结构力学：第六章 结构位移计算

§6-1 概述
三、 本章位移计算的假定 (1) 线弹性 (Linear Elastic), (2) 小变形 (Small Deformation), （3）理想联结 (Ideal Constraint)。
叠加原理适用（principle of superposition)
§6-1 概述
四、 计算方法
具有理想约束的质点系，在某一位置
处于平衡的必要和充分条件是：
FN1
FP1
对于任何可能的虚位移，作用于质
点系的主动力所做虚功之和为零。也 即
Σ→fi .δr→i=0
FP 2
m 1
m 2
FN 2
§6-2 变形体系的虚功原理
（2）刚体系的虚功原理
去掉约束而代以相应的反力，该反力便可看成外力。 则有：刚体系处于平衡的必要和充分条件是：
对于任何可能的虚位移，作
用于刚体系的所有外力所做虚
功之和为零。
ΔP
-FP ΔP +FB ΔB=0
FAx F Ay
FP ΔB
FB
§6-2 变形体系的虚功原理
二、虚功原理
C
D
D'
CD
A
B
截面C、D 的相对竖向 线位移为 :
CDV CV DV
截面C、D 的相对角位移为:
ΔCD C D
§6-1 概述
3.位移产生的原因
A
引起结构位移的原因
P
Ay
A A
荷载 温度改变
Ax
支座移动
制造误差,材料收缩
等
t
§6-1 概述
二、计算位移的目的
(1) 刚度要求
在工程上，吊车梁允许的挠度<1/600 跨度； 高层建筑的最大位移<1/1000 高度。
F1
1 W 2 F1 Δ11
1
2
11
21
F1
1 11 12
F2 2 21
22
力F1在力F2引起的位移Δ12上作的功为虚功为
δW F1Δ12
§6-2 变形体系的虚功原理
3.广义位移和广义力
广义位移 ——结构产生的各种位移，包括截面的 线位移、角位移、相对线位移、相对角位移或者是一 组位移等等都可泛称为广义位移。
1 2
FS
d
d ds
1 Md
2
d kds
1
ds
所以
dw
1 2
FNds
1 2
FSds
1 2
Mκds
由胡克定律有：
FN , FS , 1 M
EA
GA EI
故
dw 1 FN2 ds 1 FS2 ds 1 M 2 ds
2 EA 2 GA 2 EI
实功数值上就等于微段的应变能。
§6-2 变形体系的虚功原理
第六章 结构位移计算
§6-1 概 述 §6-2 变形体系的虚功原理 §6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法 §6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 §6-5 图乘法 §6-6 静定结构温度变化时的位移计算 §6-7 静定结构支座移动时的位移计算 §6-8 线弹性结构的互等定理
§6-1 概述
一、结构的位移 (Displacement of Structures) 1. 结构的位移是指结构上的某一截面在荷载或其它 因素作用下由某一位置移动到另一位置，这个移动 的量就称为该截面的位移（线位移和角位移）。
最大层间位移<1/800 层高。 铁路工程技术规范规定: 桥梁在竖向静活载下，钢板桥梁和钢桁梁 最大挠度<1/700 和1/900跨度
§6-1 概述
(2) 超静定结构、动力和稳定计算的基础
超静定结构的内力不能仅由平衡条件确定，分析时必须 考虑变形条件，因而需要计算结构的位移。
(3）施工要求
在结构的施工过程中，常需预先知道结构变形后的位置， 以便采取一定的施工措施，使结构物符合设计图纸的要求。
广义力 ——与广义位移对应的就是广义力，可 以是一个集中力，集中力偶或一对大小相等方向相 反的力或力偶，也可以是一组力系。
注意：广义位移与广义力的对应关系，能够 在某一组广义位移上做功的力系，才称为与这组广 义位移对应的广义力。
§6-2 变形体系的虚功原理
4.内力功
定义：从杆上截取一微段,作用在该微段上的内力 在该微段的变形上做的功定义为该内力做的功。
1.几何法
研究变形和位移的几何关系，用求解微分方程式 的办法求出某截面的位移（材料力学用过，但对复 杂的杆系不适用）。
〈 2. 功能法
虚功原理
应变能(卡氏定理)
本章只讨论应用虚功原理求解结构位移。
§6-2 变形体系的虚功原理
一、基本概念
1.外力的实功
实功： 力在其本身引起的位移上所作的功。
位移Δ是由外力F引起的，F 做的功可表示为:
变形：结构在外部因素作用下发生的形状的变化。 两者之间的关系：有变形必有位移；有位移不一 定有变形。
§6-1 概述
2. 位移的分类
P
A
A
Ay
A
位移
线位移 转角位移
Ax
A A点线位移
Ax A点水平位移
Ay A点竖向位移
A截面转角
§6-1 概述
C'
CV C D
CDV
DV
D'
A
B
C'
W F 'dΔ' 0
F
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F
A
l
F'
O 'd ' B F
§6-2 变形体系的虚功原理
设线弹性材料的弹性系数为k，则
F
F ' kΔ'
F
A
l
F'
所以
O 'd ' B F
W kΔ'dΔ' 1 kΔ2 1 FΔ F 2
0
2
2
2k
实功的数值就等于图上三角形OAB的面积。实 功是外力的非线性函数，计算外力实功不能应用 叠加原理。
内力虚功
若变形与内力彼此无关，则此微段上的内力功 是虚功，其为
dwi FNd FSd Md
对于整根杆的内力虚功，则可对整根杆积分求得：
Wi FNd FSd Md
s
s
s
d , d 和 d 的具体表达式要视引起这个变形的具体
原因而定。
§6-2 变形体系的虚功原理 回顾
（1）质点系的虚功原理
§6-2 变形体系的虚功原理
2.外力的虚功
虚功：力在其它原因引起的位移上所作的功， 即做功的力系和相应的位移是彼此独立无关的。
F
F
A
t
l
δW FΔt F
t
O
B
t
虚功的数值是位移曲线所围的矩形面积。
虚功中的力与位移两者相互独立，计算外 力虚功可应用叠加原理。
§6-2 变形体系的虚功原理
例 F1力在其引起的位移Δ11 上作的功为实功为
γ
FN
FN
dη
dθ
S
FS
ds
M
M
d s+d λ
ds
ds
该微段上相应的变形为
轴向变形 弯曲变形
d
ds
1 k d
ds
剪力变形 d
ds
§6-2 变形体系的虚功原理
内力实功
如果变形就是由此内力引起的，则此微段上内
力功应为实功，其为轴力、剪力和弯矩分别做的功
之和： 因为
dw
1 2
FN
d ds
d