第六章 结构位移计算
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第六章 结构位移计算
§6-1 概述
1、位移的分类
（1）、线位移 （2）、角位移 （3）、相对线位移
F
1 1 23
3
3 4 3 4 3 x4 34 3 y 3
q
3
（4）、相对角位移
1
12 1 2
2
2
2、产生位移的原因 荷载和非荷载因素（温度改变、支座移动、材料收缩、制造误差） 3、计算位移的目的 （1）、校核结构的刚度 （2）、施工过程中的位移计算 （3）、位移计算是分析超静定结构的基础 （4）、位移计算是动力分析和稳定分析的基础
5 (0.33 3) ()
30
(1 3)
)
2
3
-
0.33
FN图
+
0.33
M图
M=1
1
4
§6-7 静定结构支座移动时的位移计算
() FRc
其中：
FR ——单位力作用下的支座反力
c —— 支座位移
—— 所有杆件的计算结果求和
正负号：支座位移与单位力作用下的支座反力方向一致时取 “+”，不一致时取“-”
2
10kN/m 2EI
M=1 3
EI
4m
3、求 3
80 80
1 1 801 4 ( 80 4) 1 3 3 2 EI 2 EI
1
1 4m
20
1
2 ( 20 4) 1 3 2EI
M图
MP图(kN· m)
213 .3 ( EI
)
§6-6 静定结构温度变化时的位移计算
2
M图(m)
2 2 160 2 2 40 0 160 0 40 2 6 EI
1、位移的分类
（1）、线位移 （2）、角位移 （3）、相对线位移
F
1 1 23
3
3 4 3 4 3 x4 34 3 y 3
q
3
（4）、相对角位移
1
12 1 2
2
2
2、产生位移的原因 荷载和非荷载因素（温度改变、支座移动、材料收缩、制造误差） 3、计算位移的目的 （1）、校核结构的刚度 （2）、施工过程中的位移计算 （3）、位移计算是分析超静定结构的基础 （4）、位移计算是动力分析和稳定分析的基础
5 (0.33 3) ()
30
(1 3)
)
2
3
-
0.33
FN图
+
0.33
M图
M=1
1
4
§6-7 静定结构支座移动时的位移计算
() FRc
其中：
FR ——单位力作用下的支座反力
c —— 支座位移
—— 所有杆件的计算结果求和
正负号：支座位移与单位力作用下的支座反力方向一致时取 “+”，不一致时取“-”
2
10kN/m 2EI
M=1 3
EI
4m
3、求 3
80 80
1 1 801 4 ( 80 4) 1 3 3 2 EI 2 EI
1
1 4m
20
1
2 ( 20 4) 1 3 2EI
M图
MP图(kN· m)
213 .3 ( EI
)
§6-6 静定结构温度变化时的位移计算
2
M图(m)
2 2 160 2 2 40 0 160 0 40 2 6 EI
第6章 结构位移计算(1)
44
《 第6章 结构位移计算(1) 》
- 44/126页 -
正负号规则：
1） 不规定 和 的正负号，只规定乘积 的正负号。若 和 使杆件同一侧纤维受 拉伸长，则乘积为正，反之为负；
正
MP
MP
负
MP
《 第6章 结构位移计算(1) 》
- 45/126页 -
正
45
2） 和 以拉力为正，压力为负； 3） 和 的正负号见下图。
12
《 第6章 结构位移计算(1) 》
- 12/126页 -
§ 6-2 变形体系的虚功原理
一、 功、实功与虚功
1. 实功
外力（其值由零逐渐增加到最大值）在其自 身引起的位移上所作的功称为实功。
13
《 第6章 结构位移计算(1) 》
- 13/126页 -
2. 虚功
外力在其它原因（其它荷载、温度变化、支 座位移等）引起的位移上所作的功称为虚功。
略去高阶微量后，得杆件的变形虚功为：
16
《 第6章 结构位移计算(1) 》
- 16/126页 -
结构通常有若干根杆件，则对全部杆件求总 和得：
对于由直杆构成的结构：
17
《 第6章 结构位移计算(1) 》
- 17/126页 -
二、 刚体体系虚功原理
刚体体系处于平衡的必要和充分条件是，对于 符合约束条件的任意微小虚位移，刚体体系上所 有外力所做的虚功总和等于零 。
位移计算
§6-8 线弹性结构的互等定理
2
《 第6章 结构位移计算(1) 》
- 2/126页 -
§ 6-1 概 述
一、 结构的位移
在荷载等外因作用下结构都将产生形状的改变， 称为结构变形，结构变形引起结构上任一横截面 位置和方向的改变，称为位移。 1. 截面的位移（绝对位移）
《 第6章 结构位移计算(1) 》
- 44/126页 -
正负号规则：
1） 不规定 和 的正负号，只规定乘积 的正负号。若 和 使杆件同一侧纤维受 拉伸长，则乘积为正，反之为负；
正
MP
MP
负
MP
《 第6章 结构位移计算(1) 》
- 45/126页 -
正
45
2） 和 以拉力为正，压力为负； 3） 和 的正负号见下图。
12
《 第6章 结构位移计算(1) 》
- 12/126页 -
§ 6-2 变形体系的虚功原理
一、 功、实功与虚功
1. 实功
外力（其值由零逐渐增加到最大值）在其自 身引起的位移上所作的功称为实功。
13
《 第6章 结构位移计算(1) 》
- 13/126页 -
2. 虚功
外力在其它原因（其它荷载、温度变化、支 座位移等）引起的位移上所作的功称为虚功。
略去高阶微量后，得杆件的变形虚功为：
16
《 第6章 结构位移计算(1) 》
- 16/126页 -
结构通常有若干根杆件，则对全部杆件求总 和得：
对于由直杆构成的结构：
17
《 第6章 结构位移计算(1) 》
- 17/126页 -
二、 刚体体系虚功原理
刚体体系处于平衡的必要和充分条件是，对于 符合约束条件的任意微小虚位移，刚体体系上所 有外力所做的虚功总和等于零 。
位移计算
§6-8 线弹性结构的互等定理
2
《 第6章 结构位移计算(1) 》
- 2/126页 -
§ 6-1 概 述
一、 结构的位移
在荷载等外因作用下结构都将产生形状的改变， 称为结构变形，结构变形引起结构上任一横截面 位置和方向的改变，称为位移。 1. 截面的位移（绝对位移）
第6章 静定结构位移计算
二、 单位荷载法 1、定义：在所求点所在位移方向加上单位 力，将实际状态的真实位移视作虚拟平衡状态的 虚位移。应用虚功原理，通过加单位荷载求实际 位移的方法。 2、计算结构位移的一般公式
F K+ FRiCi= M d + FNdu + FQdv
式中， F =1 则
六．线弹性体系的特征 1）结构的变形与其作用力成正比
若单位力P1=1作用下产生
的位移δ ，则力P作用下在 K处产生的位移为Pδ
2）结构的变形或位移服从叠加原理
P1
P2
Pi
K Δ
Pn
δ K i 表示Pi=1时 在K处产生的位移。
Δ= P1 K 1 P2 K 2 Pn Kn
P
i i 1
n
Ki
6.2 变形体系的虚功原理 一、变形体的虚功原理 功：力对物体作用的累计效果的度量。 功=力×力作用点沿力方向上的位移 实功 ：力在自身引起的位移上所作的功 静力荷载：荷载由零逐渐以微小的增量缓慢地增加 到最终值。结构在静力加载过程中，荷载及内力始 终保持平衡。
虚功： 力在其他因素引起的位移上作的功 其特点是位移与作功的力无关，在作功的过程 中，力的大小保持不变 梁弯曲后，再在点2处加静力荷载FP2，梁产生新 的弯曲。位移△12为力FP2引起的FP1的作用点沿FP1 方向的位移。力FP1在位移△12 上作了功，为虚功， 大小为 W12=FP1△12，此时力不随位移而变化，是 常力。
单位广义力有截然相反的两种设向，计算出的 广义位移则有正负之分： 正值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相同 负值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相反
力的虚设方法
Fp=1 C Fp=1 B C
6第六章结构位移计算 共77页
(1)建筑的最大位移< 1/1000 高度。
最大层间位移< 1/800 层高。 铁路工程技术规范规定: 公路工程：1/600跨度 桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁 最大挠度 < 1/700 和1/900跨度
(2) 超静定、动力和稳定计算
原理的表述：
任何一个处于平衡状态的变形体，当
发生任意一个虚位移时，变形体所受外力
在虚位移上所作的总虚功δWe，恒等于变
形体各微段外力在微段变形位移上作的虚
功之和δWi。也即恒有如下虚功方程成立
δWe =δWi
外力虚功 = 变形虚功
变形体虚功原理的证明:
qx
ab
a b 1.利用变形连续条件计算
为什么dWn≡0?(相互作用力+协调位移) 为什么dWn≡0?(刚体位移+平衡条件)
微段外力功 dW= dWe+dWn 所有微段的外力功之和:
W=∫dWe+∫dWn =∫dWe =δWe
微段外力功 dW= dWg+dWi 所有微段的外力功之和:
W=∫dWi =δWi
故有δWe=δWi成立。
几个任问何题一:个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚
位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功δWe,恒 等1.于虚变功形原体理各里微存段在外两力个在状微态段：变形位移上作的虚功之和δWi。
变力形状态体必虚须功满原足理平的衡条证件明；: 位移状态必须满足协调条件。
qx
ab a b
a
b
b
a
b
1.利2用. 原变形理连的续证性明条表件计明算:原理适用2.于利任用平何衡(条线件性条和件非计线算性)的
[N P NkQ P Q M P M ]d s EA GA EI
最大层间位移< 1/800 层高。 铁路工程技术规范规定: 公路工程：1/600跨度 桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁 最大挠度 < 1/700 和1/900跨度
(2) 超静定、动力和稳定计算
原理的表述：
任何一个处于平衡状态的变形体，当
发生任意一个虚位移时，变形体所受外力
在虚位移上所作的总虚功δWe，恒等于变
形体各微段外力在微段变形位移上作的虚
功之和δWi。也即恒有如下虚功方程成立
δWe =δWi
外力虚功 = 变形虚功
变形体虚功原理的证明:
qx
ab
a b 1.利用变形连续条件计算
为什么dWn≡0?(相互作用力+协调位移) 为什么dWn≡0?(刚体位移+平衡条件)
微段外力功 dW= dWe+dWn 所有微段的外力功之和:
W=∫dWe+∫dWn =∫dWe =δWe
微段外力功 dW= dWg+dWi 所有微段的外力功之和:
W=∫dWi =δWi
故有δWe=δWi成立。
几个任问何题一:个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚
位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功δWe,恒 等1.于虚变功形原体理各里微存段在外两力个在状微态段：变形位移上作的虚功之和δWi。
变力形状态体必虚须功满原足理平的衡条证件明；: 位移状态必须满足协调条件。
qx
ab a b
a
b
b
a
b
1.利2用. 原变形理连的续证性明条表件计明算:原理适用2.于利任用平何衡(条线件性条和件非计线算性)的
[N P NkQ P Q M P M ]d s EA GA EI
第六章结构的位移计算和刚度计算
各点的位置产生（相对）移动（线位移），使 杆件横截面产生（相对）转动（角位移）。 2、位移的分类：6种 绝对位移：点（截面）线位移––分解成水平、 垂直两方向 截面角位移： 杆件角位移： 相对位移：两点（截面）相对线位移––沿连线 方向 两截面相对角位移： 两杆件相对角位移：
3、引起位移的原因 A、荷载作用：（荷载→内力→变形→位移） B、温度改变：静定结构，温度改变，→0应力 非0应变→结构变形 （材料胀缩引起的位移性质同） C、支座移动；(无应力，无应变，但几何位置 发生变化) 6-2-2单位荷载法
Nl l EA
若将式改写为 及轴向线应变 l 代入，则可得出胡克定律的 l 另一表达式为
l 1 N l E A
，并以轴向应力
N A
E
故胡克定律也可简述为：当杆内应力不超 过材料的比例极限（即正应力与线应变成正比 的最高限应力）时，应力与应变成正比。
例题6-1-1 有一横截面为正方形的阶梯形砖柱， 由上下I、II两段组成。其各段的长度、横截面 尺寸和受力情况如图2-12所示。已知材料的弹 性模量E＝0.03×105MPa，外力P＝50kN。试 P 求砖柱顶面的位移。 解：假设砖柱的基础没有沉陷， A P P Ⅰ 3m 则砖柱顶面A下降的位移等于全 B 柱的缩短。由于柱上、下两段 4m 的截面尺寸和轴力都不相等， Ⅱ C 故应用公式
例题6-1-2 在图所示的结构中，杆AB为钢杆， 横截面为圆形，其直径d＝34mm；杆BC为木 杆，横截面为正方形，其边长a＝170mm。二 杆在点B铰接。已知钢的弹性模量E1＝ 2.1×105MPa，木材顺纹的弹性模量E2＝ 0.1×105MPa。试求当结构在点B作用有荷载P ＝40kN时，点B的水平位移及铅直位移。 解： （1）取出节点B为脱离体，并以N1、N2分别表 示AB及BC二杆的内力。运用平衡方程 P 40 Y 0 由 ，可得 N1 80kN o
第六章 平面结构的位移计算
FP ∆BH B B′
∆BV
C C′ A 桁架受 桁架受荷载作用
2
A
C
∆ CV C′ θc ∆CH 温度变化 + t 2 > + t1
+ t1 + t2
B
A
B′ 支座B 支座B下沉
∆CV C′ θc
C
B
∆
2. 广义位移： 广义位移 位移： 通常把两个截面 相对水平线位移， 两个截面的 通常把两个截面的相对水平线位移，相对竖向线 位移以及相对转角位移叫做广义位移 以及相对转角位移叫做广义位移。 位移以及相对转角位移叫做广义位移。 A
FP
B
∆ AV − ∆ BV ∆ AV + ∆ BV
a)
∆ AV A′ B′ ∆ BV
A，3
∆ AH
A
∆ BH
B
FP FP
A B
i
∆BV
∆AV
q
∆ AB = ∆ AH + ∆ BH
A，B截面的相 截面的 对水平线位移 b)
∆ AB = ∆ AV + ∆ BV
第六章 结构的位移计算 结构的
§6-1 概述 变形体虚功原理 位移计算一般公式 虚功原理及 §6-2 变形体虚功原理及位移计算一般公式 §6-3 支座移动和温度变化时的位移计算 支座移动和温度变化时的 时的位移计算 § 6 -4 § 6 -5 § 6 -6 § 6 -7 静定结构在荷载作用下的 静定结构在荷载作用下的位移计算 下的位移计算 图乘法 图乘法 互等定理 互等定理 结构位移计算公式 另一种推导 计算公式的 结构位移计算公式的另一种推导
∑F
K
RK
CK
N
内力虚功： = 内力虚功： i W
第六章结构位移计算
广义的位移——角、线位移；相对、绝对位移
△C
△D
C C′
A
A
F F
D′ D
B
B
3. 引起位移的原因
（1）荷载作用——内力——变形——位移 （2）温度变化——结构变形——位移 （3）支座位移——几何位置改变——位移
5 第六
4．计算结构位移的目的
1）校核刚度——位移是否超过许用限值，防止构件和结构产
生过大的变形而影响结构的正常使用。
F
W 1 F 变力功 2
9 第六
F
M=Fd
d F
F
WM 力偶功
广义力可以是一个集中力、一对集中力，也可以 是一个力偶、一对力偶；广义位移是相应的沿力方向 的线位移和沿力偶转向的角位移或相对位移。
10 第六
其他形式的力或力系所作的功也用两个因子的 乘积表示为：功=广义力×广义位移
1)作功的力系为一个集中力 2)作功的力系为一个集中力偶
§6—2 变形体系的虚功原理
§6—3 位移计算的一般公式
A′
§6—4 静定结构在荷载作用下的位移计算
§6—5 图乘法
§6—6 静定结构温度变化时的位移计算
§6—7 静定结构支座移动时的位移计算
§6—8 线弹性结构的互等定理
3 第六
§6—1 概 述
1. 变形和位移
任何结构都由可变形体(固体)材料组成, 在荷载作用下会产 生变形和位移。
A''
B''
将ds虚位移分解为：
C
D
刚体虚位移: ABCD A'B'C'D'
变形虚位移: A'B'C'D' A''B''C''D''
结构力学 结构的位移计算
A1
ds
M N Q
此为局部变 形位移公式
d ds
§8-2 结构位移计算的一般公式
二.结构位移计算的一般公式
整个杆件的变形
可根据叠加原理，得：
d M N Q 0 ds
如果结构中有多个杆件，则
d M N Q 0 ds
1 c
1 cA 0 3
c
1 cA 3
1
1 1 cA 0 cA 2l 2l
§8-1 应用虚功原理求刚体体系的位移
当支座有给定位移 cK 时，静定结构的位移可用虚功原理求出，其 计算步骤如下： (1)沿拟求位移 方向虚设相应的单位荷载，并求出单位荷载作用 下的支座反力 RK 。 (2)令虚设力系在实际位移上作虚功，写出虚功方程：
求未知力
虚功原理之 虚位移原理 虚功原理之 虚力原理
单位位移法
求未知位移
单位荷载法
§8-1 应用虚功原理求刚体体系的位移
三.支座移动时静定结构的位移计算
下面应用单位荷载法求支座移动时静定结构的位移
如图 ⑴求C点的竖向位移 C ；
所示：⑵杆CD的角位移 ： ⑴求C点的竖向位移 C，应在C 加—个单位竖向荷载。而求杆 CD的角位移 ，应在杆CD上加 一个单位力偶荷载，利用虚力 原理得虚功方程：
●变形类型：它既可以考虑弯曲变形，也可以考虑拉伸或剪切变形。 ●变形因素：它既可以考虑荷载引起的位移，也可以考虑温度或支
座移动引起的位移。
●结构类型：它可用于梁、刚架、桁架、拱等各类型式的结构，也 可用于静定或起静定结构。
§8-2 结构位移计算的一般公式
◆ 此式不仅是变形体体系位移计算的一般公式，也是变形体虚功原理 的一种表示形式。因为：
结构力学——第6章结构位移计算讲解
对整个结构有：
WV dWV FNdu Md FSds
虚功方程为： W WV
W FNdu Md FSds
§6-2 变形体系的虚功原理
虚功原理的应用
虚位移原理： 对于给定的力状态，虚设一个位移状态，利 用虚功方程求解力状态中的未知力。
虚力原理： 对于给定的位移状态，虚设一个力状态，利用 虚功方程求解位移状态中的位移。
例6-7 图a为一组合结构，试求D点的竖向位移△Dy。
解：实际状态FNP、MP如图b所示。 ΔDy
FN FNPl E1 A1
A yC E2 I2
虚拟状态FN、M如图c所示。
(1 2 2)Fa 4Fa3
()
E1 A1
3E2 I 2
§6-6 静定结构温度变化时的位移计算
试求图a所示结构由于温度变
对于静定结构，支座发生移动并不引起内力，材料不发生变形，此 时结构的位移属刚体位移。位移计算一般公式简化为
ΔKc FRc
§6-7 静定结构支座移动时的位移计算
例6-9 图a所示三角刚架右边支座的竖向位移△By=0.06m, 水 平位移为△Bx=0.06m, 已知l=12m，h=8m。试求由此引
第六章 结构位移计算
§6-1 概述 §6-2 变形体系的虚功原理 §6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法 §6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 §6-5 图乘法 §6-6 静定结构温度变化时的位移计算 §6-7 静定结构支座移动时的位移计算 §6-8 线弹性结构的互等定理 §6-9 空间刚架的位移计算公式
变形曲线。 解：实际状态弯矩图如图b所示。
虚拟状态弯矩图如图c所示。
ΔAy
A yC 1 (l l ) Fl 1 (l 2l ) Fl EI EI 2 2 2EI 3 4
WV dWV FNdu Md FSds
虚功方程为： W WV
W FNdu Md FSds
§6-2 变形体系的虚功原理
虚功原理的应用
虚位移原理： 对于给定的力状态，虚设一个位移状态，利 用虚功方程求解力状态中的未知力。
虚力原理： 对于给定的位移状态，虚设一个力状态，利用 虚功方程求解位移状态中的位移。
例6-7 图a为一组合结构，试求D点的竖向位移△Dy。
解：实际状态FNP、MP如图b所示。 ΔDy
FN FNPl E1 A1
A yC E2 I2
虚拟状态FN、M如图c所示。
(1 2 2)Fa 4Fa3
()
E1 A1
3E2 I 2
§6-6 静定结构温度变化时的位移计算
试求图a所示结构由于温度变
对于静定结构，支座发生移动并不引起内力，材料不发生变形，此 时结构的位移属刚体位移。位移计算一般公式简化为
ΔKc FRc
§6-7 静定结构支座移动时的位移计算
例6-9 图a所示三角刚架右边支座的竖向位移△By=0.06m, 水 平位移为△Bx=0.06m, 已知l=12m，h=8m。试求由此引
第六章 结构位移计算
§6-1 概述 §6-2 变形体系的虚功原理 §6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法 §6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 §6-5 图乘法 §6-6 静定结构温度变化时的位移计算 §6-7 静定结构支座移动时的位移计算 §6-8 线弹性结构的互等定理 §6-9 空间刚架的位移计算公式
变形曲线。 解：实际状态弯矩图如图b所示。
虚拟状态弯矩图如图c所示。
ΔAy
A yC 1 (l l ) Fl 1 (l 2l ) Fl EI EI 2 2 2EI 3 4
第6章-结构位移计算(上)2
总 刚 变
微段平衡，由刚体虚功原理
⇒ dW刚 = 0
⇒ W总 = W变
C′
D′
综合1、 2得：
位移状态
§6-2 变形体系的虚功原理 变形体系处于平衡的充要条件是： 对于任何虚位移，外力所作虚功总和 等于各微段上的内力在其形变上所作的虚 功之和，或外力虚功等于变形虚功。
§6-2 变形体系的虚功原理
1 [ EI
∫
M M Pa dx + ∫ M M Pb dx
]
图
1 al bl y yb = + a EI 2 2 l = [ ac + bd + (a + b)(c + d )] 6 EI
1 2 2 1 ya = c + d , y b = c + d 其中： 3 3 3 3
γ Q M N
△
位移状态（实际状态）
力状态（虚拟状态）
§6-3 位移计算的一般公式 · 单位荷载法
力状态
外力：
内力：
——由上式可求出位移△K。
§6-3 位移计算的一般公式 · 单位荷法
单位荷载法：
——在虚拟的力状态中，于所求位移点 沿所求位移方向加一个单位荷载，以使 荷载虚功恰好等于所求位移的计算位移 方法。
1 ∆= M M P dx ∫ EI l [ac + bd + (a + b)(c + d )] = 6 EI 1 2 1 2 1 + ⋅ l ⋅ ql ⋅ [ (c + d )] 2 EI 3 8
图
l [ac + bd + (a + b)(c + d )] = 6 EI
微段平衡，由刚体虚功原理
⇒ dW刚 = 0
⇒ W总 = W变
C′
D′
综合1、 2得：
位移状态
§6-2 变形体系的虚功原理 变形体系处于平衡的充要条件是： 对于任何虚位移，外力所作虚功总和 等于各微段上的内力在其形变上所作的虚 功之和，或外力虚功等于变形虚功。
§6-2 变形体系的虚功原理
1 [ EI
∫
M M Pa dx + ∫ M M Pb dx
]
图
1 al bl y yb = + a EI 2 2 l = [ ac + bd + (a + b)(c + d )] 6 EI
1 2 2 1 ya = c + d , y b = c + d 其中： 3 3 3 3
γ Q M N
△
位移状态（实际状态）
力状态（虚拟状态）
§6-3 位移计算的一般公式 · 单位荷载法
力状态
外力：
内力：
——由上式可求出位移△K。
§6-3 位移计算的一般公式 · 单位荷法
单位荷载法：
——在虚拟的力状态中，于所求位移点 沿所求位移方向加一个单位荷载，以使 荷载虚功恰好等于所求位移的计算位移 方法。
1 ∆= M M P dx ∫ EI l [ac + bd + (a + b)(c + d )] = 6 EI 1 2 1 2 1 + ⋅ l ⋅ ql ⋅ [ (c + d )] 2 EI 3 8
图
l [ac + bd + (a + b)(c + d )] = 6 EI
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同，截面的I、A均为常数。
解：（1）虚拟状态如图b，各杆内力为
AB段： M x , FN 0, FS 1 BC段： M l , FN 1, FS 0
（2）实际状态中，各杆内力为
AB段：
MP
qx2 2
,
FNP 0,
FSP qx
BC段：
MP
ql 2 2
,
FNP ql,
FSP 0
（3）代入位移计算公式
三、计算位移的有关假定
1、结构材料服从“虎克定律”，即应力、应变成线形关系。
2、小变形假设。变形前后荷载作用位置不变。
3、结构各部分之间为理想联结，不计摩擦阻力。
4、当杆件同时承受轴力与横向力作用时， 不考虑由于杆 弯曲所引起的杆端轴力对弯矩及弯曲变形的影响。
P
A
B
P
满足以上要求的体系为“线变形体系”。因位移与荷载 为线形关系，故求位移时可用叠加原理。
第6章
求图a所示桁架AB杆的角位移。
在位移微小的前提下，桁架杆件的 角位移=其两端在垂直于杆轴方向上的 相对线位移除以杆长，如图b。
AB杆的角位移
AB
ΔA
d
ΔB
荷载所做的虚功
1 d
ΔA
1 d
ΔB
ΔA
d
ΔB
AB
第6章
计算对象：线弹性结构，位移与荷载成正比，应力与应变符合
胡克定律。
求图a所示结构K点的竖向位
A —截面A的角位移（顺时针方向） B —截面B的角位移（逆时针方向） AB A B —截面A、B的相对角位移
ΔC —C点水平线位移（向右） ΔD —D点水平线位移（向左） ΔCD ΔC ΔD —C、D两点的水平相对线位移
第6章
一、产生位移的原因：
（1）荷载 （2）温度变化、材料胀缩 （3）支座沉降、制造误差
c
t1
c t2 t1
绝对位移
AV
BV
相对位移
广义位移
第64章
二、计算结构位移的目的
1、刚度验算：电动吊车梁跨中挠度 fmax≤l/600。
2、计算超静定结构必须考虑位移条件。
3、施工技术的需要。
P
P
P
P
P
P/2
P/2
c
c CV
4、结构的动力计算和稳定分析中，都常需计算结 构的位移。
第64章
移△KP。位移计算公式为
ΔKP
FNduP
MdP FS Pds
虚拟状态如图b所示。由材料力学
dP
M Pds EI
Pds
k FSP ds GA
duP
FNPds EA
k—剪切变形的 改正系数
第6章
平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式为：
ΔKP
MM Pds EI
FN FNPds EA
结构力学
STRUCTURE MECHANICS
北京建筑工程学院专业基础部
第6章
第6 章 结构位移计算
6.1 概述
变形：结构形状的改变。 位移：结构各处位置的移动。
线段AA’—A点的线位移，计为ΔA。
截面A转动的角度—截面A的角位移， 计为φA。
ΔA—可用水平分量ΔAx和竖向分量 ΔAy 表示。
第6章
第6章
四、功、实功和虚功
功：力对物体作用的累计效果的度量 功=力×力作用点沿力方向上的位移
实功：力在自身所产生的位移上所作的功
P W P
虚功：力在非自身所产生的位移上所作的功
tC
P t
W Pt
第6章
M
M
M
A
B
P
A
B P
W P P---广义力; ---广义位移
第6章
6.2 变形体虚功原理和单位荷载法
kFS FSP ds GA
梁和刚架（受弯杆件）的位移计算公式为：
ΔKP
桁架（只有轴力）的位移计算公式为：
MM Pds EI
ΔKP
FN FNPds EA
FN FNPl EA
组合结构（受弯杆件+链杆）的位移计算公式为：
ΔKP
MM Pds FN FNPl
EI
EA
第6章
例6-1 试求图a所示刚架A点的竖向位移△Ay。各杆的材料相
第6章
图a所示结构由于荷载、温度变化及支座移动引起了变形，
求K点沿任一指定方向k—k的位移△K。
虚设力状态如图b，使力状态的外力能在位移状态的
△K 上作虚功。
第6章
外力虚功为
设 FK=1 W FK ΔK FR1c1FR2c2 FR3c3 1 ΔK FRc
变形虚功为
WV FNdu Md FSds
由虚功原理 W WV
ΔK FRc FNdu Md FSds
单位荷载法 平面杆件结构位移计算一般公式
第6章
图a为求A点水平位移时的虚拟状态 图b为求A截面转角时的虚拟状态 图c为求A、B两点在其连线上相对线位移时的虚拟状态 图d为求A、B两个截面相对转角时的虚拟状态
广义位移： 线位移、角位移、相对线位移、相对角位移、某一组位移的统称。 广义力： 集中力、力偶、一对集中力、一对力偶、某一力系的统称。
ΔAy
5 8
ql 4 EI
ql 2 EA
k ql2 2GA
5 8
ql 4 EI
(1
8 5ห้องสมุดไป่ตู้
I Al 2
4 5
kEI GAl 2
)
第6章
（4）讨论
ΔAy
5 8
ql 4 EI
(1
8 5
I Al 2
4 5
kEI GAl 2
)
上式中：第一项为弯矩的影响，第二、三项分别为轴力、剪力的影响。
设：杆件截面为矩形，宽度为b、高度为h，A=bh，I=bh3/12，k=6/5
第6章
M1
FN1 FS1
MA
FN A FS y
M1+dM1 FN1+dFN1
FS1+dFS1
v
* A
m( x)
A
* A
u*A
y
q( x) p( x)
MB B FN s
FS
力状态
v u
s
v B
* B
* B
u*B
位移状态 ds
ds du ds
v2 ds (dv2 ds)
ds
d ds
略去高阶微量，微段上各力在其变形上所作虚功为：
一、变形体系的虚功原理
变形体系处于平衡的必要和充分条件是，对于任何虚位移， 外力所做虚功总和等于各微段上的内力在其变形上所作的虚功 总和，简单地说，外力虚功等于变形虚功。
外力虚功W：整个结构所有外力（荷载与支座反力）在其 相应的虚位移上所作虚功的总和。
变形虚功WV：所有微段两侧截面上的内力在微段的变形上 所作虚功的总和，也称为内力虚功或虚应变能。
WV
FN1du2
FS1dv2
M1d2
第6章
对整个结构有：
WV dWV FNdu Md FSds
虚功方程为：
W WV
W FNdu Md FSds
虚功原理应用： 虚位移原理——虚设位移状态（可求实际力状态的未知力） 虚力原理——虚设力状态（可求实际位移状态的位移）
ΔAy
5 8
解：（1）虚拟状态如图b，各杆内力为
AB段： M x , FN 0, FS 1 BC段： M l , FN 1, FS 0
（2）实际状态中，各杆内力为
AB段：
MP
qx2 2
,
FNP 0,
FSP qx
BC段：
MP
ql 2 2
,
FNP ql,
FSP 0
（3）代入位移计算公式
三、计算位移的有关假定
1、结构材料服从“虎克定律”，即应力、应变成线形关系。
2、小变形假设。变形前后荷载作用位置不变。
3、结构各部分之间为理想联结，不计摩擦阻力。
4、当杆件同时承受轴力与横向力作用时， 不考虑由于杆 弯曲所引起的杆端轴力对弯矩及弯曲变形的影响。
P
A
B
P
满足以上要求的体系为“线变形体系”。因位移与荷载 为线形关系，故求位移时可用叠加原理。
第6章
求图a所示桁架AB杆的角位移。
在位移微小的前提下，桁架杆件的 角位移=其两端在垂直于杆轴方向上的 相对线位移除以杆长，如图b。
AB杆的角位移
AB
ΔA
d
ΔB
荷载所做的虚功
1 d
ΔA
1 d
ΔB
ΔA
d
ΔB
AB
第6章
计算对象：线弹性结构，位移与荷载成正比，应力与应变符合
胡克定律。
求图a所示结构K点的竖向位
A —截面A的角位移（顺时针方向） B —截面B的角位移（逆时针方向） AB A B —截面A、B的相对角位移
ΔC —C点水平线位移（向右） ΔD —D点水平线位移（向左） ΔCD ΔC ΔD —C、D两点的水平相对线位移
第6章
一、产生位移的原因：
（1）荷载 （2）温度变化、材料胀缩 （3）支座沉降、制造误差
c
t1
c t2 t1
绝对位移
AV
BV
相对位移
广义位移
第64章
二、计算结构位移的目的
1、刚度验算：电动吊车梁跨中挠度 fmax≤l/600。
2、计算超静定结构必须考虑位移条件。
3、施工技术的需要。
P
P
P
P
P
P/2
P/2
c
c CV
4、结构的动力计算和稳定分析中，都常需计算结 构的位移。
第64章
移△KP。位移计算公式为
ΔKP
FNduP
MdP FS Pds
虚拟状态如图b所示。由材料力学
dP
M Pds EI
Pds
k FSP ds GA
duP
FNPds EA
k—剪切变形的 改正系数
第6章
平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式为：
ΔKP
MM Pds EI
FN FNPds EA
结构力学
STRUCTURE MECHANICS
北京建筑工程学院专业基础部
第6章
第6 章 结构位移计算
6.1 概述
变形：结构形状的改变。 位移：结构各处位置的移动。
线段AA’—A点的线位移，计为ΔA。
截面A转动的角度—截面A的角位移， 计为φA。
ΔA—可用水平分量ΔAx和竖向分量 ΔAy 表示。
第6章
第6章
四、功、实功和虚功
功：力对物体作用的累计效果的度量 功=力×力作用点沿力方向上的位移
实功：力在自身所产生的位移上所作的功
P W P
虚功：力在非自身所产生的位移上所作的功
tC
P t
W Pt
第6章
M
M
M
A
B
P
A
B P
W P P---广义力; ---广义位移
第6章
6.2 变形体虚功原理和单位荷载法
kFS FSP ds GA
梁和刚架（受弯杆件）的位移计算公式为：
ΔKP
桁架（只有轴力）的位移计算公式为：
MM Pds EI
ΔKP
FN FNPds EA
FN FNPl EA
组合结构（受弯杆件+链杆）的位移计算公式为：
ΔKP
MM Pds FN FNPl
EI
EA
第6章
例6-1 试求图a所示刚架A点的竖向位移△Ay。各杆的材料相
第6章
图a所示结构由于荷载、温度变化及支座移动引起了变形，
求K点沿任一指定方向k—k的位移△K。
虚设力状态如图b，使力状态的外力能在位移状态的
△K 上作虚功。
第6章
外力虚功为
设 FK=1 W FK ΔK FR1c1FR2c2 FR3c3 1 ΔK FRc
变形虚功为
WV FNdu Md FSds
由虚功原理 W WV
ΔK FRc FNdu Md FSds
单位荷载法 平面杆件结构位移计算一般公式
第6章
图a为求A点水平位移时的虚拟状态 图b为求A截面转角时的虚拟状态 图c为求A、B两点在其连线上相对线位移时的虚拟状态 图d为求A、B两个截面相对转角时的虚拟状态
广义位移： 线位移、角位移、相对线位移、相对角位移、某一组位移的统称。 广义力： 集中力、力偶、一对集中力、一对力偶、某一力系的统称。
ΔAy
5 8
ql 4 EI
ql 2 EA
k ql2 2GA
5 8
ql 4 EI
(1
8 5ห้องสมุดไป่ตู้
I Al 2
4 5
kEI GAl 2
)
第6章
（4）讨论
ΔAy
5 8
ql 4 EI
(1
8 5
I Al 2
4 5
kEI GAl 2
)
上式中：第一项为弯矩的影响，第二、三项分别为轴力、剪力的影响。
设：杆件截面为矩形，宽度为b、高度为h，A=bh，I=bh3/12，k=6/5
第6章
M1
FN1 FS1
MA
FN A FS y
M1+dM1 FN1+dFN1
FS1+dFS1
v
* A
m( x)
A
* A
u*A
y
q( x) p( x)
MB B FN s
FS
力状态
v u
s
v B
* B
* B
u*B
位移状态 ds
ds du ds
v2 ds (dv2 ds)
ds
d ds
略去高阶微量，微段上各力在其变形上所作虚功为：
一、变形体系的虚功原理
变形体系处于平衡的必要和充分条件是，对于任何虚位移， 外力所做虚功总和等于各微段上的内力在其变形上所作的虚功 总和，简单地说，外力虚功等于变形虚功。
外力虚功W：整个结构所有外力（荷载与支座反力）在其 相应的虚位移上所作虚功的总和。
变形虚功WV：所有微段两侧截面上的内力在微段的变形上 所作虚功的总和，也称为内力虚功或虚应变能。
WV
FN1du2
FS1dv2
M1d2
第6章
对整个结构有：
WV dWV FNdu Md FSds
虚功方程为：
W WV
W FNdu Md FSds
虚功原理应用： 虚位移原理——虚设位移状态（可求实际力状态的未知力） 虚力原理——虚设力状态（可求实际位移状态的位移）
ΔAy
5 8