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建筑力学 结构第六章结构的变形PPT课件

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第6章-梁的内力PPT课件

第6章-梁的内力PPT课件
l ql l M CLM Cq4L l2 FA2240
（3）计算截面C稍右处的剪力FsR、弯矩MCR。
M C
MCR
A
l/2
FA
Fy 0
FsR
ql FsRFA2 0
MCF0
解之得：
FsR
ql 4
M CR MFA2 lq 2 l4 l0
精选PPT课M件CR 0
14
建筑力学
❖ 计算剪力和弯矩的规律
(1) 梁内任一截面上的剪力，其大小等于该截面左侧(或右侧) 梁上所有外力的代数和；梁内任一截面的弯矩，其大小等 于该截面左侧(或右侧)梁上所有外力对于该截面形心之矩的
★ 由平衡方程 F得y ，0
F s x F s x d s x F q x d 0 x
dFsx qx
dx
（9-1）
几何意义：剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载
集度的大小。
精选PPT课件
23
建筑力学
★ 由平衡方程 MC 得，0
M x dx M M x F sx d q x x d d 2 x 0 x
(3)列出各段的剪力方程和弯矩方程：各段列剪力方程和弯矩方程时， 所取的坐标原点与坐标轴x的正向可视计算方便而定，不必一 致。
(4) 画剪力图和弯矩图：先根据剪力方程(或弯矩方程)判断剪力图(或 弯矩图)的形状，确定其控制截面，再根据剪力方程(或弯矩方 程)计算其相应截面的剪力值(或弯矩值)，然后描点并画出整个 全梁的剪力图(或弯矩图)
解之得： Fs 4kN 精选PPTM 课件144 kNm
12
[例]
简支梁受均布荷载q和集中力偶M=ql2/4的作用，如图所示。求截面C 的剪力和弯矩。
M
q

建筑力学第六章欢迎下载课件.ppt

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O
5kN
8kN
4kN
1kN
FN
2kN +
–
5kN
+
1kN
x
3kN
精选
第二节 轴向拉压杆的内力与内力图
例4 做图示杆件的轴力图，考虑杆件自重，其容重γ=3N/cm3，截 面积A=4cm2，l=100cm，F=1kN。
FN (kN)
2.2kN
1kN
F
x
精选
1.正截面上的应力
变形规律试验及平面假设：
第三节 轴向拉压杆截面上的应力
O
A
B
C
D
PA
解： FN1
PB
PC
PD
FN2
FN3 FN4
有没有一种简单又直观的方法来描述构件的轴力呢？
精选
2. 轴力图 例2 做图示杆件的轴力图
50kN
I
II
150kN
I
II
50kN
FN
+
-
100kN
第二节 轴向拉压杆的内力与内力图
100kN 50kN
II FN2
II
I FN1 FN1=50kN
白雨
精选
第一节 轴向拉伸与压缩的概念
精选
第一节 轴向拉伸与压缩的概念
1.轴向拉伸与压缩的概念：杆件两端受到等值、反向、作用线与杆件 轴线重合的一对力作用时，杆件将沿轴线方向发生伸长或缩短变形， 此类变形被称为轴向拉伸、压缩。
轴向拉伸：轴向伸长，横向缩短。
F
F
轴向压缩：轴向缩短，横向变粗。
F
F
精选
100kN
150kN
50kN
A
B

建筑力学 第六章 轴向拉伸与压缩

建筑力学 第六章 轴向拉伸与压缩

应力正负号规定
• 正应力：离开截面的正应力为正，指向 截面的正应力为负。
• 切应力以其对分离体内一点产生顺时针 转向的力矩时为正值的切应力，反之， 则为负的切应力 。
• 切应力的说法只对平面问题有效。
（3）. 应力的特征： 1 应力定义在受力物体的某一截面上的某一点处，因
此，讨论应力必须明确是在哪一个截面上的哪一点处。
5. 要判断杆是否会因强度不足而破坏，还必须知道： ① 度量分布内力大小的分布内力集度－应力。 ② 材料承受荷载的能力。
大多数情形下，工程构件的内力并非均匀分布，内力集度 的定义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内 力集度(应力)最大处开始。
（2）应力的表示： F1 截面
F
△A上的内力平均集度为:
–
C
D
F
轴向拉压杆件横截面上的应力
一. 应力的概念：
F
F
（1）问题提出：
F
F
1. 两杆的轴力都为F. 2. 但是经验告诉我们，细杆更容易被拉断。同样材料，
同等内力条件下，横截面积较大的拉杆能承受的 轴向拉力较大。
3. 内力大小不能衡量构件强度的大小。 4. 根据连续性假设，内力是连续分布于整个横截面上的， 一般而言，截面上不同点处分布的内力大小和方向都不 同。
遇到向右的F ， 轴力 F N 增量为负F。
如果左端是约束，需先求出约束反力（约束反力也是外力）
8kN
5kN
3kN
8kN 3kN
5kN +
8kN – 3kN
如果杆件由几段不同截面的等直杆构成，轴力的计算方 法和单一截面的轴力计算方法一样。
O
B
C
4F 3F
D 2F

建筑力学 第2版课件第六章 杆件的变形计算

建筑力学 第2版课件第六章 杆件的变形计算

a
Fa3 4EI
yMeD
Mea 6EI
(2l
3a)
Fa2 6EI
(4a
3a)
7Fa3 6EI
11Fa3 yD yFD yMeD 12EI ()
6- 杆件的变形计算
6-2
利用ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ加法求梁的变形
（2）D点的转角
FD
B
Fl2 16EI
F (2a)2 16EI
Fa2 4EI
MeD
Me 3EI
6- 杆件的变形计算
6-1 拉（压）杆的变形、虎克定律
当杆内的应力不超过材料的比例极限时： l Nl A
引进比例常数E，则 l Nl EA
E称为拉（压）弹性模量，表示材料抵抗变形的能力。EA称抗拉（或抗压）刚度，反映杆 件抵抗变形的能力。
l 1 N l EA
或写作 E
E
6- 杆件的变形计算
5 5103 44 384 2.11011 2370 108
0.00268 0.00335 0.00603(m)
ymax 0.00603 0.00150 l 0.01
l
4
400
梁强度和刚度都满足要求。
6-1 拉（压）杆的变形、虎克定律
6- 杆件的变形计算
6-2
梁的变形
➢ 梁变形的概念 挠曲线
6- 杆件的变形计算
6-2
梁的变形
➢ 挠曲线近似微分方程
y'' M (x) EI
将微分方程6-27积分一次得到转角方程，再积分一次的挠度方程。
6- 杆件的变形计算
6-2
梁的变形
例6-11 如图6-22所示均布荷载作用下的简支梁，已知梁的抗弯刚度为EI，求梁的最大挠度和B截面的转角。

建筑力学与结构课件

建筑力学与结构课件

表6-1 梁的荷载、剪力图、弯矩图之间的关系
梁上外力情况 q=0
无外力梁段
剪 力 图（Q图）
dFQ（x） = q(x)=0 dx
q=常数
dFQ（x） dx
= q＜0（向下）
dFQ（x） dx
= q＞0(向上）
弯 矩 图（M图）
dM（dxx）= FQ(x), 斜直线
FQ>0
；FQ<0
d2Md（x2x）= q(x)=常,抛物线
偶 M ，FQ' FQ; M ' M （作用与反作用关系）。
剪力限制截面错动的变形，大小等于截面一侧所有外力
的和；弯矩限制了截面的转动，大小等于截面一侧所有外力
对截面形心矩的代数和。
13
2.剪力、弯矩的符号确定
14
例：求图示 梁1-1、2-2、3-3、 4-4截面上的剪力 和弯矩。
解：1）求支座反力
5
图6－2
运用截面法确定杆件内任一截面上的内力 ，将沿杆轴 线方向的内力合力称为轴力。
轴力拉伸为正，压缩为负
如果直杆承受多于两个的外力时，直杆的不同段上将有不同
的轴力。应分段使用截面法，计算各段的轴力。
为了形象地表示轴力沿杆件轴线的变化情况，可绘出轴力随横
6
截面变化的图线，这一图线称为轴力图 建筑力学与结构 第2版 李永光 高等职业教育 高职高专 ppt课件
平面弯曲：如果作用于梁上的外力（包括荷载和支座反 力）都位于纵向对称面内，且垂直于轴线，梁变形后的 轴线将变成为纵向对称面内的一条平面曲线，这种弯曲 变形称为平面弯曲。
本节只讨论平面弯曲时横截面上的内力。 工程中常见的梁按支座情况分为下列三种典型形式： 1)简支梁——端铰支座，另一端为滚轴支座的梁，如图 ２)外伸梁——梁身的一端或两端伸出支座的简支梁，如图。 ３)悬臂梁——端为固定支座，另一端自由的梁，如图。

建筑力学第六章扭转课件

建筑力学第六章扭转课件

作业
P112:6-3
第四节 等直圆杆扭转时的应力.强度条件
强度条件 max [ ]
强度计算的三类问题：
(1)、强度校核
Tmax [ ]
Wp
(2)、截面设计
Wp
Tm a x
[ ]
(3)、确定许用荷载 Tmax [ ]Wp
第四节 等直圆杆扭转时的应力.强度条件
例6-5. P＝7.5kW,n=100r/min，许用切应力[τ]＝40MPa，空心圆
第二节 转动轴的外力偶矩·扭矩及扭矩图
例6-1. 图示圆轴中，各轮上的转矩分 别
为mA ＝4kN·m，mB ＝10kN·m， mC =6kN ·m，试求1-1截面和2-2截面上 的扭
矩，并画扭矩图。
第二节 转动轴的外力偶矩·扭矩及扭矩图
例6-2. 一圆轴如图所 示，
已知其转速为n ＝300转/
分，主动轮A输入的功率
解：圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动，这表明 二者形成一 个整体，同时产生扭转变形。根据平面假 定，二者组成的组合截 面，在轴受扭后依然保持平 面，即其直径保持为直线，但要相当 于原来的位置转过一角度。
因此，在里、外层交界处二者具有相同的切应变。 由于内层 （实心轴）材料的剪切弹性模量大于外层（圆环截面）的剪切弹
D2 3 40106 (1 0.54 ) 45.99mm
第四节 等直圆杆扭转时的应力.强度条件
例6-5. 一内径d=100mm的空心圆轴如图示，已知圆轴受扭矩 T=5kN·m，许用切应力[τ]=80MPa，试确定空心圆轴的壁厚。
因不知道壁厚，所以不知道是不是薄壁圆筒。分别按薄壁圆筒 和空心圆轴设计
第二节 转动轴的外力偶矩·扭矩及扭矩图
外加力偶矩与功率和转速的关系

《建筑力学》PPT课件(最全版)

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为拉力。
§3–1约束与约束反力
A
§3–1约束与约束反力
光滑接触面约束
§3–1约束与约束反力
光滑支承接触对非自由体的约束力，作用在 接触处；方向沿接触处的公法线并指向受力
物体，故称为法向约束力，用FN表示。
§3–1约束与约束反力
光滑铰链约束 此类约束简称铰链或铰 径向轴承、圆柱铰链、固定铰链支座等 （1） 、径向轴承（向心轴承）
§2–1 力的概念
四、力系、合力与分力 力 系——作用于同一物体或物体系上的一群力。
等效力系——对物体的作用效果相同的两个力系。
平衡力系——能使物体维持平衡的力系。 合 力——在特殊情况下，能和一个力系等效
的一个力。
分 力——力系中各个力。
§2–2 静力学公理
公理一 (二力平衡公理) 要使刚体在两个力作用下维持平衡状态，
杆的受力图能否画为 图（d）所示？
若这样画，梁AB的受力 图又如何改动?
§3–2物体的受力分析及受力图
例1-4
不计三铰拱桥的自重与摩擦，画 出左、右拱AC,CB的受力图与 系统整体受力图。
解： 右拱CB为二力构件，其受力 图如图（b）所示
§3–2物体的受力分析及受力图
取左拱AC ,其受力图如图（c）
第三章
物体的受力分析 结构的计算简图
§3–1约束与约束反力 §3–2物体的受力分析及受力图 §3–3 结构的计算简图
§3–1约束与约束反力
自由体：位移不受限制的物体。 非自由体：位移受到限制的物体。 约束：限制非自由体运动的其他物体 。 约束反力：约束对被约束体的反作用力 主动力：约束力以外的力。
解：画出简图 画出主动力
画出约束力
§3–2物体的受力分析及受力图

建筑力学(PPT全套教程课件)6工程中常用平面杆件结构简介

建筑力学(PPT全套教程课件)6工程中常用平面杆件结构简介

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6.3.1
刚架的特点及分类
（2）刚架的分类
刚架的分类方式很多，主要有按计算方法 把刚架分为静定刚架和超静定刚架；按组成刚 架的各杆轴线及所受荷载是否共面把刚架分为 平面刚架和空间刚架；按层数把刚架分为单层 刚架和多层刚架；按跨数把刚架分为单跨刚架 和多跨刚架。
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6.3.1
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6.1.3
几何组成分析举例
根据几何不变体系的几个简单组成规则可以对体系进 行几何组成分析。分析时，先将能直接观察出的几何不变 部分看作为刚片，并尽可能扩大其范围，这样可简化体系 的组成，便于运用几何不变体系的组成规则考察这些刚片 间的连接情况，从而判断出体系的类型。
【例6-1】试对图6.11所示体系进行几何组成分析。 解：杆与基础之间用铰和链杆1相连，组成几何不变体 系，可看作一扩大了的刚片。将杆看作链杆，则杆用不交 于一点的三根链杆、2、3和扩大刚片相连，组成无多余约 束的几何不变体系。
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6.1.4 结构的几何组成与静定性 的关系
6.1.4.2结构的几何组成与静定性的关系 进行几何组成分析可判定结构的静定 性，即判定结构是静定结构还是超静定结 构。 静定结构的几何组成特征是几何不变 且无多余约束，超静定结构的几何组成特 征是几何不变，但有多余约束。
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图6.8
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6.1.2.3 三刚片规则
6.1.2 几何不变体系的简单组成 规则
三个刚片用不在同一直线三个单铰两两相连，组成 的体系为几何不变体系，且无多余约束。“两两相联” 的铰既可以是由两根链杆构成的实铰也可以是由两根链 杆构成的虚铰，如图6.9 (a)、(b)、(c)所示。

建筑力学与结构教材PPT

建筑力学与结构教材PPT
同。 ❖ 力偶矩符号规定：力偶使物体作逆时针转动
时，力偶矩为正号；反之为负。在平面力系 中，力偶矩为代数量。
❖ 力偶的基本性质
（1）力偶不能合成为一个合力，所以不能用 一个力来代替。
（2）力偶对其作用平面内任一点的矩恒等于 力偶矩，而与矩心位置无关。
（3）在同一平面内的两个力偶，如果它们的 力偶矩大小相等，转向相同，则这两个力偶 是等效的。
通过力的作用点沿力的方向的直线，称为 力的作用线。
二 力矩的概念
一个力作用在具有固定的物体上，若力的
作用线不通过固定轴时，物体就会产生转动效
果。
力臂
d
F
矩心
.
O
M
所以，力F 对物体绕O点转动的效应，由下 列因素决定：
(1)力F与力臂d 。 (2)力F使物体绕O点的转动方向。
❖ 力矩公式： MO(F) = ± F ×d（重点）
六 几点建议
1. 课前预习 2. 上课认真听讲 3. 课后复习、作业
第一篇 建筑力学
第一章 静力平衡 第一节 静力学基本概念
一力 1 力的定义
力看不见，摸不着。
概念由人们在长期的生产劳 动和日常生活中逐步建立的。
力不能脱离物体而存在。
力是物体之间的相互机械作用。 有力的作用，便定有施力物（主动）与
第二节 静力学公理
一 二力平衡公理
作用在刚体上的两个力，使刚体处于平衡状 态的充分和必要条件是：
这两个力——大小相等、方向相反、作用在 同一条直线上(简称等值、反向、共线)。
❖ 受二力作用而处于平衡的杆件或构件称为二 力杆件（简称为二力杆或二力构件）。
F1
F2
F2
F1
(a)
(b)

建筑力学 结构第六章结构的变形

建筑力学 结构第六章结构的变形

转角和挠度
A
Fab(l b) Fab(l a ) B 6 EIl 6 EIl l 2 b2 设a b，在x 处 3 ymax
2 3 2 2
Fb(l b ) , 9 3EIl Fb(3l 2 4b 2 ) 在x l / 2处 y0.5l 48EI
A
6.2.4 用叠加法计算梁的变形
例4：悬臂梁AB上作用有均布载荷q，自由端作用有集中 力F = ql，梁的跨度为l，抗弯刚度为EI，如图所示。试求截面 B的挠度和转角。 解：1）分解载荷 梁上载荷可分解成均布载荷q 与集中力F的叠加。 2）查表可得这两钟情况下 截面B的挠度和转角：
ql 4 y Bq 8 EI 3 ql Bq 6 EI
对等截面直梁,EI=常数. 挠曲线近似微分方程改写为: d2 y EIy EI 2 M ( x) dx 积分一次得转角方程: dy EI EI M ( x)dx C dx 再积分一次得挠度方程: EIy M ( x)dxdx Cx D C和D为积分常数,由挠曲线上已知约束条件确定,称 为边界条件.
转角和挠度
Fl 2 B 2 EI Fl3 yB 3EI
Fx 2 Fa2 y (3a x) 0 x a B 6 EI 2 EI Fa2 Fa 2 (3l a ) y (3 x a ) a x l y B 6 EI 6 EI ql3 B 2 6 EI qx 2 2 y ( x 4lx 6l ) ql 4 24 EI yB 8EI
第六章 结构的变形
一、结构的位移 (Displacement of Structures)
A

P
A

建筑力学课件：第6章内力和内力图

建筑力学课件：第6章内力和内力图

Fy 0, FB FAy FC 0
FAx
C D B M A F 0,
FC
联立求解得
FC a FE a FB 3a 0
FAx= －2 kN, FAy= 2 kN
FB = 2 kN
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内力和内力图
14
例题 6-1
A FAx
FAy
FAF FAC
FAy A
FAx
K
E FE FB
A a a aa
FAx
CD B
M A F 0,
FC
FC a FE a FB 3a 0
联立求解得
FAx= －2 kN，FAy= 2 kN，FB = 2 kN
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内力和内力图
21
例题 6-2
作一截面m-m将三杆截断，取左
FAy FAx A
K m E FE FB 部分为分离体，受力分析如图。
例题 6-1
如图平面简单桁架，已知铅垂力FC=4 kN， 水平力FE=2 kN。求各杆内力。
K E FE
a A a a aB
CD FC
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内力和内力图
13
例题 6-1
解：先取整体为研究对象,受力如图所示。由平衡方程
Fx 0， FAx FE 0
FAy A
K
E FE FB
a a aa
K E FE a
A a a aB CD FC
如图平面桁架，已知
铅垂力FC = 4 kN，水平 力FE = 2 kN。求FE， CE，CD杆内力。
力学教程电子教案
内力和内力图
20
例题 6-2
解：先取整体为研究对象,受力如图所示。由平衡方程

建筑力学(完整版)ppt课件

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第二节 学习建筑力学的目的
建筑力学是研究建筑结构的力学计算理论和方法的一门科学，它是 建筑结构、建筑施工技术、地基与基础等课程的基础，它将为读者打开 进入结构设计和解决施工现场许多受力问题的大门。显然作为结构设计 人员必须掌握建筑力学知识，才能正确的对结构进行受力分析和力学计 算，保证所设计的结构既安全可靠又经济合理。
图1-1
图1-2
（3）力的单位。在国际单位制中，力的单位是牛顿，用字母N 表示。另外，有时还用到比牛顿大的单位，千牛顿（）。
精品课件
二、力系 1．力系。 作用在物体上的若干个力的总称为力系，以表示 ，如图1-3a。力系中各个力的作用线如果不在同一 平面内，则该力系称为空间力系；如果在同一平面 内，则称为平面力系。 2．等效力系。 如果作用于物体上的一个力系可用另一个力系来 代替，而不改变原力系对物体作用的外效应，则这 两个力系称为等效力系或互等力系，以表示, 如图13b。
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二、建筑力学的研究内容
要处理好构件所受的荷载与构件本身的承载能 力之间的这个基本矛盾，就必须保证设计的构件 有足够的强度、刚度和稳定性。建筑力学就是研 究多种类型构件(或构件系统)的强度、刚度和稳 定性问题的科学。 各种不同的受力方式会产生不同的内力，相应就 有不同承载能力的计算方法，这些方法的研究构 成了建筑力学的研究内容。
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• 结构分类
• 1 按组成结构的形状及几何尺寸分类： 杆件结构（即长度远大于截面尺寸的构件） 如梁 柱等 杆件结构依照空间特征分类： 平面杆件结构：凡组成结构的所有杆件的轴线在一平面内 空间杆件结构 薄壁结构（长度和宽度远大于厚度的构件） 如薄板 薄壳 实体结构 (长宽高接近的结构）如挡土墙 堤坝等
过铰Ｃ 和铰Ｅ 两点受力，是一个二力构件， 故Ｃ 、Ｅ 两点处的作用力必沿ＣＥ 连线的

《建筑力学》高版本 教学课件 建筑力学 第六章(最终)

《建筑力学》高版本 教学课件 建筑力学 第六章(最终)

120o
2
sin
2
100 sin 2
2 120o
43.3 MPa
在本例中发现，α = 30o 和 α = 120o 两 个正交截面上的剪应力数值相等而符号相反， 此结果具有一般性，称为剪应力互等定理， 即在受力构件内互相垂直的任意两截面上， 剪应力大小相等而符号相反，其方向同时指 向或同时离开两截面的交线。
建筑力学
第6章 杆件的强度和刚度计算
6.1 应力的概念 6.2 轴向拉(压)杆的强度计算 6.3 轴向拉(压)杆的变形 • 胡克定律 6.4 材料在拉伸和压缩时的力学性能 6.5 连接件的强度计算
第6章 杆件的强度和刚度计算
6.6 圆轴扭转时的强度和刚度计算 6.7 梁弯曲时的强度计算 6.8 梁弯曲时的变形和刚度计算 6.9 组合变形杆件的强度计算
(6-6)
式(6-6) 称为轴向拉 (压) 杆的强度条件。
6.2.4 强度计算示例
1. 强度校核
2. 设计截面
3. 确定许可荷载
已知杆的材料许用应
力[σ]、截面尺寸A和承受 的荷载 FNmax 时，可用式 (6-6) 校核杆的强度，即
已知荷载与材料的 许用应力时，可将式 (6-6) 改写成
已知构件截面尺寸 和材料的许用应力时，可 将式(6-6) 改写成
6.2.1 横截面上的正应力
因为拉(压) 杆横截面上的内力是沿着截 面的法向应力，所以横截面上只有正应力 σ。
要计算杆件横截面上的正应力，可通过 实验中观察到的变形情况，推测出应力在横截 面上的变化规律，再通过静力学关系得到应力 计算公式。
以拉杆为例来说明。取一等截面直杆，试验前先在杆的表面刻划出两条垂 直于轴线的横向线1‒1、2‒2 (见图6-2a)。在轴向拉力F 作用下观测到杆件的变 形现象：横向线1‒1、2‒2 移动后仍保持为直线 (见图6-2a 中虚线)，并且仍然与 杆轴线垂直。根据以上变形现象，可作出如下假设：变形前为平面的横截面， 变形后仍保持为平面且与轴线垂直，这就是平面假设。

《建筑力学》课件 第六章

《建筑力学》课件 第六章

门窗过梁（左图）、厂房中的吊车梁（右 图）和梁式桥的主梁等 梁的横截面为矩形、工字形、T字形、槽形等，如图所示。
横截面都有对称轴，梁横截面的 对称轴和梁的轴线所组成的平面通常 称为纵向对称平面，如图所示。当梁 上的外力（包括主动力和约束反力） 全部作用于梁的同一纵向对称平面内 时，梁变形后的轴线变成一条平面曲 线，称为梁的挠曲线，挠曲线也必定 在此纵向对称平面内，这种弯曲变形 称为平面弯曲。平面弯曲是弯曲问题 中最简单的情形，也是建筑工程中经 常遇到的情形。图中所示的梁就产生 了平面弯曲。
4．用截面法求指定截面上的剪力和弯矩
用截面法求指定截面上的剪力和弯矩的求解步骤如下： ① 求支座反力。 ② 用假想的截面（悬臂梁除外）在待求内力处将梁截开。 ③ 取截面的任一侧（通常取外力少的一侧）为隔离体，画
出其受力图（截面上的剪力和弯矩都先假设为正方向），列平 衡方程求出剪力和弯矩。
实例分析
上该截面处的分布荷载集度。这一微分关系的几何意义是：剪力图上
某点切线的斜率等于该点对应截面处的荷载集度。
再由 MC 0 （点 C 为微段右侧截面的形心），得
M (x) FQ (x)dx q(x)dx
dx M (x) dM (x) 0
2
略去高阶微量 q(x) dx2 ，整理后即为 2
dM (x) dx FQ (x)
（2）弯矩正、负号的规定
当截面上的弯矩M使所研究的水平梁段产生向下凸的变 形即下侧纤维受拉时弯矩为正（如图），反之为负。
3．直接用外力计算截面上的剪力和弯矩
① 横截面上的剪力FQ，在数值上等于该截面一侧（左侧或右侧）横 向外力的代数和。若横向外力对所求截面产生顺时针方向转动趋势时将 引起正剪力，反之则引起负剪力。用公式可表示为
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14
例2：如图所示简支梁，跨度为l，受均布载荷q作用， 梁的抗弯曲刚度EI已知，求跨中截面C的挠度及截 面A处的转角。
解：梁的弯矩方程为：
M(x)1qlx1qx2
x
22
将上式一次积分得转角：
1(1ql2x1q3x)C
EI4 6
再次积分，可得挠度方程：
y1(1q3 l x1q4x )C xD
E1 I 2 24
13
§6-2 梁在弯曲时的变形
6.2.3用积分法计算梁的变形
3.确定积分常数
边界条件: x=0, =y´=0 C=0
x=0, y=0 D=0 4.列转角和挠度方程
= (Plx-Px2/2)/EI
y=(Plx2/2-Px3/6)EI 5.求最大挠度fB: 将x=l代入:
fB=Pl3/3EI (挠度向下)
(2) 超静定、动力和稳定计算 (3）施工要求
3
第六章 结构的变形
三、 本章位移计算的假定 (1) 线弹性 (Linear Elastic), (2) 小变形 (Small Deformation), （3）理想联结 (Ideal Constraint)。
叠加原理适用（principle of superposition)
15
1(1ql2x1q3x)C
EI4 6 y1(1q3 l x1q4x )C xD
E1 I 2 24
边界条件：x0时，y0 0 ； xl时，yl 0
C ql3 24EI
D0
1(1ql2x1q3xq3l)
EI4 6 24 y1(1q3 l x1q4xq3lx)
E1 I 2 24 24
故有 yC 358q4El4 I()
▪ 转角: 横截面绕中性轴所转的角度, 单位: rad
挠度和转角是度量梁弯曲变形的两个基本量 8
§6-2 梁在弯曲时的变形 6.2.1弯曲变形的概念
挠度和转角的关系
挠曲线上C1点处斜率
tg=dy/dx
在小变形下，可取tg , 因此 =dy/dx=y´
挠度和转角正负号规定
坐标系的建立： y轴向下为正
6
§6-2 梁在弯曲时的变形
❖弯曲变形的概念
❖梁的挠曲线近似微分方程
❖用积分法计算梁的变形
❖用叠加法计算梁的变形
❖梁的刚度校核
❖提高梁弯曲刚度的措施
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§6-2 梁在弯曲时的变形
6.2.1弯曲变形的概念
梁的挠度和转角
▪ 梁的挠曲线： 变形后的梁轴线是一条连续、光滑曲线.
▪ 挠度: 横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移y, 挠度方程: y=f(x)
A
q2l43 (顺
时
针 转)
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§6-2 梁在弯曲时的变形 6.2.4 用叠加法计算梁的变形
用叠加法计算梁的变形
▪ 叠加法：几个荷载共同作用下引起梁的的变形, 等于各个荷载单独作用下引起的梁变形的叠加。
叠加原理的步骤： ①分解载荷；②分别计算各载荷单独作用时 梁的变形；③叠加得最后结果。
17
梁在简单载荷作用下的变形
为边界条件.
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§6-2 梁在弯曲时的变形
6.2.3用积分法计算梁的变形
积分法的应用
例1: 求图示悬臂梁的(x)和y(x),并求挠度fB.
1.列弯矩方程: M(x)=-P(l-x)
2.挠曲线近似微分方程 EIy´´=-M(x)=P(l-x)
积分一次得: EIy´=EI=Plx-Px2/2+C
再积分一次: EIy=Plx2/2-Px3/6+Cx+D
dx 在小变形dy/dx<<1, 可忽略,上式简化为
1
d2y
(x) dx2
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§6-2 梁在弯曲时的变形
6.2.2 梁的挠曲线近似微分方程 挠曲线近似微分方程
d2 y M (x)
dx2
EI
正负号取决于坐标系的
选择和弯矩正负号规定:
挠曲线近似微分方程:
d2 y M (x)
dx2
EI
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§6-2 梁在弯曲时的变形
第六章 结构的变形
一、结构的位移 (Displacement of Structures)
P
A
Ay
A A
线位移 位移
转角位移
Ax A A点线位移 Ax A点水平位移
Ay A点竖向位移
A截面转角 1
第六章 结构的变形
一、结构的位移 (Displacement of Structures)
梁的简图
挠曲线方程
转角和挠度
yFx2 (3lx) 6EI
B
Fl 2 2 EI
yB
Fl 3 3 EI
yF2x(3ax) 0xa 6EI
B
Fa 2 2 EI
yF2a(3xa) axl 6EI
虎克定律
当杆的应力未超过某一极限时，纵向变形L与轴力N、 杆长L及横截面面积A之间存在如下比例关系： L= NL/ EA
弹性模量E：数值随材料而异，通过试验测定。
杆件抗拉（压）刚度： EA
将= L/L，=N/A代入，则：=E·
虎克定律：杆件应力不超过某一限值（材料的比例极
限p ）时，应力与应变成正比。
4
§6-1 内力与变形的关系
§6.1.1 轴向变形与轴力的关系
轴向拉（压）杆的变形
纵向拉长：L=L1-L, 纵向线应变 ： = L/L
横向缩小：d=d1-d, 横向线应变 ´ ： ´ = d/d
拉杆 为正， ´ 为负；
压杆 为负， ´ 为正。
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§6-1 内力与变形的关系
§6.1.1 轴向变形与轴力的关系
A
引起结构位移的原因 还有什么原
为P什位么移要?计 A算 A Ay
因荷会载使结构产 温度生改位变移?
Ax
支座移动
制造误差 等
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
t
2
第六章 结构的变形
二、 计算位移的目的 (1) 刚度要求
在工程上，吊车梁允许的挠度< 1/600 跨度； 高层建筑的最大位移< 1/1000 高度。
最大层间位移< 1/800 层高。
6.2.3 用积分法计算梁的变形
积分法推导梁的变形
对等截面直梁,EI=常数. 挠曲线近似微分方程改写为: EIyEI d2yM(x)
积分一次得转角方程: dx2
EIEId dy xM (x)dxC
再积分一次得挠度方程:
E Iy M (x )d x d x C x D
C和D为积分常数,由挠曲线上已知约束条件确定,称
截面挠度y:向下为正，向上为负
截面转角 :顺时针转为正，逆时针转为负
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§6-2 梁在弯曲时的变形
6.2.2 梁的挠曲线近似微分方程
纯弯梁的曲率方程
1/=M/EI
横向弯曲时, 各截面曲率随M(x)而变, 忽略剪力Q
的影响后 1/(x)=M(x)/EI d2 y
由高等数学可知: 1 dx2
(x) [1 ( dy )2 ]3/ 2