第二章(1) 数学模型(微分方程)A

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第二章1_被控过程的数学模型-单容多容

2.2 采用物理机理方法建模
(1) 单容过程的建模
只有一个存储容量的过程。自衡单容过程和无自衡单容过程。
自衡过程：被控过程在扰动作用下，平衡
状态被破坏后，无需操作人员或仪表的干
预，依靠自身能够恢复平衡的过程。
自衡过程的阶跃响应图
无自衡过程：被控过程在扰动作用下，平衡状态被破坏后，若无操作人员或仪表的干预，依靠自身能力不能恢复平衡的过程。无自衡过程的阶跃响应图
2.1 概述
建立数学模型的方法：

物理机理方法建模
根据过程的内在机理，运用已知的静态和动态的能量（物料）平衡关系，用数学推理的方法建立数学模型。

实验辨识（系统辨识和参数估计法）
根据过程输入、输出的实验测试数据，通过辨识和参数估计建立过程的数学模型。

混合法
首先通过机理分析确定过程模型的结构形式，然后利用实验测试数据来确定模型中各参数的大小。
则系统特性可用下列微分方程式来描述：
2.1 概述
a n c ( n ) (t ) a n1c ( n1) (t ) a1c(t ) a0 c(t ) bm r ( m) (t ) bm1r ( m1) (t ) b1r (t ) b0 r (t )
式中 an , an1 ,, a1 , a0 及 bm , bm1 ,, b1 , b0 分别为与系统结构和参数有关的常系数。它们与系统的特性有关，一般需要通过系统的内部机理分析或大量的实验数据处理才能得到。
2.1 概述
(b) 传递函数复数域模型包括系统传递函数和结构图，传递函数不仅可以表征系统的动态特性，而且可以用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。线性定常系统的传递函数定义为零初始条件下，输出量（响应函数）的拉普拉斯变换与输入量（输入函数）的拉普拉斯变换之比。拉普拉斯变换为：

线性系统的数学模型

第二章线性系统的数学模型
描述控制系统输入、输出变量及内部变量之间关系的数学表达式称为系统的数学模型。
★ 描述控制系统的输入－输出变量数学模型:
微分方程、传递函数、方框图、频率特性
★ 描述控制系统的内部变量数学模型：状态空间
说明 ◆ 要分析自动控制系统的性能，必须先建立该系统的数学模型； ◆ 一个物理系统，要处理的问题或要达到的精度不同，得到的数学模型也不同。
3.反馈
R(S) E(S) ＋ B(S) H(S) C(S)
G(S)
负反馈正反馈单位反馈：H(S)＝1
主要内容
§2－1 微分方程 §2－2 传递函数
§2－3 典型环节的传递函数及动态响应
§2－4 电气网络的运算阻抗与传递函数 §2－5 方框图 §2－5 反馈控制系统的传递函数
§2－1
微分方程
对于线性定常系统, 可以用线性常系数微分方程作为其数学模型，如 a 0dnc (t)/dtn +a1dn-1c (t) /dtn-1+…＋anc (t) =b0dmr(t)/dtm +b1dm-1r(t)/dtm-1+…+bmr(t) c(t): 系统的输出； r(t): 系统的输入； a0……an ; b0……bm 均为实数，均由系统本身的结
对电气网络，可以不列微分方程，仅利用运算电路，经过简单的代数运算，就可以求得传递函数！
§2－5 控制系统的方框图
方框图是以图形表示系统的数学模型；
通过方框图，能够非常清楚地表示出信号在系统各
环节之间的传递过程；
方框图可以方便地求出复杂系统的传递函数；方框图是分析控制系统的一个简明而有效的工具。
八.二阶振荡环节 1、传递函数

机械工程控制基础--第二章

,
Cm
Tm J
得
TaTm
d2
dt 2
Tm
d
dt
Cdua
CmTa
dM L dt
CmM L
TaTm
d2
dt 2
Tm
d
dt
Cdua
CmTa
dM L dt
CmM L
设电动机处于平衡态，导数为零，静态模型
Cdua CmML 设平衡点 (ua0,ML0, )
L
R
即有 Cdua0 CmML0 ua
i2R2
1 C2
i2dt
1 C1
(i1 i2 )dt
1
C2 i2dt u2
i1 C1
3. 消除中间变量 i1、i2，并整理：
R1C1R2C2
d2u2 dt 2
(R1C1
R2C2
R1C2
)
du2 dt
u2
u1
R2 i2 C2 u2
例5 直流电动机 1. 明确输入与输出：
输入ua 和ML，输出
注意：负载效应，非线性项的线性化。
3. 消除中间变量，得到只包含输入量和输出量的微分方程。
4. 整理微分方程。输出有关项放在方程左侧，输入有关项放在方程右侧，各阶导数项降阶排列。
an
x(n) o
(t
)
a x(n1) n1 o
(t
)
a1xo (t) a0xo (t)
bm
x(m) i
(t
)
bm1xi(
...
a1 s
a0
(n m) 传递函数
传递函数定义：
零初始条件下，线性定常系统输出的拉氏变换与输入的拉
氏变换之比。

2-1控制系统的时域数学模型

(2)消去中间变量 i(t) (2) (t)
duo (t ) ui (t ) = RC + uo (t ) dt
(3)标准化
duo (t ) RC + uo (t ) = ui (t ) dt
例2 对两级RC无源网络，列写以ui(t)为输入量，uo(t)为输出量的网络微分方程式。
由基尔霍夫电压定律
机械力学系统的数学模型：机械力学系统的数学模型：
d 2 y (t ) dy (t ) m + f + ky (t ) = F (t ) 2 dt dt
相似系统相似系统便于用一个简单的系统去研究与其相似的复杂系统，也为控制系统计算机仿真提供了基础。复杂系统，也为控制系统计算机仿真提供了基础。
小结
取一次近似，取一次近似，且令
∆y( x) = y( x) − y( x0 ) ≈ −E0 sin x0 ⋅ ( x − x0 )
既有
∆y = −E0 sin x0 ⋅ ∆x
例：单摆系统的运动方程为
试列写其线性化方程。试列写其线性化方程。解：运动方程中的非线性项为
预定工作点为 [θ0 ,ϕ0 ]
Class is over. ByeBye-bye!
式中：
T1 = R1C1
T2 = R2C2
T3 = R1C2
牛顿定律约束
机械系统
例3 一个由弹簧、质量、阻尼器组成的做直线运动的力学系统。图中，m为物体的质量，k为弹簧系数，f为粘性摩擦系数，F(t)为物体受到的外作用力，y(t)为物体的位移。试列写质量m在外力 F(t)作用下，位移y(t)的运动方程。
元件约束
d 2uo (t ) duo (t ) R1C1 R2C2 + ( R1C1 + R2C2 + R1C2 ) + uo (t ) = ui (t ) 2 dt dt dt

控制工程基础第二章——数学模型

② 脉冲函数：脉动函数的极限，t0看作变量。
A
fT
(t)
lim
t0 0
t0
d [ A(1 et0s )]
L[
fT
(t
)]
lim
t0 0
A t0s
(1
et0s
)
lim t0 0
dt0
d dt0
(t0 s )
As A s
单位脉冲（Dirac）定义：
面积为1的脉冲函数
(t)dt 1, (t 0, (t) 0)
fi (t)
此式为二阶常系数线性微分方程。
系统的数学模型可用方块图表示：
方块图描述了系统
中信号转换、传递的过程，给出了系统的工作原理。
☆ 举例2：电网络系统
设输入端电压ui(t)为系统输入量。电容器c两端电压uo(t)为系统输
出量。现研究输入电压ui(t)和输出电压 uo(t)之间的关系。电路中的
.
(n)
x(t) sX (s) x (t) s n X (s)
x(t)dt
1 sn
X
(s)
①平移函数、延迟函数
对于函数 f (t) 函数 f (t )
称为延迟函数，函数本身并
不发生改变，只是延迟α时
间才发生。
注意：t 时，函数 f (t ) 0
②延迟定理
若 f (t) F (s) 则有 f (t ) es F (s) 延迟函数的拉氏变换原函数的拉氏变换乘以 es
显然 (t) 1, A (t) A
结论：脉冲函数是面积函数；脉冲函数的拉氏变换就是脉冲下的面积。换言之，复数域中的实数在时域里是脉冲函数。
☆ 关于单位脉冲函数的说明

自动控制原理：第二章--控制系统数学模型全

TaTLma KJe K
dMdML m dtdt
L
Tm
Ra J K eKm
——机电时间常数(秒)；
Ta
La Ra
—电动机电枢回路时间常数 (秒)
若输出为电动机的转角q ，则有
TaTm
d 3q
dt 3
Tm
d 2q
dt 2
dq
dt
1 Ke
ua
Tm J
ML
TaTm J
dM L dt
—— 三阶线性定常微分方程 9
（1）根据克希霍夫定律可写出原始方程式
（（23））式消LuLCcdd中去(titd)i中2d是utRc间2(中Cti1)变间C1量iR变dCti量idd后udt，ct，(t它)u输r与u(入tc输)(输t)出出uu微rc((tt)分)有方如程下式关系
或
T1T2
d 2uc (t) dt 2
T2
duc (t) dt
扰动输入为负载转矩ML。（1）列各元件方程式。电动机方程式为：
TaTm
d 2w
dt 2
测输T速Km出发td为d电wt电测压机速w 反 K馈1e系ua数
Tm J
M反L馈电TaJT压m
dM L dt
ua Kae ut Ktw e ur ut 12
（2）消去中间变量。从以上各式中消去中间变
量ua，e，ut，最后得到系统的微分方程式
线性(或线性化)定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比称为传递函数。
令线C性(s定)=常L[c系(t统)]，由R下(s)述=Ln阶[r(微t)]分，方在程初描始述条：件为零
时[[aab，nnmbssdmdn进mt+ndn+dt行acmmbn(tm拉-r1)-(s1t氏ns)-am1变n+-1b1+…m换dd…1t+，nndd+1a1t得mm1bcs1(11到+ts)r+a关(t0b)]于0C]的RD(sM的s的a(()分s1s(分))=代sdbd为母)t1子为数cd传d多(tt多传方)r递项(项t程递函)式a式0函数c。b(0数tr) (t)

第2章-1-微分方程

K
eo
eo
ei
e
i1 i2 i3
i1 ui u R1
u u 0
d(u uo ) i2 C dt
i3
u uo R2
有源网络的微分方程为
C
duo uo ui dt R2 R1
自动控制原理
2.1.3 机电系统
电枢
1．直流电动机，控制电压
Ce (t ) ua (t )
自动控制原理
2.1.3 机电系统
La Ra
磁场控制式直流电动机微分方程为

Rf
转动惯量 J 摩擦系数 f
激磁电流负载
d 2 (t ) d (t ) Lf J Lf f Rf J R f f (t ) kmu f (t ) 2 dt dt dM c (t ) Lf R f M c (t ) dt
自动控制原理
第2章自动控制系统的数学模型
2.1 控制系统的微分方程
2.2 控制系统的传递函数
2.3 方块图
2.4 控制系统的信号流图
数学模型：系统的输入/输出时间函数描述
物理模型——任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以
对它作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。简化后的元件或系统称为该元件或系统的物理模型。简化是
V
H
M
x
P M
自动控制原理
2.1.1 机械系统
• 简化物理模型 • 列写控制系统各部分的微分方程 • 在平衡点附近线性化各部分的微分方程：
I V sin H cos
d2 m 2 ( x sin ) H dt

第二章控制系统数学模型

s s 后，再求 F (s) 的极限值来求得。条件是当 t 和s 0时，等式两边各
有极限存在。
终值定理在分析研究系统的稳态性能时(例如分析系统的稳态误差，求取系统
输出量的稳态值等)有着很多的应用。因此终值定理也是一个经常用到的运算
定理。
7.初值定理： lim f (t) lim sF (s)
18
2
例2-1：写出RLC串联电路的微分方程。
ui
L
R
i
C
uo
ui 输入
uo 输出
[解]：据基尔霍夫电路定理：
L di dt
Ri
1 C
idt
ui
①
uo
1 C
idt
②
由②： i C d，uo代入①得： dt
LC
d 2uo dt 2
RC
duo dt
uo
ui
这是一个线性定常二阶微分方程。
3
例2-2 设一弹簧、质量块、阻尼器组成的系统如图所示，当外力 F(t)作用于系统时，系统将产生运动。试写出外力F(t)与质量块的位移y(t)之间的微分方程。
uR uc Us
把 uR i R
和
ic
C
duc dt
代入电路，可得到电路的
微分方程：
RC
duc dt
uc
Us
23
现在对于上面的微分方程，我们用Laplace变换求解。
首先，利用Laplace变换中的微分定理，将微分方程变换成如下形式：
RC
duc dt
uc
Us
RCsU c (s) Uc (s) Us R(s)
利用待定系数法可求得：
A 1 ARC B 0
F (s) L[ f (t)] f (t)e st dt 0

第二章微分方程

]
[
]
lim f ( t ) = lim s ⋅ F ( s )
t →0 s →∞ s→0
lim f ( t ) = lim s ⋅ F ( s )
t →∞
2.3
非线性数学模型线性化
实际意义上纯粹的线性系统是不存在的，组成系统的元件或多或少地存在着非线性特性，对非本质的非线性特性我们要进行线性化处理，既线性近似。
图2
[解]：这是直线机械位移动力学系统，可以假定系统采用集中参数，m为质点。 (1)系统的输入为F(t)，输出为y(t)，弹簧的弹性阻力为Fk(t)，阻尼器的阻尼力为Ff(t)均为中间变量。 (2)画出m的受力图如左图2。
(3) 由牛顿第二定律（即加速度定律）：
d2y ∑ Fi = ma = m 2 dt
或 i L (t ) =
1 ∫ u L (t )dt L
3．弹簧：弹性力它是一种弹簧的弹性恢复力，其大小与机械变形成正比，
弹性力分平动和旋转两种。平动弹簧的弹性力：
F = ky = k ∫ vdt
旋转弹簧的弹性力：
1 dF v= k dt
1 dT ω= k dt
T = kθ = k ∫ ω dt
d2y 即 F (t ) - Fk (t ) − Ff (t ) = m 2 dt
(4)列写中间变量Fk(t) 、 Ff(t)表达式：F (t ) = ky (t ), F (t ) = f k f
dy dt
(5)将上述中间变量的辅助方程代入原始方程，消去中间变量 Fk(t) 和Ff(t)
dy d2y F (t ) - ky (t ) − f =m 2 dt dt d2y dy (6)标准化，得到 m 2 +f + ky (t ) = F (t ) dt dt

第2章数学模

式中，T为积分时间常数。
15
3. 惯性环节
惯性环节又称为非周期环节，其输出量延缓地反映输入量的变化规律。
运动方程为：
传递函数为： G(s) 1 Ts 1
式中:T为时间常数
惯性环节的传递函数有一个负实极点 p ，1无T零点，阶
跃响应是按指数规律上升的曲线，如图
16
5.振荡环节振荡环节包含两个储能元件，在动态过程中，两个
结构图包含四种基本单元：（１）信号线（２）引出点（3）比较点（４）方框
22
绘制系统框图的一般步骤为：１）列出描述系统各环节或元件的运动方程式，确定
其传递函数。２）绘出各环节或元件的方框，方框中示明其传递函
数，并以箭头和字母符号表明其输入量和输出量。３）根据信号的流向关系，依次将各方框连接起来，
第2章控制系统的数学模型
2.1 微分方程 2.2 传递函数 2.3 结构图 2.4 信号流图 2.5 MATLAB中数学模型的表示
1
2.1 微分方程
2.1.1 系统微分方程的建立
列写微分方程的一般步骤是：
１）根据实际工作情况，确定系统或各元器件的输入变量和输出变量。
２）从输入端开始，按照信号传递的顺序和各元器件所遵循的物理规律，列出微分方程组。
u
* n
，输出量为电动机转速
n
。
例2-7 原理图
例2-7 结构图
26
2.3.2 结构图的等效变换及化简
结构图等效变换的两条基本原则是： 1）变换前后前向通道中传递函数的乘积应保持不变； 2）变换前后各回路中传递函数的乘积应保持不变。
1. 基本连接的等效变换
结构图的基本连接方式有三种：串联、并联和反馈。（1）串联

第二章 (2.1,2.2)控制系统的微分方程、传递函数

拉氏变换的重要应用——解线性定常微分方程

求微分方程的拉氏变换，注意初值！！
求出 C ( s ) 的表达式拉氏反变换，求得 c (t )
例1 已知系统的微分方程式，求系统的输出响应。
d 2c(t ) dc(t ) 2 2c(t ) r(t ) 2 dt dt d2 解：在零初态下应用微分定理： 2 s 2
+
i (t )
R
–
u (t )
+
i (t )
u (t ) i (t ) R
du ( t ) 1 i (t ) dt C
di (t ) u (t ) L dt
电容
C
–
u (t )
+
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱi (t )
电感
u (t )
–
L
机械系统三要素的微分方程
设系统输入量为外力，输出量为位移
d 2 x (t) m f (t) 2 dt
d uc (t ) duc (t ) LC RC uc (t ) ur (t ) 2 dt dt
2
3．机械位移系统
输入量为外力: F (t ) 输出量为位移: y (t )
dy 2 (t ) 依据牛顿定律： F m dt 2
dy (t ) d y (t ) F (t ) ky (t ) f m 2 dt dt
d 2 y (t ) dy (t ) m f ky (t ) F (t ) 2 dt dt
微分方程结构一致二阶线性定常微分方程
不同形式的物理环节和系统可以建立相同形式的数学模型。
系统微分方程由输出量各阶导数和输入量各阶导数以及系统的一些参数构成。 n阶线性定常系统的微分方程可描述为：

控制系统数字仿真第二章习题答案

控制系统数字仿真与CAD第二章习题答案2-1 思考题：（1）数学模型的微分方程，状态方程，传递函数，零极点增益和部分分式五种形式，各有什么特点？（2）数学模型各种形式之间为什么要互相转换？（3）控制系统建模的基本方法有哪些？他们的区别和特点是什么？（4）控制系统计算机仿真中的“实现问题”是什么含意？（5）数值积分法的选用应遵循哪几条原则？答：（1）微分方程是直接描述系统输入和输出量之间的制约关系，是连续控制系统其他数学模型表达式的基础。

状态方程能够反映系统内部各状态之间的相互关系，适用于多输入多输出系统。

传递函数是零极点形式和部分分式形式的基础。

零极点增益形式可用于分析系统的稳定性和快速性。

利用部分分式形式可直接分析系统的动态过程。

（2）不同的控制系统的分析和设计方法，只适用于特定的数学模型形式。

（3）控制系统的建模方法大体有三种：机理模型法，统计模型法和混合模型法。

机理模型法就是对已知结构，参数的物理系统运用相应的物理定律或定理，经过合理的分析简化建立起来的各物理量间的关系。

该方法需要对系统的内部结构和特性完全的了解，精度高。

统计模型法是采用归纳的方法，根据系统实测的数据，运用统计规律和系统辨识等理论建立的系统模型。

该方法建立的数学模型受数据量不充分，数据精度不一致，数据处理方法的不完善，很难在精度上达到更高的要求。

混合法是上述两种方法的结合。

（4）“实现问题”就是根据建立的数学模型和精度，采用某种数值计算方法，将模型方程转换为适合在计算机上运行的公式和方程，通过计算来使之正确的反映系统各变量动态性能，得到可靠的仿真结果。

（5）数值积分法应该遵循的原则是在满足系统精度的前提下，提高数值运算的速度和并保证计算结果的稳定。

2-2.用matlab语言求下列系统的状态方程、传递函数、零极点增益、和部分分式形式的模型参数，并分别写出其相应的数学模型表达式：(1) G（s）=324327242410355024s s ss s s s+++++++(2).X=2.25 -5 -1.25 -0.542.25 -4.25 -1.25 -0.2520.25 -0.5 -1.25 -121.25 -1.75 -0.25 -0.75 0X⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦u y=[0 2 0 2] X（1）解：（1）状态方程模型参数:编写matlab程序如下>> num=[1 7 24 24];>> den=[1 10 35 50 24];>> [A B C D]=tf2ss(num,den)得到结果：A=-10 -35 -50 -241 0 0 00 1 0 00 0 1 0⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,B=1⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,C=[]1 7 24 24,D=[0]所以模型为:.X=-10 -35 -50 -241 0 0 00 1 0 00 0 1 0⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦X+1⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦u,y=[]1 7 24 24X(2)零极点增益:编写程序>> num=[1 7 24 24];>> den=[1 10 35 50 24];>> [Z P K]=tf2zp(num,den)得到结果Z= -2.7306 + 2.8531 , -2.7306 - 2.8531i ,-1.5388P= -4, -3 ,-2 ,-1K=1(3) 部分分式形式:编写程序>> num=[1 7 24 24];>> den=[1 10 35 50 24];>> [R P H]=residue(num,den)得到结果R= 4.0000 ,-6.0000, 2.0000, 1.0000P= -4.0000, -3.0000 , -2.0000 ,-1.0000 H=[]G(s)=46214321s s s s -+++++++（2）解：（1）传递函数模型参数：编写程序>> A=[2.25 -5 -1.25 -0.52.25 -4.25 -1.25 -0.250.25 -0.5 -1.25 -1 1.25 -1.75 -0.25 -0.75]；>> B=[4 2 2 0]'; >> C=[0 2 0 2];>> D=[0];>> [num den]=ss2tf(A,B,C,D)得到结果num = 0 4.0000 14.0000 22.0000 15.0000 den =1.0000 4.0000 6.2500 5.2500 2.2500324324 s + 14 s + 22 s + 15()s + 4 s + 6.25 s + 5.25 s + 2.25G s =(2) 零极点增益模型参数:编写程序>> A=[2.25 -5 -1.25 -0.52.25 -4.25 -1.25 -0.25 0.25 -0.5 -1.25 -1 1.25 -1.75 -0.25 -0.75]；>> B=[4 2 2 0]'; >> C=[0 2 0 2];>> D=[0];>> [Z,P,K]=ss2zp(A,B,C,D)得到结果Z =-1.0000 + 1.2247i -1.0000 - 1.2247i -1.5000P= -0.5000 + 0.8660i -0.5000 - 0.8660i -1.5000 -1.5000 K = 4.0000表达式 ()()()()()4s+1-1.2247i s+1+1.2247i ()s+0.5-0.866i s+0.5+0.866i s+1.5G s =（3）部分分式形式的模型参数：编写程序>> A=[2.25 -5 -1.25 -0.52.25 -4.25 -1.25 -0.25 0.25 -0.5 -1.25 -11.25 -1.75 -0.25 -0.75]；>> B=[4 2 2 0]'; >> C=[0 2 0 2];>> D=[0];>> [num den]=ss2tf(A,B,C,D)>> [R,P,H]=residue(num,den)得到结果R = 4.0000 -0.0000 0.0000 - 2.3094i 0.0000 + 2.3094iP = -1.5000 -1.5000 -0.5000 + 0.8660i -0.5000 - 0.8660i H =[]4 2.3094 2.3094() 1.50.50.8660.50.866i iG s s s i s i=-+++-++2-3.用欧拉法求下面系统的输出响应y(t)在0≤t ≤1上，h=0.1时的数值。

(完整版)1-2章选择填空答案

单选1、自动控制系统的数学模型为（A ）。

A 微分方程、传递函数、动态结构框图、信号流图；B 梅森公式；C 状态方程、差分方程D 热学方程。

2、数学模型是描述系统输入量、输出量及系统各变量之间关系的（A）。

A 数学表达式；B 传递函数；C 信号流图；D 动态结构框图。

3、在线性定常系统中，当初始条件为零时，系统输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比称作系统的（B）。

A 信号流图；B；传递函数C 动态结构框图；D 以上都对。

4、传递函数的定义为（B ）。

A 系统输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比；B 在线性定常系统中，当初始条件为零时，系统输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比；C ；D 以上三者都是。

5、传递函数是经典控制理论的数学模型之一，她具有如下特点（B ）。

A它可以反映出系统输入输出之间的动态性能，但不能反映系统结构参数对输出的影响；B 传递函数表示系统传递、变换输入信号的能力，只与系统的结构和参数有关，与输入输出信号灯形式无关；C传递函数表示系统传递、变换输入信号的能力，不仅与系统的结构和参数有关，而且与输入输出信号灯形式有关；D 传递函数与系统微分方程式之间不可以相互转换。

6、自动控制系统的典型环节有（C）A 比例环节、惯性环节、积分环节、微分环节、振荡环节；B 比例环节、惯性环节、积分环节、微分环节、振荡环节、一阶微分环节、二阶微分环节；C 比例环节、惯性环节、积分环节、微分环节、振荡环节、一阶微分环节、二阶微分环节、时滞环节；D 比例环节、惯性环节、积分环节、微分环节、振荡环节、一阶微分环节、二阶微分环节、时滞环节；正弦、余弦等。

7、自动控制系统的动态结构图由哪些基本单元组成（ B ）A 信号线、引出点、综合点、方框、比较环节；B 信号线、引出点、综合点、方框；C 信号线、引出点、综合点、方框、前向通道、反馈通道；D 信号线、引出点、综合点、方框、前向通道、反馈通道、给定信号、输出信号。

第第二章控制系统的数学模型

1
sa
1
(s a)n
18
拉普拉斯变换简表
f (t)
9
sin t
10
cost
11
1 (1 eat )
a
12
1 a
(a0
(a0
a)eat
)
13
1 a2
(at
1
e at
)
14
a0t a2
(
a0 a2
t)(eat
1)
F (s)
s2 2
s
s2 2
s s(s a)
s a0 s(s a)
1 s2 (s a)
(1)独立性（可加性）：线性系统内各个激励产生的响应互不影响
xi1(t) xi2(t)
xo1(t) xo2(t)
xi1(t)+xi2(t) xo1(t)+xo2(t)
(2)均匀性（齐次性）
8
线形系统的一般形式
an
dn dtn
y(t) an1
d n1 d t n 1
y(t) ... a1
d dt
dt
s
则
证：
f (0) lim sF (s)
s
由微分定理有：
L( df (t)) sF (s) f (0) dt
两边取极限
lim[ df (t) est dt] lim[sF (s) f (0)]
s 0 dt
s
27
lim[ df (t) est dt] lim[sF (s) f (0)]
0 dt s0
s0
lim est 1
s0
[ df (t) dt] lim[sF (s) f (0)]

第2章线性系统的数学模型

duC (t ) d 2 u C (t ) u r (t ) RC LC u C (t ) 2 dt dt
整理成规范形式 LCuC (t ) RCuC (t ) uC (t ) ur (t )

【例2】建立下面机械平移系统的数学模型求在外力F(t)作用下，物体的运动轨迹。

数学模型的形式
时域（t）
：微分方程复域（s）：传递函数频域（w）：频率特性
三种数学模型之间的关系线性系统
拉氏传递函数变换
微分方程
傅氏变换
频率特性
§2-2 时域数学模型
时域中数学模型的基本形式是微分方程。线性定常连续系统其最基本的时域数学模型为：常系数线性微分方程，其一般形式可表为：
f (t ) L [ F ( s)]
1
拉氏变换的基本知识拉氏变换的基本性质 (1)线性性质
L[af1 (t ) bf 2 (t )] aL[ f1 (t )] bL[ f 2 (t )]
(2)微分性质
若 L[ f (t )] F ( s ) ，则有 L[ f (t )] sF (s) f (0) f(0)为原函数f(t) 在t=0时的初始值。

u uc ur u Ri Rf

运算放大器的数学模型为
uc (t )
Rf Ri
u r (t )
2.线性系统的特点

1）定义
如果系统的数学模型是线性微分方程，这样的
系统就是线性系统具有迭加性和齐次性的元件称为线性元件。

2）性质：满足叠加原理
迭加性齐次性
L[ f1 (t ) f 2 ( )d ] F1 (s) F2 (s)

《控制工程基础》课件-第二章

4/21/2023
27
第二章数学模型
非线性数学模型的线性化
➢ 泰勒级数展开法
函数y=f(x)在其平衡点（x0, y0）附近的泰勒级数展开式为：
y
f
(x)
f
(x0 )
df (x) dx
x
(x x0 ) x0
4/21/2023
1 2!
d
2 f (x) dx2
x
x0
(
x
x0
)2
1 3!
d
3 f (x) dx3
4/21/2023
20
第二章数学模型
➢ 线性系统与非线性系统
线性系统可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的系数为常数，则为线性定常系统；如果方程的
系数是时间t的函数，则为线性时变系统；
线性是指系统满足叠加原理，即：
✓ 可加性： f ( x1 x2 ) f ( x1) f ( x2 )
K
J TC(t)
柔性轴齿轮
粘性液体 C
J —旋转体转动惯量；K —扭转刚度系数；C —粘性阻尼系数
4/21/2023
12
第二章数学模型
TK (t) Ki (t) o (t)
TC
(t)
C
d dt
o
(t
)
J
d2 dt 2
o (t)
TK
(t) TC (t)
J
d2 dt 2
o (t)
C
d dt
y
f (x10,
x20
)
f x1
f
x1 x10 x2 x20
( x1
x10 )
x2
( x2

第二章1线性连续系统的数学模型

f2

1 i1
2

f3

1 i1i2
2

角位置跟踪系统（随动系统）的线性方程组
ue u1 u2 K (r c )
ut KV ue
ua Kwut
ua

Raia
La
dia dt
Eb
Mm Cmia
Mm

Jm
d
dt

fm

Jm
d 2m
+ ua ia _
Ra
+ Eb_
if ω
Mm
ua

Raia
La
dia dt
Eb
电枢绕组的电势平衡方程
Mm Cmia
电枢电流与磁场相互作用而产生电磁转矩
Mm

Jm
d
dt

fm

Jm
d 2m
dt 2

fm
dm
dt
电机转矩平衡方程
Eb

Kb
dm
dt
当电枢运动时电枢绕组中有反电势产生
5.机械传动机构
y1
t
Y1(s) Y(sG)=(sK) Y1(s)y2
t
§1.3 系统动态结构图的绘制
一、动态结构图的组成与绘制二、结构图的等效变换和化简方法
一、动态结构图的组成与绘制
定义：结构图是描述系统各组成元件之间信号传递关系的数
学图形，是系统图解形式的动态数学模型。
动
组成：
原u
理
R 相L 加点
i
R+
C uc
di L dt Ri u uc

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建立系统（元件）数学模型常用方法： 1.分析法－对系统（元件）各部分的运动”机理”进行分析，应用物理规律、化学规律找出系统输
入/输出变量之间的数学关系。
应用：系统内部运动机理（原理）比较清楚.
2.实验法－人为施加某种测试信号，记录系统的输
出响应.然后再根据测得的系统输入输出之间的
关系,找出系统中变量之间的数学关系。
根据物料平衡原理，dt时间内水箱液体的增加，应与进水量相等：
dh q 1 q 2 C dt
d h q 1 q 2 C dt
根据托里拆定理，出水量与水位高度的平方根成正比： h h q 2 q 2 线性化 R
0
R
1 R 2 h0R0
微分方程: C 线性化
C
dh h q 1 非线性! dt R 0
2.2 控制系统微分方程的建立系统最基本的数学模型是反映系统变量之间动态特性的微分方程式。建立微分方程的步骤如下： ①将系统划分为若干环节,确定各个环节的输入量和输出量。 ②从输入端开始，按信号传递的顺序，依据各变量所遵循的物理、化学定律，列出各个环节的原始方程(线性化) 。 ③消去中间变量，写出仅包含系统输入、输出变量的微分方程式。
图2-3 所示为电枢控制直流电动机的原理图。要求以电枢电压Ua(t)（v）为输入量，电动机转速ωm（t）（rad/s）为输出量，列写微分方程。图中Ra(Ω)、La(H)分别是电枢电路的电阻和电感，Mc是折合到电动机轴上的总负载转距。激磁磁通为常值。
＋ Ua
输入
＋
La ia
if Ra
激磁磁通
由电枢电压Ua(t)在电枢回路中产生电枢电流ia(t)
1）电枢回路电压平衡方程：
dia (t ) U a (t ) La Ra ia (t ) Eb ① dt Eb是电枢反电势，它是当电枢旋转时产生的反电势，其大小与激磁磁通及转速成正比，方向与电枢电压 Ua(t)相反，即
＋
La ＋ Ua ia
d 2U 2 dU 2 R1 R2 C1C 2 ( R1C1 R1C 2 R2 C 2 ) U 2 U1 2 dt dt
这就是RC组成的四端网络的数学模型，是一个二阶线性微分方程。
【例4】建立惯性环节的微分方程。其中，U1（t）为输入量，U2(t)为输出量。
C R2
D/A1
1μ
200K
u1
→ i1 100K
R 1 i2 ↓
u2
100K
A/D1
R0
解：利用运算放大器“虚地” 的概念，得
u1 i 1 R1
由i1=i2，得
u2 du 2 i 2 ( C ) R2 dt
传递函数：
du 2 u 2 u1 C dt R 2 R1
R 2 / R1 G( s) R 2 Cs 1
du c RC uc u i dt
G( s)
上述问题中有3个变量,需列出2个独立方程. 由此推知,N个变量的问题应建立N-1个独立方程
【例2】求图示RLC回路的微分方程。
R + u(t)
输入
L uc(t)
输出
C
+ _
+ y _
i(t)
_
解：以 u L (t ),i(t ) 作为中间变量，列写该回路的微分方程
传递函数：
【例9】建立热容系统的微分方程。
解：根据热容定义和热平衡方程， u r dt时间内加给热炉的热量应与其炉内温度的上升所需热量平衡。
Cd c (qc q0 )dt
c
qc q0 i
箱体热容C，热阻R
热炉向外散出的热量与炉内外温差成正比：电炉丝通电发出的热量为：
u2 qc r r
【例6】.建立下列机械系统的微分方程.
解：根据牛顿力学:
u(t) m b
K
f b by
u(t ) f k f b ma
f
k
ky
y(t)
f b ky 微分方程:
dy & & my b ky u (t ) dt
【例7】建立单容水箱的的微分方程。解：
液阻R 液容C 液面差变化 H 流量变化 Q 被储存液体变化 V 水头（高度）的变化 H
【例5】建立比例微分器（PD）的微分方程。其中， U1（t）为输入量，U2(t)为输出量。
C 2 0.01μ R 2 100K
A/D1
R1
D/A1
100K
→ i1 C 1
i2 ↓
1μ
R0
100K
解：利用运算放大器“虚地” 的概念，得
u2 du 2 u1 du 1 i 2 ( C 2 ) i 1 C 1 R2 dt R1 dt du 2 u 2 du 1 u 1 C 1 由i1=i2，得 C 2 dt R2 dt R 1 R 2 C1s R 2 / R 1 G( s) ( R 2 C1s R 2 / R 1 ) R 2C 2 s 1
Wm Ea
SM
输出
负载
Jm,fm
-
图2-3 电枢控制直流电动机原理图
例12、电枢控制直流电动机的微分方程
解：电枢控制直流电动机的工作实质是将输入的电能转换为机械能.也就是由输入的电枢电压 Ua(t)在电枢回路中产生电枢电流ia(t)，再由电流 ia（t）与激磁磁通相互作用产生电磁转距Mm(t)，从而拖动负载运动。即：电压→电流→转距因此，直流电动机的运动方程可由以下三部分组成: 1）电枢回路电压平衡方程; 2）电磁转矩方程; 3）电动机轴上的转矩平衡方程.
根据出水量的增量与水位高度的增量近似成正比： h
q 2 C R
L[ f (t )] f (s)e s
微分方程: 拉氏变换：
d h h q 1 (t 0 ) dt R
RCsh(s) h(s) Rq 1(s)e s
G( s) h R e s q 1 RCs 1
i
2
dt
U 2 U c2
由④、⑤得:
⑤
i1
dU c 2 dU 2 i2 C 2 C2 dt dt
由于
dUc1 dUc1 dU 2 i1 C1 i2 C1 C2 dt dt dt
将i1、i2代入①、③，则得
U1 R1i1 R2 i2 Uc 2
dUc1 dU 2 dU 2 R1 (C1 C2 ) R2 C 2 U2 dt dt dt
建立微分方程的关键是什么?
【例1】图由一RC组成的四端无源网络。试列写以Ui （t）为输入量，Uc(t)为输出量的微分方程。
解：设电容两端的电压为根据电路定理，得
uc
.
ui
R
ui Ri uc
iC du c dt
i
① ②
C
uc
将（1）代入（2），消取中间变量i，得
传递函数：
U c ( s) 1 U i ( s) RCs 1
应用：系统内部运动机理原理不清楚。
举例1. 分析法建立系统数学模型的几个步骤：
1）建立系统和元件的物理模型。 2）列写原始方程。利用适当的物理定律—如牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等. 3）选定系统的输入量、输出量及状态变量（仅在建立状态模型时要求），消去中间变量，建立适当的输入输出模型或状态空间模型。 4)对模型进行检验.
q0
c i R
微分方程：
d c Ru2 r RC c i dt r
【例10】建立无自恒水箱的微分方程。
解：由于输出流量q2为定值，因此水箱水位高度的变化与输入流量成正比
d h C q 1 dt
传递函数：
1 G (s) Cs
积分环节
【例11】建立电枢控制直流电动机的微分方程
第二章
教学重点：
连续系统的数学模型
控制系统微分方程、传递函数、系统结构图。
教学难点：
根据系统工作原理图绘制系统”结构图”。
教学内容：
2.1 概述 2.2 控制系统微分方程的建立 2.3 传递函数 2.4 控制系统的结构图 2.5 控制系统的信号流图 2.6 控制系统的传递函数
2.1 概述
1、控制系统的分析、设计过程
R1 [C1
dU 2 dU 2 d ( R2 i2 U 2 ) C 2 ] R2 C 2 U2 dt dt dt
d 2U 2 dU 2 dU 2 dU 2 R1C1 R2 C 2 R1C1 R1C 2 R2 C 2 U2 2 dt dt dt dt
整理,得微分方程:
提出课题拟定方案
设计装置
器件组装
试验调试修改设计
性能ห้องสมุดไป่ตู้试
修改方案
系统设计：根据用户对被控对象性能的要求，设计控制装置，使被控对象的性能指标满足用户提出的要求. 系统分析：对已经存在的控制系统，分析系统的性能指标，作出系统性能优劣状况的判断。系统分析是系统设计的基础.系统设计是系统分析的结果.
h q 1 h0R0
d h h C q 1 dt R
线性
d h 1 dt 2
G( s)
h R q 1 RCs 1
【例8】建立有延迟的单容水箱的微分方程。
l/v
解：根据物料平衡原理，dt时间内
水箱液体的增加，应与进水量相等：
q 1 (t ) q 2 (t ) C dh dt
数学模型怎么表示?
4、控制系统数学模型的几种表示方式
数学模型
时域模型
复域模型
频域模型
结构图

第二章(1) 数学模型(微分方程)A

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第二章1_被控过程的数学模型-单容多容

线性系统的数学模型

机械工程控制基础--第二章

2-1控制系统的时域数学模型

控制工程基础第二章——数学模型

自动控制原理：第二章--控制系统数学模型全

第2章-1-微分方程

第二章控制系统数学模型

第二章微分方程

第2章数学模

第二章 (2.1,2.2)控制系统的微分方程、传递函数

控制系统数字仿真第二章习题答案

(完整版)1-2章选择填空答案

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