(3t t t t t ϕϕψϕψ''''-'''=. 例9．计算由摆线的参数方程⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x 所确定 的函数y =f (x )的二阶导数.解: )()(t x t y dx dy ''=)cos 1(sin ])sin ([])cos 1([t a t a t t a t a -='-'-= 2cot cos 1sin t t t =-=(t ≠2n π, n 为整数). dxdt t dt d dx dy dx d dx y d ⋅==)2(cot )(22 22)cos 1(1)cos 1(12sin 21t a t a t --=-⋅-= (t ≠2n π, n 为整数).三、相关变化率设x =x (t )及y =y (t )都是可导函数, 而变量x 与y 间存在某种关系, 从而变化率dtdx 与dt dy 间也存在一定关系. 这两个相互依赖的变化率称为相关变化率. 相关变化率问题就是研究这两个变化率之间的关系, 以便从其中一个变化率求出另一个变化率.例10一气球从离开观察员500f 处离地面铅直上升, 其速度为140m/min(分). 当气球高度为500m 时, 观察员视线的仰角增加率是多少？解 设气球上升t (秒)后, 其高度为h , 观察员视线的仰角为α, 则500tan h =α. 其中α及h 都是时间t 的函数. 上式两边对t 求导, 得dtdh dt d ⋅=⋅5001sec 2αα. 已知140=dtdh (米/秒). 又当h =500(米)时, tan α=1, sec 2 α=2. 代入上式得 14050012⋅=dt d α, 所以 14.050070==dt d α(弧度/秒). 即观察员视线的仰角增加率是每秒0. 14弧度.§2. 5 函数的微分一、微分的定义引例 函数增量的计算及增量的构成.一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其边长由x 0变到x 0+∆x , 问此薄片的面积改变了多少？设此正方形的边长为x , 面积为A , 则A 是x 的函数: A =x 2. 金属薄片的面积改变量为 ∆A =(x 0+∆x )2-(x 0)2 =2x 0∆x +(∆x )2.几何意义: 2x 0∆x 表示两个长为x 0宽为∆x 的长方形面积; (∆x )2表示边长为∆x 的正方形的面积.数学意义: 当∆x →0时, (∆x )2是比∆x 高阶的无穷小, 即(∆x )2=o (∆x ); 2x 0∆x 是∆x 的线性函数, 是∆A 的主要部分, 可以近似地代替∆A .定义 设函数y =f (x )在某区间内有定义, x 0及x 0+∆x 在这区间内, 如果函数的增量 ∆y =f (x 0+∆x )-f (x 0)可表示为∆y =A ∆x +o (∆x ),其中A 是不依赖于∆x 的常数, 那么称函数y =f (x )在点x 0是可微的, 而A ∆x 叫做函数y =f (x )在点x 0相应于自变量增量∆x 的微分, 记作 dy , 即dy =A ∆x .函数可微的条件: 函数f (x )在点x 0可微的充分必要条件是函数f (x )在点x 0可导, 且当函数f (x )在点x 0可微时, 其微分一定是dy =f '(x 0)∆x .证明: 设函数f (x )在点x 0可微, 则按定义有∆y =A ∆x +o (∆x ),上式两边除以∆x , 得xx o A x y ∆∆+=∆∆)(. 于是, 当∆x →0时, 由上式就得到 )(lim00x f x y A x '=∆∆=→∆. 因此, 如果函数f (x )在点x 0可微, 则f (x )在点x 0也一定可导, 且A =f '(x 0).反之, 如果f (x )在点x 0可导, 即)(lim 00x f xy x '=∆∆→∆ 存在, 根据极限与无穷小的关系, 上式可写成α+'=∆∆)(0x f x y , 其中α→0(当∆x →0), 且A =f (x 0)是常数, α∆x =o (∆x ). 由此又有∆y =f '(x 0)∆x +α∆x .因且f '(x 0)不依赖于∆x , 故上式相当于∆y =A ∆x +o (∆x ),所以f (x )在点x 0 也是可导的.简要证明: 一方面A x f x y xx o A x y x o x A y x ='=∆∆⇒∆∆+=∆∆⇒∆+∆=∆→∆)(lim )()(00. 别一方面x x x f y x f x y x f x y x ∆+∆'=∆⇒+'=∆∆⇒'=∆∆→∆αα)()()(lim 0000. 以微分dy 近似代替函数增量 ∆y 的合理性:当f '(x 0)≠0时, 有 1lim )(1)(lim lim00000=∆'=∆'∆=∆→∆→∆→∆dx y x f x x f y dy y x x x . ∆y =dy +o (d y ).结论: 在f '(x 0)≠0的条件下, 以微分dy =f '(x 0)∆x 近似代替增量∆y =f (x 0+∆x )-f (x 0)时, 其误差为o (dy ). 因此, 在|∆x |很小时, 有近似等式∆y ≈dy .函数y =f (x )在任意点x 的微分, 称为函数的微分, 记作dy 或 d f (x ), 即dy =f '(x )∆x ,例如 d cos x =(cos x )'∆x =-sin x ∆x ; de x =(e x )'∆x =e x ∆x .例1 求函数y =x 2在x =1和x =3处的微分.解 函数y =x 2在x =1处的微分为dy =(x 2)'|x =1∆x =2∆x ;函数y =x 2在x =3处的微分为dy =(x 2)'|x =3∆x =6∆x .例2．求函数 y =x 3当x =2, ∆x =0. 02时的微分.解: 先求函数在任意点x 的微分dy =(x 3)'∆x =3x 2∆x .再求函数当x =2, ∆x =0. 02时的微分dy |x =2, ∆x =0.02 =3x 2| x =2, ∆x =0.02 =3⨯22⨯0.02=0.24.自变量的微分:因为当y =x 时, dy =dx =(x )'∆x =∆x , 所以通常把自变量x 的增量∆x 称为自变量的微分, 记作dx , 即dx =∆x . 于是函数y =f (x )的微分又可记作dy =f '(x )dx .从而有 )(x f dxdy '=. 这就是说, 函数的微分dy 与自变量的微分dx 之商等于该函数的导数. 因此, 导数也叫做“微商”.二、微分的几何意义当∆y 是曲线y =f (x )上的点的纵坐标的增量时, dy 就是曲线的切线上点纵坐标的相应增量. 当|∆x |很小时, |∆y -dy |比|∆x |小得多. 因此在点M 的邻近, 我们可以用切线段来近似代替曲线段.三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则从函数的微分的表达式dy =f '(x )dx可以看出, 要计算函数的微分, 只要计算函数的导数, 再乘以自变量的微分. 因此, 可得如果下的微分公式和微分运算法则.1. 基本初等函数的微分公式导数公式: 微分公式:(x μ)'=μ x μ-1 d (x μ)=μ x μ-1d x(sin x )'=cos x d (sin x )=cos x d x(cos x )'=-sin x d (cos x )=-sin x d x(tan x )'=sec 2 x d (tan x )=sec 2x d x(cot x )'=-csc 2x d (cot x )=-csc 2x d x(sec x )'=sec x tan x d (sec x )=sec x tan x d x(csc x )'=-csc x cot x d (csc x )=-csc x cot x d x(a x )'=a x ln a d (a x )=a x ln a d x(e x )=e x d (e x )=e x d xax x a ln 1)(log =' dx a x x d a ln 1)(log = x x 1)(ln =' dx xx d 1)(ln = 211)(arcsin x x -=' dx x x d 211)(arcsin -= 211)(arccos x x --=' dx x x d 211)(arccos --= 211)(arctan x x +=' dx xx d 211)(arctan += 211)cot arc (x x +-=' dx xx d 211)cot arc (+-=2. 函数和、差、积、商的微分法则求导法则: 微分法则:(u ±v )'=u '± v ' d (u ±v )=du ±dv(Cu )'=Cu ' d (Cu )=Cdu(u ⋅v )'= u 'v +uv ' d (u ⋅v )=vdu +udv)0()(2≠'-'='v v v u v u v u )0()(2≠-=v dx v udv vdu v u d 证明乘积的微分法则:根据函数微分的表达式, 有d (uv )=(uv )'dx .再根据乘积的求导法则, 有(uv )'=u 'v +uv '.于是 d (uv )=(u 'v +uv ')dx =u 'vdx +uv 'dx .由于u 'dx =du , v 'dx =dv ,所以d (uv )=vdu +udv .3. 复合函数的微分法则设y =f (u )及u =ϕ(x )都可导, 则复合函数y =f [ϕ(x )]的微分为dy =y 'x dx =f '(u )ϕ'(x )dx .于由ϕ'(x )dx =du , 所以, 复合函数y =f [ϕ(x )]的微分公式也可以写成dy =f '(u )du 或 dy =y 'u du .由此可见, 无论u 是自变量还是另一个变量的可微函数, 微分形式dy =f '(u )du 保持不变. 这一性质称为微分形式不变性. 这性质表示, 当变换自变量时, 微分形式dy =f '(u )du 并不改变. 例3．y =sin(2x +1), 求dy .解: 把2x +1看成中间变量u , 则dy =d (sin u )=cos udu =cos(2x +1)d (2x +1)=cos(2x +1)⋅2dx =2cos(2x +1)dx .在求复合函数的导数时, 可以不写出中间变量.例4.)1ln(2x e y +=, 求dy .解:)1(11)1ln(222x x x e d e e d dy ++=+= xdx e e x d e e x x x x 211)(1122222⋅⋅+=⋅+=dx e xe x x 2212+=. 例5．y =e 1-3x cos x , 求dy .解: 应用积的微分法则, 得dy =d (e 1-3x cos x )=cos xd (e 1-3x )+e 1-3x d (cos x )=(cos x )e 1-3x (-3dx )+e 1-3x (-sin xdx )=-e 1-3x (3cos x +sin x )dx .例6．在括号中填入适当的函数, 使等式成立.(1) d ( )=xdx ;(2) d ( )=cos ω t dt .解: (1)因为d (x 2)=2xdx , 所以 )21()(2122x d x d xdx ==, 即xdx x d =)21(2.一般地, 有xdx C x d =+)21(2(C 为任意常数). (2)因为d (sin ω t )=ω cos ω tdt , 所以 ) sin 1() (sin 1 cos t d t d tdt ωωωωω==. 因此 tdt C t d cos ) sin 1(ωωω=+(C 为任意常数). 四、微分在近似计算中的应用1．函数的近似计算在工程问题中, 经常会遇到一些复杂的计算公式. 如果直接用这些公式进行计算, 那是很费力的. 利用微分往往可以把一些复杂的计算公式改用简单的近似公式来代替.如果函数y =f (x )在点x 0处的导数f '(x )≠0, 且|∆x |很小时, 我们有∆y ≈dy =f '(x 0)∆x ,∆y =f (x 0+∆x )-f (x 0)≈dy =f '(x 0)∆x ,f (x 0+∆x )≈f (x 0)+f '(x 0)∆x .若令x =x 0+∆x , 即∆x =x -x 0, 那么又有f (x )≈ f (x 0)+f '(x 0)(x -x 0).特别当x 0=0时, 有f (x )≈ f (0)+f '(0)x .这些都是近似计算公式.例1．有一批半径为1cm 的球, 为了提高球面的光洁度, 要镀上一层铜, 厚度定为0. 01cm . 估计一了每只球需用铜多少g (铜的密度是8. 9g/cm 3)?解: 已知球体体积为334R V π=, R 0=1cm , ∆R =0. 01cm . 镀层的体积为∆V =V (R 0+∆R )-V (R 0)≈V '(R 0)∆R =4πR 02∆R =4⨯3. 14⨯12 ⨯0. 01=0. 13(cm 3).于是镀每只球需用的铜约为0. 13 ⨯8. 9 =1. 16(g ).例2．利用微分计算sin 30︒30'的近似值.解: 已知30︒30'3606 ππ+=, 6 0π=x , 360π=∆x . sin 30︒30'=sin(x 0+∆x )≈sin x 0+∆x cos x 03606 cos 6 sin πππ⋅+= 5076.03602321=⋅+=π. 即 sin 30︒30'≈0. 5076.常用的近似公式（假定|x |是较小的数值）:(1)x nx n 111+≈+; (2)sin x ≈x ( x 用弧度作单位来表达);(3)tan x ≈x ( x 用弧度作单位来表达);(4)e x ≈1+x ;(5)ln(1+x )≈x .证明 (1)取n x x f +=1)(, 那么f (0)=1, n x nf x n 1)1(1)0(011=+='=-, 代入f (x )≈f (0)+f '(0) x 便得 x nx n 111+≈+. 证明(2)取f (x )=sin x , 那么f (0)=0, f '(0)=cos x |x =0=1, 代入f (x )≈f (0)+f '(0) x 便得sin x ≈x .例3．计算05.1的近似值.解: 已知 x nx n 111+≈+, 故 025.105.021105.0105.1=⨯+≈+=. 直接开方的结果是02470.105.1=.2．误差估计在生产实践中, 经常要测量各种数据. 但是有的数据不易直接测量, 这时我们就通过测量其它有关数据后, 根据某种公式算出所要的数据. 由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响, 测得的数据往往带有误差, 而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差, 我们把它叫做间接测量误差.下面就讨论怎样用微分来估计间接测量误差.绝对误差与相对误差: 如果某个量的精确值为A , 它的近似值为a , 那么|A -a |叫做a 的绝对误差, 而绝对误差|A -a |与|a |的比值||||a a A -叫做a 的相对误差. 在实际工作中, 某个量的精确值往往是无法知道的, 于是绝对误差和相对误差也就无法求得. 但是根据测量仪器的精度等因素, 有时能够确定误差在某一个范围内. 如果某个量的精确值是A , 测得它的近似值是a , 又知道它的误差不超过δ A :|A -a |≤δ A , 则δ A 叫做测量A 的绝对误差限,||a Aδ叫做测量A 的相对误差限(简称绝对误差).例4．设测得圆钢截面的直径D =60. 03mm , 测量D 的绝对误差限D δ=0.05. 利用公式24D A π=计算圆钢的截面 积时, 试估计面积的误差.解: D D D A dA A ∆⋅=∆⋅'=≈∆2π, |∆A |≈|dA |D D D D δππ⋅≤∆⋅=2||2 . 已知D =60.03, δD =0. 05, 所以 715.405.003.6022 =⨯⨯=⋅=πδπδD A D (mm 2); %17.003.6005.022422≈⨯=⋅=⋅=D D D A D DAδπδπδ. 若已知A 由函数y =f (x )确定: A =y , 测量x 的绝对误差是δx , 那么测量y 的δy =? 由∆y ≈dy =y '∆x , 有|∆y |≈|dy |=|y '|⋅|∆x |≤|y '|⋅δ x ,所以测量y 的绝对误差δy =|y '|⋅δ x , 测量y 的相对误差为xy y y y δδ⋅'=||.。
第2章 导数与微分微分学是微积分的重要组成部分,它是从数量关系上描述物质运动的数学工具.它的基本概念主要包括导数与微分,其中导数反映出函数相对于自变量的变化快慢的程度,而微分则指明当自变量发生微小变化时,函数大体上变化多少.在这一章中,首先介绍导数和微分这两个密切相关的概念及相关运算.另外我们还将介绍一些利用导数和微分的概念解决实际问题的实例，以加强大家对这些概念的理解，提高应用能力.§2.1 导数及其基本概念2.1．1 导数的概念 引例:例1:变速直线运动的瞬时速度问题设一物体作变速直线运动，其运动方程为)(t s s =，求0t 时刻的瞬时速度0()v t ？解：在时刻0t 取增量t ∆，则在0t 到t t ∆+0这段时间内的平均速度为00()()s t t s t s v t t +∆-∆==∆∆显然，这个平均速度v 是随t ∆而变化的，当||t ∆很小时，v 可以作为物体在0t 时刻的速度的近似值，||t ∆越小，近似程度越高；当0→∆t 时，v 的极限就是物体在0t 时刻的瞬时速度，即00000()()()lim limlim t t t s t t s t sv t v t t ∆→∆→∆→+∆-∆===∆∆这就是说，物体运动的瞬时速度是路程的增量与时间的增量之比，当时间的增量趋于零时的极限． 例2:.平面曲线的切线问题(1)曲线的切线定义在平面解析几何中，圆的切线定义为“与圆只有一个交点的直线”，对于一般的平面曲线来说，这个定义并不适用，例如，抛物线2y x =在原点O 处，两个坐标轴都与曲线只有一个交点，但实际上只有x 轴是该抛物线的切线. 问题: 怎样定义平面曲线在一点处的切线呢?一般曲线的切线定义: 曲线C 上点M 附近,再取一点N,当N 沿C 移动而趋向于M 时,割线MN 的极限位置MT 就称为曲线C 在M 处的切线. (2)在直角坐标系下曲线的切线的斜率：例2: 设平面曲线C:()y f x =,求C 上点00(,)M x y 处的切线的斜率. 解:在C上另取一点00(,()),N x x f x x +∆+∆则割线MN 的斜率为x x f x x f x y k ∆-∆+=∆∆==)()(tan 00ϕ当N M →时,MN MT →.当0x ∆→时,k 的极限就为切线MT 的斜率.)()(lim limtan lim tan 0000xx f x x f x yk x x ∆-∆+=∆∆===→∆→∆→ϕααϕ总结: 以上两个问题，虽然它们的实际背景不同，但从数量上看，它们有共同的本质：它们都是当自变量的增量趋于零时，函数的增量与自变量的增量之比的极限．抽去这些问题的不同的实际意义，只考虑它们的共同性质，就可得出函数的导数定义．定义2.1.1设函数()y f x =在点0x 处的某邻域内有定义，当自变量x在0x 处有增量x ∆时，相应地函数y 有增量00()()y f x x f x ∆=+∆-如果当0→∆x 时，x y∆∆的极限存在，这个极限就称为函数()y f x =在点0x 处的导数，记为0()f x '，即xyo()y f x =CαϕNTx Mx x+∆00000()()()limlimx x y f x x f x f x x x ∆→∆→∆+∆-'==∆∆ （1）也可以记作xx y =' ，0x x dxdy=或 0)(xx x f dx d= ．如果（1）式的极限存在，就称函数)(x f 在点0x 处可导．如果（1）式的极限不存在，就说函数)(x f y =在点0x 处不可导． 特别的, 如果（1）式的极限为无穷大，就说函数)(x f y =在点0x 处导数为无穷大．注: （1）令0,x x x =+∆则定义式也可写为0000000()()()()()limlim .x x x f x x f x f x f x f x x x x ∆→→+∆--'==∆-（2）令,x h ∆=-则定义式也可写为 0000000()()()()()limlim .h h f x h f x f x f x h f x h h →→----'==-例如 求x x y =在0=x 处的导数. 解 由导数的定义知0lim 0lim )0()0(lim)0(000=∆=∆-∆∆=∆-∆+='→∆→∆→∆x xx x x f x f f x x x2.1．2 导数的几何意义函数()y f x =在点 0x 的导数0()f x '就是曲线()y f x =在点000(,)M x y 处的切线的斜率．如果()y f x =在点x 处的导数为无穷大，即tan α不存在，这时曲线()y f x =的割线以垂直于x 轴的直线为极限位置，即曲线()y f x =在点0(,)M x y 处具有垂直于x 轴的切线．根据导数的几何意义并应用直线的点斜式方程，可以得到曲线()y f x =在定点0M (0x ,0y )处的切线方程为：00()()y y fx xx '-=-过切点0M 且与该切线垂直的直线叫做曲线()y f x =在点0M 处的法线，如果0()0f x '≠，法线的斜率为01()f x -'，从而法线方程为0001()()y y x x f x -=--'．例3 求曲线.)1,1(2处切线的方程上点x y = 解: 22100(1)(1)(1)1lim lim 2.x x x f x f x k y x x =∆→∆→+∆-+∆-'====∆∆所求的切线方程为: 12(1),21y x y x -=⋅-=-即 2.1.3 单侧导数定义 2.1.2如果当-→∆0x 时，xy∆∆的极限存在，则称此极限为()f x 在即记为处左导数点),(,00x f x -'.)()(lim lim )(00000xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆='--→∆→∆- 定义 2.1.3如果当+→∆0x 时，xy∆∆的极限存在，则称此极限为()f x 在即记为处右导数点),(,00x f x +'.)()(lim lim )(00000xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆='++→∆→∆+ 定理1: 函数()y f x =在点0x 处可导的充分必要条件是左导数,右导数存在且相等. 例4 讨论函数()f x x=在0x =处的可导性.解：0(0)(0)(0)lim lim 11;x x f x f f x+++∆→∆→+∆-'===∆00(0)(0)(0)lim lim (1) 1.x x f x f f x ---∆→∆→+∆-'==-=-∆所以，(0)(0).f f +-''≠即()f x x =在0x =处不可导.2.1.4 可导性与连续性的关系xyoy x=前面我们定义了函数在一点连续的概念,现在又学习了函数在一点可导的概念,它们都是用极限来定义的,那么,这两个概念之间有没有关系呢?我们先看下面这个例子:例5讨论函数1sin ,0()0,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处的可导性与连续性.解:00001sin(0)(0)1limlim limlim sin x x x x x y f x f x x xx x ∆→∆→∆→∆→∆∆+∆-∆===∆∆∆∆极限不存在,()f x ∴在0x =处不可导.01l i m 0,s i n 1,x x x →=≤001lim ()lim sin 0(0),x x f x x f x →→∴===()f x ∴在0x =处连续.问题:由上例可以看到, 函数在一点连续,则函数在这点不一定可导;那么,函数在一点可导是否一定在该点连续呢? 答案是肯定的.事实上, 设函数()y f x =在点0x 处可导，即极限00lim()x yf x x ∆→∆'=∆存在．由函数极限存在与无穷小的关系知：0()yf x x α∆'=+∆ （α是当0→∆x 时的无穷小）．上式两端同乘以x ∆，得0()y f x x x α'∆=∆+∆．不难看出，当0x ∆→时，0y ∆→．这就是说，函数()y f x =在点0x 处是连续的．定理2: 如果函数()y f x =在点0x 处可导，则函数在该点处必连续． 可见：“函数()y f x =在点0x 处可导”这个条件要比“函数在点0x 处连续”这个条件强．2.1.5导函数函数)(x f y =在区间),(b a 内可导⇔函数)(x f y =在区间),(b a 内的每一点都可导.函数)(x f y =在区间[,]a b 上可导⇔(1) )(x f y =在区间),(b a 内的每一点都可导;(2) ()f x 在x a =处右可导,在x b =处左可导.设函数)(x f y =在区间I 上可导,则对于I 内的每一个x 值，都有唯一确定的导数值与之对应，这就构成了x 的一个新的函数，这个新的函数叫做原来函数)(x f y =的导函数，记为dx dy x f y ),(,''或dx x df )(．在（1）式中，把0x 换成x ，即得()y f x =的导函数公式：00()()()limlimx x y f x x f x f x x x ∆→∆→∆+∆-'==∆∆显然，函数)(x f y =在点0x 处的导数)(0x f '就是导函数)(x f '在0x x =处的函数值，即 0|)()(0x x x f x f ='='注意: 00()[()].f x f x ''≠为方便起见，在不致引起混淆的地方，导函数也简称导数．由此可知,求函数()y f x =的导数可分为以下三个步骤：(1)求增量：()()y f x x f x ∆=+∆-；(2)作比值：()()y f x x f x x x ∆+∆-=∆∆； (3)取极限：0()limx yf x x ∆→∆'=∆．例6 求函数y C =(C 为常数)的导数． 解:0()()limlim 0,x x f x x f x C Cy x x ∆→∆→+∆--'===∆∆即例7 求 ()ln 1()x f x x ⎧+=⎨⎩，，00<≥x x ，的导数.解: 当0>x 时，xx f +='11)( ， 当0<x 时，1)(='x f当0=x 时，xf x f x f x f f x x )0()(lim 0)0()(lim)0(00-=--='→→， 所以 10l i m)0(0=-='-→-xx f x ， ()0C '=1e ln )1ln(lim 0)1ln(lim )0(100==+=-+='++→→+x x x x xx f ， 因此 1)0(='f ，于是 1,()11,f x x ⎧⎪'=+⎨⎪⎩ 00.x x >≤小结:求分段函数的导数时，除了在分界点处的导数用导数定义或导数存在的充分必要条件求之外，其余点可仍按初等函数的求导公式求得.§2.2函数的和、差、积、商求导法则2.2．1导数的四则运算我们知道,根据导数的定义可以求出一些简单函数的导数.但是,对于比较复杂的函数,直接根据定义求它们的导数往往比较困难. 本节将介绍导数的四则运算法则,有了这些运算，求解函数的导数问题就简单多了. 定理1 设函数)(x u ，)(x v 在点x 处可导，则它们的和、差、积与商在x处也可导，且(1)())()()()(x v x u x v x u '±'='±； (2)())()()()()()(x v x u x v x u x v x u '+'='； (3)2()()()()()(()0).()()u x u x v x u x v x v x v x v x '''⎛⎫-=≠ ⎪⎝⎭下面仅对(2)加以证明. 证: 设()()(),f x u x v x =则有0()()()()()()()limlim h h f x h f x u x h v x h u x v x f x h h →→+-++-'==0()()()()l i m ()()h u x hu x v x h v xv x h u x h h →+-+-⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦()()()()u x v x u xv x ''=+注意到常数的导数为零，利用上述公式就有推论1．推论1()()()c u x c u x''= （c 为常数）．利用商的导数公式及(1)0'=，即可证得推论2．推论221()()()()u x u x u x ''=- )0)((≠x u ．连续使用乘法的导数公式，即可证得推论3． 推论3[]()()()()()()()()()()()()u x v x w x u x v x w x u x v x w x u x v x w x ''''=++.例1 设,1)(33xx x x x f +--=求)(x f '.解 3161323311)(-+--=+--=x x x xx x x x f ，154363211()363f x x x x ---'=--.例2 已知函数3(4cos sin1),y x x x =--求1.x y y =''及分析:首先把y 看成两个函数3(4cos sin1)u x v x x ==--及的乘积,然后再分别利用和的求导公式.解:33()(4cos sin1)(4cos sin1)y x x x x x x '''=--+--321(4cos sin1)(34sin )2x x x x x x=--++1177(14cos1sin1)(34sin1)sin12cos1.222x y ='=--++=+-注意:这里要注意(sin1)0'=,而不是(sin1)cos1.'=这是初学者常犯的一个小错误.例3 设,1)(33xx x x x f +--=求)(x f '.解: 3161323311)(-+--=+--=x x x xx x x x f ，154363211()363f x x x x ---'=--.例4 求正切函数x y tan =的导数．解:222222sin (sin )cos sin (cos )cos sin 1(tan )()sec .cos cos cos cos x x x x x x x x x x x x x''-+''===== 即类似地，可以推导出例5 求正割函数sec y x=的导数．解: 221(cos )sin (sec )()sec tan .cos cos cos x xx x x x x x '-''====即2(tan )sec x x '=2(cot )csc x x '=-(sec )sec tan x x x '=类似地，可以推导出例6 求函数x x y 2sin sin 12+=的导数． 解: 因为2222221sin sin cos sin sin 2sin 22sin cos 1tan cot 2sin cos 2x x x xy x x x x x xx x +++==+==+所以 xx y 22csc 21sec -=' ．概括: 应当注意：在求导之前尽可能先对函数进行简化，往往能使计算变得简单．上题若直接用商的求导法则，将不会比此法简单,用现有的知识甚至做不出来．原因是题目中涉及到两个函数2sin x 和sin 2x ,它们不是简单函数,而是复合函数.那么,复合函数如何求导呢?§2.3 复合函数的求导法则和反函数的求导法则2.3．1 复合函数的求导法则问题: 求函数sin 2y x =对x 的导数.提问:已知(sin )cos ,x x '=那么(sin 2)x '是否等于cos 2x ?解:22(sin 2)(2sin cos )2(cos cos sin (sin ))2(cos sin )2cos 2cos 2.y x x x x x x x x x x x '''===+-=-=≠启发与思考: sin 2y x =可以看作是由sin y u =，2u x =复合而成的函数，(csc )csc cot x x x '=-由于 cos cos2,(2)2,dyduu x x du dx '====因而 cos222cos2,dy dux x du dx ⋅=⋅=． 于是，在本例中有等式 .d y d y d ud x d u d x=⋅ 一般地，有如下复合函数的求导法则定理1 设函数()u x ϕ=在x 处可导，而)(u f y =在对应的u 处可导,则复合函数[]()y f x ϕ=在x 处可导，且x u x y y u '''=⋅ 或 ()x y f u ''=⋅()x ϕ' 或 dx du du dy dx dy ⋅=． …………链式法则证略。
