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随机变量函数的分布、卷积公式

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随机变量的和卷积

随机变量的和卷积

随机变量的和卷积
随机变量的和卷积是指对于两个独立的随机变量X和Y，它们的和Z=X+Y所对应的概率分布函数进行卷积运算的过程。

具体来说，设X和Y的概率密度函数分别为f(x)和g(y)，则它们的和Z的概率密度函数可以表示为：
h(z) = ∫f(x)g(z-x)dx
其中g(z-x)表示将g(y)向右平移x个单位得到的函数，也可以写成g(z-x) = g(z) * δ(x)，其中δ(x)是单位冲击函数，表示在x=0处取值为无穷大，在其他地方取值为0的函数。

这个公式的意义在于，对于任意一个和Z=z的取值，我们可以通过将X=x和Y=z-x对应的取值分别加起来得到。

而对于每一个X=x对应的概率f(x)，我们再乘以Y=z-x对应的概率密度g(z-x)，就得到了一个在(X=x,Y=z-x)处的联合概率密度。

将这个概率密度在所有可能的X=x处进行积分，就得到了Z=z处的概率密度h(z)。

需要注意的是，这个卷积公式中的积分变量x是在整个实数轴上取值的，因此需要保证f(x)和g(z-x)在整个实数轴上的积分都是有限的。

如果其中一个函数有无限积分，那么它们的和Z就没有概率密度函数。

随机变量的和卷积在概率论和统计学中有着重要的应用，例如在信号处理、通信系统、金融工程、机器学习等领域中都有广泛的应用。

- 1 -。

多维随机变量函数的分布

多维随机变量函数的分布

i ,k : g ( x i , y j ) = z k
∑
p ij
＝pk ,
(x1,y1) (x1,y2) … p11 p12
(xi,yj) pij g(xi,yj)
…
Z=g(X,Y)
g(x1,y1) g(x1,y2)
例1 设(X,Y)的联合分布列如下所列： 试求(1)Z1=X+Y (2)Z2=X-Y (3)Z3=max{X,Y}的分布列
练习：设随机变量X与Y独立，且均服从0-1 分布，其分布律均为
X P 0 q 1 p
(1) 求W＝X＋Y的分布律; (2) 求V＝max(X, Y)的分布律； (3) 求U＝min(X, Y)的分布律。 (4)求w与V的联合分布律。
(X,Y) pij
W＝X＋Y
V＝max(X, Y) U＝min(X, Y)
−∞ 或 ∞ −∞
−∞
∫f
X
( z − y ) f Y ( y )dy ＝ ∫ f X ( x) f Y ( z − x)dx.
例2 设X和Y相互独立，并且服从[-1，1]上的均匀分 布，求Z=X+Y的密度函数。
解：
1 f Y ( x) = 2 0
+∞
当 −1 ≤ x ≤ 1 其他
其中α>0，β>0,试分别就以上两 种联结方式写出L的寿命Z的概率 密度．
αe − αx , x > 0, f X ( x) = x ≤ 0, 0,
βe − βy , y > 0, fY ( y ) = y ≤ 0, 0,
其中 α > 0, β > 0 且 α ≠ β . 试分别就以上三种联 接方式写出 L 的寿命 Z 的概率密度 .

§3.5 随机变量函数的分布

§3.5 随机变量函数的分布

( ii ) 若Y = X 2 , 则有 1 fY ( y ) = [ f X ( y ) + f X ( − y )], y ∈ R(Y ). 2 y 这里a , b为常数 且a ≠ 0, R(Y )为Y的值域 .
证明 由于 R(Y ) = [0,+∞ ), 取 y ≥ 0, 有
FY ( y ) = P ( X ≤ y ) = P ( − y ≤ X ≤
2 2 ∑ ci X i ~ N ( ∑ ci µi , ∑ ci σ i ). n i =1 n i =1 n i =1
其中, 为常数. 其中 c1 , c2 ,⋯, cn为常数
3.5.2 二维随机变量函数的分布 一、一般方法 是二维连续型随机变量,其联合密 设 ( X ,Y )是二维连续型随机变量 其联合密 的函数, 度为 f ( x , y ).又设Z = g( X ,Y ) 是 ( X ,Y ) 的函数 又设 类似于一维,求 的密度的一般方法为 的密度的一般方法为: 类似于一维 求Z的密度的一般方法为 (i)确定 的值域 R(Z )； 确定Z的值域 确定 (ii)对任意 z ∈ R(Z )， 对任意 求出Z的分布函数 的分布函数； 求出 的分布函数；
f Z ( z ) = ∫− ∞ f ( x , z − x )dx，或 f Z ( z ) = ∫− ∞ f ( z − y , y )dy .
+∞ +∞
当 X与Y 独立时 则 与 独立时,则
f Z ( z ) = ∫− ∞ f X ( x ) fY ( z − x )dx，或 f Z ( z ) = ∫− ∞ f X ( z − y ) fY ( y )dy .
−1 −1
用上述定理求例3.5.1中Y的密度函数 例3.5.3 用上述定理求例 中 的密度函数

离散型随机变量 卷积公式

离散型随机变量 卷积公式

离散型随机变量卷积公式
离散型随机变量卷积公式是概率论和统计学中非常重要的一个
公式，它在描述随机变量之间的关系和联合分布时起着关键作用。

离散型随机变量的卷积公式可以用于计算两个随机变量之和的概率
分布，它的数学表达式如下：
设有两个离散型随机变量X和Y，它们的概率质量函数分别为
f(x)和g(y)，则它们之和Z=X+Y的概率质量函数为h(z)，其中h(z)可以通过卷积公式计算得到：
h(z) = (fg)(z) = Σ[i= -∞ to +∞] f(i) g(z-i)。

其中，(fg)(z)表示函数f和g的卷积，z为变量，Σ表示求和。

公式的含义是将随机变量X和Y的概率质量函数进行卷积运算，得
到它们之和Z的概率质量函数。

这个公式的应用非常广泛，例如在通信系统中，可以用于描述
信号经过信道传输后的概率分布；在金融领域，可以用于描述不同
投资组合的收益分布等等。

通过卷积公式，我们可以更好地理解随
机变量之间的关系，从而为实际问题的分析和解决提供重要的数学
工具。

总之，离散型随机变量的卷积公式是概率论和统计学中的重要工具，它为描述随机变量之间的关系提供了重要的数学基础，具有重要的理论和应用价值。

复习：二维随机变量函数的分布

复习：二维随机变量函数的分布

的可能取值z 则Z=X+Y的可能取值 k=xi+yj (k=1，2，…)，因此 的可能取值 ， ， ，因此Z 也是离散型随机变量, 也是离散型随机变量 其分布律为
P{ Z = zk } = P{ X + Y = zk } = ∑ ∑ P{ X = xi , Y = y j }
= ∑ ∑ pij
i j
1 f X ( x) = e , − ∞ < x < +∞ 2π y2 1 −2 fY ( y ) = e , − ∞ < y < +∞ 2π
+∞
x2 − 2
因此 ,由卷积公式有 f Z (z) = ∫
−∞
1 f X ( x ) fY ( z − x )dx = 2π
∫
+∞
−∞
e
x2 − 2
⋅e
( z − x )2 − 2
Z3=max{X+Y}的分布律为 的分布律为 Z3 pk -1 0.25 1 0.1 2 0.65
已知随机X、 相互独立 相互独立， 例2 已知随机 、Y相互独立，且X~P(λ1) 、Y ~ P(λ2)。 λ λ 。 试求Z=X+Y的分布律。 的分布律。 试求 的分布律 解 因X与Y均服从泊松分布，所以X与Y的取值为任 与 均服从泊松分布，所以 与 的取值为任 均服从泊松分布 一非负整数，因此 的取值也为全体非负整数。 一非负整数，因此Z=X+Y的取值也为全体非负整数。 的取值也为全体非负整数 由概率的运算法则知，对一任非负整数k，有 由概率的运算法则知，对一任非负整数 ，
由于存在面积不为0的区域， 由于存在面积不为 的区域， 的区域 f (x, y) ≠ f X ( x) fY ( y) 故X和Y不独立 . 和 不独立

概率论：二维随机变量的函数的分布

概率论：二维随机变量的函数的分布

( X ,Y ) Z X Y
(1, 2 ) (1,4 ) ( 3, 2 ) ( 3 ,4 )
3 5 5 7
所以
Z X Y P
3
0.18
5
7
0.54
0.28
具有可加性的两个离散分布
设 X ~B (n1, p), Y ~B (n2, p), 且独立， 则 X + Y ~ B ( n1+n2, p) 设 X ~ P (1), Y ~ P (2), 且独立， 则 X + Y ~ P(1+ 2)
证明过程见73页例3.21
三、连续型随机变量函数的分布
问题 已知二维随机变量( X ,Y )的密度函数， g(x,y)为已知的二元函数， 求 Z= g( X ,Y ) 的密度函数. 方法 从求Z 的分布函数出发,将Z 的分布函数 转化为( X ,Y )的事件
连续型随机变量函数的分布主要形式
(1) Z X Y 的分布
□
卷积计算思路
f Z ( z) f X ( x) fY ( z x)dx


在xoz平面上确定被积函数及其非零区域D;
参照D就z在(-∞,+∞)上进行分段;
对上述各分段中取定的z值,就x从- ∞积分至 +∞,实际只需在非零区域D上一段积分. 注意：上述也是一般参量积分的计算方法。

x2 2
e
( z x)2 2
dx
1 e z 2 t x
2
z 2 z ( x ) 2 4 2
e
dx
1 e 2
z 2 t 2 4
e
dt
1 e 2 z 1 2( 2 ) e ( z ). 2 2

3.5两个随机变量的函数的分布


1
2
x2 y2 z
x2 y2
e 2 dxdy
x2 y2 z
作极坐标变换 x r cos ， y r sin ， 则有
FZ
z
1
2
z r2
z r2
d e 2 rdr e 2 rdr
2 0 0
0
z r2
FZ
z
0
e
2 rdr 0
z0 z0
Z= X2 +Y2的概率密度
f
Z
z
ze
Fm ax( z )
FX
( z ) FY
(z)
(1 0,
ez
)(1
e z
),
z 0, z 0.
于是Z的概率密度为
fmax(z)
ez
0,
e z
(
)
e(
)z
,
z 0, z 0.
(3)备用的情况
由于这时当系统L1损坏时系统L2才开始工作, 因此整个系统L的寿命Z是L1,L2两者寿命之和, 即 Z=X+Y 按(5.3)式, 当z>0时Z=X+Y的概率密度为
f (z)
fX (z y) fY ( y) d y
e (z y) ey d y
ez
z 0
e( ) y
d
y
[ez
ez ].
当z0时, f(z)=0, 于是Z=X+Y的概率密度为
f
(
z
)
[ez
e
z
],
z 0,
0,
z 0.
作业 第三章习题
第106-108页 第19、21题
PX 10 PY 6 0.3 0.6 0.5 0.4 0.38 PZ=17 PX 10,Y 7 PX 11,Y 6 PX 10 PY 7

概率统计课件3.5两个随机变量的函数的分布.


2018/10/8
e
1

k 2
k!
e
2

1
1!
e
1


k 1 2
( k 1)!
e
2



k 1
k!
e
1
e
2
1 ( 1 2 ) k k e [2 12k 1 k! 1!
1k ]
k
(1 2 ) ( 1 2 ) 1 ( 1 2 ) k e (1 2 ) e k! k!
参数为 i , 的分布, 则其和 X1 X 2
服从参数为 2018/10/8
Xn

i 1
n
i
, 的分 布.
1 1 ▲ 特别当 1 2 n , 时， 2 2 X X1 X 2 X n 的密度函数为：
x n 1 1 2 2 x e x0 n f X ( x ) 2 2 ( n 2 ) 0 x0 此时则称 X 服从自由度为 n 的开平方分布，记 2 X ~ (n) 为：
第五节 两个随机变量的函数的分布
Z X Y
的分布
M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布
小结
研究的问题 在一维随机变量中讨论了：已知随机 变量 X 及它的分布，如何求其函数 Y g( X ) 的分布。 在多维随机变量中需讨论：已知随机变 量X1, X2, …,Xn 及其联合分布，如何求 出它们的函数： Yi =gi (X1, X2, …,Xn ), i = 1, 2,…, m 的联合分布。
X 与 Y 的取值均为： 0, 1, 2,
Z 的取值也为非负的整数 k P (Z k) P ( X Y k)

随机变量函数的分布


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二. 二维随机变量函数的分布 1. (X,Y)离散 Z g( X ,Y )离散 : z1, z2, , zk , P(Z zk ) P( g( X ,Y ) zk ) P((X ,Y ) G)
如, G ( xi1 , yi1 ), ( xi2 , yi2 ), ( xim , yim )
复习:设 X~N（0，1），其概率密度为：
x
1
x2
e 2 , x
2
上页 下页 返回
(1)FY ( y) P(Y y) P(aX b y)
yb
yb
P( X a ) FX ( a )
两边同时对y求导：
fY ( y)
f
X
(
y
a
b
)
1 a
1
e
(
yb)2 2a2
2 a
y
P(Y yk ) P( g( X ) yk ) P( X G)
加法
如, G xi1 , xi2 , xim
使 g( X ) yk 对应的X的那些可能值, X取那些可能值的概率之和。
上页 下页 返回
2.设X是一维连续型随机量，其概率密度 已知， y=g(x)连续 ，则 Y=g(X)为连续型随机量，求其概率密 度 fY ( y)
3、几种重要的离散型分布
X ~ b(n, p); X ~ ()
上页 下页 返回
4、连续型随机变量的概率密度
x
F (x) f (t)dt
(2)Y ln X
的 概 率 密 度。
上页 下页 返回
(1)解:
FY ( y) P(Y y) P(2X 1 y)
y1
y1
P( X 2 ) FX ( 2 )

第三章第五讲 两个随机变量的函数的分布


FY y 1 ；y<a, FY y 0
=X的分布函数值表示此区间概率
二 连续型 已知 ( X , Y ) 的联合密度函数 f ( x, y) , Z g ( X , Y ) ,其中
z g ( x, y) 为连续函数,求 Z 的密度函数.
思路：分布函数方法（先求Z的分布函数，然后对其 求导得其密度函数）
FZ ( z )
g ( x , y ) z

f ( x, y )dxd y (u )du

z
得f Z ( z )=FZ ( z )= ( z )
二 U max( X , Y )及V min( X , Y )的分布
设X , Y是两个相互独立的随机变量, 它们的分布函数 分别为FX ( x)和FY ( y)。现求U及V的分布函数
0
z
z 1
Z
1
0
X
即
fZ ( z)

( x) fY ( z x)dx e
0
1
( z x)
dx, z 1
其它
(e 1)e z ,
1－e , 0 z 1
z
0
z 1
其它
总结公式 （1）Z X Y的分布
f Z ( z)

f ( x, z x) d x=
1 2



z2 4
e
x2 2
e
( z x )2 2
dx
1 e 2

2


e
z ( x ) 2 2
dx
令
1 fZ ( z) e 2
z t x 2
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其中 α 0, β 0 且 α β . 试分别就以上三种连接方 L1 式写出 L 的寿命 Z的概率密度.
L1
X
Y
X L1
Y L2
L2
X Y
L2
概率论
解 (i) 串联的情况 由于当系统 L1 , L2中有一个损坏时, 系统 L 就停 止工作, 所以此时 L 的寿命为
Z min X , Y
e
z 2 ( x ) 2
dx
令 t x , 得
2
z
fZ z
1 2π

z
2
e
4



e
t
2
dt
z
2 2
1 2π

z
2
e
4

π


1 2π 2
e
2

2
可见 Z=X+Y 服从正态分布 N(0,2).
若X和Y 独立 , 具有相同的分布 N(0,1) , 则Z=X+Y 服从正态分布 N(0,2).
2 若X和Y 独立, X ~ N ( 1 , 12 ), Y ~ N ( 2 , 2 ), 结论又如何呢?

概率论
用类似的方法可以证明:
Z X Y ~ N ( 1 2 , )
2 1 2 2
此结论可以推广到n个独立随机变量之和的情形, 请自行写出结论.
概率论
更一般地, 可以证明: 有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态 分布.
fZ ( z )


f X ( x ) fY ( z x )dx
x
2
2π
1

e
z
2
e

z x
2
2
dx
2

2π
1 2π
1


e
z
2
2
e




e
z 2 ( x ) 2
dx
概率论

1 2π

z
2
e
4



概率论
一、Z X Y 的分布
例1 若 X、Y 独立，P(X=k)=ak , k=0 , 1 , 2 ,…, P(Y=k)=bk , k=0,1,2,… ,求 Z=X+Y 的概率函数. 解
P( Z r) P( X Y r)
P ( X i ,Y r i ) P ( X i ) P (Y r i )
fZ ( z ) F ( z )
' Z
f ( x, z x )dx
以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.
概率论
特别地，当 X 和 Y 独立，设 (X,Y) 关于 X , Y 的边 缘密度分别为 fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为:
f Z ( z)
X z N z Y z
由于 X 和 Y 相互独立,于是得到 N = min(X,Y) 的分布 函数为:
FN(z) =1- P(X>z)P(Y>z)
即有
FN(z)= 1-[1-FX(z)][1-FY(z)]
概率论
设 X1,…,Xn 是 n 个相互独立的随机变量,它们的 分布函数分别为
FX
i
z (i = 1, …, n)
我们来求 M=max(X1,…,Xn) 和N=min(X1,…,Xn) 的分布函数. 用与二维时完全类似的方法，可得 M=max(X1,…,Xn)的分布函数为:
FM z FX FN z 1 [1 FX
1
z FX z FX z

r -i 2
i!
(r - i)! r!

e
( 1 2 )
r!
i! (r - i)!
i 0
12
i r -i

e
( 1 2 )
r!
( 1 2 ) ,
r
r=0,1,…
即Z服从参数为 λ1 λ2 的泊松分布.
概率论
例3 设X和Y的联合密度为 f (x,y) , 求 Z=X+Y 的概率密度. 解 Z=X+Y的分布函数是:
e
1
i
j 2
i!
e
2
i=0,1,2,… j=0,1,2,…

于是
r
j!
P ( Z r ) P ( X i ,Y r i )
i 0
概率论
r
P ( Z r ) P ( X i ,Y r i )
i 0
r
e
i 0
-1

i 1
e
r
-2
概率论
例6 设系统 L 由两个相互独立的子系统 L1 , L2 连接而成,连接的方式分别为 (i) 串联, (ii) 并联, (iii) 备用 (当系统 L1 损坏时, 系统 L2 开始工作) , 如下图 所示.设 L1 , L2 的寿命分别为 X ,Y , 已知它们的概 率密度分别为
αe αx , x 0 , fX x x0, 0 , βe βy , y 0 , fY y y0, 0 ,
概率论
(ii) 并联的情况
由于当且仅当系统 L1 , L2 都损坏时, 系统 L 才停 止工作, 所以此时 L 的寿命为
Z max X , Y

L1
故 Z max X, Y 的分布函数为
Fmax z FX x FY y
(1 e αz )(1 e βz) , z 0 , z 0, 0 ,

f ( z) Z

f X ( z y ) fY ( y )dy f X ( x ) fY ( z x )dx


卷积公式 下面我们用卷积公式来求Z=X+Y的概率密度.
概率论
例4
若 X 和Y 独立, 具有共同的概率密度
1, 0 x 1 f ( x) 0, 其它
求 Z=X+Y 的概率密度 . 解 由卷积公式
fZ ( z )
0 x 1 0 z x 1

f X ( x ) fY ( z x )dx
为确定积分限,先找出使被积函数不为 0 的区域 也即
0 x 1 z 1 x z
f Z ( z)

概率论

f X ( x ) fY ( z x )dx
暂时固定
z x 1
故 当 z 0 或 z 2 时 , f Z z 0.
当 0 z 1时 ,
fZ z

z
0
dx z
当 1 z 2时 ,
fZ z
z
2 z 1 z O

1 z 1
概率论
于是 Z min X ,Y 的分布函数为
Fmin z
= 1-[1-FX(z)][1-FY(z)]
1 e ( α β ) z , z 0 , z0, 0 ,
Z min X ,Y 的概率密度为
α β e ( α β ) z , z 0 , f min z Fmin z z0, 0 ,
FZ z P Z z P X Y z
y
0
x
x y z


D
f ( x, y)dxdy
这里积分区域 D={(x, y): x+y ≤z} 它是直线 x+y =z 及其左下方的半平面.
概率论
FZ ( z )
x y z
f ( x, y)dxdy
y
当 z>0 时,
fZ z

z
αe
α z y
βe
βy
dy
0
概率论
fZ z

z
αe
α z y
βe
βy
dy dy
0 αz
αβe


z
e
β α y
0
αβ βα
(e
αz
e
βz
).
于是 Z X Y 的概率密度为

X L1 Y L2
因为 X 的概率密度为
αe αx , x 0 , fX x x 0, 0 ,
所以 X 的分布函数为
FX x

x

f X t dt
概率论
FX x

x

f X t dt
x
当 x 0 时 , FX x 0dt 0 当 x>0时,
FX x

0

0dt e
0
x
αt
dt 1 e αx


x
x 0
x
故
1 e αx , x 0 , FX x x0, 0 ,
类似地 , 可求得 Y 的分布函数为
1 e βy , y 0 , FY y y0, 0 ,
i 0 i 0 r r
由独立性
=a0br+a1br-1+…+arb0
r=0,1,2, …
概率论
例2 若 X 和 Y 相互独立,它们分别服从参数为λ1 , λ2 的泊松分布, 证明Z=X+Y服从参数为 λ1 λ2 的泊松分布. 解 依题意