第6章结构位移计算

广义位移： 广义位移： 线位移、角位移、相对线位移、相对角位移、某一组位移的统称。 线位移、角位移、相对线位移、相对角位移、某一组位移的统称。 广义力： 广义力： 集中力、力偶、一对集中力、一对力偶、某一力系的统称。 集中力、力偶、一对集中力、一对力偶、某一力系的统称。
§6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法
§6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法
外力虚功为 W = FK K + FR1c1 + FR 2 c2 + FR 3c3 = 1 K + ∑ FR c
设 FK=1
变形虚功为
WV = ∑ ∫ FN du + ∑ ∫ Md + ∑ ∫ FSγds
由虚功原理 W = WV
K = ∑ FR c + ∑ ∫ FN du + ∑ ∫ Md + ∑ ∫ FSγds
C —C点水平线位移（向右） 点水平线位移（ 点水平线位移 向右）
D —D点水平线位移（向左） 点水平线位移（ 点水平线位移 向左）
CD = C + D —C、D两点的水平相对线位移 、 两点的水平相对线位移
§6-1 概述
计算结构位移的目的 （1）为了校核结构的刚度。 ）为了校核结构的刚度。 （2）结构的施工中，也需要结构的位移。 ）结构的施工中，也需要结构的位移。
§6-1 概述
产生位移的原因： 产生位移的原因：荷载 温度改变 支座移动 材料收缩 制造误差
A —截面 的角位移（顺时针方向） 截面A的角位移 截面 的角位移（顺时针方向）
AB = A + B —截面 、B的相对角位移 截面A、 的相对角位移 截面
B —截面 的角位移（逆时针方向） 截面B的角位移 截面 的角位移（逆时针方向）
§6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算
（4）讨论 ）
5 ql 4 8 I 4 kEI (1 + Ay = + ) 2 2 8 EI 5 Al 5 GAl
上式中：第一项为弯矩的影响，第二、三项分别为轴力、剪力的影响。 上式中：第一项为弯矩的影响，第二、三项分别为轴力、剪力的影响。 杆件截面为矩形，宽度为b、高度为h， 设：杆件截面为矩形，宽度为 、高度为 ，A=bh，I=bh3/12，k=6/5 ， ，
第六章 结构位移计算
§6-1 概述 §6-2 变形体系的虚功原理 §6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法 §6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 §6-5 图乘法 §6-6 静定结构温度变化时的位移计算 §6-7 静定结构支座移动时的位移计算 §6-8 线弹性结构的互等定理 §6-9 空间刚架的位移计算公式
求图a所示桁架 杆的角位移 求图 所示桁架AB杆的角位移。 所示桁架 杆的角位移。
在位移微小的前提下， 在位移微小的前提下，桁架杆件的 角位移=其两端在垂直于杆轴方向上的 角位移 其两端在垂直于杆轴方向上的 相对线位移除以杆长，如图b。 相对线位移除以杆长，如图 。
AB杆的角位移 杆的角位移
A + B AB= d
5 ql 4 2 h 2 E h 2 Ay = [1 + ( ) 2 + ( ) ] 8 EI 15 l 25 G l
截面高度与杆长之比h/l愈大，轴力和剪力影响所占比重愈大。 截面高度与杆长之比 愈大，轴力和剪力影响所占比重愈大。 愈大 当h/l=1/10，G=0.4E时，计算得 ， 时
5 ql 4 1 1 Ay = [1 + + ] 8 EI 750 500
M P = FR sin θ
虚拟状态如图b， 虚拟状态如图 ，截面弯矩为
M = 1 ( R R cos θ ) = R (1 cos θ )
代入位移计算公式， 代入位移计算公式，可得
虚拟状态
MM P ds (1 cos α ) 2 FR 3 Bx = ∑ ∫ = (→) EI 2 EI
§6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算
KP = ∑ ∫ FN duP + ∑ ∫ Md P + ∑ ∫ FSγ P ds
虚拟状态如图b所示。 虚拟状态如图 所示。由材料力学 所示
M P ds d P = EI
FNP ds duP = EA
k—剪切变形的 剪切变形的 改正系数
kFSP ds γ P ds = GA
§6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算
W = ∑ ∫ FN du + ∑ ∫ Md + ∑ ∫ FSγds
§6-2 变形体系的虚功原理
虚功原理的应用
虚位移原理： 虚位移原理： 对于给定的力状态，虚设一个位移状态， 对于给定的力状态，虚设一个位移状态，利 用虚功方程求解力状态中的未知力。 用虚功方程求解力状态中的未知力。
虚力原理： 虚力原理： 对于给定的位移状态，虚设一个力状态， 对于给定的位移状态，虚设一个力状态，利用 虚功方程求解位移状态中的位移。 虚功方程求解位移状态中的位移。
如图： 用 代替 代替， 如图：ds用dx代替， EI可提到积分号外。 可提到积分号外。 可提到积分号外
M = x tan α
tanα为常数 为常数
§6-5 图乘法
MM P ds tan α tan α ∫ EI = EI ∫ xM P dx = EI ∫ xdAω
dAω = M P dx MP图中阴影的微分面积 xdAω 微分面积对 轴的静矩 微分面积对y轴的静矩
M = l , FN = 1, FS = 0
（2）实际状态中，各杆内力为 ）实际状态中，
qx 2 AB段： M P = 段 , FNP = 0, FSP = qx 2 ql 2 BC段： M P = 段 , FNP = ql , FSP = 0 2
（3）代入位移计算公式 ）
5 ql 4 ql 2 kql 2 5 ql 4 8 I 4 kEI (1 + Ay = + + = + ) 2 2 8 EI EA 2GA 8 EI 5 Al 5 GAl
§6-1 概述
变形：结构形状的改变。 变形：结构形状的改变。 位移：结构各处位置的移动。 位移：结构各处位置的移动。
线段AA’—A点的线位移，计为A。 点的线位移，计为 线段 点的线位移 截面A转动的角度 截面 的角位移， 截面 转动的角度—截面 的角位移， 转动的角度 截面A的角位移 计为φA。 计为 A—可用水平分量 Ax和竖向分量 可用水平分量 可用水平分量 Ay 表示。 。
§6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算
试求图a所示刚架 所示刚架A点的竖向位移 例6-1 试求图 所示刚架 点的竖向位移△Ay。各杆的材料相 截面的I、 均为常数 均为常数。 同，截面的 、A均为常数。
解：（1）虚拟状态如图 ，各杆内力为 ）虚拟状态如图b， AB段： 段 BC段： 段
M = x , FN = 0, FS = 1
FN FNPl D = ∑ = 8mm(↓) EA
§6-5 图乘法
梁和刚架在荷载作用下的位移计算公式为 KP = ∑ MM P ds ∫ EI
公式中的积分运算比较麻烦，当结构中各杆段满足下列条件时： 公式中的积分运算比较麻烦，当结构中各杆段满足下列条件时： （1）杆轴为直线； ）杆轴为直线； 计算可以简化 常数； （2）EI=常数； ） 常数 两个弯矩图中至少有一个是直线图形。 （3）M 和MP两个弯矩图中至少有一个是直线图形。 ）
§6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法
所示结构由于荷载、 图a所示结构由于荷载、温度变化及支座移动引起了变形， 所示结构由于荷载 温度变化及支座移动引起了变形， 点沿任一指定方向k—k的位移△K。 求K点沿任一指定方向 点沿任一指定方向 的位移 虚设力状态如图b， 虚设力状态如图 ，使力状态的外力能在位移状态的 △K 上作虚功。 上作虚功。
平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式为： 平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式为：
KP MM P ds FN FNP ds kFS FSP ds = ∑∫ +∑∫ +∑∫ EI EA GA
梁和刚架（受弯杆件）的位移计算公式为： 梁和刚架（受弯杆件）的位移计算公式为：
KP MM P ds = ∑∫ EI
单位荷载法 平面杆件结构位移计算一般公式
§6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法
为求A点水平位移时的虚拟状态 图a为求 点水平位移时的虚拟状态 为求 为求A截面转角时的虚拟状态 图b为求 截面转角时的虚拟状态 为求 为求A、 两点在其连线上相对线位移时的虚拟状态 图c为求 、B两点在其连线上相对线位移时的虚拟状态 为求 为求A、 两个截面相对转角时的虚拟状态 图d为求 、B两个截面相对转角时的虚拟状态 为求
∫ xdAω = Aω x
Aω yC MM P ds tan α ∫ EI = EI Aω xC = EI
C
Aω—MP图的面积； 图的面积； xC—形心 到y轴的距离。 形心C到 轴的距离 轴的距离。 形心
此时轴力和剪力的影响不大，可以略去。 此时轴力和剪力的影响不大，可以略去。
§6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算
试求图a所示等截面圆弧曲梁 所示等截面圆弧曲梁B点的水平位移 例6-2 试求图 所示等截面圆弧曲梁 点的水平位移△Bx。设 梁的截面厚度远小于其半径R。 梁的截面厚度远小于其半径 。
近似采用直杆的位移计算公式 解：近似采用直杆的位移计算公式，只考虑弯 矩影响。 矩影响。实际状态中的截面弯矩为
图示结构进行悬臂拼装时，由于自重及吊车等荷载作用， 图示结构进行悬臂拼装时，由于自重及吊车等荷载作用，产生位移 以便采用相应措施，确保施工安全和拼装就位。 fA。必须先计算fA，以便采用相应措施，确保施工安全和拼装就位。
（3）为分析静定结构打下基础。 ）为分析静定结构打下基础。 （4）结构的动力计算和稳定计算中，需要计算结构的位移。 ）结构的动力计算和稳定计算中，需要计算结构的位移。