简谐振动 旋转矢量法_图文

2 1 2 2
2 1 2k π (k 0 ， 1， 2,)
x
x
A
A2
A1
o
o
T
t
A A 1 A 2
A A A 2 A1 A2 cos( 2 1 ) 2）相位差 2 1 (2k 1)π (k 0 ， 1, )
A
P x
注意：旋转矢量在第 2 象限 速度v < 0
M
A
P x
注意：旋转矢量在第 2 象限 速度v < 0
M P
A
x
注意：旋转矢量在第 2 象限 速度v < 0
M
P
A
x
注意：旋转矢量在第 3 象限 速度v 0
P M
A
<
x
注意：旋转矢量在第 3 象限 速度v 0
P x M
A
<
注意：旋转矢量在第 3 象限 速度v 0
( 1) 2 1 0, 称同相; (2) 2 1 , 称反相; (3) 2 1 0, 称振动2超前, 振动1落后; (4) 1 2 0, 称振动1超前, 振动2落后.
对于沿 x 轴振动的两个同频率的简谐振动：
用旋转矢量表示相位关系 同相位 反相位
对应关系

t
用旋转矢量图画简谐运动的
x t
图
T 2π （旋转矢量旋转一周所需的时间）
A
P
M
x
注意：旋转矢量在第 1 象限 速度v < 0
A
P
M
x
注意：旋转矢量在第 1 象限 速度v < 0
A
P
M x

x x1 x2 xn
x A cos(t )
o
1 A1
2
A2
3
x
多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐运动 多个分振动的合成在说明光的干涉和衍射规 律时有重要的应用。
二
两个相互垂直的同频率简谐运动的合成
x A1 cos(t 1 ) y A2 cos(t 2 )
三个同方向、同频率的谐振动为
x 1 = 0.1cos(10t+π/6)m x 2 = 0.1cos(10t+π/2)m x 3 = 0.1cos(10t+5π/6)m
试利用旋转矢量法求出合振动的表达式。
解： A 1 = A 2 = A 3 = 0.1 φ1 = π φ2 = π 6 2 A´ = A 1 + A 3 A = A1 + A2 + A3 = A 2 + A´ A = 2 A 1 = 0.2 φ =π 2 A3
李 萨 如 图
1 0
π π 3π π 2 0, , , , 8 4 8 2
x ny x达到最大的次数 y nx y达到最大的次数
测量振动频率 和相位的方法
利用李萨如图形在无线电技术中可以测量频
率：在示波器上，垂直方向与水平方向同时输入
两个振动，已知其中一个频率，则可根据所成图 形与已知标准的李萨如图形去比较，就可得知另 一个未知的频率。
A
P x
注意：旋转矢量在第 2 象限 M 速度v < 0
A
P x
注意：旋转矢量在第 2 象限 速度 v 0 < M
A
P x
注意：旋转矢量在第 2 象限 速度v < 0

P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 4 象限 速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 4 象限 速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 4 象限 速度v 0
P
A
M
<
x
注意：旋转矢量在第 4 象限 速度v 0
P
A
M
<
x
注意：旋转矢量在第 4 象限 速度v 0
P M x
A
<
注意：旋转矢量在第 4 象限 Байду номын сангаас度v 0
]
用复数表示振动，有时在处理复杂振动过程中很方 便；最终只取实部(可观察物理量只可能是实量)。 复数法在光学、电工学等专业领域中被广泛运用 四、旋转矢量法
旋转矢量法

当t

A
t t
时
0
时
A
o

t
x0 A cos
x0
x
o
x A cos( t )
x
以o 为原点,旋转 矢量 A的端点在 轴 上的投影点的运动为 简谐运动.
2
2
A2 y x A1
o
A1
x
x 2 y 2 2 xy 2 cos( 2 1 ) sin 2 ( 2 1 ) 2 A1 A2 A1 A2
2） 2 1 π
3） 2 1 π 2
2 2
A2 y x A1
y
A2
o
A1
x
x y 2 1 2 A1 A2
A
P x
注意：旋转矢量在第 2 象限 M 速度v < 0

速度v <0
M
PA
x
注意：旋转矢量在第 2 象限
速度v <0
M
PA
x
<
注意：旋转矢量在第 3 象限
速度v 0
P x
MA
<
注意：旋转矢量在第 3 象限
速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 3 象限
速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 3 象限
速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 3 象限
C
x = 0.12 cos (πｔ-π/3 ) (m)
如不用参考圆只用数学式解题：
由
x = A cos (ωｔ+ φ)
已知 A= 0.12m , T= 2s → ω= π
则 x = 0.12 cos (πｔ+ φ) φ= ?
t = 0 时 x=0.06m: 0.06 = 0.12cosφ →
cosφ = 0.5 → φ= ±π/3
简谐振动的矢量图示法
简谐振动的矢量图示法
A 的长度
振幅A
A旋转的角速度
振动圆频率 O
ω
M
A
t 0
P
X
x
A 旋转的方向
逆时针方向
A 与参考方向x 的夹角 振动相位
M 点在 x 轴上投影(P点)的运动规律：
x Acos(t 0 )
矢量OM 的端点 M 所画的圆叫参考圆。 矢量 OM 0 是 t = 0 时刻的位置，它与 x 轴的夹角φ叫初相位。 简谐振动的参考圆和矢量表示方法十分形
x

A
t
M0
c
O x P Ax
端点M的运动轨 迹称为参考圆
第五章 机械振动
§5－2
振动曲线
简谐振动的旋转矢量描述
mm m
oA x x00<=x0A0< A(伸长量)
x A
= /2
=0
1.S WF
3.SWF
o
ωt
-A
ωT=2π
>0
第五章 机械振动
§5－2 简谐振动的旋转矢量描述
两个同振幅同频率，不同周相的简谐振动的位移时间曲线
速度共振：当驱动力角频率等于系统固有频率时，速度幅值达到最大值。
t时刻夹角
。
解：船静浮时，浮力与重力平衡
两个同振幅同频率，不同周相的简谐振动的位移时间曲线
1 1 2 2 2 的位置取静浮时水面P点来代表，则船在任一位置y时，船受合力为
小号发出的声波足以使酒杯破碎
m A sin (t ) k A cos (t ) 解：船静浮时，浮力与重力平衡
§5－2 简谐振动的旋转矢量描述
两个同振幅同频率，不同周相的简谐振动的位移时间曲线
x A cost M
x
x
M
ON
3
O
2
xN
A cos(t
3)
2
t
3
2
第五章 机械振动
§5－2 简谐振动的旋转矢量描述
两个同振幅同频率，不同周相的简谐振动的位移时间曲线
x A cos(t 0) M
xM
x
N2
O
o
xN
A cos(t
1)
2
2
t
第五章 机械振动
§5－3 几种常见的简谐振动

角频率ω
A 与参考方向x 的夹角
振动相位ωt+φ0
3、两个谐振动的相位差
x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 )
相位差为 (t 2 ) (t 1) 2 1
采用旋转矢量表示为：
A2
2
A1
1
O
x
例1、两个同频率的谐振动，它们都沿x轴振动，且振
幅相等，当t =0时质点1在x=A/2处向左运动,另一质点
F kx m 2x
(0.01kg)(π s1)2 (0.069m) 1.70103 N
2
（2）由起始位置运动到 x 0.04m 处所需要
的最短时间.
v
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
解法一 设由起始位置运动到 x 0.04m 处所
需要的最短时间为 t
0.04m (0.08m) cos[(π s1)t π ]
x 0.12cos( 0.5 ) 0.104 m
3
v 0.12 sin( 0.5 ) 0.18 m/s
3 a 0.12 2 cos( 0.5 ) 1.03 m/s2
3
在t =T/4=0.5s时，可得
可得x 0.12cos( 0.5 ) 0.104 m
3
v 0.12 sin( 0.5 ) 0.18 m/s
sin0 0
0
3
简谐振动表达式 x 0.12cos( t ) m
3
因为
（2）由简谐振动的运动方程 x 0.12cos( t ) m
3
可得
v dx 0.12 sin( t ) m/s
dt
3
a dv 0.12 2 cos( t ) m/s2

F kx m 2x
(0.01kg)(π s1)2 (0.069m) 1.70103 N
2
（2）由起始位置运动到 x 0.04m 处所需要
的最短时间.
v
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
解法一 设由起始位置运动到 x 0.04m 处所
需要的最短时间为 t
0.04m (0.08m) cos[(π s1)t π ]
sin0 0
0
3
简谐振动表达式 x 0.12cos( t ) m
3
因为
（2）由简谐振动的运动方程 x 0.12cos( t ) m
3
可得
v dx 0.12 sin( t ) m/s
dt
3
a dv 0.12 2 cos( t ) m/s2
dt
3
在t =T/4=0.5s时，可得
x (0.08m) cos[(π s1)t π ] 3
2
3
v0 0
π
3
A
π3
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
x (0.08m) cos[(π s1)t π ]
2
3
m 0.01kg
v
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
t 1.0s 代入上式得 x 0.069m
2
3
v
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
cos( t ) 1
23 2
t 2 或 4
233 3
又因为第一次到达- 0.04m处时，v 0
即v A sin(t ) 0
23
所以t 2
23 3
t 2s 3

找到谐振动的特征量，问题就解决了。
振动方程为 x 2cos(5 t 2 )
3
16-4 简谐振动的合成
一、同方向、同频率谐振动的合成
某质点同时参与两个同频率且在同一条直线上的简谐运动
x1 A1 cos t 1 令 Asin A1 sin1 A2 sin2
x2 A2 cos t 2
2 (rad/s)
T
x Acos(t 0 ) t = 0 时： cos0 x0 / A 1/ 2,
0



3
初速度方向指向平衡位置，
v0 A sin 0 0,
0


3
A = 5 (m);
(rad/s)
x 5cos(t 3) (m)
例题5 ：
普通物理学教案
某振子x-t 图和v-t 图如下，写出振子的 运动学方程。
解： 由x - t 图，A = 2， x0 = -A / 2，向平衡位置移动
4
3 或 2
3
x-t 图上ω或T 信息不明确，再看v-t 图 vmax 10m/s 由速度幅 vmax A ， vmax / A 5s-1
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 3 象限
速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 3 象限
速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 3 象限
速度v 0
P x
A
M
<
注意：旋转矢量在第 4 象限
速度v 0
P x
A

x
ω
当
t =0
时
v A
以 o为 原点旋转矢
v 量 A的端点
在
o
x0 = A cos
x0
x
x 轴上的
投影点的运 动为简谐运 动。
ω
t =t 时
v A
以 o为 原点旋转矢
ωt +
v 量 A的端点
o
x = A cos(ωt + )
x
在
x 轴上的
投影点的运 动为简谐运 动。
简谐振动特征量与旋转矢量模型的比较
A
t= 0
x
x = 4 cos(πt + ) 3
π
t = 1s
时的矢 量位置
的物体作简谐运动， 一质量为 0.01kg 的物体作简谐运动，其振 幅为 0.08m ，周期为 4s ，起始时刻物体在 x = 0.04m 轴负方向运动（如图）。 处，向 Ox 轴负方向运动（如图）。 试求 （1 ） t 物体所处的位置和所受的力； = 1.0s 时，物体所处的位置和所受的力；
[例] 已知简谐振动，A=4cm，ν = 0.5 Hz, t =1s时， 例 已知简谐振动， ， 时 x =-2cm且向 正向运动。写出简谐振动的表达式。 且向x正向运动 且向 正向运动。写出简谐振动的表达式。 解：由题意，T=2s，t =1s=T/2 。 由题意， ， 由图， = π/3 。 由图，
A
π 3
ω
x/m
0.08
o
0.04
π 1 π x = ( 0.08 m ) cos[( s )t + ] 2 3
t=1s=T/4
A
0.08 0.04
π6
A

x = -0.06m
x = -0.06m时 旋转矢量
O
x
第一次回到平衡 位置时旋转矢量
5
32 6
5 t 6 50.83s
6
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例3、一弹簧振子 k0 .7 2 N /m ,m 2 0 g (1)将物体从平衡位置向右拉到 x=0.05m 处释放,求谐振
动方程. (2)求物体第一次经过A/2 处时速度大小。 (3)如果物体在x=0.05m处速度大小为 v0.30m/s ,且向
解法一(解析法）:
(1)取平衡位置为坐标原点,谐振动方程写为：
xAcos(t0)
由条件 T=2s可得
2 2 s1
T2
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由初始条件 t = 0, x=0.06m可得
0.12cos0 0.06 即 cos0 0.5
0
3
或
3
由于t=0时质点向x轴正向运动可知
v0 Asin0 0
正方向运动,求运动方程。
解：(1) k 0.726.0s-1
m 0.02
由旋转矢量可知初相位 谐振动方程为
0 0
0.05
O
x
x0.05cos(6.0t) m
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(2) v dx 0.056.0sin(6.0t) dt
=0.3sin(6.0t) m/s
第一次经过A/2时，相位
6.0t 3
OA
2
x
v 0.3sin () 0.33 0.26m /s
3
2
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(3) 由初始条件，t=0,v0=0.30m/s, x0=0.05m,可得