2.2.微分方程模型(II)

σ ≤1
di/dt < 0
di 1 = −λ i[i − (1 − )] dt σ
σ ≤ 1, i (t ) ↓ .
0
t
接触数σ =1 ~ 阈值
感染期内有效接触感染的健康者 人数不超过治愈的病人数
模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例？
传染病模型
模型4
传染病有免疫性——病人 治愈后即移出感染系统， SIR模型 称移出者（Remover）
数学模型讲座 微分方程模型之一
传染病模型
北京化工大学数学建模指导小组
传染病模型
问题
• 描述传染病的传播过程 • 分析受感染人数的变化规律 • 预报传染病高潮到来的时刻 • 预防传染病蔓延的手段 • 按照传播过程的一般规律， 用机理分析方法建立模型
传染病模型 动态 模型
• 描述对象特征随时间(空间)的演变过程 • 分析对象特征的变化规律 • 预报对象特征的未来性态 • 研究控制对象特征的手段
y (t )
m>0
m=0
m<0
mc
y0 rx s rx s x d > = x0 c r y s ry s y
线性律 模型
m < 0时甲方胜 m = 0时平局
−m d
x(t )
混合战争模型
甲方为游击部队，乙方为正规部队 • 甲方战斗减员率还随着甲方兵力的增加而增加 f (x, y)= −c x y, c ~ 乙方每个士兵的杀伤率 • 乙方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力 g(x, y)= −bx, a ~ 乙方每个士兵的杀伤率 • 忽略非战斗减员 • 假设没有增援
x′(t ) = −ay y′(t ) = −bx x(0) = x , y(0) = y 0 0
dy b x = dx a y
ay − bx = k ⇒ 2 2 k = ay0 − bx0
2 2
正规战争模型
k > 0 ⇒ x = 0时 y > 0
ay 2 − bx 2 = k 2 2 k ay bx = − 0 0
x′(t) = −cxy y′(t) = −bx x(0) = x , y(0) = y 0 0
混合战争模型
x′(t) = −cxy 2 − 2bx = n cy ⇒ 2 y′(t) = −bx = − n cy 2 bx 0 0 x(0) = x , y(0) = y 0 0
di = λ i (1 − i ) − µ i, ⇒ dt i (0) = i0
λ σ = µ
λ ~ 日接触率
1/µ ~平均传染期
σ ~ 一个传染期内每个病人的 有效接触人数，称为接触数。
传染病模型
模型3
di/dt
di = λ i (1 − i ) − µ i, dt
λ σ = µ
在D內考察相轨线 i ( s )
i
1 D
1 di = − 1, σ s ds i ( s 0 ) = i0 .
s(t)单调减→相轨线的方向 t → ∞ , i → 0 . 证明
s∞ =0 ( s 0 + i 0 ) − s ∞ + ln s0 σ 1
im
s =
1
σ
, i = im
0 s ∞
1
1
s
σ
模型4
在D內考察相轨线 i ( s ) i
1 di di 1 dt = λis − µi, = −1, ⇒ ds σ s ds D λ = − si , i(s0 ) = i0 . dt i(0) = i0 , s(o) = s0 . im 1 s i ( s ) = ( s0 + i0 ) − s + ln σ s0 0
x′(t ) = − ay − α x + u (t ) y′(t ) = −bx − β y + v(t )
• 忽略非战斗减员 • 假设没有增援
x′(t ) = − ay ⇒ y′(t ) = −bx x(0) = x , y (0) = y 0 0
正规战争模型
为判断战争的结局，不求x(t), y(t) 而在相平面上讨论 x 与 y 的关系
假设
1）总人数N不变，病人和健康人 的比例分别为 i (t ), s (t ) 2）每个病人每天有效接触人数 为λ, 且使接触的健康人致病
λ~日 接触率
建模
N [i (t + ∆t ) − i (t )] = λ ⋅ Ni (t ) ⋅ s (t ) ⋅ ∆t
传染病模型
di = λ i (1 − i ), ⇒ dt i (0) = i0 s (t ) + i (t ) = 1
游击战争模型
x′(t) = −cxy y′(t) = −dxy x(0) = x , y(0) = y 0 0
dy d ⇒ = dx c cy − dx = m ⇒ m = cy 0 − dx 0
轨线为平行直线族
游击战争模型
m > 0 ⇒ x = 0时 y > 0 ⇒ 乙方胜 ⇓
y(t) n>0 n=0 n<0
1 di − 1, = ⇒ ds σ s i ( s0 ) = i0 .
相轨线
s i ( s ) = ( s0 + i0 ) − s + ln σ s0
1
传染病模型
SIR模型
相轨线s (t ), i (t )的定义域为 D = {( s, t ) s ≥ 0, t ≥ 0, s + t ≤ 1}
c = ry p y ry − −射中率
p y − −命中率 g ( x, y) = −d x y, d = rx px = rx sxy / s y
• 忽略非战斗减员 • 假设没有增援
py=sry /sx sx ~ 甲方活动面积 sry ~ 乙方射击有效面积
x′(t) = −cxy y′(t) = −dxy x(0) = x , y(0) = y 0 0
精确解无法求出 我们在相平面上研究 s(t), i(t)的变化规律。
传染病模型
什么是相平面分析(phase-plane analysis)？
对于微分方程组
如果我们只关心 t 变化时 , x(t ), y (t )之间的变化关系 ,
dx dt = f ( x, y,t ) dy = g ( x, y,t ) dt
i 1
di = λ si dt
SI 模型 Logistic方程
Logistic模型
i (t ) =
i0 0 t
1 1 −λ t 1 + ( − 1) e i0
传染病模型
SI 模型
i 1 1/2 i0 0 tm t
i (t ) =
1 1 1 + ( − 1) e − λ t i0
1 ln( = − 1) λ i0
di 1 ⇒ = −λ i[i − (1 − )] σ dt
i i0
1-1/σ
SIS 模型
σ >1
σ >1
0
1-1/σ
1
i
i0
0
1 1 − , σ > 1 i (∞ ) = σ 0, σ ≤ 1
t
σ >1 ⇒ s (t )按S形曲线增长 i0小
传染病模型
i i0
SIS 模型
我们可以在 xoy平面上 研究点( x(t ), y (t ))的轨迹 .
xoy平面称为 相平面。 点( x(t ), y (t ))的轨迹称为 相轨线。
传染病模型
什么是相平面分析(phase-plane analysis)？
类似地，对于二阶微分方程
d 2x dx ,t) = f ( x, 2 dt dt
di = λi λt dt i t i e ( ) ⇒ = 0 i (0) = i0 (t → +∞, i(t ) → +∞) 合理吗？？ 若有效接触的是病人， 则不能使病人数增加 必须区分已感染者(病 人)和未感染者(健康人)
传染病模型
模型2
区分已感染者(病人)和未感染者(健康人) (infective) (susceptible) SI 模型
y (t )
k b
乙方胜 平方律 模型
⇓ y0 x 0
k =0 k <0
2
k >0
rx p x b > = a ry p y
k = 0时平局 k < 0时 ⇒甲方胜
0
−
k b
x(t )
游击战争模型 双方都用游击部队作战
• 甲方战斗减员率还随着甲方兵力的增加而增加 f (x, y)= −c x y, c ~ 乙方每个士兵的杀伤率
第一次世界大战Lanchester提出预测战役结局的模型 战争分类：正规战争，游击战争，混合战争 只考虑双方兵力多少和战斗力强弱 兵力因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加 战斗力与射击次数及命中率有关
一般模型
x(t) ~甲方兵力，y(t) ~乙方兵力 • 每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力 模型 假设 • 每方非战斗减员率与本方兵力成正比 • 甲乙双方的增援率为u(t), v(t)
传染病模型
SIR模型
1
σ
P4
称为阈值
P2
P1∗ P3
S0
s∞
11 / σ s0
1
s
P 1 : s0 >
1
σ 1 P2 : s0 < ⇒ i (t )单调降至 0 σ
⇒ i (t )先升后降至 0