结构力学：第六章 结构位移计算
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结构力学6 结构位移计算
例 要求利用刚体体系的虚功原理来计算RB？
L/3 P
A
△P △B
B
△B △P
虚位移
RB
P P RB B 0 B P RB B 0 RB P 3 3
四、变形体体系的虚功原理 变形体体系处于平衡的充要条件是：
对于任何虚位移，外力所作虚功总和 等于各微段两侧截面上的内力在其变形上 所作的虚功总和，即外力虚功等于变形虚 功。
ω2 ω2
图 图
ω 11 ω
图 图
解：
I
I
2I I
2I
I
1 3 1 240 4 320, y1 4 3; 3 4
2 4 6 24, y 2
240 480 360； 2
ω
1
ω
3
1 2 8 3 480 4 960，y3 4＝ 。 2 3 3 1 y1 2 y2 3 y3 Ax EI 2 EI EI 8
h
h
l/2
顶点 l/2
形心
L
二次抛物线A=2hl/3 顶点
抛物线 顶点如何 确定？ h h
A=hl/2 a b
5l/8
3l/8
二次抛物线A=2hl/3 顶点 h 3l/4 l/4 二次抛物线A=hl/3
(a+l)/3
(b+l)/3
l
A=hl/2
三、几种常见简单图形的图乘 1、两个梯形图乘：
1 MM P dx EI 1 M (M Pa M Pb )dx EI
1
P1
2
B
△21
（4）虚功的两种状态
虚设力状态 虚设位移状△12
结构力学：第六章 结构位移计算
δWe δWi
需注意：
——这就是虚功方程。 （证明略）
⑴ 外力系必须是平衡力系，物体处于平衡状态；
§6-2 变形体系的虚功原理
⑵ 位移必须满足虚位移的条件——满足约束条件 的非常微小的连续位移；
⑶ 外力与位移两者之间是相互独立没有关联的。平 衡的外力系与相应的内力是力状态；符合约束条件的微 小位移与相应的变形是位移状态。力状态的外力在位移 状态的位移上做功之和(外力虚功)等于力状态的内力在位 移状态的变形上做功之和(内力虚功)。
内力虚功
若变形与内力彼此无关，则此微段上的内力功 是虚功，其为
dwi FNd FSd Md
对于整根杆的内力虚功，则可对整根杆积分求得：
Wi FNd FSd Md
s
s
s
d , d 和 d 的具体表达式要视引起这个变形的具体
原因而定。
§6-2 变形体系的虚功原理 回顾
（1）质点系的虚功原理
具有理想约束的质点系，在某一位置
处于平衡的必要和充分条件是：
FN1
FP1
对于任何可能的虚位移，作用于质
点系的主动力所做虚功之和为零。也 即
Σ→fi .δr→i=0
FP 2
m 1
m 2
FN 2
§6-2 变形体系的虚功原理
（2）刚体系的虚功原理
去掉约束而代以相应的反力，该反力便可看成外力。 则有：刚体系处于平衡的必要和充分条件是：
变形：结构在外部因素作用下发生的形状的变化。 两者之间的关系：有变形必有位移；有位移不一 定有变形。
§6-1 概述
2. 位移的分类
P
A
A
Ay
A
位移
线位移 转角位移
Ax
《结构力学》第6章 位移法
结构力学
第6章 位移法
●第6章 位移法方程
● (1)关于内力符号的规定
● 对单跨超静定梁仅由荷载引起的杆端弯矩和杆端剪力，
分别称为固端弯矩和固端剪力，用
表示。
图6.1
●(2)关于杆端内力及杆端位移的正负号规定
图6.2 图6.3
表6.1 等截面直杆的杆端弯和剪力 表6.1(续表)
● (2)有侧移刚架的计算 ● 例6.3 用位移法计算图6.19(a)所示的刚架，并作内力图。
图6.19
图6.20
图6.21
●例6.4 计算图6.22(a)所示带 有斜横梁的刚架，绘M图。忽 略横梁的轴向变形。
图6.22
●*例6.5 计算图6.23(a)所示有斜柱的刚架。
图6.23
图6.24
●6.3 位移法的基本原理 ●6.3.1 位移法的基本假定 ●6.3.2 位移法的基本原理
图6.4
图6.5
●6.3.3 位移法的基本未知量和基本结构 ●(1)结点角位移
图6. 6
●(2)独立的结点线位移
图6.7
图6.8 图6.9
图6.10 图6.11
●6.3.4 位移法的典型方程
图6.12
图6. 13
图6.14
图6.15
● 6.4 位移法应用举例 ● 6.4.1 位移法计算步骤 ● 6.4.2 计算示例 ● (1)连续梁及无侧移刚架的计算 ● 例6.1 试用位移法求作图6.16(a)所示连续梁的内力图。
图6.16
●例6.2 求作图6.17(a)所示刚架的弯矩图。
图6.17
图6.25
●(3)有悬臂的处理 ●例6.6 计算图6.26(a)所示结构，绘M图。
图6.26
第6章 位移法
●第6章 位移法方程
● (1)关于内力符号的规定
● 对单跨超静定梁仅由荷载引起的杆端弯矩和杆端剪力，
分别称为固端弯矩和固端剪力，用
表示。
图6.1
●(2)关于杆端内力及杆端位移的正负号规定
图6.2 图6.3
表6.1 等截面直杆的杆端弯和剪力 表6.1(续表)
● (2)有侧移刚架的计算 ● 例6.3 用位移法计算图6.19(a)所示的刚架，并作内力图。
图6.19
图6.20
图6.21
●例6.4 计算图6.22(a)所示带 有斜横梁的刚架，绘M图。忽 略横梁的轴向变形。
图6.22
●*例6.5 计算图6.23(a)所示有斜柱的刚架。
图6.23
图6.24
●6.3 位移法的基本原理 ●6.3.1 位移法的基本假定 ●6.3.2 位移法的基本原理
图6.4
图6.5
●6.3.3 位移法的基本未知量和基本结构 ●(1)结点角位移
图6. 6
●(2)独立的结点线位移
图6.7
图6.8 图6.9
图6.10 图6.11
●6.3.4 位移法的典型方程
图6.12
图6. 13
图6.14
图6.15
● 6.4 位移法应用举例 ● 6.4.1 位移法计算步骤 ● 6.4.2 计算示例 ● (1)连续梁及无侧移刚架的计算 ● 例6.1 试用位移法求作图6.16(a)所示连续梁的内力图。
图6.16
●例6.2 求作图6.17(a)所示刚架的弯矩图。
图6.17
图6.25
●(3)有悬臂的处理 ●例6.6 计算图6.26(a)所示结构，绘M图。
图6.26
结构力学第6章 位移法
§6-6
位移法计算对称结构
§6-6
位移法计算对称结构
§6-6
位移法计算对称结构
§6-6
位移法计算对称结构
§6-6
位移法计算对称结构
§6-6
位移法计算对称结构
§6-6
位移法计算对称结构
§6-6
位移法计算对称结构
§6-6
位移法计算对称结构
第6章 小结
力法、位移法对比 力法 基本未知量：多余约束力 基本结构：一般为静定结构。 作单位和外因内力图 由内力图自乘、互乘求系数， 主系数恒正。 建立力法方程（协调） X 解方程求多余未知力 迭加作内力图 用变形条件进行校核 不能解静定结构
位移法的基本原理及基本方程
Y 0
由结点平衡：
NDB
2 2 建立力的 FNDB FNDC FNDA FP NDA NDC 2 2 平衡方程 EA(2 2) D FP 2L Fp 位移法方程 2 PL 由方程解得： (2 2) EA
把△回代到杆端力的表达式中就可得到各杆的轴力 ： 2 FP P FNDB FNDA FNDC 2 2 2 2
B C
2
D
41.7
C D E
A
EMPF来自m CB 41 . 7 kN .m
F
基本体系
F1P=40－41.7= －1.7 F2P=41.7
3i 2i A 3i B 4i C D
k11=4i+3i+3i= 10i k21=2i
E
1.5i M 1
F
A
B
2i
4i 2i C 3i
D
k22=4i+3i+2i= 9i k21=2i
结构力学位移的计算
l
dl
l
的一半。
D
注意点：
(1)外力实功中，位移是由做功的力本身引起的，且外力是变化的 (由零开始逐渐增加到其最后数值)。
(2)计算外力实功时，力与位移必须相对应。
.
17
5-2 线性变形体系的功能原理 一、外力实功
计算外力实功时，力与位移必须相对应
P
D
MA
j
T 1 PΔ 2
T
1 2
M Aj
P
D
B
EA EI
GA
将式(2)代入(1)，并在长度方向积分，得到一个杆件的实变形能
累加所有杆件的实变形能，得到体系的实变形能
j U U d d U U 1 2 ( F 2 N F 2 E N d d su A M M 2 2 E d d s I F Q F d 2 Q G 2 d ) s A
基础发生沉降 结构支座移动、转动 结构产生位移
4.其他因素
结构构件的尺寸制作误差、材料的干缩、混凝士凝结收缩等
.
7
5-1 概述 三、计算结构位移的目的 1.验算结构的刚度
结构要满足强度、刚度、稳定性要求。 结构的刚度：以其变形或位移来量度
（在验算结构刚度时，需计算结构位移）。 闸门：沿水流方向位移超过允许限度时，将使闸门的启闭受到阻碍，同 时影响止水效果。 结构设计规范中具体规定
1
P1
2
2
P2
.
21
5-2 线性变形体系的功能原理
1
1
P1
2
2
P2
b
a
1 1'
P1
1 1'
D1=Dl1
2 2'
2 2'
建筑结构力学位移计算
2019/2/27 建筑结构力学 14
位移计算公式也是变形体虚功原理的一种表达式。
( M N Q ) ds R c k k
c2
K
K
ds
t1
1
R1
t2
c1
ds d ds ds ds
R2
ds
d
d
Q N 外虚功：W 内虚功：W 1 R c M N Q d e k k i
（2）由上面的内力计算应变，其表达式由材料力学知
M P
EI
N P
1.2
EA
Q kP
10 9
GA
A A1
k--为截面形状系数 (3) 荷载作用下的位移计算公式
M M N N k Q Q P P P ds ds ds EI EA GA
2019/2/27
建筑结构力学
20
。 例1. 试计算悬臂梁A点的竖向位移 ,EI C AV P=1 q x A x C C B A AV
B
l 2
1）列出两种状态
l 2
(a) 实际状态
l 2
l 2
(b) 虚设状态
N 0 M x Q 1
的内力方程：
l 0 x AC段 2
实功恒为正。
虚功是力在其它原因产生的位移上作的功。如T12， 如力与位移同向，虚功为正，反向时，虚功为负。 产生位移的原因 位移发生的位置
ΔKj
2、虚功原理
虚力原理：在给定的位移状态与虚设的力状态之间应用虚
3、虚功原理
功原理，这种虚功原理的形式称为虚力原理。 虚位移原理：在给定的力状态与虚设的位移状态之间应用
位移计算公式也是变形体虚功原理的一种表达式。
( M N Q ) ds R c k k
c2
K
K
ds
t1
1
R1
t2
c1
ds d ds ds ds
R2
ds
d
d
Q N 外虚功：W 内虚功：W 1 R c M N Q d e k k i
（2）由上面的内力计算应变，其表达式由材料力学知
M P
EI
N P
1.2
EA
Q kP
10 9
GA
A A1
k--为截面形状系数 (3) 荷载作用下的位移计算公式
M M N N k Q Q P P P ds ds ds EI EA GA
2019/2/27
建筑结构力学
20
。 例1. 试计算悬臂梁A点的竖向位移 ,EI C AV P=1 q x A x C C B A AV
B
l 2
1）列出两种状态
l 2
(a) 实际状态
l 2
l 2
(b) 虚设状态
N 0 M x Q 1
的内力方程：
l 0 x AC段 2
实功恒为正。
虚功是力在其它原因产生的位移上作的功。如T12， 如力与位移同向，虚功为正，反向时，虚功为负。 产生位移的原因 位移发生的位置
ΔKj
2、虚功原理
虚力原理：在给定的位移状态与虚设的力状态之间应用虚
3、虚功原理
功原理，这种虚功原理的形式称为虚力原理。 虚位移原理：在给定的力状态与虚设的位移状态之间应用
结构力学 结构的位移计算
M
Q
N
§8-2 结构位移计算的一般公式
下面求A点沿
方向的位移分量 d 。
⑴ 根据微段 ds 的轴向应变 、剪切应变 0 、曲率 等变形，确定微段两端截面的相对位移； 相对轴向位移，d ds d 相对剪切位移，d 0 ds 相对转角， ds R ds d B C d ⑵ 将微段变形加以集中化，
一.结构位移计算概述
◆计算结构的位移的目的：验算结构的刚度，即验算结构的位移是否超 过允许的位移限值；在结构制作、安装过程中，预先知道结构的变形情 况，可以采取适当的施工措施；为超静定结构的内力分析打下基础。 ◆产生位移的原因：(1)荷载作用；(2)温度变化和材料胀缩；(3)支座 沉降； (3)制造误差；等等。 ◆结构各点产生位移时，结构内部是否产生应变，有两种情况： ⑴ 刚体运动不产生内部应变（有位移，但无应变）。 如下图，静定多跨梁的支座A有位移 c ，这时，各杆只发生刚体运 A 动，而应变却等于零。
绝对位移
截面A角位移
A
相对位移
，
A点线位移 A 包含：
水平线位移 AH
竖向线位移 AV
CD两点的水平相对线位移： ( CD ) H C D AB两截面的相对转角： AB A B
以上线位移、角位移及相对位移统称为广义位移
§8-1 应用虚功原理求刚体体系的位移
此式为结构 位移计算的 一般公式
如果结构除变形外，在支座处还有给定位移
M N Q 0 ds RK cK
Mds
cK
，则：
N ds
Q 0 ds
0
c RK cK
上式分 别为
Q
N
§8-2 结构位移计算的一般公式
下面求A点沿
方向的位移分量 d 。
⑴ 根据微段 ds 的轴向应变 、剪切应变 0 、曲率 等变形，确定微段两端截面的相对位移； 相对轴向位移，d ds d 相对剪切位移，d 0 ds 相对转角， ds R ds d B C d ⑵ 将微段变形加以集中化，
一.结构位移计算概述
◆计算结构的位移的目的：验算结构的刚度，即验算结构的位移是否超 过允许的位移限值；在结构制作、安装过程中，预先知道结构的变形情 况，可以采取适当的施工措施；为超静定结构的内力分析打下基础。 ◆产生位移的原因：(1)荷载作用；(2)温度变化和材料胀缩；(3)支座 沉降； (3)制造误差；等等。 ◆结构各点产生位移时，结构内部是否产生应变，有两种情况： ⑴ 刚体运动不产生内部应变（有位移，但无应变）。 如下图，静定多跨梁的支座A有位移 c ，这时，各杆只发生刚体运 A 动，而应变却等于零。
绝对位移
截面A角位移
A
相对位移
，
A点线位移 A 包含：
水平线位移 AH
竖向线位移 AV
CD两点的水平相对线位移： ( CD ) H C D AB两截面的相对转角： AB A B
以上线位移、角位移及相对位移统称为广义位移
§8-1 应用虚功原理求刚体体系的位移
此式为结构 位移计算的 一般公式
如果结构除变形外，在支座处还有给定位移
M N Q 0 ds RK cK
Mds
cK
，则：
N ds
Q 0 ds
0
c RK cK
上式分 别为
结构力学位移计算公式
结构力学位移计算公式结构力学是研究结构体系的力学性能和运动规律的学科，是工程力学的一个重要分支。
在结构力学中，位移是一个重要的物理量，它描述了结构体系在受外力作用下发生的变形情况。
位移计算公式是用来计算结构体系的位移的数学公式。
1.剪力梁位移计算公式：在剪力梁中，位移是一个表示结构体系纵向变形的物理量。
当在剪力梁上施加一个集中力作用时，位移可以通过以下公式进行计算：δ=(F*L)/(G*A)其中，δ表示位移，F表示施加在剪力梁上的集中力，L表示剪力梁的长度，G表示剪力梁的剪切模量，A表示剪力梁的截面面积。
2.弹性梁位移计算公式：在弹性梁中，位移是一个表示结构体系纵向变形的物理量。
当在弹性梁上施加一个力矩作用时，位移可以通过以下公式进行计算：θ=(M*L)/(E*I)其中，θ表示位移，M表示施加在弹性梁上的力矩，L表示弹性梁的长度，E表示弹性梁的弹性模量，I表示弹性梁的截面惯性矩。
3.压杆位移计算公式：在压杆中，位移是一个表示结构体系纵向变形的物理量。
当在压杆上施加一个轴向力作用时，位移可以通过以下公式进行计算：δ=(F*L)/(E*A)其中，δ表示位移，F表示施加在压杆上的轴向力，L表示压杆的长度，E表示压杆的弹性模量，A表示压杆的截面面积。
4.梁柱位移计算公式：在梁柱中，位移是一个表示结构体系纵向变形的物理量。
当在梁柱上施加一个集中力作用时，位移可以通过以下公式进行计算：δ=(F*L)/(E*A)其中，δ表示位移，F表示施加在梁柱上的集中力，L表示梁柱的长度，E表示梁柱的弹性模量，A表示梁柱的截面面积。
上述的位移计算公式是基于简化假设和力学理论推导得出的，适用于较为简单的结构体系。
在实际工程设计中，考虑到结构的复杂性和非线性效应，可能需要使用更为复杂的有限元分析等方法来计算位移。
在实际应用中，还需要根据具体情况进行适当的修正和调整，以获得更加准确的位移计算结果。
结构力学课件第六章结构位移计算
d
ya
yb
yb=2/3×d－1/3×c
返回
对于在均布荷载作用下的任何一段直杆，其弯矩图均
可看成一个梯形与一个标准抛物线图形的叠加。
叠加后的抛物线
↶
图形（）与原抛物
线图形（）的面积
QA
MB
大小和形心位置以及
形心处的竖标仍然是
MA
QB
相同的。
MA
MB
返回
当yC所属图形是由若干段直线组成时，或各杆段的
AB段： MP=
， BC段： MP=
3. 代入公式（6—6）得
△Ay=
=
(-x)(-qx2) 2
dx EI
+
qL2 dx (-L)(- 2 ) EI
()
返回
§6—5 图 乘 法
1. 图乘法: 计算梁和刚架在荷载作用下的位移时，要计算
下面的积分
△KP=
y
当结构符合下述条件时：
d=MPdx
A MP
面积
MP
Mi
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
7
求B点水平位移,EI=常数。
Pl
1
MP
MP
l
l
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
8
求C、D两点相对水平位移 。
l
MP
l
l 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
9
已知： E、I、A为常数，求 。
D
P A
C
a
B
0
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
D
P A
C
a
B
D
（1）功
P B
A
dW=P dS Cos
结构力学——第6章结构位移计算讲解
对整个结构有：
WV dWV FNdu Md FSds
虚功方程为： W WV
W FNdu Md FSds
§6-2 变形体系的虚功原理
虚功原理的应用
虚位移原理： 对于给定的力状态，虚设一个位移状态，利 用虚功方程求解力状态中的未知力。
虚力原理： 对于给定的位移状态，虚设一个力状态，利用 虚功方程求解位移状态中的位移。
例6-7 图a为一组合结构，试求D点的竖向位移△Dy。
解：实际状态FNP、MP如图b所示。 ΔDy
FN FNPl E1 A1
A yC E2 I2
虚拟状态FN、M如图c所示。
(1 2 2)Fa 4Fa3
()
E1 A1
3E2 I 2
§6-6 静定结构温度变化时的位移计算
试求图a所示结构由于温度变
对于静定结构，支座发生移动并不引起内力，材料不发生变形，此 时结构的位移属刚体位移。位移计算一般公式简化为
ΔKc FRc
§6-7 静定结构支座移动时的位移计算
例6-9 图a所示三角刚架右边支座的竖向位移△By=0.06m, 水 平位移为△Bx=0.06m, 已知l=12m，h=8m。试求由此引
第六章 结构位移计算
§6-1 概述 §6-2 变形体系的虚功原理 §6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法 §6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 §6-5 图乘法 §6-6 静定结构温度变化时的位移计算 §6-7 静定结构支座移动时的位移计算 §6-8 线弹性结构的互等定理 §6-9 空间刚架的位移计算公式
变形曲线。 解：实际状态弯矩图如图b所示。
虚拟状态弯矩图如图c所示。
ΔAy
A yC 1 (l l ) Fl 1 (l 2l ) Fl EI EI 2 2 2EI 3 4
WV dWV FNdu Md FSds
虚功方程为： W WV
W FNdu Md FSds
§6-2 变形体系的虚功原理
虚功原理的应用
虚位移原理： 对于给定的力状态，虚设一个位移状态，利 用虚功方程求解力状态中的未知力。
虚力原理： 对于给定的位移状态，虚设一个力状态，利用 虚功方程求解位移状态中的位移。
例6-7 图a为一组合结构，试求D点的竖向位移△Dy。
解：实际状态FNP、MP如图b所示。 ΔDy
FN FNPl E1 A1
A yC E2 I2
虚拟状态FN、M如图c所示。
(1 2 2)Fa 4Fa3
()
E1 A1
3E2 I 2
§6-6 静定结构温度变化时的位移计算
试求图a所示结构由于温度变
对于静定结构，支座发生移动并不引起内力，材料不发生变形，此 时结构的位移属刚体位移。位移计算一般公式简化为
ΔKc FRc
§6-7 静定结构支座移动时的位移计算
例6-9 图a所示三角刚架右边支座的竖向位移△By=0.06m, 水 平位移为△Bx=0.06m, 已知l=12m，h=8m。试求由此引
第六章 结构位移计算
§6-1 概述 §6-2 变形体系的虚功原理 §6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法 §6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 §6-5 图乘法 §6-6 静定结构温度变化时的位移计算 §6-7 静定结构支座移动时的位移计算 §6-8 线弹性结构的互等定理 §6-9 空间刚架的位移计算公式
变形曲线。 解：实际状态弯矩图如图b所示。
虚拟状态弯矩图如图c所示。
ΔAy
A yC 1 (l l ) Fl 1 (l 2l ) Fl EI EI 2 2 2EI 3 4
结构力学应用-结构位移计算
（e）抛物线图（题6－9、11）——标准型 （f）*变形曲线 （题6－11、12、13： MSSolver ） M图：约束－弯曲方向（反弯点）－杆长不变
6、温度变化时位移计算
温度变化——无内力－变形——位移 等截面杆：
Kt t0 负号确定 t0 升温为正，FN 拉为正 △t 弯曲变形一致乘积为正： 或：温度髙——M 受拉同侧 ②梁和刚架，轴向变形不能略去。 桁架，只有轴向变形 ③杆件长度因制造误差引起位移 K FN l
结构位移计算
1、位移 线位移 角位移 相对位移 2、变形体系的虚功原理 外力虚功＝变形虚功 ——变形体虚功方程 ∴W外=W变 （6-1）* 3、单位荷载法——位移计算一般公式
K FN du M d FS ds FRi ci
①△K——代数值＋、－表示与所设FK指向相同或相反 ②广义位移——广义力 相对应——指力与位移在作功的关系上的对应
普遍适用： 弹性、非弹性、线性、非线性
4、荷载作用下的位移计算（线弹性结构）
KP FN FN P FS FS P MM P ds ds ds EI EA GA
M∙MP——同侧受拉乘积为正
梁、刚架
桁架
KP
MM P ds EI
KP KP
组合结构
7、静定结构支座移动时位移计算
静定结构、支座移动
——不引起内力——无变形，——产生刚体位移
单位荷载法
KC FR c
FR 与 c 方向一致乘积为正
8、互等定理——线弹性结构
（1）功的互等定理：F1Δ12=F2Δ21 （2）位移互等定理：δ12=δ21 （3）反力互等定理： r12 = r21
李廉锟《结构力学》笔记和课后习题(含考研真题)详解-第6章 结构位移计算【圣才出品】
第6章 结构位移计算6.1 复习笔记【知识框架】【重点难点归纳】一、结构位移的基本概念（见表6-1-1） ★★表6-1-1 结构位移的基本概念二、刚体的虚功原理 ★★★平衡方程是一种直接的受力分析方法，而虚功原理是一种间接手法。
虚功原理是（任意平衡力系）在（任意可能位移）上所做的总虚功为零。
根据虚设对象不同，刚体的虚功原理分两种应用形式（虚力原理、虚位移原理），具体见表6-1-2。
表6-1-2 刚体的虚功原理三、变形体系的虚功原理（见表6-1-3） ★★★表6-1-3 变形体系的虚功原理四、位移计算的一般公式单位荷载法 ★★★★★基于化整为零、积零为整的原则，结构位移的计算从局部变形入手，通过虚力原理中的单位荷载法推导其拉伸、剪切、弯曲变形公式，再对这些局部变形公式进行叠加，得到整体变形公式，最后通过虚功方程推导出位移计算公式，见表6-1-4。
表6-1-4 单位荷载法求变形体系的位移注：为虚设单位荷载在支座处引起的反力；、N、Error!S分别为单位荷载在截面引起的弯矩、轴力、剪力。
拟求位移Δ可以引申理解为广义位移，将结构位移广义化，可以求解两点之间的广义位移。
广义位移、广义单位荷载和外力虚功三者之间满足：W＝1·Δ。
单广义位移分类及单位荷载施加方式见表6-1-5。
表6-1-5 单广义位移分类及单位荷载施加方式五、静定结构在荷载作用下的位移计算（见表6-1-6） ★★★★表6-1-6 静定结构在荷载作用下的位移计算注：G为材料的切变模量；A为杆件截面的面积；k为切应力沿截面分布不均匀而引用的改正系数（考试作为已知条件）。
六、图乘法（见表6-1-7） ★★★★★。
结构力学结构位移计算
结构力学结构位移计算结构位移计算是结构力学中的一个重要内容，它用来分析和计算结构在受力作用下的整体位移情况。
结构位移计算可以通过静力分析和动力分析两种方法进行，静力分析是指结构在静态受力下的位移计算，而动力分析是指结构在动态受力下的位移计算。
静力分析是结构力学的基础，它主要根据结构的初始状态和受力情况，通过应力-应变关系、平衡条件和边界条件等原理进行分析。
静力分析常用的方法有刚度法和应力对应法。
刚度法是基于结构刚度矩阵的计算，通过对于标准结构单元的刚度矩阵进行组装和边界条件的处理，可以得到整个结构的刚度矩阵。
然后，通过对结构受力状态的分析，可以得到结构的受载位移。
应力对应法则是利用结构的应力分布情况，根据材料的本构关系，通过计算得到结构的应变分布情况，然后通过积分等方法，可以得到结构的位移。
动力分析是指结构在动态受力下的位移计算，主要用于计算结构在地震、风载等动力荷载作用下的反应。
动力分析通常包括模态分析和时程分析两种方法。
模态分析是指根据结构的固有振动模态，将结构的运动分解成一系列简谐振动，然后通过分析结构各模态的响应，得到结构的整体位移。
时程分析是指根据结构的动力方程，通过数值积分等方法，求解结构在动力荷载作用下的运动方程，进而计算结构的位移。
在进行结构位移计算时，需要考虑一些基本问题和原则。
首先是边界条件的确定，即结构模型中哪些部分是固定的，哪些部分可以自由移动。
边界条件的选择会直接影响位移计算的结果。
另外，还需要考虑结构材料的本构关系和应力-应变关系的确定，以及结构的几何形状和尺度的影响等。
最后，结构位移计算的结果需要进行后处理和分析。
一般来说，需要对结构的位移进行可视化处理，以便更直观地观察结构的变形情况。
此外，还可以对结构的位移进行动态分析，比如计算结构的振动周期、自由振动频率等，以评估结构的抗震性能和动态稳定性。
总之，结构位移计算是结构力学中一个重要的分析方法，它可以帮助工程师更好地理解和把握结构的受力和变形情况，为结构设计和优化提供重要的参考依据。
结构力学第六章位移法
由形常数作M i (D i 1引起的弯矩图)，由载常数作M P (荷载引起 的弯矩图) ；再由结点矩平衡求附加刚臂中的反力矩，由截
面投影平衡求附加支杆中的反力。
13
16
↓↓↓↓↓↓↓↓
28 30
15kN/m 48kN
15kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓
F1
48kN
Δ1 4m 当F1=0
基本体系
30 i
M图 (kN.m)
4m
i Δ1 30 2 i
2m k11 i 4i
Δ1=1
2m
20
15kN/m
F1P 36 20 MP
↓↓↓↓↓↓↓↓
48kN
2i k11 =8i 4i i 3i
3i
D1
M1
+
F1P=－16 20 0
36
F k11D1 F1P 0
M M 1D1 M P 叠加弯矩图
mAB
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
l，EI
l
ql2/2
M1
X1=1
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
MP
ql2/8
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ M图
ql 2 mAB 8
mBA 0
8
4、转角位移方程：杆端弯矩的一般公式：
D M AB 4i A 2i B 6i +mAB l D M BA 2i A 4i B 6i +mBA l
16
§6.5 位移法计算示例
一、连续梁
A
20kN
2kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
1）确定基本未知量Δ1=θB ； 15 2）确定位移法基本体系； A 3）建立位移法典型方程；
面投影平衡求附加支杆中的反力。
13
16
↓↓↓↓↓↓↓↓
28 30
15kN/m 48kN
15kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓
F1
48kN
Δ1 4m 当F1=0
基本体系
30 i
M图 (kN.m)
4m
i Δ1 30 2 i
2m k11 i 4i
Δ1=1
2m
20
15kN/m
F1P 36 20 MP
↓↓↓↓↓↓↓↓
48kN
2i k11 =8i 4i i 3i
3i
D1
M1
+
F1P=－16 20 0
36
F k11D1 F1P 0
M M 1D1 M P 叠加弯矩图
mAB
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
l，EI
l
ql2/2
M1
X1=1
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
MP
ql2/8
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ M图
ql 2 mAB 8
mBA 0
8
4、转角位移方程：杆端弯矩的一般公式：
D M AB 4i A 2i B 6i +mAB l D M BA 2i A 4i B 6i +mBA l
16
§6.5 位移法计算示例
一、连续梁
A
20kN
2kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
1）确定基本未知量Δ1=θB ； 15 2）确定位移法基本体系； A 3）建立位移法典型方程；
结构力学课件第六章 结构位移计算1
（实际状态） 实际状态） （虚拟状态） 虚拟状态）
分别列出实际状态和虚拟状态中各杆的内力方程： 分别列出实际状态和虚拟状态中各杆的内力方程：
1）写出虚拟状态弯矩表达式 ） AB段： M = − x1 段 BC段： M = −l 段 2）荷载作用下的弯矩表达式 ） qx12 AB段： M P = − 段
(2) 超静定、动力和稳定计算 超静定、 (3）施工要求 ）
建筑起拱
如屋架在竖向荷 载作用下， 载作用下，下弦 各结点产生虚线 所示位移。 所示位移。
将各下弦杆做得 比实际长度短些， 比实际长度短些， 拼装后下弦向上 起拱。 起拱。
在屋盖自重作用下，下弦各杆位于原设计的水平位置。 在屋盖自重作用下，下弦各杆位于原设计的水平位置。
∆
1 W = P∆ 2
虚功：力在非自身所产生的位移上所作的功 虚功：
+ t oC
P
∆ ∆t
W = P∆ t
在作功的过程中， 在作功的过程中，力 的大小保持不变， 的大小保持不变，这 样的功称为虚功。 样的功称为虚功。
∆ 21 ∆ 22
P2
P1
∆11
P1
∆12
力状态 （虚力状态）
P2
∆12
位移状态 （虚位移状态）
1.梁与刚架 只考虑弯曲变形 梁与刚架:只考虑弯曲变形 梁与刚架 MMP ∆ KP = ∑ ∫ ds EI 2.桁架 只有轴向变形 桁架:只有轴向变形 桁架
∆ KP F N FNP F N FNP = ∑∫ ds = ∑ ∫ ds EA EA
∆ KP
3.组合结构 组合结构
F N FNP l =∑ EA
几点注意： 1．该式可用来求弹性体系由荷载产生的位移； 2．该式既用于静定结构也用于超静定结构； 3．第一、二、三项分别表示弯曲变形、轴向变 形、剪切变形产生的位移； 4．E：弹性模量；G：剪切模量； 5．k：截面形状系数。如：对矩形截面k=6/5；圆 形截面k=10/9。 6．结构的类型不同，三种变形对位移的影响有 很大的差别，位移计算公式可进行相应简化。
结构力学+结构位移计算
结构力学
郑州大学土木工程学院
§6–2 实功与虚功 广义力与广义位移
11
2、广义力与广义位移
与力有关因素 广义力P
在虚功式中包含了两个方面因素： 广义力与广义位移的关系是：它
与广义力相应的位移因素
们的乘积是虚功。即：W=P
广义位移
广义力
相应的广义位移
单个力
力作用点沿力方向上的线位移
单个力偶
力偶作用截面的转角
(3)在结构的制作、架设、养护等过程中，常需预先知道结
构的位移，以便采取一定的施工措施。例如建筑起拱。图示
(4)在结构的动力计算和稳定计算中，也需计算结构的位移。
★结构位移是几何量，自然可以采用以杆件变形关系为基
础的几何法计算，但计算位移更好的方法是以虚功原理为基
础的虚功法。
3、线性变形体系
d2 y dx2
21
(2)虚设力求未知位移（虚力原理）
①求虚C设y 。平衡力系。在拟求位移点c1 A
沿拟求位移方向虚设一集中力。
②虚力原理之应用
l
BC
Cy
a
FΔCy FRAc1 0
F1
已 可为根虚知任C简据力y位意的便虚状移假Δ值C起力态之设y与见与原间，F，实理的为的FFR令际建几计大A F位立c何算小1=移的1方方无，al状虚程便关c则态功1。，。(是方↓常彼程)取此，F 无实=A1关质F。RA的上这(是种al拟CVF利求与用的F无虚未B关功知)原位，理移故C沿与F
FS1
Wv FN1du2 FS1 2ds M1d2
M1+dM1 FN1+dFN1
ds FS1+dFS1
d2=2ds
对整个杆系结构：
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最大层间位移<1/800 层高。 铁路工程技术规范规定: 桥梁在竖向静活载下，钢板桥梁和钢桁梁 最大挠度<1/700 和1/900跨度
§6-1 概述
(2) 超静定结构、动力和稳定计算的基础
超静定结构的内力不能仅由平衡条件确定，分析时必须 考虑变形条件，因而需要计算结构的位移。
(3）施工要求
在结构的施工过程中，常需预先知道结构变形后的位置， 以便采取一定的施工措施，使结构物符合设计图纸的要求。
内力虚功
若变形与内力彼此无关，则此微段上的内力功 是虚功，其为
dwi FNd FSd Md
对于整根杆的内力虚功，则可对整根杆积分求得：
Wi FNd FSd Md
s
s
s
d , d 和 d 的具体表达式要视引起这个变形的具体
原因而定。
§6-2 变形体系的虚功原理 回顾
（1）质点系的虚功原理
§6-1 概述
三、 本章位移计算的假定 (1) 线弹性 (Linear Elastic), (2) 小变形 (Small Deformation), （3）理想联结 (Ideal Constraint)。
叠加原理适用（principle of superposition)
§6-1 概述
四、 计算方法
第六章 结构位移计算
§6-1 概 述 §6-2 变形体系的虚功原理 §6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法 §6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 §6-5 图乘法 §6-6 静定结构温度变化时的位移计算 §6-7 静定结构支座移动时的位移计算 §6-8 线弹性结构的互等定理
§6-1 概述
一、结构的位移 (Displacement of Structures) 1. 结构的位移是指结构上的某一截面在荷载或其它 因素作用下由某一位置移动到另一位置，这个移动 的量就称为该截面的位移（线位移和角位移）。
F1
1 W 2 F1 Δ11
1
2
11
21
F1
1 11 12
F2 2 21
22
力F1在力F2引起的位移Δ12上作的功为虚功为
δW F1Δ12
§6-2 变形体系的虚功原理
3.广义位移和广义力
广义位移 ——结构产生的各种位移，包括截面的 线位移、角位移、相对线位移、相对角位移或者是一 组位移等等都可泛称为广义位移。
变形：结构在外部因素作用下发生的形状的变化。 两者之间的关系：有变形必有位移；有位移不一 定有变形。
§6-1 概述
2. 位移的分类
P
A
A
Ay
A
位移
线位移 转角位移
Ax
A A点线位移
Ax A点水平位移
Ay A点竖向位移
A截面转角
§6-1 概述
C'
CV C D
CDV
DV
D'
A
B
C'
C
D
D'
CD
A
B
截面C、D 的相对竖向 线位移为 :
CDV CV DV
截面C、D 的相对角位移为:
ΔCD C D
§6-1 概述
3.位移产生的原因
A
引起结构位移的原因
P
Ay
A A
荷载 温度改变
Ax
支座移动
制造误差,材料收缩
等
t
§6-1 概述
二、计算位移的目的
(1) 刚度要求
在工程上，吊车梁允许的挠度<1/600 跨度； 高层建筑的最大位移<1/1000 高度。
γ
FN
FN
dη
dθ
S
FS
ds
M
M
d s+d λ
ds
ds
该微段上相应的变形为
轴向变形 弯曲变形
d
ds
1 k d
ds
剪力变形 d
ds
§6-2 变形体系的虚功原理
内力实功
如果变形就是由此内力引起的，则此微段上内
力功应为实功，其为轴力、剪力和弯矩分别做的功
之和： 因为
dw
1 2
FN
d ds
d
W F 'dΔ' 0
F
F
A
l
F'
O 'd ' B F
§6-2 变形体系的虚功原理
设线弹性材料的弹性系数为k，则
F
F ' kΔ'
F
A
l
F'
所以
O 'd ' B F
W kΔ'dΔ' 1 kΔ2 1 FΔ F 2
0
2
2
2k
实功的数值就等于图上三角形OAB的面积。实 功是外力的非线性函数，计算外力实功不能应用 叠加原理。
具有理想约束的质点系，在某一Байду номын сангаас置
处于平衡的必要和充分条件是：
FN1
FP1
对于任何可能的虚位移，作用于质
点系的主动力所做虚功之和为零。也 即
Σ→fi .δr→i=0
FP 2
m 1
m 2
FN 2
§6-2 变形体系的虚功原理
（2）刚体系的虚功原理
去掉约束而代以相应的反力，该反力便可看成外力。 则有：刚体系处于平衡的必要和充分条件是：
1 2
FS
d
d ds
1 Md
2
d kds
1
ds
所以
dw
1 2
FNds
1 2
FSds
1 2
Mκds
由胡克定律有：
FN , FS , 1 M
EA
GA EI
故
dw 1 FN2 ds 1 FS2 ds 1 M 2 ds
2 EA 2 GA 2 EI
实功数值上就等于微段的应变能。
§6-2 变形体系的虚功原理
§6-2 变形体系的虚功原理
2.外力的虚功
虚功：力在其它原因引起的位移上所作的功， 即做功的力系和相应的位移是彼此独立无关的。
F
F
A
t
l
δW FΔt F
t
O
B
t
虚功的数值是位移曲线所围的矩形面积。
虚功中的力与位移两者相互独立，计算外 力虚功可应用叠加原理。
§6-2 变形体系的虚功原理
例 F1力在其引起的位移Δ11 上作的功为实功为
对于任何可能的虚位移，作
用于刚体系的所有外力所做虚
功之和为零。
ΔP
-FP ΔP +FB ΔB=0
FAx F Ay
FP ΔB
FB
§6-2 变形体系的虚功原理
二、虚功原理
广义力 ——与广义位移对应的就是广义力，可 以是一个集中力，集中力偶或一对大小相等方向相 反的力或力偶，也可以是一组力系。
注意：广义位移与广义力的对应关系，能够 在某一组广义位移上做功的力系，才称为与这组广 义位移对应的广义力。
§6-2 变形体系的虚功原理
4.内力功
定义：从杆上截取一微段,作用在该微段上的内力 在该微段的变形上做的功定义为该内力做的功。
1.几何法
研究变形和位移的几何关系，用求解微分方程式 的办法求出某截面的位移（材料力学用过，但对复 杂的杆系不适用）。
〈 2. 功能法
虚功原理
应变能(卡氏定理)
本章只讨论应用虚功原理求解结构位移。
§6-2 变形体系的虚功原理
一、基本概念
1.外力的实功
实功： 力在其本身引起的位移上所作的功。
位移Δ是由外力F引起的，F 做的功可表示为:
§6-1 概述
(2) 超静定结构、动力和稳定计算的基础
超静定结构的内力不能仅由平衡条件确定，分析时必须 考虑变形条件，因而需要计算结构的位移。
(3）施工要求
在结构的施工过程中，常需预先知道结构变形后的位置， 以便采取一定的施工措施，使结构物符合设计图纸的要求。
内力虚功
若变形与内力彼此无关，则此微段上的内力功 是虚功，其为
dwi FNd FSd Md
对于整根杆的内力虚功，则可对整根杆积分求得：
Wi FNd FSd Md
s
s
s
d , d 和 d 的具体表达式要视引起这个变形的具体
原因而定。
§6-2 变形体系的虚功原理 回顾
（1）质点系的虚功原理
§6-1 概述
三、 本章位移计算的假定 (1) 线弹性 (Linear Elastic), (2) 小变形 (Small Deformation), （3）理想联结 (Ideal Constraint)。
叠加原理适用（principle of superposition)
§6-1 概述
四、 计算方法
第六章 结构位移计算
§6-1 概 述 §6-2 变形体系的虚功原理 §6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法 §6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 §6-5 图乘法 §6-6 静定结构温度变化时的位移计算 §6-7 静定结构支座移动时的位移计算 §6-8 线弹性结构的互等定理
§6-1 概述
一、结构的位移 (Displacement of Structures) 1. 结构的位移是指结构上的某一截面在荷载或其它 因素作用下由某一位置移动到另一位置，这个移动 的量就称为该截面的位移（线位移和角位移）。
F1
1 W 2 F1 Δ11
1
2
11
21
F1
1 11 12
F2 2 21
22
力F1在力F2引起的位移Δ12上作的功为虚功为
δW F1Δ12
§6-2 变形体系的虚功原理
3.广义位移和广义力
广义位移 ——结构产生的各种位移，包括截面的 线位移、角位移、相对线位移、相对角位移或者是一 组位移等等都可泛称为广义位移。
变形：结构在外部因素作用下发生的形状的变化。 两者之间的关系：有变形必有位移；有位移不一 定有变形。
§6-1 概述
2. 位移的分类
P
A
A
Ay
A
位移
线位移 转角位移
Ax
A A点线位移
Ax A点水平位移
Ay A点竖向位移
A截面转角
§6-1 概述
C'
CV C D
CDV
DV
D'
A
B
C'
C
D
D'
CD
A
B
截面C、D 的相对竖向 线位移为 :
CDV CV DV
截面C、D 的相对角位移为:
ΔCD C D
§6-1 概述
3.位移产生的原因
A
引起结构位移的原因
P
Ay
A A
荷载 温度改变
Ax
支座移动
制造误差,材料收缩
等
t
§6-1 概述
二、计算位移的目的
(1) 刚度要求
在工程上，吊车梁允许的挠度<1/600 跨度； 高层建筑的最大位移<1/1000 高度。
γ
FN
FN
dη
dθ
S
FS
ds
M
M
d s+d λ
ds
ds
该微段上相应的变形为
轴向变形 弯曲变形
d
ds
1 k d
ds
剪力变形 d
ds
§6-2 变形体系的虚功原理
内力实功
如果变形就是由此内力引起的，则此微段上内
力功应为实功，其为轴力、剪力和弯矩分别做的功
之和： 因为
dw
1 2
FN
d ds
d
W F 'dΔ' 0
F
F
A
l
F'
O 'd ' B F
§6-2 变形体系的虚功原理
设线弹性材料的弹性系数为k，则
F
F ' kΔ'
F
A
l
F'
所以
O 'd ' B F
W kΔ'dΔ' 1 kΔ2 1 FΔ F 2
0
2
2
2k
实功的数值就等于图上三角形OAB的面积。实 功是外力的非线性函数，计算外力实功不能应用 叠加原理。
具有理想约束的质点系，在某一Байду номын сангаас置
处于平衡的必要和充分条件是：
FN1
FP1
对于任何可能的虚位移，作用于质
点系的主动力所做虚功之和为零。也 即
Σ→fi .δr→i=0
FP 2
m 1
m 2
FN 2
§6-2 变形体系的虚功原理
（2）刚体系的虚功原理
去掉约束而代以相应的反力，该反力便可看成外力。 则有：刚体系处于平衡的必要和充分条件是：
1 2
FS
d
d ds
1 Md
2
d kds
1
ds
所以
dw
1 2
FNds
1 2
FSds
1 2
Mκds
由胡克定律有：
FN , FS , 1 M
EA
GA EI
故
dw 1 FN2 ds 1 FS2 ds 1 M 2 ds
2 EA 2 GA 2 EI
实功数值上就等于微段的应变能。
§6-2 变形体系的虚功原理
§6-2 变形体系的虚功原理
2.外力的虚功
虚功：力在其它原因引起的位移上所作的功， 即做功的力系和相应的位移是彼此独立无关的。
F
F
A
t
l
δW FΔt F
t
O
B
t
虚功的数值是位移曲线所围的矩形面积。
虚功中的力与位移两者相互独立，计算外 力虚功可应用叠加原理。
§6-2 变形体系的虚功原理
例 F1力在其引起的位移Δ11 上作的功为实功为
对于任何可能的虚位移，作
用于刚体系的所有外力所做虚
功之和为零。
ΔP
-FP ΔP +FB ΔB=0
FAx F Ay
FP ΔB
FB
§6-2 变形体系的虚功原理
二、虚功原理
广义力 ——与广义位移对应的就是广义力，可 以是一个集中力，集中力偶或一对大小相等方向相 反的力或力偶，也可以是一组力系。
注意：广义位移与广义力的对应关系，能够 在某一组广义位移上做功的力系，才称为与这组广 义位移对应的广义力。
§6-2 变形体系的虚功原理
4.内力功
定义：从杆上截取一微段,作用在该微段上的内力 在该微段的变形上做的功定义为该内力做的功。
1.几何法
研究变形和位移的几何关系，用求解微分方程式 的办法求出某截面的位移（材料力学用过，但对复 杂的杆系不适用）。
〈 2. 功能法
虚功原理
应变能(卡氏定理)
本章只讨论应用虚功原理求解结构位移。
§6-2 变形体系的虚功原理
一、基本概念
1.外力的实功
实功： 力在其本身引起的位移上所作的功。
位移Δ是由外力F引起的，F 做的功可表示为: