结构力学(第五版)第六章_结构位移计算

李廉锟《结构力学》笔记和课后习题（含考研真题）详解-第6章结构位移计算【圣才出品】第6章结构位移计算6.1 复习笔记【知识框架】【重点难点归纳】一、结构位移的基本概念（见表6-1-1）★★表6-1-1 结构位移的基本概念二、刚体的虚功原理★★★平衡方程是一种直接的受力分析方法，而虚功原理是一种间接手法。

虚功原理是（任意平衡力系）在（任意可能位移）上所做的总虚功为零。

根据虚设对象不同，刚体的虚功原理分两种应用形式（虚力原理、虚位移原理），具体见表6-1-2。

表6-1-2 刚体的虚功原理三、变形体系的虚功原理（见表6-1-3）★★★表6-1-3 变形体系的虚功原理四、位移计算的一般公式单位荷载法★★★★★基于化整为零、积零为整的原则，结构位移的计算从局部变形入手，通过虚力原理中的单位荷载法推导其拉伸、剪切、弯曲变形公式，再对这些局部变形公式进行叠加，得到整体变形公式，最后通过虚功方程推导出位移计算公式，见表6-1-4。

表6-1-4 单位荷载法求变形体系的位移注：为虚设单位荷载在支座处引起的反力；、N、Error!S分别为单位荷载在截面引起的弯矩、轴力、剪力。

拟求位移Δ可以引申理解为广义位移，将结构位移广义化，可以求解两点之间的广义位移。

广义位移、广义单位荷载和外力虚功三者之间满足：W＝1·Δ。

单广义位移分类及单位荷载施加方式见表6-1-5。

表6-1-5 单广义位移分类及单位荷载施加方式五、静定结构在荷载作用下的位移计算（见表6-1-6）★★★★表6-1-6 静定结构在荷载作用下的位移计算注：G为材料的切变模量；A为杆件截面的面积；k为切应力沿截面分布不均匀而引用的改正系数（考试作为已知条件）。

六、图乘法（见表6-1-7）★★★★★。

结构力学位移计算公式结构力学是研究结构体系的力学性能和运动规律的学科，是工程力学的一个重要分支。

在结构力学中，位移是一个重要的物理量，它描述了结构体系在受外力作用下发生的变形情况。

位移计算公式是用来计算结构体系的位移的数学公式。

1.剪力梁位移计算公式：在剪力梁中，位移是一个表示结构体系纵向变形的物理量。

当在剪力梁上施加一个集中力作用时，位移可以通过以下公式进行计算：δ=(F*L)/(G*A)其中，δ表示位移，F表示施加在剪力梁上的集中力，L表示剪力梁的长度，G表示剪力梁的剪切模量，A表示剪力梁的截面面积。

2.弹性梁位移计算公式：在弹性梁中，位移是一个表示结构体系纵向变形的物理量。

当在弹性梁上施加一个力矩作用时，位移可以通过以下公式进行计算：θ=(M*L)/(E*I)其中，θ表示位移，M表示施加在弹性梁上的力矩，L表示弹性梁的长度，E表示弹性梁的弹性模量，I表示弹性梁的截面惯性矩。

3.压杆位移计算公式：在压杆中，位移是一个表示结构体系纵向变形的物理量。

当在压杆上施加一个轴向力作用时，位移可以通过以下公式进行计算：δ=(F*L)/(E*A)其中，δ表示位移，F表示施加在压杆上的轴向力，L表示压杆的长度，E表示压杆的弹性模量，A表示压杆的截面面积。

4.梁柱位移计算公式：在梁柱中，位移是一个表示结构体系纵向变形的物理量。

当在梁柱上施加一个集中力作用时，位移可以通过以下公式进行计算：δ=(F*L)/(E*A)其中，δ表示位移，F表示施加在梁柱上的集中力，L表示梁柱的长度，E表示梁柱的弹性模量，A表示梁柱的截面面积。

上述的位移计算公式是基于简化假设和力学理论推导得出的，适用于较为简单的结构体系。

在实际工程设计中，考虑到结构的复杂性和非线性效应，可能需要使用更为复杂的有限元分析等方法来计算位移。

在实际应用中，还需要根据具体情况进行适当的修正和调整，以获得更加准确的位移计算结果。

结构力学5结构位移计算结构位移计算是结构力学中的一项重要内容，它能够预测结构在加载过程中的变形情况，为结构设计和分析提供依据。

本文将从结构位移计算的基本原理、常用的分析方法和一些实例进行详细介绍。

一、结构位移计算的基本原理：结构位移计算的基本原理是根据力学原理和力平衡条件进行求解。

结构在受载过程中会产生内力和变形，而结构的内力与结构的变形有密切关系。

根据结构材料的本构关系和边界条件，通过求解相应的方程组，可以得到结构的位移。

二、常用的分析方法：1.解析法：解析法是一种基于数学分析的位移计算方法，通常适用于简单的结构。

该方法通过建立结构的力学模型，利用数学分析的方法求解相应的方程，得到结构的位移。

2.数值法：数值法是一种通过数值计算的方法进行位移计算的技术。

常用的数值法包括有限元法、有限差分法和有限体积法等。

这些方法通过将结构划分为很多小单元或控制体，在每个单元或控制体上建立适当的方程，通过数值迭代求解得到结构的位移。

三、结构位移计算的实例：1.简支梁的位移计算：考虑一个简支梁，长度为L，受到集中力F作用在中央，通过解析法可以得到梁的最大挠度为δ=F L^3/(48EI)，其中E是梁的杨氏模量，I是截面惯性矩。

2.悬臂梁的位移计算：考虑一个悬臂梁，长度为L，受到均布荷载w作用，可以通过数值法进行位移计算。

首先将梁划分为很多小单元，然后在每个单元上利用有限元法建立相应的方程组，通过数值迭代求解得到梁的位移分布。

最终可以得到梁的最大挠度和变形曲线。

结构位移计算是结构力学中的一个重要内容，它可以帮助工程师预测结构在加载过程中的变形情况，为结构设计和分析提供依据。

通过解析法和数值法进行位移计算，可以得到结构的位移分布和最大位移值。

在实际工程中，结构位移计算对于评估结构的稳定性和安全性具有重要意义。

第6章位移法习题解答习题6.1确定用位移法计算习题6.1图所示结构的基本未知量数目，并绘出基本结构。

（除注明者外，其余杆的EI为常数。

）(a) (b) (c) (d)习题6.1图【解】各题基本未知量（取独立未知结点位移为基本未知量）如下：（a）n=4 （b）n=2 （c）n=6 （d）n=8习题6.2是非判断(1)位移法基本未知量的个数与结构的超静定次数无关。

（）(2)位移法可用于求解静定结构的内力。

（）(3)用位移法计算结构由于支座移动引起的内力时，采用与荷载作用时相同的基本结构。

（）(4)位移法只能用于求解连续梁和刚架，不能用于求解桁架。

（）【解】（1）正确。

位移法求解时基本未知量是结构的未知结点位移，与结构是否超静定无关。

（2）正确。

无任何结点位移发生的静定结构内力图可利用载常数直接确定；有结点位移发生的静定结构则可利用位移法的一般步骤计算。

（3）正确。

用位移法计算支座位移引起的内力时，可采用与荷载作用相同的基本结构，自由项可根据形常数和支移值确定。

（4）错误。

只要能够取得杆端力与杆端位移之间的函数关系，位移法就可用于求解任何杆系结构。

习题6.3已知习题6.3图所示刚架的结点B产生转角θB =π/180，试用位移法概念求解所作用外力偶M。

习题 6.3图【解】30i π 。

发生转角θB 时，可直接求得结点B 所连的各杆端弯矩，再由结点B 的平衡条件即可得M 。

习题6.4 若习题6.4图所示结构结点B 向右产生单位位移，试用位移法中剪力分配法的概念求解应施加的力F P 。

习题 6.4图【解】315lEI。

结点B 向右产生单位位移时，横梁所连各柱端剪力之和即为F P 。

习题6.5 已知刚架的弯矩图如习题6.5图所示，各杆EI =常数，杆长l =4m ，试用位移法概念直接计算结点B 的转角θB 。

m习题 6.5图【解】由M 图可知，BC 杆上无外荷载，其杆端弯矩为330BC BC B M i θ==-，由此求得40B EIθ=-。

6-1 求图示桁架AB 、AC 的相对转角，各杆EA 为常量。

解：（1）实状态桁架各杆的轴力如图（b ）所示。

(b)(a)N(d )(c)题6-1N N（2）建立虚设单位力状态如（c ）所示,求AB 杆的转角。

1113(2)82i P iAB i i P a P a P a N N l P a a a E A EA EA EA EAϕ⋅⋅⋅⋅-⋅-⋅⋅⋅==++⨯=∑（↺）（3）建立虚设单位力状态如（d ）所示,求AC 杆的转角。

113(2)()(72i P i AC i iP a P a N N lPa a E A EA EA EAϕ⋅⋅⋅-⋅-⋅⋅==+⨯=∑（↺）故，AB 、AC 的相对转角为两杆转角之差：8(7(10.414AB AC P P P PEA EA EA EAϕϕϕ+=-=-==-（夹角减小）6-2 求半圆曲梁中点K 的竖向位移。

只计弯曲变形。

EI 为常数。

方法一 解：（1）荷载作用下的实状态的约束反力如图（a ）所示。

以任意半径与水平坐标轴的顺时针夹角为自变量，其弯矩方程为：sin (0)P M θθπ=-≤≤Pr（2）建立虚设单位力状态如（b ）所示，其弯矩方程为：[]1cos )(0)2211cos()cos )()222i M πθθππθθθπ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-=≤≤⎪⎩(r -r r -r (r +r(a)题6-2（3）积分法求半圆曲梁中点K 的竖向位移。

20233220022311cos )(sin )cos )(sin )2211cos )sin cos )sin sin sin 2)sin sin 2)2222cos 2i V Pk Pr Pr M M ds rd rd EIEI EI Pr Pr d d d d EI EI Pr EI πππππππππθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ⋅-⋅-⋅∆==+⎡⎤⎡⎤=-⋅+⋅=-+⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=-∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(r -r (r +r (-(+(-(+(-11320211cos 2)cos cos 2)442Pr EI πππθθθ⎡⎤⎢⎥+-+=-↑⎢⎥⎣⎦（）( 方法二：本题也可以只算纵向对称轴左边，再乘2。

结构力学结构位移计算结构位移计算是结构力学中的一个重要内容，它用来分析和计算结构在受力作用下的整体位移情况。

结构位移计算可以通过静力分析和动力分析两种方法进行，静力分析是指结构在静态受力下的位移计算，而动力分析是指结构在动态受力下的位移计算。

静力分析是结构力学的基础，它主要根据结构的初始状态和受力情况，通过应力-应变关系、平衡条件和边界条件等原理进行分析。

静力分析常用的方法有刚度法和应力对应法。

刚度法是基于结构刚度矩阵的计算，通过对于标准结构单元的刚度矩阵进行组装和边界条件的处理，可以得到整个结构的刚度矩阵。

然后，通过对结构受力状态的分析，可以得到结构的受载位移。

应力对应法则是利用结构的应力分布情况，根据材料的本构关系，通过计算得到结构的应变分布情况，然后通过积分等方法，可以得到结构的位移。

动力分析是指结构在动态受力下的位移计算，主要用于计算结构在地震、风载等动力荷载作用下的反应。

动力分析通常包括模态分析和时程分析两种方法。

模态分析是指根据结构的固有振动模态，将结构的运动分解成一系列简谐振动，然后通过分析结构各模态的响应，得到结构的整体位移。

时程分析是指根据结构的动力方程，通过数值积分等方法，求解结构在动力荷载作用下的运动方程，进而计算结构的位移。

在进行结构位移计算时，需要考虑一些基本问题和原则。

首先是边界条件的确定，即结构模型中哪些部分是固定的，哪些部分可以自由移动。

边界条件的选择会直接影响位移计算的结果。

另外，还需要考虑结构材料的本构关系和应力-应变关系的确定，以及结构的几何形状和尺度的影响等。

最后，结构位移计算的结果需要进行后处理和分析。

一般来说，需要对结构的位移进行可视化处理，以便更直观地观察结构的变形情况。

此外，还可以对结构的位移进行动态分析，比如计算结构的振动周期、自由振动频率等，以评估结构的抗震性能和动态稳定性。

总之，结构位移计算是结构力学中一个重要的分析方法，它可以帮助工程师更好地理解和把握结构的受力和变形情况，为结构设计和优化提供重要的参考依据。