常微分课后答案解析第二章

1 / 16习题２-１判断下列方程是否为恰当方程,并且对恰当方程求解： １．0)12()13(2=++-dy x dx x解：13),(2-=x y x P , 12),(+=x y x Q ,则0=∂∂y P ,2=∂∂xQ, 所以 x Q y P ∂∂≠∂∂ 即 原方程不是恰当方程． ２．0)2()2(=+++dy y x dx y x 解：,2),(y x y x P +=,2),(y x y x Q -=则,2=∂∂y P ,2=∂∂xQ所以x Q y P ∂∂=∂∂,即 原方程为恰当方程 则,0)22(=-++ydy xdy ydx xdx两边积分得：.22222C y xy x =-+ 3．0)()(=+++dy cy bx dx by ax 〔a,b 和c 为常数〕． 解：,),(by ax y x P +=,),(cy bx y x Q +=则,b y P =∂∂,b xQ =∂∂ 所以x Q y P ∂∂=∂∂,即 原方程为恰当方程 则,0=+++cydy bxdy bydx axdx两边积分得：.2222C cy bxy ax =++ 4．)0(0)()(≠=-+-b dy cy bx dx by ax解：,),(by ax y x P -=,),(cy bx y x Q -=则,b y P -=∂∂,b xQ=∂∂ 因为 0≠b , 所以x Q y P ∂∂≠∂∂,即 原方程不为恰当方程５．0sin 2cos )1(2=++udt t udu t解：,cos )1(),(2u t u t P +=u t u t Q sin 2),(=则,cos 2u t t P =∂∂,cos 2u t xQ=∂∂ 所以x Q y P ∂∂=∂∂,即 原方程为恰当方程则,0cos )sin 2cos (2=++udu udt t udu t2 / 16两边积分得：.sin )1(2C u t =+ ６．0)2()2(2=++++dy xy e dx y e ye xxx解： xy e y x Q y e ye y x P xxx2),(,2,(2+=++=,则,2y e y P x +=∂∂,2y e xQx +=∂∂ 所以x Q y P ∂∂=∂∂,即 原方程为恰当方程则,0])2()[(22=++++dy xy e dx y ye dx e xxx两边积分得：.)2(2C xy e y x=++７．0)2(ln )(2=-++dy y x dx x xy解：,2ln ),(),(2y x y x Q x xy y x P -=+=则,1x y P =∂∂,1x x Q =∂∂ 所以xQy P ∂∂=∂∂,即 原方程为恰当方程 则02)ln (2=-++ydy dx x xdy dx x y两边积分得：23ln 3y x y x -+.C = ８．),(0)(22为常数和c b a cxydy dx by ax =++解：,),(,),(22cxy y x Q by ax y x P =+=则,2by y P =∂∂,cy xQ =∂∂ 所以 当x Q y P ∂∂=∂∂,即 c b =2时, 原方程为恰当方程则0)(22=++cxydy dx by dx ax两边积分得：233bxy ax +.C = 而当c b ≠2时原方程不是恰当方程．９．01222=-+-dt ts s ds t s 解：,),(,12),(22ts s s t Q t s s t P -=-= 则,212t s t P -=∂∂,212tss Q -=∂∂ 所以x Q y P ∂∂=∂∂, 即原方程为恰当方程,两边积分得：C ts s =-2．3 / 1610．,0)()(2222=+++dy y x yf dx y x xf 其中)(⋅f 是连续的可微函数．解：),(),(),(),(2222y x yf y x Q y x xf y x P +=+=则,2f xy y P '=∂∂,2f xy xQ '=∂∂ 所以x Q y P ∂∂=∂∂, 即原方程为恰当方程,两边积分得：22()f xy dx C +=⎰,即原方程的解为C y x F =+)(22<其中F 为f 的原积分>．习题２-2. 1. 求解下列微分方程,并指出这些方程在平面上的有意义 的区域:：〔１〕yx dx dy 2= 解：原方程即为：dx x ydy 2= 两边积分得：0,2332≠=-y C x y ．〔２〕)1(32x y x dx dy += 解：原方程即为：dx xx ydy 321+=4 / 16两边积分得：1,0,1ln 2332-≠≠=+-x y C x y ．〔３〕0sin 2=+x y dxdy解： 当0≠y 时原方程为：0sin 2=+xdx y dy两边积分得：0)cos (1=++y x c ．又y=0也是方程的解,包含在通解中,则方程的通解为0)cos (1=++y x c ．〔４〕221xy y x dx dy +++=；解：原方程即为：2(1)1dyx dx y =++ 两边积分得：c x x arctgy ++=22, 即 )2(2c x x tg y ++=． 〔５〕2)2cos (cos y x dxdy= 解：①当02cos ≠y 时原方程即为：dx x y dy 22)(cos )2(cos = 两边积分得：2222sin 2tg y x x c --=． ②y 2cos =0,即42ππ+=k y 也是方程的解. 〔N k ∈〕 〔６〕21y dxdyx-= 解：①当1±≠y 时 原方程即为：xdx y dy =-21 两边积分得：c x y =-ln arcsin ． ②1±=y 也是方程的解.〔７〕．yxe y e x dx dy +-=- 解．原方程即为：dx ex dy e y xy)()(--=+5 / 16两边积分得：c e x e y x y++=+-2222, 原方程的解为：c ee x y xy=-+--)(222.2. 解下列微分方程的初值问题． 〔１〕,03cos 2sin =+ydy xdx 3)2(ππ=y ；解：两边积分得：c yx =+-33sin 22cos , 即c x y =-2cos 33sin 2因为 3)2(ππ=y , 所以 3=c .所以原方程满足初值问题的解为：32cos 33sin 2=-x y ． 〔２〕．0=+-dy ye xdx x, 1)0(=y ； 解：原方程即为：0=+ydy dx xe x,两边积分得：c dy y dx e x x=+-2)1(2, 因为1)0(=y , 所以21-=c , 所以原方程满足初值问题的解为：01)1(22=++-dy y dx e x x．〔３〕．r d dr=θ, 2)0(=r ； 解：原方程即为：θd rdr=,两边积分得：c r =-θln ,因为2)0(=r , 所以2ln =c ,所以原方程满足初值问题的解为：2ln ln =-θr 即θe r 2=．〔４〕．,1ln 2yx dx dy+=0)1(=y ; 解：原方程即为：dx x dy y ln )1(2=+,两边积分得：3ln 3y y x x x c ++-=, 因为0)1(=y , 所以1=c ,所以原方程满足初值为：3ln 13y y x x x ++-=6 / 16〔５〕．321xy dxdyx=+, 1)0(=y ； 解：原方程即为：dx xx y dy 231+=, 两边积分得：c x y ++=--22121, 因为1)0(=y , 所以23-=c ,所以原方程满足初值问题的解为：311222=++yx ．１． 解下列微分方程,并作出相应积分曲线的简图． 〔１〕．x dxdycos = 解：两边积分得：c x y +=sin ． 积分曲线的简图如下：〔２〕．ay dxdy=, 〔常数0≠a 〕； 解：①当0≠y 时,原方程即为：dx ay dy = 积分得：c x y a +=ln 1, 即 )0(>=c cey ax②0=y 也是方程的解． 积分曲线的简图如下：7 / 16〔３〕．21y dxdy-=； 解：①当1±≠y 时,原方程即为：dx y dy =-)1(2 积分得：c x yy+=-+211ln ,即 1122+-=x x ce ce y ．②1±=y 也是方程的解．积分曲线的简图如下：〔４〕．n y dx dy =, )2,1,31(=n ； 解：①当0≠y 时, ⅰ〕2,31=n 时,原方程即为 dx y dy n =,积分得：c y n x n=-+-111．8 / 16ⅱ〕1=n 时,原方程即为dx ydy= 积分得：c x y +=ln ,即 )0(>=c ce y x．②0=y 也是方程的解．积分曲线的简图如下：4. 跟踪：设某A 从xoy 平面上的原点出发,沿x 轴正方向前进；同时某9 / 16B 从点开始跟踪A,即B 与A 永远保持等距b ．试求B 的光滑运动轨迹．解：设B 的运动轨迹为)(x y y =,由题意与导数的几何意义,则有22yb ydx dy --=,所以求B 的运动轨迹即是求此微分方程满足b y =)0(的解．解之得：222222ln21y b y b b y b b b x ----++=． 5. 设微分方程)(y f dxdy=〔2.27〕,其中f<y> 在a y =的某邻域〔例如,区间ε<-a y 〕内连续,而且a y y f =⇔=0)(,则在直线a y =上的每一点,方程〔2.27〕的解局部唯一,当且仅当瑕积分∞=⎰±εa ay f dy)(〔发散〕． 证明：〔⇒〕首先经过域1R ：,+∞<<∞-x a y a <≤-ε 和域2R ：,+∞<<∞-x ε+≤<a y a内任一点〔00,y x 〕恰有方程〔2.13〕的一条积分曲线, 它由下式确定00)(x x y f dyyy-=⎰. 〔*〕 这些积分曲线彼此不相交. 其次,域1R 〔2R 〕内的所有 积分曲线c x y f dy +=⎰)(都可由其中一条,比如0)(c x y f dy+=⎰ 沿着 x 轴的方向平移而得到。

习 题 ２-１判断下列方程是否为恰当方程，并且对恰当方程求解： １．0)12()13(2=++-dy x dx x解：13),(2-=x y x P ， 12),(+=x y x Q ，则0=∂∂y P ，2=∂∂x Q ， 所以 xQy P ∂∂≠∂∂ 即 原方程不是恰当方程．２．0)2()2(=+++dy y x dx y x解：,2),(y x y x P += ,2),(y x y x Q -=则,2=∂∂y P ,2=∂∂x Q 所以xQy P ∂∂=∂∂，即 原方程为恰当方程 则,0)22(=-++ydy xdy ydx xdx两边积分得：.22222C y xy x =-+ 3．0)()(=+++dy cy bx dx by ax （a,b 和c 为常数）． 解：,),(by ax y x P += ,),(cy bx y x Q +=则,b y P =∂∂,b x Q =∂∂ 所以xQy P ∂∂=∂∂，即 原方程为恰当方程 则,0=+++cydy bxdy bydx axdx两边积分得：.2222C cy bxy ax =++ 4．)0(0)()(≠=-+-b dy cy bx dx by ax解：,),(by ax y x P -= ,),(cy bx y x Q -=则,b y P -=∂∂,b x Q =∂∂ 因为 0≠b , 所以xQ y P ∂∂≠∂∂，即 原方程不为恰当方程５．0sin 2cos )1(2=++udt t udu t解：,cos )1(),(2u t u t P += u t u t Q sin 2),(=则,cos 2u t t P =∂∂,cos 2u t x Q =∂∂ 所以xQy P ∂∂=∂∂，即 原方程为恰当方程则,0cos )sin 2cos (2=++udu udt t udu t两边积分得：.sin )1(2C u t =+ ６．0)2()2(2=++++dy xy e dx y e ye x x x解： xy e y x Q y e ye y x P x x x 2),(,2,(2+=++=，则,2y e y P x +=∂∂,2y e x Q x +=∂∂ 所以xQy P ∂∂=∂∂，即 原方程为恰当方程则,0])2()[(22=++++dy xy e dx y ye dx e x x x 两边积分得：.)2(2C xy e y x =++７．0)2(ln )(2=-++dy y x dx x xy解：,2ln ),(),(2y x y x Q x xy y x P -=+=则,1x y P =∂∂,1x x Q =∂∂ 所以xQy P ∂∂=∂∂，即 原方程为恰当方程则02)ln (2=-++ydy dx x xdy dx xy两边积分得：23ln 3y x y x -+.C = ８．),(0)(22为常数和c b a cxydy dx by ax =++解：,),(,),(22cxy y x Q by ax y x P =+=则,2by y P =∂∂,cy x Q =∂∂ 所以 当xQy P ∂∂=∂∂，即 c b =2时， 原方程为恰当方程则0)(22=++cxydy dx by dx ax两边积分得：233bxy ax +.C = 而当c b ≠2时原方程不是恰当方程．９．01222=-+-dt ts s ds t s 解：,),(,12),(22ts s s t Q t s s t P -=-= 则,212t s t P -=∂∂,212t s s Q -=∂∂ 所以xQ y P ∂∂=∂∂， 即原方程为恰当方程,两边积分得：C ts s =-2．10．,0)()(2222=+++dy y x yf dx y x xf 其中)(⋅f 是连续的可微函数．解：),(),(),(),(2222y x yf y x Q y x xf y x P +=+=则,2f xy y P '=∂∂,2f xy x Q '=∂∂ 所以xQy P ∂∂=∂∂， 即原方程为恰当方程,两边积分得：22()f xy dx C +=⎰,即原方程的解为C y x F =+)(22 (其中F 为f 的原积分)．习 题 ２-2. 1. 求解下列微分方程，并指出这些方程在平面上的有意义 的区域:：（１）yx dx dy 2=解：原方程即为：dx x ydy 2= 两边积分得：0,2332≠=-y C x y ．（２）)1(32x y x dx dy += 解：原方程即为：dx xx ydy 321+=两边积分得：1,0,1ln 2332-≠≠=+-x y C x y ．（３）0sin 2=+x y dxdy解： 当0≠y 时原方程为：0sin 2=+xdx y dy两边积分得：0)cos (1=++y x c ．又y=0也是方程的解，包含在通解中，则方程的通解为0)cos (1=++y x c ．（４）221xy y x dxdy+++=； 解：原方程即为：2(1)1dyx dx y=++ 两边积分得：c x x arctgy ++=22， 即 )2(2c x x tg y ++=． （５）2)2cos (cos y x dxdy= 解：①当02cos ≠y 时原方程即为：dx x y dy 22)(cos )2(cos = 两边积分得：2222sin 2tg y x x c --=． ②y 2cos =0，即42ππ+=k y 也是方程的解. （N k ∈） （６）21y dxdyx-= 解：①当1±≠y 时 原方程即为：xdx y dy =-21 两边积分得：c x y =-ln arcsin ． ② 1±=y 也是方程的解.（７）．yxe y e x dx dy +-=- 解．原方程即为：dx e x dy e y xy)()(--=+两边积分得：c e x e y x y ++=+-2222， 原方程的解为：c e e x y x y =-+--)(222.2. 解下列微分方程的初值问题．（１）,03cos 2sin =+ydy xdx 3)2(ππ=y ；解：两边积分得：c yx =+-33sin 22cos ， 即 c x y =-2cos 33sin 2因为 3)2(ππ=y , 所以 3=c .所以原方程满足初值问题的解为：32cos 33sin 2=-x y ．（２）．0=+-dy ye xdx x， 1)0(=y ；解：原方程即为：0=+ydy dx xe x，两边积分得：c dy y dx e x x=+-2)1(2， 因为1)0(=y ， 所以21-=c ， 所以原方程满足初值问题的解为：01)1(22=++-dy y dx e x x ．（３）．r d dr=θ， 2)0(=r ； 解：原方程即为：θd rdr=，两边积分得：c r =-θln ， 因为2)0(=r ， 所以2ln =c ，所以原方程满足初值问题的解为：2ln ln =-θr 即θe r 2=．（４）．,1ln 2yx dx dy+= 0)1(=y ; 解：原方程即为：dx x dy y ln )1(2=+,两边积分得：3ln 3y y x x x c ++-=, 因为0)1(=y ， 所以1=c ，所以原方程满足初值为：3ln 13y y x x x ++-=（５）．321xy dxdyx=+， 1)0(=y ； 解：原方程即为：dx xx y dy 231+=， 两边积分得：c x y ++=--22121， 因为1)0(=y ， 所以23-=c ，所以原方程满足初值问题的解为：311222=++yx ．１． 解下列微分方程，并作出相应积分曲线的简图． （１）．x dxdycos = 解：两边积分得：c x y +=sin ． 积分曲线的简图如下：（２）．ay dxdy=， （常数0≠a ）； 解：①当0≠y 时，原方程即为：dx aydy= 积分得：c x y a +=ln 1，即 )0(>=c ce y ax②0=y 也是方程的解． 积分曲线的简图如下：y（３）．21y dxdy-=； 解：①当1±≠y 时，原方程即为：dx y dy =-)1(2 积分得：c x yy+=-+211ln ，即 1122+-=x x ce ce y ．②1±=y 也是方程的解．积分曲线的简图如下：（４）．n y dx dy =， )2,1,31(=n ； 解：①0≠y 时，ⅰ）2,31=n 时，原方程即为 dx ydyn =， 积分得：c y n x n=-+-111．ⅱ）1=n 时，原方程即为dx ydy=积分得：c x y +=ln ，即)0(>=c ce y x．②0=y 也是方程的解．积分曲线的简图如下：4. 跟踪：设某A 从xoy 平面上的原点出发，沿x 轴正方向前进；同时某B 从点开始跟踪A ，即B 与A 永远保持等距b ．试求B 的光滑运动轨迹．解：设B 的运动轨迹为)(x y y =,由题意及导数的几何意义，则有22yb ydx dy --=，所以求B 的运动轨迹即是求此微分方程满足b y =)0(的解．解之得：222222ln 21y b y b b y b b b x ----++=．5. 设微分方程)(y f dxdy=（2.27），其中f(y) 在a y =的某邻域（例如，区间ε<-a y ）内连续，而且a y y f =⇔=0)(，则在直线a y =上的每一点，方程（2.27）的解局部唯一，当且仅当瑕积分∞=⎰±εa ay f dy)(（发散）． 证明：（⇒）首先经过域1R ：,+∞<<∞-x a y a <≤-ε 和域2R ：,+∞<<∞-x ε+≤<a y a内任一点（00,y x ）恰有方程（2.13）的一条积分曲线， 它由下式确定00)(x x y f dyyy-=⎰. （*） 这些积分曲线彼此不相交. 其次，域1R （2R ）内的所有 积分曲线c x y f dy +=⎰)(都可由其中一条，比如0)(c x y f dy+=⎰ 沿着 x 轴的方向平移而得到。

第二章习题2-11. 证明：若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞x n +k =a .证：由lim n n x a →∞=，知0ε∀>，1N ∃，当1n N >时，有n x a ε-<取1N N k =-，有0ε∀>，N ∃，设n N >时（此时1n k N +>）有n k x a ε+-<由数列极限的定义得 l i m n k x x a +→∞=.2. 证明：若lim n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立.证：lim 0,,.使当时，有n x n x aN n N x a εε→∞=∴∀>∃>-<而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>，,使当时，有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得 l i m n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞=，所以前面所证结论反之不成立。

3. 证明：lim n →∞x n =0的充要条件是lim n →∞∣x n ∣=0.证：必要性由2题已证，下面证明充分性。

即证若lim 0n n x →∞=，则lim 0n n x →∞=，由lim 0n n x →∞=知，0ε∀>，N ∃，设当n N >时，有0 0n n n x x x εεε-<<-<即即由数列极限的定义可得 l i m 0n n x →∞=4. 利用夹逼定理证明：(1) lim n →∞222111(1)(2)nn n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭ =0； (2) lim n →∞2!n =0. 证：（1）因为222222111112(1)(2)n n n nnn n n nn++≤+++≤≤=+而且 21lim0n n→∞=，2lim0n n→∞=，所以由夹逼定理，得222111lim 0(1)(2)n nn n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭ . （2）因为22222240!1231nn n n n<=<- ，而且4lim 0n n →∞=，所以，由夹逼定理得2lim0!nn n →∞=5. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在. (1) x 1＞0,x n +1=13()2n nx x +，n =1,2,…；(2) x 1x n +1,n =1,2,…；(3) 设x n 单调递增，y n 单调递减，且lim n →∞(x n -y n )=0,证明x n 和y n 的极限均存在.证：（1）由10x >及13()2n n nx x x =+知，有0n x >（1,2,n = ）即数列{}n x 有下界。

常微分方程与动力系统第二章习题参考答案 1.证明：因为()t Φ是线性齐次系统（LH ）的一个基本解矩阵，由定理2.5知()t Φ在区间J 上满足矩阵微分系统()M LH ,即.()()()t A t t Φ=Φ，.1()()()A t t t -=ΦΦ所以由()A t 确定的线性齐次系统（LH ）必唯一。

2.证明：因为()t ϕ，()t ψ分别是.()x A t x=和.()T x A t x =-的解，所以111()()()nk k k nnk k k a d t A t t dt a ϕϕϕϕ==⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭∑∑ ，11211111122222*121()()()nn k k k n n kn kn n n nnk a a a a a a a d t A t t dta a a a ψψψψψψ==⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=-ψ=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭∑∑ 因而1111112211(,)(,)(,),,nnk k k k k k nnkn k k nk k n n k a a d d d dt dt dt a a ψϕϕψψϕϕψϕψψϕψϕψϕ====⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥=+= ⎪+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭ ⎪⎣⎦⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑∑∑∑ 11111111()0nnn n nnnnn n nnm m m m i ij j i ij j i mk k km k mk k km m m m m i j i j k k k k a a a a a a ϕψψϕϕψϕψϕψϕψ============-=+=-=-=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑所以(),()()()1nt t t t k kk ϕψϕψ≡≡∑=常数。

3.证明：设)t Φ(为系统.()x A t x=的一个基本解矩阵，则由定理2.11知[]1()Tt -Φ是系统.()Tx At x =-的基本解矩阵，由定理2.4知系统.()x A t x=满足初始条件00()x t x =的特解为100()))t t t x ϕ-=Φ(Φ(，[)0,0,t t ∈+∞由题可知)t Φ(与[]1()Tt -Φ在[)0,+∞上有界，从而由定理2.24知110()0k k t ∃=>和220()0k k t =>使得10120(),(),T t k t t t k t t -⎧Φ≤≤<+∞⎪⎨Φ≤≤<+∞⎪⎩,利用常数变易法公式（2.32），可知式.()()y A t y B t y=+的初始条件为00()y t y =的解满足1()()()()()()tt y t t t s B s y s ds ϕ-=+ΦΦ⎰因为1111()()(Ttttt---ΦΦ≤Φ所以12120()()(),tt y t k kx k k B s y s≤+≥⎰，利用格朗瓦尔不等式有12()120().tt k k B s dsy t k k x e⎰≤记12()12tt k k B s dsC k k e ⎰=设0()B t dt M +∞=<+∞⎰则()()tt B s ds B t dt M+∞≤=⎰⎰有1212k k MCk k e≤从而00(),y t C x t t ≤≥所以系统.()()y A t y B t y =+的一切解都在[)0,+∞上有界。

第二章 一阶微分方程的初等解法§2.1 变量分离方程与变量变换习题2.1求下列方程的解 1．xy dxdy2=，并求满足初始条件：1,0==y x 的特解． 解 分离变量，得到xdx ydy 2=，两边积分，即得C x y ~ln 2+=，因而，通解为 2x Ce y =，这里C 是任意常数．此外，方程还有解0=y ．由10==x y 得1=C ，特解2x e y =．2．0)1(2=++dy x dx y ，并求满足初始条件：1,0==y x 的特解． 解 分离变量，得到12+-=x dx y dy ，两边积分，即得C x y ~1ln 1++-=-，因而，通解为Cx y ++=1ln 1，这里C 是任意常数．此外，1-=x 和0=y 是两条积分曲线．由10==x y 得1=C ，特解11ln 1++=x y ．3．yx xy y dx dy 321++=． 解 分离变量，得到)1(122x x dx y ydy +=+，两边积分，即得C xx y ~1ln )1ln(222++=+，所以得通解222)1)(1(Cx y x =++，这里0>C 是任意正常数．4．0)1()1(=-++xdy y ydx x ．解 分离变量，得到dx xx dy y y +=-11，两边积分，即得C x x y y ~ln ln ++=-，因此得通解C xy y x =+-ln ，这里C 是任意常数．另有特解0=x 和0=y ．5．0)()(=-++dx y x dy x y ．解 变形得x y x y dx dy +-=，这是齐次方程，设x y u =，得dxdu x u dx dy +=，代入原方程得 11+-=+u u dx du xu ，分离变量得 x dx du u u -=++211，两边积分，即得 C x u u +-=++ln )1ln(21arctan 2，即C y x x y =++)ln(21arctan 22，这里C 是任意常数．6．22y x y dxdy x -+=．解 变形得 21sgn ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=x y x x y dx dy ，这是齐次方程，设x y u =，得dx du x u dx dy +=，代入原方程得 21sgn u x dxdux-=，分离变量积分，即得 C x x u +=ln sgn arcsin ，即C x x xy+=ln sgn arcsin． C x u u +-=++ln )1ln(21arctan 2，即C y x x y =++)ln(21arctan 22，这里C 是任意常数． 7．0cot tan =-xdy ydx ．解 分离变量，得到xdx ydy tan cot =，两边积分，即得C x y ~cos ln sin ln +-=，所以通解为C y x =sin cos ，这里0≠C 的任意常数．另有特解πk y =，Z k ∈及2ππ+=k x ，Z k ∈，这只须在通解表达式中允许0=C 即可，故通解为C y x =sin cos ，这里C 是任意常数．8．032=++ye dx dy x y ．解 分离变量，得到dx e e ydy x y32-=，两边积分，即得C e e x y ~3232+-=--，得到通解C eey x=--2323，这里C 是任意常数．9．0)ln (ln =--ydx dy y x x ．解 变形得y y x x dy dx )ln (ln -=，令u y x =，则dydu y u dy dx +=，代入方程并分离变量得，ydy u u du =-)1(ln ，两边积分，即得C y u ~ln 1ln ln +=-，或1ln +=Cy u ，回代原变量有，1ln+=Cy yx ，或1+=Cy ye x ，这里0≠C 的任意常数．另有特解满足01ln =-u ，即ey x =，这只须在通解表达式中允许0=C 即可，故通解为1+=Cy ye x ，这里C 是任意常数．10．y x e dxdy-=． 解 分离变量，得到dx e dy e xy=，积分得C e e xy +=，这里C 是任意常数．作适当的变量变换求解下列方程（11—17） 11．2)(y x dxdy+=． 解 设y x u +=，则dx dy dx du +=1，原方程化为C x u u dxdu+=⇒+=arctan 12，即通解为 C x y x +=+)a r c t a n(，这里C 是任意常数． 12．2)(1y x dx dy +=． 解2)(y x dydx+=，由上题，注意到这里的x 和y 相当于上题的y 和x ，得到方程的通解为 C y y x +=+)a r c t a n(，这里C 是任意常数． 13．1212+-+-=y x y x dx dy ． 解 由⎩⎨⎧=+-=+-012,012y x y x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=31,31y x ，令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=,31,31y Y x X 就有Y X Y X dX dY 22--=，这是齐次方程，令X Y u =，有u dXduX dX dY +=，代入方程后分离变量，X dX du u u u =+--)1(2212，得到C X u u ~ln 2)1ln(2+-=+-，回代变量得C y x y xy x =-++-22即为原方程的通解，这里C 是任意常数．14．25--+-=y x y x dx dy ． 解 令u y x =-，则dx du dx dy =-1，代入方程得 27--=u dx du ，分离变量并积分得，C x u u =+-1442，即C y x y xy x =+++-410222为方程的通解，这里C 是任意常数．15．18)14()1(22+++++=xy y x dxdy． 解 变形为2)14(2+++=y x dx dy ，令u y x =++14，则dxdydx du 41+=，代入原方程得942+=u dx du ，分离变量解之得，C x u +=632arctan ，回代原变量并变形化简，得到通解 )14(2)6t a n (3++=+y x C x ，这里C 是任意常数．16．2252622yx xy x y dx dy +-=． 解 变形为232632)2(3)(xxy x y dx y d +-=，令x y u 3=，则原方程化为 1262+--=u u u dx du x ，解之得537)2()3(Cx u u =+-，即153373)2()3(Cx x y x y =+-为方程的通解，这里C 是任意常数．17．yy y x xxy x dx dy -+++=32232332． 解 变形为123132)()(222222-+++=y x y x x d y d ，令⎪⎩⎪⎨⎧==22,yY x X ，原方程变为123132-+++=Y X Y X dX dY ，由⎩⎨⎧=-+=++0123,0132Y X Y X ，得到⎩⎨⎧-==1,1Y X ．设⎩⎨⎧+=-=1,1Y v X u ，则有v u v u dv du 2332++=，再令s v u =，得到dvds v s dv du +=，于是23)1(32+-=s s dv ds v ，解得C v s s =-+65)1)(1(，逐步回代变量，得原方程的通解为C y x y x =--+52222)2)((，这里C 是任意常数．18．证明方程)(xy f dxdyy x =经变换u xy =可化为变量分离方程，并由此求解下列方程： （1）xdy dx y x y =+)1(22；（2）222222y x y x dx dy y x -+=． 证明 令u xy =，则得dx dy x y dx du +=，代入原方程得]1)([+=u f u dxdu x 是变量分离方程．（1）中221)(y x xy f +=，所以)2(2+=u u dxdux，分离变量求解得 C u x u ++=)]2(ln[2arctan224，即得原告方程的通解C y x x xy ++=)]2(ln[2arctan2224．（2）中2222)(u u u f -+=，所以224udx du x -=，分离变量求解得 C x u u +=-ln 43123，即得原告方程的通解 C x y x xy +=-ln 431233． 19．已知0,1)()(0≠=⎰x dt t f x f x，试求函数)(x f 的一般表达式．解 变形后等式两边对x 求导，有 ])(1[])(['='⎰x f dt t f x，即 )()()(2x f x f x f '-=，解得)(21)(C x x f +±=，由1)()1(1=⎰dt t f f ，得0=C ，所以xx f 21)(±=．20．求具有性质)()(1)()()(s x t x s x t x s t x -+=+的函数)(t x ，已知)0(x '存在．解 因为)0(x '存在，故)(t x 在0=t 连续，即)0()(lim 0x t x x =→．由)()(1)()()(s x t x s x t x s t x -+=+，令0=s 就有)0()(1)0()()(x t x x t x t x -+=，得到0)0(=x ．ss x s x t x t x s t x s x t x s x t x s t x s t x )()()(1)(1)()()(1)()()()(2⋅-+=--+=-+，令0→s 取极限，由于右边的极限为)0()](1[2x t x '+，故左边的极限存在，从而得到函数)(t x 满足的方程， )0()](1[)(2x t x t x '+='，解之得 C t x t x +'=)0()(arctan ，或])0(t a n [)(C t x t x +'=．由0)0(=x ，推出Z k k C ∈=,π，所以])0(tan[)(πk t x t x +'=，Z k ∈．21．求一曲线，使它的切线介于两坐标轴之间的部分被切点分成相等的部分． 解 由习题 1.2—9（4），知曲线)(x f y =应满足的方程0=+'y y x ，即xy dx dy -=，分离变量解之得，C x y ~ln ln +-=，或C xy =为所求的曲线．22．在图（2.1）所示的C R -电路中，设10=E 伏，100=R 欧，01.0=C 法，而开始时电容C 上没有电荷，问：（1）当开关K 合上“1”后，经过多长时间电容C 上的电压5=C u 伏？（2）当开关K 合上“1”后，经过相当长的时间（如1分钟后）开关K 从“1”突然转至“2”，试求C u 的变化规律，并问经过多长时间5=C u 伏？解 （1）由例7，)1(1t RCC eE u --=，将10=E ，100=R ，01.0=C 代入，有)1(10t C e u --=，由)1(105te --=，反解出)(6931.02ln s t ≈=，即经过约6931.0秒，电容C 上的电压5=C u 伏．（2）同样由例7，t RCC Eeu 1-=，代入具体数值有t C e u -=10，由te -=105，同样得到)(6931.02ln s t ≈=，即经过约6931.0秒，电容C 上的电压5=C u 伏．23．求出习题1.2第9题（1）所确定的曲线，其中4πα=．解 由习题1.2—9（1），ααt a n t a n y x x y y -+='，代入4πα=得y x x y y -+='，这是齐次方程，令u x y =，则dx du x u dx dy +=，代入得2211u u dx du x -+=，解出C y x xy++=)ln(arctan 222即为所求曲线．24．证明满足习题1.2第9题（7）所给条件的曲线是抛物线族． 证明 由习题1.2—9（7），0(>='k kx y 常数)，解之得C kx y +=221，这是抛物线族，顶点在),0(C ，对称轴为y 轴．§2.2 线性方程与常数变易法习题2.2求下列方程的解： 1．x y dxdysin +=． 解 首先，求齐次线性方程y dxdy=的通解，从dx y dy =得到齐次方程通解x ce y =，令xe x c y )(=为方程的解，代入得x ex c xsin )(-='，即cx x e x c x ~)co s (si n 21)(++-=-，故原方程的通解为x e c x x y ~)cos (sin 21++-=，其中c ~为任意常数． 2．t e x dt dx 23=+．解 由03=+x dtdx ，解出t ce x 3-=，设t e t c x 3)(-=是原方程的解，代入原方程得，t e t c 5)(='，故c e t c t ~51)(5+=，所以原方程的通解为t t e e c x 2351~+=-，其中c ~为任意常数．3．t t s dt ds 2sin 21cos +-=． 解 由t s dt ds cos -=，解得tce s sin -=，设t e t c s s i n )(-=是原方程的解，代入原方程得，t e t c t 2sin 21)(sin ='，得c t e t c t ~)1(sin )(sin +-=，所以通解为1sin ~sin -+=-t e c x t ，其中c ~为任意常数．4．n x e y x n dx dy n x ,=-为常数．解 由0=-y xndx dy ，解得n cx y =，设n x x c y )(=是原方程的解，代入原方程得，x e x c =')(，即ce x c x ~)(+=，所以通解为n x x c e y )~(+=，这里c ~为任意常数． 5．01212=--+y x xdx dy ． 解 由0212=-+y xx dx dy ，解得x e cx y 12=，设xe x x c y 12)(=是原方程的解，代入原方程得，ce x c e xx c x x ~)(1)(112+=⇒='--，所以通解x e x c x y 122~+=，这里c ~为任意常数．6．234xyy x dx dy +=． 解 原方程即231y x y x dx dy +=，这是2-=n 的Bernoulli 方程，令3y z =，就有，233x z xdx dz +=，解这个一阶线性方程得通解为)ln 3(3c x x z +=，即)ln 3(33c x x y +=，这里c 为任意常数．7．3)1(12+++=x x y dx dy ．解 由12+=x y dx dy ，得2)1(+=x c y ，令2)1)((+=x x c y 为原方程的解，代入原方程得，1)(+='x x c ，即c x x c ~)1(21)(2++=，所以原方程通解为24)1(~)1(21+++=x c x y ，其中c ~为任意常数．8．3y x ydx dy +=． 解 变形为21y x ydy dx +=，把x 看作未知函数，y 看作自变量，对于y 及dy dx 来说，这是一个线性方程．先解对应的齐线性方程x ydy dx 1=，得cy x =，其次把c 看作)(y c ，即设y y c x )(=为变形后方程的解，代入变形后的方程得y dy y dc =)(，得到c y y c ~21)(2+=，从而原方程的通解为y c y x ~213+=，其中c~为任意常数． 9．xx x ay dx dy 1++=． 解 先解xay dx dy =，得a cx y =，设ax x c y )(=为原方程的解，代入原方程得，11)(++='a x x x c ，即 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=+-≠≠+--=-0,~ln ,1,~1ln ,0,1,~)11()(a c x x a c x x a a c x a a xx c a ， 所以原方程通解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=+-≠≠+--=0,~ln ,1,~1ln ,0,1,~11a c x x a x c x x a a x c a a x y a ，其中c ~为任意常数． 10．3x y dxdyx =+． 解 先解y dx dy x +，得xc y =，设x x c y )(=为原方程的解，代入原方程得，3)(x x c =' ，即c x x c ~41)(4+=，所以原方程通解为x c x y ~413+=，这里c~为任意常数． 11．33y x xy dxdy =+．解 这是3=n 的Bernoulli 方程，令2-=y z 代入有322x xz dxdz -=，解这个一阶线性方程得通解为122++=x cez x ，即1)1(222=++x ce x y 为原方程的通解，这里c 为任意常数．另有特解0=y ．12．xdy ydx x y =-)2ln (．解 变形为y xy x x dx dy 2ln 2-=，这是2=n 的Bernoulli 方程，令1-=y z 代入有 x xz x dx dz ln 2+-=， 解这个一阶线性方程得通解为241ln 21cx x z ++=，即1)41ln 21(2=++cx x y 为原方程的通解，这里c 为任意常数．另有特解0=y ．13．dx x y xydy )2(22-=． 解 变形为yy x dx dy 211-=，这是1-=n 的Bernoulli 方程，令2y z =代入有 12-=z xdx dz ，解这个一阶线性方程得通解为2cx x z +=，即22cx x y +=，这里c 为任意常数．14．23x x e dx dy y +=． 解 设u e y=，则dx dy u dx dy e dx du y ==，代入原方程得2213u xu x dx du +=，这是2=n 的Bernoulli 方程，令1-=u z 代入有 213xz x dx dz --=，解这个关于z 的一阶线性方程得通解为3~21xcx z +-=，回代原变量得原方程的通解322)(x e x c y =-，其中c 为任意常数．15．331yx xy dx dy +=． 解 变形为33x y yx dydx +=，把x 看作未知函数，y 看作自变量，对于y 及dy dx 来说，这是一个3=n 的Bernoulli 方程．令2-=x u ，有322y yu dydu--=，解这个一阶线性方程得通解为122+-=-y ce u y ，即得原方程的通解1222+-=--y ce x y ，这里c 为任意常数．16．⎰+=xx dt t y e y 0)(．解 两边求导得一阶线性方程x e y dxdy+=，解之得通解x e c x y )(+=，从原方程知道有初始条件10==x y ，代入通解表达式中得1=c ，故原积分方程的解为xe x y )1(+=．17．设函数)(t ϕ于+∞<<∞-t 上连续，)0(ϕ'存在且满足关系式)()()(s t s t ϕϕϕ=+，试求此函数．解 由于ss t st s t st s t 1)()()()()()()(-⋅=-=-+ϕϕϕϕϕϕϕ，且)0(ϕ'存在，故在该式中令0→s 取极限就有，)0()()(ϕϕϕ'='t t ，解得t ce t )0()(ϕϕ'=．若0)(≡t ϕ，则是解；若)(t ϕ不恒为零，则由)0()()0()(ϕϕϕϕt t t =+=得1)0(=ϕ，由此得1=c ，所以t e t )0()(ϕϕ'=．18．如图所示的L R -电路，试求：（1）当开关1K 合上10秒后，电感L 上的电流；（2）1K 合上10秒后再将2K 合上，求2K 合上20秒后，电感L 上的电流． 解 （1）由Kirchhoff 第二定律得，E dtdIL I R =+1，把101=R ，2=L ，50=E 代入得到微分方程255=+I dtdI，初始条件0=t 时，0=I ．解之得t e I 555--=，当10=t 时，5055--=eI 约为5安培．（2）由Kirchhoff 第二定律得，E dt dILRI =+，其中320201020102121=+⨯=+=R R R R R ，2=L ，50=E 代入得25310=+I dt dI ，初始条件0=t 时，5=I ．解之得)3(25310t e I --=，当20=t 时，)3(253200--=eI 约为7.5安培．19．试求图示的L R -电路电感上电流)(t I 的变化规律，并解释其物理意义，设0=t 时，0=I ．解 由Kirchhoff 第二定律得，E dtdILRI =+，即t L U I L R dt dI m ωsin =+，初始条件为00==t I，求出其通解为)sin(222ϕωω-++=-t L R U ce I m t LR，其中RL ωϕ=tan ，20πϕ<<．由初始条件得，ϕωsin 222L R U c m +=，所以，)]sin([sin 222ϕωϕω-++=-t e L R U I t LR m ．其物理意义是：当t 增大时，第一项逐渐衰减而趋于零（称为暂时电流），事实上很快就消失而不起作用．而第二项就起着重要作用（称为稳定电流）．稳定电流是一个周期函数，其周期与电动势的周期相同，而相角相差ϕ-．20．试证：（1）一阶非齐线性方程（2.28）的任两解之差必为相应的齐线性方程（2.3）之解；（2）若)(x y y =是（2.3）的非零解，而)(~x y y =是（2.28）的解，则方程（2.28）的通解可表为)(~)(x y x cy y +=，其中c 为任意常数； （3）方程（2.3）任一解的常数倍或任两解之和（或差）仍是（2.3）的解． 证明 （1）设)(1x y y =，)(2x y y =是方程（2.28）)()(x Q y x P dxdy+= 的任意两个解，即)()(11x Q y x P dx dy +=，)()(22x Q y x P dxdy+=，由此得到 ))(()]()([)]()([)(21212121y y x P x Q y x P x Q y x P dxdy dx dy dx y y d -=+-+=-=-，所以)()(21x y x y y -=是齐线性方程（2.3）：y x P dx dy)(=之解． （2）由于)(x y y =是（2.3）的非零解，故)()()(x y x P dxx dy =，而)(~x y y =是（2.28）的解，即)()(~)()(~x Q x y x P dx x y d +=，所以)]()(~)([)()()(~)())(~)((x Q x y x P x y x cP dxx y d dx x dy c dx x y x cy d ++=+=+)()](~)()[(x Q x y x cy x P ++=，所以)(~)(x y x cy y +=是（2.28）的解，其中含有一个任意常数c ，故是方程（2.28）的通解，其中c 为任意常数．（3）设)(1x y y =，)(2x y y =都是方程（2.3）的解，即)()()(11x y x P dx x dy =， )()()(22x y x P dxx dy =， 因此有)]()[()()()())((1111x ky x P x y x kP dxx dy k dx x ky d ===，)]()()[()()()()()()()]()([21212121x y x y x P x y x P x y x P dxx dy dx x dy dx x y x y d ±=±=±=±，所以，方程（2.3）任一解的常数倍或任两解之和（或差）仍是（2.3）的解． 21．求解习题1.2第9题（5）和（6）．解 （5）的方程为 2x y x y ='-，或变形为x y xy -='1，这是一阶线性方程． 先解对应的齐次方程y xy 1='，得到cx y =，设原方程的解为)(x xc y =，代入原方程得1)(-='x c ，即c x x c +-=)(，故所求曲线方程为cx x y +-=2，其中c 为任意常数．（6）的方程为 x y x y ='-2，或变形为2121-='y x y ，这是一阶线性方程．同样先解对应的齐次方程y xy 21='，得到x c y =，设原方程的解为x x c y )(=，代入原方程得xx c 21)(-='，即c x x c +-=)(，故所求曲线方程为x c x y +-=，其中c 为任意常数．22．求解下列方程：（1）01)1(2=+-'-xy y x ；（2）0)12()1(322=+--'-x y x y x x ； （3）0sin cos sin 3=--'x y x x y ．解 （1）先解xy y x ='-)1(2，得12-=x cy ，设方程的解为1)(2-=x x c y ，代入方程得)1sgn(1)(2232---='-x x x c ，推出1)(2-+=x c x x y 为原方程的通解（需分1>x ，1-<x 及1<x 三种情形分别求解后再统一），这里c 为任意常数．（2）先解y x y x x )12()1(22-='-，得到12-=x cxy ，设原方程的解为1)(2-=x x x c y ，代入原方程得 1)1()(22---='x x x x c ，即c x x c +-=11)(2，所以原方程的通解为12-+=x cxx y ，这里c 为任意常数．（3）先解0cos sin =-'y x x y ，得到x c y tan =，设原方程的通解为x x c y tan )(=，代入原方程得x x c sin )(='，即c x x c +=co s )(，所以通解x c x y tan sin +-=，这里c 为任意常数．§2.3 恰当方程与积分因子习题2.3验证下列方程是恰当方程，并求出方程的解： 1．0)2()(2=-++dy y x dx y x ． 证明 y x N y x M 2,2-=+=，所以xNy M ∂∂==∂∂1，即所给方程是恰当方程． 改写方程为02)(2=-++ydy xdy ydx dx x ，即0)31(23=-+y xy x d ，得原方程的解为c y xy x =-+2331，其中c 为任意常数． 2．0)4()3(2=---dy x y dx x y ． 证明 )4(,32x y N x y M --=-=，所以xNy M ∂∂==∂∂1，即所给方程是恰当方程． 改写方程为043)(2=--+ydy dx x xdy ydx ，即0)2(23=--y x xy d ，得原方程的解为c y x xy =--232，其中c 为任意常数．3．0])(1[]1)([2222=--+--dy y x x y dx x y x y ．证明 2222)(1,1)(y x x y N x y x y M --=--=，所以x N y x xy y M ∂∂=-=∂∂3)(2，即所给方程是恰当方程．改写方程为 0)(222=+---y dyx dx y x dy x dx y ， 凑为0)()()()(2=-+----y dyx dx y x y x xyd xy d y x ， 即0)ln ln (=-+-y x y x xy d ，得原方程的通解为c y x yx xy=-+-ln ln ，其中c 为任意常数．4．0)2(3)23(22232=+++dy y y x dx x xy ． 证明 )2(3,)23(22232y y x N x xy M +=+=，所以xNxy y M ∂∂==∂∂12，即所给方程是恰当方程．改写方程为034)(623=+++dy y dx x xdy ydx xy ，即0)3(3422=++y x y x d ，得原方程的解为c y x y x =++34223，其中c 为任意常数．5．0)1sin cos 1()1cos sin1(222=+-++-dy yy x y x x y x dx x y x y y x y ． 证明 由于2221sin cos 1,1cos sin 1yy x y x x y x N xyx y y x y M +-=+-=， 所以，x Ny x y x y x y x y x y x y xy M ∂∂=--+-=∂∂cos sin 1sin cos 13232，即所给方程是恰当方程． 改写方程为01cos sin 222=++-+-dy ydx x y x ydx xdy y x y xdy ydx ， 即0)1cos (sin=-+-y x y x x y d ，得原方程的解为c yx y x x y =-+-1cos sin ，其中c 为任意常数．求下列方程的解：6．0)1(222=+-dy e dx ye x x x ．解 改写方程为02)2(22=-+⋅xdx dy e y dx xe x x ，即0)(22=-x ye d x ，所以得到原方程的通解c x ye x =-22，这里c 为任意常数．7．02)3(2=++xydy dx y e x． 解 由于xy N y e M x2,32=+=，故y xNy y M 2,6=∂∂=∂∂． 因为xN xNy M 2=∂∂-∂∂只与x 有关，所以方程有只与x 有关的积分因子 2ln 22x eexdxx ==⎰=μ，以2x =μ乘方程两边得，0233222=++ydy x dx y x dx e x x，即0)()(223=+xe d x y x d ，故得原方程的通解为c e x x y x x=+-+)22(223，这里c 为任意常数．8．0)1(22=++dy x xydx ．解 改写为0)2(2=++dy dy x xydx ，凑微分得0))((22=++dy dy x x yd ，得原方程的通解c y y x =+2，其中c 为任意常数．9．dx y x xdy ydx )(22+=-． 解 以22y x +除方程两边，有dx yx xdy ydx =+-22，即dx y xd =)(arctan ，得到原方程的通解为c x yx+=arctan，这里c 为任意常数． 10．0)(3=+-dy y x ydx ． 解 改写为dy y xdy ydx 3=-，得ydy yxdy ydx =-2，即)21()(2y d y x d =，所以得到原方程的通解c y y x +=221，或cy y x +=321，其中c 为任意常数． 11．0)1(=+--xdy dx xy y ．解 由x N xy y M =--=,1，得1,1=∂∂-=∂∂x Nx y M ，由于1-=∂∂-∂∂Nx Ny M 与y无关，故方程有只与x 有关的积分因子x dxe e --=⎰=)1(μ，以x e -乘方程两边有，0)1(=+----xdy e dx xy y e x x ，分组得，0])([=--+---dx e dx xye xdy ydx ex x x，凑微分得0])1[(=+-x e xy d ，即得方程的通解为xce xy =+1，这里c 为任意常数．12．0)(2=--xdy dx x y ．解 由x N x y M -=-=,2，得1,1-=∂∂=∂∂xN y M ，由于x N x Ny M 2-=∂∂-∂∂只与x 有关，故方程有积分因子2)2(1x edxx =⎰=-μ，以21x乘方程两边并组合变形有， dx xxdyydx =-2， 即dx x y d =-)(，得到方程的通解为c x xy-=-，或)(x c x y -=，这里c 为任意常数．13．0)2(=++xdy dx y x ．解 改写为02=++xdy ydx xdx ，显然有积分因子x ，故以x =μ乘方程两边有，0])([222=++dy x x yd dx x ，即0)()31(23=+y x d x d ，得到通解c y x x =+2331，其中c为任意常数．14．0)cos()]sin()cos([=+++++dy y x x dx y x y x x ． 解 改写为 0)sin())(cos(=++++dx y x dy dx y x x ， 即 0)sin())(sin(=+++dx y x y x xd ，或0)]sin([=+y x x d ，所以原方程的通解为c y x x =+)sin(，其中c 为任意常数． 15．0)cos sin ()sin cos (=++-dy x x x y dx x x x y ．解 x x x y N x x x y M c o s s i n ,s i n c o s+=-=，则x x x x y xNsi n cos cos -+=∂∂，x yMcos =∂∂，由于1=-∂∂-∂∂M x Ny M 与x 无关，故方程有积分因子y dy e e =⎰=μ，以y e 乘方程两边并分项组合有，0sin cos )1()cos sin cos (=+-+⋅+-xdy ye xdx y e dy e x x xdx xe xdx e y y y y y ，或写为0)(sin )(sin )1()](cos ))(cos (cos [=+-+++y y y y e xd y x d y e e xd x x xd xdx e ，即0sin )](sin )(sin )[1()cos (=++-+xdy e e xd x d e y xe x d yyyy， 也即0)1(sin )sin ()1()cos (=-+-+y xd e x e d y xe x d y y y ，故0)sin )1(cos (=-+x e y xe x d yy，得到方程的通解为c e x y x x y=-+]sin )1(cos [，这里c 为任意常数．16．0)53()24(3=+++xdy ydx y xdy ydx x ．解 改写方程为 05324342=+++dy xy dx y dy x xydx ，可看出y x 2=μ是一个积分因子，用它乘方程两边有053244352423=+++dy y x dx y x ydy x dx y x ，分项组合就有，0)()(5324=+y x d y x d ，故方程的通解为c y x y x =+5324，其中c 为任意常数．17．试导出方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 分别具有形为)(y x +μ和)(xy μ的积分因子的充要条件．解 设)(y x +μ是0),(),(=+dy y x N dx y x M 的积分因子⇔0),()(),()(=+++dy y x N y x dx y x M y x μμ是恰当方程 ⇔xN y M ∂∂=∂∂)()(μμ ⇔NM y x xNy M y x d y x d -+∂∂-∂∂-=++)()()()(μμ ⇔NM y x xNy M -+∂∂-∂∂-)()(μ应为y x +的函数)(y x f +． 又设)(xy μ是0),(),(=+dy y x N dx y x M 的积分因子⇔0),()(),()(=+dy y x N xy dx y x M xy μμ是恰当方程⇔xN y M ∂∂=∂∂)()(μμ ⇔xMyN xy xNy M xy d xy d -∂∂-∂∂=)()()()(μμ ⇔)()()(xy xMyN xy xNy M ϕμ=-∂∂-∂∂． 18．设),(y x f 及yf∂∂连续，试证方程0),(=-dx y x f dy 为线性方程的充要条件是它有仅依赖于x 的积分分子．证明 “⇒”即例4．“⇐” 若方程0),(=-dx y x f dy 有反依赖于x 的积分因子，则)()(x p yfx N y M -=∂∂-=∂∂-∂∂ 仅与x 有关，所以)()()(),(x Q y x p dy x p dy y fy x f +==∂∂=⎰⎰，其中)(x Q 是x 的任意连续函数．从而方程为0)]()([=+-dx x Q y x p dy ，即)()(x Q y x p dxdy+=是线性方程． 19．试证齐次方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 当0≠+yN xM 时有积分因子yNxM +=1μ．证明 将方程两端同乘以N 1，得0=+dy dx N M ，即0)(=+dy dx xy g ． 设xyu =，则ux y =，从而0)(=++xdu udx dx u g ，或0])([=++xdu dx u u g ，这是可分离变量方程，取积分因子])([11u u g x +=μ，则有0])(1[ln =++⎰du uu g x d ，得到通解为c du u u g x =++⎰)(1ln ，其中c 为任意常数．积分因子为yN xM xy N M x Nu u g x N N +=+⋅=+⋅==1][11])([1111μμ，通解可写为c xyd yN xM N x =++⎰)(ln ，c 为任意常数．20．设函数)(u f ，)(u g 连续、可微且)()(u g u f ≠，试证方程0)()(=+dy xy xg dx xy yf有积分因子1)])()([(--=xy g xy f xy μ．证明 以1)])()([(--=xy g xy f xy μ乘以方程两边，有0)]()([)()(=-+xy g xy f xy dyxy xg dx xy yf ，或0)]()([))((=--+y dy xy g xy f xy xdy ydx xy f ，即0)ln )]()([)((=--⎰y du u g u f u u f d )(xy u =，因而方程0)()(=+dy xy xg dx xy yf 有积分因子1)])()([(--=xy g xy f xy μ．21．假设方程（2.43）中的函数),(,),(y x N y x M 满足关系)()(y Mf x Nf xNy M -=∂∂-∂∂ 其中)(,)(y g x f 分别为x 和y 的连续函数，试证方程（2.43）有积分因子))()(exp(⎰⎰+=dy y g dx x f μ．证明 因为yMy g M y M y M M y ∂∂+=∂∂+∂∂=∂∂μμμμμ)()(，xNx f N x N x N N x ∂∂+=∂∂+∂∂=∂∂μμμμμ)()(， 所以0][)]()([)()(=∂∂-∂∂+-=∂∂-∂∂xNy M x Nf y Mg N x M y μμμμ， 即)()(N xM y μμ∂∂=∂∂，从而方程0=+Ndy Mdx μμ是恰当方程，故方程（2.43）有积分因子))()(exp(⎰⎰+=dy y g dx x f μ．22．求出Bernoulli 方程的积分因子． 解 Bernoulli 方程为n y x Q y x P dx dy )()(+= )1,0(≠n ，以ny n --)1(乘方程两边，并令u yu=-1，化为关于dx du u ,的一阶线性方程)()1()()1(x Q n u x P n dxdu-+-=，后者有积分因子⎰--dx x P n e )()1(，从而Bernoulli 方程的积分因子⎰-=--dxx P n ne yn )()1(1μ． 23．设),(y x μ是方程（2.43）的积分因子，从而求得可微函数),(y x U ，使得)(Ndy Mdx dU +=μ．试证),(~y x μ也是方程（2.43）的积分因子的充要条件是)(),(~U y x μϕμ=，其中)(t ϕ是t 的可微函数． 证明 “⇐”若),(y x μ是方程（2.43）的积分因子，且)(Ndy Mdx dU +=μ，则))(()()()()(~0⎰==+=+=dU U d dU U U Ndy Mdx Ndy Mdx ϕϕϕμμ， 所以c dU U =⎰)(ϕ为（2.43）的通解，故)(),(~U y x μϕμ=亦是方程（2.43）的积分因子，其中)(t ϕ是t 的可微函数．“⇒”设dV Ndy Mdx =+22μμ，则M xV2μ=∂∂，N y V 2μ=∂∂． 由Ndy Mdx dU μμ+=，则M xUμ=∂∂，N y U μ=∂∂，得到yU x UN M y V x V ∂∂∂∂==∂∂∂∂，所以，0=∂∂∂∂∂∂∂∂yU x U yV x V，因而存在函数)(t Φ，使得)(U V Φ=，由此得 ))(())(()(Ndy Mdx U Ndy Mdx U dU U dV +Φ'=+Φ'=Φ'=μμμ )(2N d y M d x+=μ， 得到)()(2U U μϕμμ=Φ'=．24．设),(,),(21y x y x μμ是方程（2.43）的两个积分因子，且21μμ不恒为常数，求证c =21μμ（任意常数）是方程（2.43）的通解．证明 由于21,μμ是方程（2.43）的两个积分因子，由上题结论)(21U ϕμμ=，其中)(2Ndy Mdx dU +=μ，这里)(t ϕ是t 的可微函数．由于)(21U ϕμμ=不恒为常数，故有)(U ϕ'不恒为零，由此在c U =)(ϕ两边微分得0)()(2=+'Ndy Mdx U μϕ，因此得到，0)(2=+Ndy Mdx μ，所以c U =)(ϕ是方程（2.43）的解，又c U =)(ϕ中含有一个任意常数，故c U =)(ϕ即c =21μμ（任意常数）是方程（2.43）的通解．25．假设第19题中微分方程还是恰当的，试证它的通解可表为c y x yN y x xM =+),(),(（c 为任意常数）． 证明 由于方程是恰当的，故11=μ即是一个积分因子，而由第19题yNxM +=12μ也是积分因子，且yN xM +=21μμ不恒为常数，所以由第24题所证结论，就知道它的通解为c y x yN y x xM =+),(),(，c 为任意常数．§2.4 一阶隐方程与参数表示习题2.4求解下列方程： 1．y y x '+='13． 解 解出31y y x ''+=，设p y ='，方程为31ppx +=，两边对y 求导，有 dydpp p p )23(134+-=， 即dp p p dy )23(23+-=，所以c p pp ++=2232，因此得原方程的通解为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+=c p py pp x 223,11223（p 为参数），c 为任意常数．2．0)1(33='--'y x y ．解 设31t y ='-，则31t y -='，21t t x -=．由dt t tt dx y dy )21)(1(23---='=，得c t t t y ++-=52521，从而通解为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=-=c t t t y t tx 522521,1，（t 为参数），c 为任意常数． 3．y e y y ''=2．解 设p y ='，则原方程为pe p y 2=，两边对x 求导有，dxdppep p p)2(+=，即dp e p dx p )2(+=，解得c e p x p ++=)1(，所以通解为⎪⎩⎪⎨⎧=++=ppep y c e p x 2,)1( （p 为参数），c 为任意常数． 4．a y y 2)1(2='+（a 为常数）． 解 解出212y a y '+=，p y ='，则原方程为212pay +=，两边对x 求导有， dx dpp p a p ⋅⋅+-=2)1(222，或dp p a dx 22)1(4+-=，解得c p a papx +-+-=arctan 2122，所以通解为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-+-=2212,arctan 212p a y c p a p ap x （p 为参数），c 为任意常数． 5．122='+y x ．解 设t x cos =，t y sin ='，则由tdt dx y dy 2sin -='=，得c t t y ++-=2s i n 4121，所以通解为⎪⎩⎪⎨⎧++-==c t t y t x 2sin 4121,cos （t 为参数），c 为任意常数． 6．22)2()1(y y y '-=-'．解 令yt y ='-2，则有t t y -=1，所以21t y +='，dt ty dy dx 21-='=，由此解出c tx +=1，于是求得通解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=tt y c t x 1,1 （t 为参数），或消去参数t 得c x c x y +--=1，c 为任意常数．习题2.5求下列方程的解：1．1cos sin =+x dx dyx y ． 解 原方程为x y x dx dy sec tan +⋅-=，由y x dxdy⋅-=tan ，得到x c y cos =，设原方程的解是x x c y cos )(=，代入原方程得出x x c 2sec )(='，即c x x c +=tan )(，因此原方程的通解为x c x y cos sin +=，c 为任意常数．2．ydy x xdy ydx 2=-． 解 方程两边同乘以21x ，有ydy xxdy ydx =-2，凑微分得0)21(2=+x yy d ，故得通解c xyy =+221，这里c 为任意常数． 3．1sin 4-=-x e dxdy y ．解 改写为0sin 4=-+xdx dx e dy e yy，两边乘以xe 并凑微分得0)sin 4(=-⎰xdx e e e d x y x ，所以c xdx e e e xy x +=⎰sin 4，即c x x e e e xy x +-=)cos (sin 2，其中c 为任意常数．4．xyx ydx dy -=． 解 这是齐次方程．设x y u =，则ux y =，dxdu x u dx dy +=，代入原方程化为 uuu dx du x-=1． 分离变量求解得，c uux 22ln =+，即2)ln 21(y c y x -=，这里c 为任意常数．5．0)(22=-+dy e x dx y xye yx yx ．解 变形为yxe x y x y dx dy -⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2，这是齐次方程．设x y u =，则ux y =，dx du x u dx dy +=，代入化原方程为u e u dxdux 12-=，分离变量求解得x c e u ln 1=+-，即c e x y x=+ln ，其中c 为任意常数．6．0)1(=-+xdy ydx xy ． 解 变形为02=-=yxdy ydx xdx ，凑微分得0)21(2=+y xy d ，所以原方程的通解为c yxy =+221，其中c 为任意常数． 7．0)2()122(=-++-+dy y x dx y x ．解 变形为2)(1)(2-+-+-=y x y x dx dy ，设u y x =+，则dxdudx dy =+1，代入原方程后得，21-+-=u u dx du ，解之得c x u u +-=+-1ln 3，即c y x y x +++=+1ln 2，这里c 为任意常数．8．32x y x y dx dy +=． 解 这是2=n 的Bernoulli 方程．令1-=y z ，有311xz x dx dz --=，解这个一阶线性方程，得x cxz +=21，即x c x y +=211，这里c 为任意常数． 9．23-+=x y dxdy． 解 先解y dxdy3=，得到x ce y 3=，设原方程的解是x e x c y 3)(=，代入原方程后得，x e x x c 3)2()(--='，所以c e x x c x +--=-3)53(91)(，得到x ce x y 3)53(91+--=是原方程的通解，这里c 为任意常数．10．21⎪⎭⎫ ⎝⎛+=dx dy dx dy x ．解 设p dxdy=，则p p x +=1，两边对y 求导得dy dp p p )11(12+-=，从中就可解出c p p y +-=ln 212，所以通解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=c p p y p px ln 21,12（p 为参数），c 为任意常数．11．312+++-=y x y x dx dy ． 解 改写并分项组合，有0)1()3()(2=+-+=+dx x dy y ydx xdy ，凑微分，得0)21331(22=--++x x y y xy d ， 所以，c x x y y xy =--++2221331是方程的通解，这里c 为任意常数． 12．x y xe dxdy e =+-)1(． 解 原方程即y x xe dx dy +=+1，设u y x =+代入方程得u xe dxdu=，这是分离变量方程．解出c e x u =+-221，即得原方程的通解为c e x y x =++-)(221，这里c 为任意常数．13．02)(22=-+xydy dx y x ．解 设xy N y x M 2,22-=+=，则y x N y y M 2,2-=∂∂=∂∂，x N x Ny M 2-=∂∂-∂∂仅与x 有关，故方程有积分因子2)2(1xedxx =⎰=-μ，用它乘方程两边并分项组合有， 0222=-+x xydy dx y dx ，即0)(2=-x y x d ，所以c xy x =-2，或cx y x =-22是原方程的通解，其中c 为任意常数． 14．1++=y x dx dy． 解 由y dxdy =，解得x ce y =，设原方程的解为x e x c y )(=，代入有xe x x c -+=')1()(，即c ex x c x++-=-)2()(，所以通解为)2(+-=x ce y x ，其中c 为任意常数．15．xy e dx dy x y+=．解 设u x y =，则ux y =，dx du x u dx dy +=，代入化原方程为u e dxdu x =，分离变量解之得c e x u=+-ln ，即c ex xy=+-ln ，其中c 为任意常数．16．y e dxdyx -=++21)1(． 解 分离变量得112+=--x dx e dy y ，两边积分得通解12+=-x c e y，c 为任意常数． 17．0)1()(2=++-dy x y dx y x ．解 改写为1111-+-+=y xxy x dx dy ，这是1-=n 的Bernoulli 方程．设2y z =，则原方程化为一阶线性方程xx z x dx dz +-+=1212，解之得2)1(12+++=x c x z ，因此得原方程的通解为22)1(12+++=x c x y ，这里c 为任意常数．18．0)1(24322=-+dy y x dx y x ．解 )1(2,4322-==y x N y x M ，则y x xN y x y M 226,8=∂∂=∂∂，y M x Ny M 21-=-∂∂-∂∂只与y 有关，故有积分因子yedyy 1)21(=⎰=-μ，用它乘以方程并分项组合有02)24(21213232=-+-dy y dy y x dx y x ，凑微分得，0)434(21233=-y y x d ，所以通解为c y y x =-212333，或c y y x =-)3(3，其中c 为任意常数．19．0422=+-⎪⎭⎫⎝⎛x dx dy y dx dy x ．解 解出y y x y '+'=2)4(2，设p y ='，则原方程为pp x y 2)4(2+=，两边对x 求导有，dxdpp x p p p )221(2422-++=， 或dp pxdx =，解得cp x =，所以通解为⎪⎩⎪⎨⎧+==)4(2,2p c y cp x （p 为参数）， 或消去参数p ，得2242c x cy +=，c 为任意常数．另外还有042=-p ，或x y 2±=也是解．20．1]1[22=⎪⎭⎫⎝⎛-dx dy y ．解 令t dxdysin =，代入方程有1)sin 1(22=-t y ，即t y sec ±=． 由于dt tdt t t t y dy dx 2cos 1sin tan sec ±=±='=，所以1tan c t x +±=，得到原方程的通解为⎩⎨⎧±=+±=ty c t x sec ,tan 1 （t 为参数）， 消去参数t 得1)(22++=c x y ，其中c 为任意常数．21．0)1()1(=-++dy yxe dx e yx yx ． 解 设u y x =，则yu x =，dy duy u dy dx +=，代入原方程化简得uu e u e dy du y ++-=1，分离变量求解得c y e u u=+)(，即c yex yx=+是原方程的通解，其中c 为任意常数．22．0324223=-+dy yx y dx y x ． 解 设42233,2y x y N y x M -==，则x N y x y M ∂∂=-=∂∂46，故为恰当方程． 由于)()(2),(323y yx y dx y x y x u ϕϕ+=+=⎰，其中)(y ϕ是y 的待定可微函数，再由422423)(3y x y y y x y u -='+-=∂∂ϕ，得到21)(y y ='ϕ，即有y y 1)(-=ϕ，因此得到方程的通解为c y yx y x u =-=1),(32，即322cy y x =-，这里c 为任意常数．23．0)1(2=++-dy y x ydx ．解 变形为dy y xdy ydx )1(2+=-，看出有积分因子21y =μ，用21y =μ乘以方程两边并凑微分得)1()(y y d y xd -=，即得方程的通解是c yy y x +-=1或cy y x =+-12，这里c 为任意常数．24．0)]([22=-+-xdy dx y x x y ．解 变形为dx y x x xdy ydx )(22+=-，看出有积分因子221yx +=μ，用它乘以方程两边并凑微分得)2()(arctan 2x d y x d =，得方程的通解是c x y x +=2arctan 2，或其等价形式)2tan(2c x y x +=，其中c 为任意常数． 25．0=-+x e dxdydx dy． 解 设p dxdy=，则p e p x +=，两边对y 求导有dy dp e p p )1(1+=，即dp e p dy p )1(+=，由此得到c e p p y p +-+=)1(212，所以方程的通解为 ⎪⎩⎪⎨⎧+-+=+=ce p p y e p x pp )1(21,2 （p 为参数），c 为任意常数． 26．0)()32(2232=++++dy y x dx y y x xy ． 解 设2232,32y x N y y x xy M +=++=，则x x Ny x x y M 2,222=∂∂++=∂∂，1=∂∂-∂∂N xNy M 与y 无关，所以方程有积分因子x dx e e =⎰=1μ，以之乘方程的两边，分项组合得到0)3()2(2322=++++dy e y dx e y dy e x dx ye x dx xye x xxxx，即。