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课时作业 A 组 基础对点练1．(2017·合肥质检)若双曲线C 1：x 22－y 28＝1与C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线相同，且双曲线C 2的焦距为45，则b ＝( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：由题意得，ba ＝2⇒b ＝2a ，C 2的焦距2c ＝45⇒c ＝a 2＋b 2＝25⇒b ＝4，故选B. 答案：B2．(2017·广州联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为10，点P (2,1)在C 的一条渐近线上，则C 的方程为( ) A.x 220－y 25＝1 B ．x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1D ．x 220－y 280＝1解析：依题意⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝25，1＝b a×2，解得⎩⎨⎧a 2＝20，b 2＝5，∴双曲线C 的方程为x 220－y 25＝1.答案：A3．已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b ＞0)的离心率等于33b ，则该双曲线的焦距为( ) A ．2 5 B ．2 6 C ．6D ．8解析：设双曲线的焦距为2c .由已知得c 2＝33b ，又c 2＝4＋b 2，解得c ＝4，则该双曲线的焦距为8. 答案：D4．已知双曲线9y 2－m 2x 2＝1(m ＞0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：依题意，双曲线的一个顶点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，一条渐近线的方程为mx －3y ＝0，则顶点到渐近线的距离为|－13×3|m 2＋9＝15，则m ＝4. 答案：D5．(2017·湖南六校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，以F 1F 2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为( ) A.x 216－y 29＝1 B ．x 23－y 24＝1 C.x 29－y 216＝1D ．x 24－y 23＝1解析：由已知可得交点(3,4)到原点O 的距离为圆的半径，则半径r ＝32＋42＝5，故c ＝5，a 2＋b 2＝25，又双曲线的一条渐近线y ＝ba x 过点(3,4)，故3b ＝4a ，可解得b ＝4，a ＝3，故选C. 答案：C6．(2017·张掖诊断)如图，F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点B 、A .若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为( )A.7 B ．4 C.233D ． 3解析：依题意得|AB |＝|AF 2|＝|BF 2|，结合双曲线的定义可得|BF 1|＝2a ，|BF 2|＝4a ，|F 1F 2|＝2c ，根据等边三角形，可知∠F 1BF 2＝120°，应用余弦定理，可得4a 2＋16a 2＋2·2a ·4a ·12＝4c 2，整理得c a ＝7，故选A.答案：A7．(2017·南昌调研)已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( ) A.2x ±y ＝0 B ．x ±2y ＝0 C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0解析：由题意，不妨设|PF 1|＞|PF 2|，则根据双曲线的定义得， |PF 1|－|PF 2|＝2a ， 又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ， 解得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，而c ＞a ，所以|PF 2|＜|F 1F 2|， 所以∠PF 1F 2＝30°，所以(2a )2＝(2c )2＋(4a )2－2×2c ×4a cos 30°， 得c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2x ，即2x ±y ＝0.答案：A8．已知A 、B 分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右顶点，点P 为双曲线C 在第一象限的任意一点，点O 为坐标原点，若双曲线C 的离心率为2，P A ，PB ，PO 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1k 2k 3的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫0，39B ．()0，3 C.()0，33D ．(0,8)解析：法一：因为e ＝c a ＝2，所以b ＝3a ，设P (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)，则x 20a 2－y 20b 2＝1，k 1·k 2＝y 0x 0＋a ·y 0x 0－a ＝y 20x 20－a 2＝b 2a 2＝3，又双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，所以0＜k 3＜3，所以0＜k 1k 2k 3＜33，故选C.法二：由双曲线C 的离心率为2可取c ＝2，a ＝1，b ＝3，∴A (－1,0)，B (1,0)，设P (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)，则x 20－y 203＝1，k 1k 2＝y 0x 0＋1·y 0x 0－1＝y 20x 20－1＝3，又双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，所以0＜k 3＜3，所以0＜k 1k 2k 3＜33，故选C. 答案：C9．(2017·开封模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)满足条件：(1)焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)；(2)离心率为53，求得双曲线C 的方程为f (x ，y )＝0.若去掉条件(2)，另加一个条件求得双曲线C 的方程仍为f (x ，y )＝0，则下列四个条件中，符合添加条件的共有( )①双曲线C 上的任意点P 都满足||PF 1|－|PF 2||＝6； ②双曲线C 的虚轴长为4；③双曲线C 的一个顶点与抛物线y 2＝6x 的焦点重合； ④双曲线C 的渐近线方程为4x ±3y ＝0. A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：①由||PF 1|－|PF 2||＝6，得a ＝3，又c ＝5，所以离心率为53，①符合；②中b ＝2，c ＝5，a ＝21，此时离心率等于52121，②不符合；③中a ＝32，c ＝5，此时离心率等于103，也不符合；④渐近线方程为4x ±3y ＝0，所以b a ＝43，离心率为53，④符合．故选B. 答案：B10．(2017·沈阳质量监测)已知P 是双曲线x 23－y 2＝1上任意一点，过点P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ，则P A →·PB →的值是( ) A ．－38 B ．316 C ．－38D ．不能确定解析：设P (x 0，y 0)，因为该双曲线的渐近线分别是x 3－y ＝0，x3＋y ＝0，所以可取|P A |＝|x 03－y 0|13＋1，|PB |＝|x 03＋y 0|13＋1，又cos ∠APB ＝－cos ∠AOB ＝－cos 2∠AOx＝－cos π3＝－12，所以P A →·PB →＝|P A →|·|PB →|·cos ∠APB ＝|x 203－y 20|43·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝34×(－12)＝－38，选A. 答案：A11．(2017·武汉武昌区调研)双曲线Γ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则Γ的实轴长等于__________．解析：双曲线的焦点(0,5)到渐近线y ＝ab x ，即ax －by ＝0的距离为|5b |a 2＋b2＝5bc ＝b ＝3，所以a ＝4,2a ＝8. 答案：812．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14，则该双曲线的离心率为________．解析：双曲线的一条渐近线方程为bx －ay ＝0，一个焦点坐标为(c,0)．根据题意得|bc －a ×0|b 2＋a 2＝14×2c ，所以c ＝2b ，a ＝c 2－b 2＝3b ，所以e ＝c a ＝23＝233. 答案：23313．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦点，且双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ，则双曲线C 的方程为________．解析：易得椭圆的焦点为(－5，0)，(5，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝5，b a ＝2，∴a 2＝1，b 2＝4，∴双曲线C 的方程为x 2－y 24＝1.答案：x 2－y 24＝114．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 2的两条切线，记切点分别为A 、B ，双曲线的左顶点为C ，若∠ACB ＝120°，则双曲线的离心率e ＝________.解析：连接OA ，根据题意以及双曲线的几何性质，|FO |＝c ，|OA |＝a ，而∠ACB ＝120°，∴∠AOC ＝60°，又F A 是圆O 的切线，故OA ⊥F A ，在Rt △F AO 中，容易得到|OF |＝2a ，∴e ＝ca ＝2. 答案：2B 组 能力提速练1．(2016·高考天津卷)已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b ＞0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( ) A.x 24－3y 24＝1 B ．x 24－4y 23＝1 C.x 24－y 24＝1D ．x 24－y 212＝1解析：利用双曲线方程写出圆和渐近线的方程，利用交点求出四边形边长即可表示出面积，解方程求b 即可．由题意知双曲线的渐近线方程为y ＝±b2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝b 2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝44＋b 2，y ＝2b4＋b 2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－44＋b 2，y ＝－2b4＋b 2，即第一象限的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫44＋b2，2b 4＋b 2. 由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD 为矩形，其相邻两边长为84＋b 2，4b 4＋b2，故8×4b 4＋b 2＝2b ，得b 2＝12. 故双曲线的方程为x 24－y 212＝1.故选D. 答案：D2．(2016·高考浙江卷改编)已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m ＞1)与双曲线C 2：x2n 2－y 2＝1(n ＞0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( ) A ．m ＞n 且e 1e 2＞1 B ．m ＞n 且e 1e 2＜1 C ．m ＜n 且e 1e 2＞1 D ．m ＜n 且e 1e 2＜1解析：先利用两圆锥曲线的焦点相同，求出字母之间的关系，再求解离心率之积的取值范围．C 1的焦点为(±m 2－1，0)，C 2的焦点为(±n 2＋1，0)， ∵C 1与C 2的焦点重合，∴m 2－1＝n 2＋1，∴m 2＝n 2＋2，∴m 2＞n 2. ∵m ＞1，n ＞0，∴m ＞n .∵C 1的离心率e 1＝m 2－1m ，C 2的离心率e 2＝n 2＋1n ， ∴e 1e 2＝m 2－1m ·n 2＋1n ＝(m 2－1)(n 2＋1)mn＝(m 2－1)(n 2＋1)m 2n 2＝(n 2＋1)2(n 2＋2)n 2＝n 4＋2n 2＋1n 4＋2n 2＞1＝1.答案：A3．(2017·江西联考)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点，若在双曲线的右支上存在一点M ，使得(OM →＋OF 2→)·F 2M →＝0(其中O 为坐标原点)，且|MF 1→|＝3|MF 2→|，则双曲线的离心率为( ) A.5－1 B ．3＋12 C.5＋12D ．3＋1解析：∵F 2M →＝OM →－OF 2→，∴(OM →＋OF 2→)·F 2M →＝(OM →＋OF 2→)·(OM →－OF 2→)＝0，即OM →2－OF 22→＝0，∴|OF 2→|＝|OM →|＝c ，在△MF 1F 2中，边F 1F 2上的中线等于|F 1F 2|的一半，可得MF 1→⊥MF 2→.∵|MF 1|→＝3|MF 2→|，∴可设|MF 1→|＝3λ，|MF 2→|＝λ(λ＞0)，得(3λ)2＋λ2＝4c 2，解得λ＝c ，∴|MF 1→|＝3c ，|MF 2→|＝c ，∴根据双曲线定义得2a ＝|MF 1→|－|MF 2→|＝(3－1)c ，∴双曲线的离心率e ＝2c 2a ＝3＋1. 答案：D4．(2016·高考北京卷)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________.解析：不妨令B 为双曲线的右焦点，A 在第一象限，则双曲线如图所示． ∵四边形OABC 为正方形，|OA |＝2， ∴c ＝|OB |＝22，∠AOB ＝π4. ∵直线OA 是渐近线，方程为y ＝ba x ，∴ba ＝tan ∠AOB ＝1，即a ＝b . 又∵a 2＋b 2＝c 2＝8，∴a ＝2. 答案：25．(2016·高考浙江卷改编)设双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2.若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，求|PF 1|＋|PF 2|的取值范围． 解析：∵双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，∴|F 1F 2|＝4，||PF 1|－|PF 2||＝2.若△F 1PF 2为锐角三角形，则由余弦定理知|PF 1|2＋|PF 2|2－16＞0，可化为(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|＞16①.由||PF 1|－|PF 2||＝2，得(|PF 1|＋|PF 2|)2－4|PF 1||PF 2|＝4.故2|PF 1||PF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－42，代入不等式①可得(|PF 1|＋|PF 2|)2＞28，解得|PF 1|＋|PF 2|＞27.不妨设P 在左支上，∵|PF 1|2＋16－|PF 2|2＞0，即(|PF 1|＋|PF 2|)·(|PF 1|－|PF 2|)＞－16，又|PF 1|－|PF 2|＝－2，∴|PF 1|＋|PF 2|＜8.故27＜|PF 1|＋|PF 2|＜8.。
第六节双曲线1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．2．了解圆锥曲线的简单应用、了解双曲线的实际背景、了解双曲线在刻画现实世界或解决实际问题中的作用．3．理解数形结合的思想．知识点一双曲线的定义平面内动点P与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离____________为常数2a(2a<2c)，则点P的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距．答案之差的绝对值1．判断正误(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．( )(2)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( )答案：(1)×(2)×2．设P是双曲线x216－y220＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|等于( )A．1 B．17C．1或17 D．以上答案均不对解析：由题意知|PF1|＝9<a＋c＝10，所以P点在双曲线的左支，则有|PF2|－|PF1|＝2a ＝8，故|PF2|＝|PF1|＋8＝17.答案：B知识点二双曲线的标准方程与几何性质1．双曲线的标准方程和几何性质______和______等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为______，离心率为______．答案1．(0，－a ) (0，a ) y ＝±a bx (1，＋∞) 2a a 2＋b 22．实轴 虚轴 y ＝±x e ＝ 23．双曲线方程：x 2|k |－2＋y 25－k ＝1，那么k 的范围是( )A ．k >5B ．2<k <5C ．－2<k <2D ．－2<k <2或k >5解析：由题意知，(|k |－2)(5－k )<0，解得－2<k <2或k >5. 答案：D4．(2016·新课标全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1的左、右焦点，点M 在E上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A. 2 B ．32 C. 3D ．2解析：设F 1(－c,0)，将x ＝－c 代入双曲线方程，得c 2a 2－y 2b 2＝1，所以y 2b 2＝c 2a 2－1＝b 2a 2，所以y ＝±b 2a .因为sin ∠MF 2F 1＝13，所以tan ∠MF 2F 1＝|MF 1||F 1F 2|＝b 2a 2c ＝b 22ac ＝c 2－a 22ac ＝c 2a －a 2c ＝e 2－12e＝24，所以e 2－22e －1＝0，所以e ＝ 2.故选A. 答案：A5．(选修1－1P53练习第3题改编)以椭圆x 24＋y 23＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为__________．解析：设要求的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由椭圆x 24＋y 23＝1，得焦点为(±1,0)，顶点为(±2,0)．所以双曲线的顶点为(±1,0)，焦点为(±2,0)．所以a ＝1，c ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝3，所以双曲线标准方程为x 2－y 23＝1.答案：x 2－y 23＝1热点一 双曲线的定义及应用【例1】 已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 在双曲线右支上运动，则|PF |＋|PA |的最小值为______．【解析】 如图所示，设双曲线的右焦点为E ，则E (4,0)．由双曲线的定义及标准方程得|PF |－|PE |＝4，则|PF |＋|PA |＝4＋|PE |＋|PA |.由图可得，当A ，P ，E 三点共线时，(|PE |＋|PA|)min＝|AE|＝5，从而|PF|＋|PA|的最小值为9.【答案】9(1)已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos ∠F1PF2＝( )A.14B.35C.34D.45(2)设椭圆C1的离心率为513，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为( )A.x242－y232＝1 B.x2132－y252＝1C.x232－y242＝1 D.x2132－y2122＝1解析：(1)由x2－y2＝2，知a＝b＝2，c＝2.由双曲线定义，|PF1|－|PF2|＝2a＝22，又|PF1|＝2|PF2|，∴|PF1|＝42，|PF2|＝22，在△PF1F2中，|F1F2|＝2c＝4，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝34.(2)由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(－5，0)，F2(5,0)，设曲线C2上的一点P，则||PF1|－|PF2||＝8<10＝|F1F2|.由双曲线的定义知曲线C2为双曲线且a＝4，b＝3.故曲线C 2的标准方程为x 242－y 232＝1.答案：(1)C (2)A热点二 双曲线的标准方程【例2】 (2016·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1C.3x 220－3y25＝1 D ．3x 25－3y220＝1【解析】 由题意得c ＝5，b a ＝12，则a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1.【答案】 A(1)已知双曲线x 2a2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点与圆x 2＋y 2－10x ＝0的圆心重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的标准方程为( )A.x 25－y 220＝1 B.x 225－y 220＝1 C.x 220－y 25＝1 D.x 220－y 225＝1 (2)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为__________．解析：(1)由题意知圆心坐标为(5,0)，即c ＝5，又e ＝c a＝5，所以a 2＝5，b 2＝20，所以双曲线的标准方程为x 25－y 220＝1.(2)法1：∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，∴可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点(4，3)，∴λ＝16－4×(3)2＝4，∴双曲线的标准方程为x 24－y2＝1.法2：∵渐近线y ＝12x 过点(4,2)，而3<2，∴点(4，3)在渐近线y ＝12x 的下方，在y＝－12x 的上方(如图)．∴双曲线的焦点在x 轴上，故可设双曲线方程为x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)．由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12，16a 2－3b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.答案：(1)A (2)x 24－y 2＝1热点三 双曲线的几何性质 考向1 求双曲线的离心率【例3】 (2016·山东卷)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．【解析】如图，由题意不妨设|AB |＝3，则|BC |＝2.设AB ，CD 的中点分别为M ，N ，则在Rt △BMN 中，|MN |＝2c ＝2，故|BN |＝|BM |2＋|MN |2＝322＋22＝52.由双曲线的定义可得2a ＝|BN |－|BM |＝52－32＝1，而2c ＝|MN |＝2.所以双曲线的离心率e ＝2c2a＝2.【答案】 2考向2 求双曲线的渐近线【例4】 已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( )A.2x ±y ＝0 B ．x ±2y ＝0 C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0【解析】 由题意，不妨设|PF 1|>|PF 2|，则根据双曲线的定义得，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，解得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，而c >a ，所以有|PF 2|<|F 1F 2|，所以∠PF 1F 2＝30°，所以(2a )2＝(2c )2＋(4a )2－2·2c ·4a cos30°，得c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a .所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ＝±2x ，即2x ±y ＝0.【答案】 A考向3 求变量的取值范围【例5】 已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233【解析】 由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3，∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)，∴MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)．∵MF 1→·MF 2→<0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20<0，即x 20－3＋y 2<0.∵点M (x 0，y 0)在双曲线上，∴x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20，∴2＋2y 20－3＋y 20<0，∴－33<y 0<33. 【答案】 A(1)(2017·安徽合肥质检)若双曲线C 1：x 22－y 28＝1与C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线相同，且双曲线C 2的焦距为45，则b ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8(2)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±x(3)(2017·江西名校学术联盟一调)设A 1，A 2分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，若双曲线上存在点M 使得两直线斜率k MA 1·kMA 2<2，则双曲线C 的离心率的取值范围为( )A ．(0，3)B ．(1，3)C ．(3，＋∞)D ．(0,3)解析：(1)由题意，得b a＝2⇒b ＝2a ，C 2的焦距2c ＝45⇒c ＝a 2＋b 2＝25⇒b ＝4，故选B.(2)由题意得，e ＝c a ＝52⇒c ＝52a ⇒54a 2＝a 2＋b 2⇒b ＝12a ，故渐近线方程为y ＝±b a x ＝±12x ，故选C.(3)设M (x ，y )，A 1(－a,0)，A 2(a,0)，则kMA 1＝yx ＋a，kMA 2＝yx －a，∴kMA 1·kMA 2＝y 2x 2－a 2(*)．又M (x ，y )在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，∴y 2＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2a 2－1，代入(*)式得，b 2x 2－a 2b 2a 2x 2－a 2＝b 2a 2<2，即c 2－a 2a2＝e 2－1<2⇒1<e < 3.答案：(1)B (2)C (3)B双曲线类型问题与椭圆类型问题类似，因而研究方法也有许多类似之处，如“利用定义”，“方程观点”，“直接法或待定系数法求曲线方程”，“数形结合”等．但双曲线多了渐近线，问题变得略为复杂和丰富多彩．复习中要注意如下两个问题：(1)已知双曲线方程，求出它的渐近线方程；(2)求已知渐近线的双曲线方程；已知渐近线方程为ax ±by ＝0时，可设双曲线方程为a 2x 2－b 2y 2＝λ(λ≠0)，再利用其他条件确定λ的值，此方法的实质是待定系数法．忽视“判别式”致误【例】 已知双曲线x 2－y 22＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A 、B 两点，且点P 是线段AB 的中点？【分析】 由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法，所以在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有时不需要考虑“判别式”．致使有的考生思维定势的原因，任何情况下都没有考虑“判别式”，导致解题错误．【解】 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，且线段AB 的中点为(x 0，y 0)，若直线l 的斜率不存在，显然不符合题意．设经过点P 的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，即y ＝kx ＋1－k ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1－k ，x 2－y 22＝1，得(2－k 2)x 2－2k (1－k )x －(1－k )2－2＝0(2－k 2≠0)．①∴x 0＝x 1＋x 22＝k－k 2－k2. 由题意，得k－k2－k2＝1，解得k ＝2. 当k ＝2时，方程①成为2x 2－4x ＋3＝0. Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解．∴不能作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P (1,1)是线段AB 的中点． 解题策略：(1)本题是以双曲线为背景，探究是否存在符合条件的直线，题目难度不大，思路也很清晰，但结论却不一定正确．错误原因是忽视对直线与双曲线是否相交的判断，从而导致错误，因为所求的直线是基于假设存在的情况下所得的．(2)本题属探索性问题．若存在，可用点差法求出AB 的斜率，进而求方程；也可以设斜率k ，利用待定系数法求方程．(3)求得的方程是否符合要求，一定要注意检验．。
