△1 A P2 2 B 虚功:力在其它 △2 因素引起的位移上所作 的功。力与位移是彼此无关的量,分别属于同一体系 的两种彼此无关的状态。 例如: W12=P1·△2 返7回 2. 变形体的虚功原理: 变形体平衡的必要和充分条件是:对任意微小 虚位移,外力所作的虚功总和等于此变形体各微段 上内力所作的变形虚功总和。(证明从略)即 例如: a c L 则 1 EI MMPdx b MP图 E1I(a2Lya b2Lyb) ya yb d M图 ya=2/3×c+1/3×d yb=1/3×c+2/3×d a MP图 此时 b ya=2/3×c-1/3×d d c ya yb M图 yb=2/3×d-1/3×c 返19回 对于在均布荷载作用下的任何一段直杆,其弯矩图均 可看成一个梯形与一个标准抛物线图形的叠加。 q q 1 l A ql 2 / 4 l/2 l MP ql / 4 Mi l 1/ 2 解:作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图 CD yc1(1lq2l2l1 2 lq2l2l2 2 lq2l1l) EIE2 I 4 32 2 4 32 3 8 22 22q4l( ) 29 4E 8IEI 例 6—11 图示梁EI 为常数,求C点竖向位移。 置相应的虚拟力状态。 例如: 求△AH ❖ 求A A 实际状态 1 求△AB B A 1 虚拟状态 1A 虚拟状态 求AB B1 A1 虚拟状态 1 A 虚拟状态 广义力与 广义位移 返11回 §6—4 静定结构在荷载作用下的位移计算 当结构只受到荷载作用时,求K点沿指定方向的位 移△KP,此时没有支座位移,故式(6—4)为 △KP= M d P N dPu Q P ds (a) 变形:是指结构形状的改变。 位移:是指结构各处位置的移动。 2. 位移的分类 线位移: AA ' (△A) 角位移: A △Ay △Ax 绝对位移 △C △D 相对位移 △CD= △C+ △D △C C C′ P A P A △Ay △A □ △Ax A′ A △D D′ D B 返3 回 3. 计算位移的目的 (1)校核结构的刚度。 (2)结构施工的需要。 (3)为分析超静定结构打 基础。 ( 2 3 qL2 8 L)h = qhL2 12EI (→←) 返22回 例 6—3 求图示刚架A点的竖向位移△Ay 。 PL C B 2 PL 2 L EI P A PL PL 2 P 4 1 L 2EI EI PL DL MP图 M图 解: 1. 作MP图、M图 ; 2. 图乘计算。 △ = Ay ∑ yC EI = 1 EI ( L‧L 2 ) PL 2 - 21EI(L‧ ql 2 / 2 q ql2 / 8 MP A l/2C l/2 B l/2 1 c yc 1 1l ql2 3 l EI EI3 2 4 2 1 ql3 () 16 EI Mi C C yc 1 1 3q2l l ( 3l l q2l l ) EI EI3 8 2 4 2 2 8 4 5q3l () 12E8I 30 32L) P4L= 1P6LE2I返(23回↓) 例 6—4 求图示外伸梁C点的竖向位移△Cy。 EI=常数。 q 解:1. 作MP图 A 2. 作 M 图 3. 图乘计算 y1= 3 L 8 y2= L 3 MP图 y3= L 4 △Cy= yC qL4 () EI 12E8 I M图 L qL 2 8 B L 2 qL 2 8 1 2 + qL 2 3 EI EI tg xMPdx = EI xd 返15回 y d=MPdx 形心 A MP C 面积 MP图 B MMPds EI yC EI 则积分运算化简为 dx 一个弯矩图的面积乘 O M xA xC yC M图 Bx yC=xCtg 以其形心处所对应的另 一个直线弯矩图上的竖 标 yC。 ∫ MMPds EI tg EI xd 如果结构上所有各 杆段均可图乘则位移计 K′ k du、d、dS K ds k R3 N、M、Q 如图示。 求任一指定截面K 沿任一指定方向 k—k 上的位移△K 。 利用虚功原理计算 c1 c2 R1 R2 实际状态-位移状态 虚拟状态-力状态 c1、c2、c3、△K du、d、ds N、 M 、 Q 、 Ri、 PK1 外力 虚K 功 WN =d P K K u R M 1C d 1 R 2C 2 Q R d 3C 3 =sR Kc (R6C-4) 或写成 W外=W内 W=Wi 式(6—1)称为虚功方程,式中 W ——外力虚功 Wi——内力虚功 (6—1) 返8回 内力虚功的计算 AP M 给定力状态 给定位移状态 微段dS上内力的变形虚功为 dWi=Ndu+QdS+Md RA q Q N 整个结构内力的变形虚功为 力状态 ds ຫໍສະໝຸດ Baidu Wi= NduMd A Qds (6—2) 虚功方程为 q 的 竖 向位移△Ay。E、A、 B x AB x 1 A I为常数。 A` L 解:1. 设置虚拟状态 x 选取坐标如图。 C 实际状态 则各杆弯矩方程为: L x 虚拟状态 C AB段: M x, BC段:ML 2. 实际状态中各杆弯矩方程为 AB段: MP= qx 2 , BC段: 2 MP= qL 2 2 3. 代入公式(6—6)得 ql 2 / 4 ql / 2 c yc EI 1 ( 1 l ql 2 3 l 1 l ql 2 2 l EI 3 2 8 4 2 2 2 4 3 2 l ql 2 1 l ) 2 8 22 17 ql 4 () 384 EI ql2 / 8 ql2 / 8 32 练习 图示结构 EI 为常数,求AB两点(1)相对竖向位 1 第六章 结构位移计算 §6—1 概述 §6—2 变形体系的虚功原理 §6—3 位移计算的一般公式 A′ §6—4 静定结构在荷载作用下的位移计算 §6—5 图乘法 §6—6 静定结构温度变化时的位移计算 §6—7 静定结构支座移动时的位移计算 §6—8 线弹性结构的互等定理 2 §6—1 概 述 1. 变形和位移 在荷载作用下,结构将产生变形 和位移。 内力虚这功便是W平i=面 杆N 系d结 u 构位M d 移 计 算Q 的d一S 般公式,若计算结 果这可为种得 正方 ,法K 所 又 求 称 位 为R C 移单 △位 K荷N 与d 载假 法设u 。的M d P K = 1同Q 向 d ,(反7s -之5)反向10返。回 2. 虚拟状态的设置 在应用单位荷载法计算时,应据所求位移不同,设 移,(2)相对水平位移,(3)相对转角 。 22 8 32 ql 2 / 8 17 ql 4 () 384 EI ql2 / 32 ql 2 / 2 ql2 / 8 31 例 6—11 图示梁 EI 为常数,求C点竖向位移 。 ql 2 / 2 q ql2 / 8 MP A l/2C l/2 B l/2 1 Mi C q ql / 2 ql2 / 8 ql2 / 8 q △= 1y1 2y2 3y3 E1I EI2 E返21回I3 例 6—2 求下图所示刚架C、D两点间距离的改变。 设EI=常数。 C D 1 1 q h qL 2 A B L 8 形心 h yC=h h MP图 M图 解:1. 作实际状态的MP图。 2. 设置虚拟状态并作 M图 。 3. 按式(6—9)计算 ∆CD=∑ yC EI = 1 EI △ 起拱高度 除荷载外,还有一些因素如温度变化、支座移动、 材料收缩、制造误差等,也会使结构产生位移。 结构力学中计算位移的一般方法是以虚功原理为 基础的。本章先介绍变形体系的虚功原理,然后讨论 静定结构的位移计算。 返4回 §6—2 变形体系的虚功原理 1. 功、实功与虚功 (1)功 P B A dW=P dS Cos 面积 MP图 B (1)杆轴为直线; dx (2)EI=常数; (3)M 和M两个弯矩图 O 中至少有一个是直线图形。 M xA M图 Bx 上述 积分可以得到简化。 设等截面直杆AB段的两个弯矩图中,M 为一段直线,MP图为任意 形状, 则上式中的ds可用dx代替。故有 M =xtg,且tg=常数,则 ∫ ∫ MMPds tg w= dW = P Cos dS s s (a) 返5回 常力功 变力功 力偶功 P A B △ W= P△ Cos (b) 由A→B, 力由0→P W= 1 2 P△ Cos (c) P d A M=Pd 常力 W= M· B (d) 变力 W= 1 2 M· P 返6回 (2)实功与虚功 实功:力在本身引起的位移上所作的功。 例如: A P1 1 B 1 W= 2 P1 1 d q B dS RB N+dN Q+dQ B dS W= NduMd Qds (6—3) dS du dS 位移状态 dS 9返d回x §6—3 位移计算的一般公式 单位荷载法 1. 位移计算的一般公式 t1 k K △K P2 k PK=1 设平面杆系结构由 于荷载、温度变化及支 座移动等因素引起位移 P1 t2 ds c3 △Ay= MM Pds EI l =0(-x)(- qx2) 2 dx EI l + 0(-L)(- qL2 dx 2 ) EI 5 qL 4 8 EI () 1返4 回 §6—5 图 乘 法 1. 图乘法: 计算梁和刚架在荷载作用下的位移时,要计算 下面的积分 △KP= MM Pds EI y 当结构符合下述条件时: d=MPdx A MP 例 6—11 图示梁 EI 为常数,求C点竖向位移 。 ql 2 / 2 q ql2 / 8 MP A l/2C l/2 B l/2 1 c yc EI 1 ( 2 l ql2 1 l 1 l ql2 2 l EI 3 2 32 2 2 2 2 2 3 2 Mi ql 2 / 2 C q 1 l ql2 1 l ) 而 xdxC 有 MMPds EI tEgIxC 算公式(6—6)可写成 △KP= (6M-ME9IP)ds yC E1I返6 回 2. 图乘法的注意事项 (1)必须符合上述三个前提条件; (2)竖标yC只能取自直线图形; (3)与yC若在杆件同侧则乘积取正号,反之取负号。 3. 常用的几种简单图形的面积和形心 2L/3 L/3 形心 L hL 2 h h ❖a b 形心 (L+a)/3 (L+b)/3 L hL 返17回 2 二次抛物线 L 2hL 3 L/2 顶点 二次抛物线 1=2/3(hL) 2=1/3(hL) 3L/8 5L/8 1 2 顶点 4L/5 L/5 L 返18回 4 .图乘的技巧 当图形的面积和形心位置不便确定时,将它分解成简单 图形,之后分别与另一图形相乘,然后把所得结果叠加。 l EI MP Mi l 解: By MMPds EI yc EI 1 (1 Pll 2 l Pll l) EI 2 3 4 Pl3 () 26 3 EI 例 6—7 求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角 B 1 q A B 2 1 MP 图 解: 1 ql 2 8 B M图 B 1 [(2 EI 3 l 1 8 ql2) 1] 2 1 ql3 ( ) 24 EI 27 例 6—9 已知 EI 为常数,求铰C两侧截面相对转角 C 。 C lq 1 1 1 A B Mi ll 1/l ql 2 / 4 ql 2 / 4 0 q MP 解:作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图 CD yc 1 2ql2 1 EI EI 3 8 2 ql / 4 ql / 4 ql3 ( 24EI ) 28 例 6—10 已知 EI 为常数,求A点竖向位移 A 。 叠加后的抛物线 图形()与原抛物 ↶ 线图形()的面积 QA MB 大小和形心位置以及 形心处的竖标仍然是 MA QB 相同的。 MA MB qL 2 8 返20回 当yC所属图形是由若干段直线组成时,或各杆段的 截面不相等时,均应分段相乘,然后叠加。 1 2 3 y1 y2 y3 1 I1 y1 2 I2 y2 3 I3 y3 △= 1 EI (1y1+ 2y2+ 3y3) 8 L 2 y3 y2 y1 C 1 24 返回 例 6—5 试求图示梁B端转角 A P B B A EI l/2 l/2 MP Pl/ 4 解: B MEMIPds yc EI 1 1 l Pl 1 EI 2 4 2 1 Pl 2 ( ) 16 EI M1 B 1 Mi 25 例 6—6 试求图示结构B点竖向位移 P 1 Pl l EI B 式中:M、N、Q为虚拟状态中微段上的内力;dP、duP、 Pds为实际状态中微段上的变形。由材料力学知 dP= M P EI ds duP= N P ds EA 将以上诸式代入式(a)得 Pds= kQ P GA ds △KP= M M Pd sN N Pd skQ Q Pds(6—5) EI EA GA 这就是平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式返。12回 讨论 在实际计算时,根据结构的具体情况,式(6—5) 可以简化: 1. 梁和刚架 △KP= MM Pds EI 2.桁架 (6-6) △KP= N NPd sN NP d sN NPL(6-7) EA EA EA 3. 组合结构 △KP= MMPds NN PL EI EA (6—8) 返13回 例 6—1 求图示刚架A点