§1正整数指数函数-导学案(北师大版)

第1课时正整数指数函数1.了解正整数指数函数模型的实际背景.2.了解正整数指数函数的概念.3.理解具体的正整数指数函数的图像特征及其单调性.4.借助计算器、计算机的运算功能,计算一些正整数指数函数值.一个叫杰米的百万富翁,一天,他碰上一件奇怪的事,一个叫韦伯的人对他说,我想和你定个合同,我将在整整一个月中每天给你10万元,而你第一天只需给我一分钱,以后每一天给我的钱是前一天的两倍.杰米心中暗自高兴,说:“真的?你说话算数!”合同开始生效了,杰米欣喜若狂,第一天杰米支出1分钱,收入10万元;第二天,杰米支出2分钱,收入10万元;第三天,杰米支出4分钱,收入10万元,第四天杰米支出8分钱,收入10万元……到了第十天,杰米得到100万元,而总共才付出10元2角3分,到了第20天,杰米得到了200万元,而韦伯才得到1048575分,共10000元多点.杰米想:要是合同定两个月、三个月该多好!事情真的如杰米想的一样吗?问题1:(1)第21天,杰米支出,收入.(2)第28天,杰米支出,收入.(3)在一个月(31天)内,杰米总共得到,并付给韦伯.问题2:一般地,函数叫作正整数指数函数,其中x是自变量,定义域是.问题3:整数指数幂的性质(1)正整数指数幂a n= .(2)指数为0的幂a0= (a≠0).(3)负整数指数幂a-n= (a≠0,n∈N+).问题4:某种储蓄按复利计算利息,若本金为a元,每期利率为r,设存期是x,本利和(本金加上利息)为y元,写出本利和y随存期x变化的函数关系式:.1.下列函数中是正整数指数函数的是().A.y=-2x,x∈N+B.y=2x,x∈RC.y=x2,x∈N+D.y=()x,x∈N+2.函数y=()x,x∈N+的值域是().A.RB.R+C.ND.{,,,…}3.某种细菌在培养过程中,每20 min分裂一次(一个分裂为两个),经过3 h,这种细菌由一个分裂为个.4.一种产品的成本原来是220元,在今后10年内,计划使成本每年比上一年降低20%,写出成本y(元)随经过年数x变化的函数关系式.正整数指数函数的概念下列表达式是否为正整数指数函数?(1)y=1x;(2)y=(-2)x;(3)y=3-x(x∈R);(4)y=e x(x∈N+).正整数指数函数的性质比较下面两个正整数指数函数的性质:(1)y=2x(x∈N+);(2)y=0.997520x(x∈N+).正整数指数函数的应用某种储蓄按复利计算利息,若本金为a元,每期利率为r,设存期是x,本利和(本金加上利息)为y元.(1)写出本利和y随存期x变化的函数关系式;(2)如果存入本金1000元,每期利率为2.25%,试计算5期后的本利和.函数y=(3a-2)x表示正整数指数函数应满足什么条件?某地区现有森林面积1万亩,为增加森林覆盖率,计划从今年起每年比上一年森林面积增长10%,求:(1)经过1,2,3,4,5年后森林面积分别是多少万亩;(2)森林面积y(万亩)与经过年数x的关系式,并根据图像说明其单调性.某地区2000年底人口为100万,人口平均每年增长率为1%,问2015年底该地区人口约为多少(单位:百万)?1.函数y=3x(x∈N+)().A.是增函数B.是减函数C.先增后减D.先减后增2.随着计算机技术的迅猛发展,电脑的价格不断降低,若每隔4年电脑的价格降低三分之一,则现在价格8100元的电脑12年后的价格可降为().A.2400元B.2700元C.3000元D.3600元3.若f(52x-1)=x-2,则f(125)= .4.已知集合A={m|正整数指数函数y=(m2+m+1)·()x,x∈N+},求集合A.对于五年可成材的树木,在此期间的年生长率为18%,以后的年生长率为10%,树木成材后,既可以售树木,重栽新树木,也可以让其继续生长,问:哪一种方案可获得较大的木材量?(只需考虑十年后的情形)(借助于计算器)考题变式(我来改编):答案第三章指数函数和对数函数第1课时正整数指数函数知识体系梳理问题1:(1)220=1048576 (分)≈1.049(万元)10万元(2)227=134217728(分)≈134.218(万元)10万元(3)310万元2000多万元问题2:y=a x(a>0,a≠1,x∈N+)N+问题3:(1)a×a×…×a(共n个,n∈N+)(2)1(3)问题4:y=a(1+r)x(x∈N+)基础学习交流1.D结合正整数指数函数的定义,选D.2.D注意x取正整数,值域是不连续的,故选D.3.512经过9次分裂,得到29=512(个).4.解:每年的成本是上一年的1-20%=80%.当x=1时,y=220×0.8;当x=2时,y=220×0.8×0.8=220×0.82;当x=3时,y=220×0.82×0.8=220×0.83;……所以y=220×0.8x(x∈N+,x≤10).重点难点探究探究一:【解析】(1)(2)底数不符合,要大于0且不等于1,(3)中y=3-x=()x,但定义域不符合,所以只有(4)为正整数指数函数.【小结】判断函数是否为正整数指数函数,应注意函数形式是否符合,特别还应看定义域是否为正整数集.探究二:【解析】列表比较如下:函数y=2x(x∈N+) y=0.997520x(x∈N+)图像定义域正整数集N+单调性增函数减函数图像特征一群孤立的点组成【小结】通过列表、描点画图,即可得到正整数指数函数的图像,由于定义域为正整数集,所以不需要连成光滑曲线,图像就是由一群孤立的点组成.探究三:【解析】(1)已知本金为a元,利率为r,则1期后的本利和为y=a+a×r=a(1+r),2期后的本利和为y=a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2,3期后的本利和为y=a(1+r)3,x期后的本利和为y=a(1+r)x,x∈N+,即本利和y随存期x变化的函数关系式为y=a(1+r)x,x∈N+.(2)将a=1000(元),r=2.25%,x=5代入上式,得y=1000×(1+2.25%)5=1000×1.02255≈1117.68(元),即5期后本利和约为1117.68元.【小结】在实际问题中,经常会遇到类似探究三中的指数增长模型:设原有量为N,平均增长率为p,则对于经过时间x后的总量y可以用y=N(1+p)x表示,我们把形如y=ka x(k∈R,a>0且a≠1)的函数称为指数型函数,这是非常有用的函数模型.思维拓展应用应用一:∵3a-2>0,且3a-2≠1,∴a>,且a≠1,x∈N+.应用二:(1)由计算器可计算经过1,2,3,4,5年后森林面积分别为:1.11=1.1;1.12=1.21;1.13=1.331;1.14=1.4641;1.15=1.61051.(2)经过x年森林面积为y,则y=1.1x(x∈N+),由图像可知函数为单调递增函数.应用三:由题意知,人口数y(百万)与经过年数x的关系式为y=1×(1+1%)x=1.01x(x∈N+),到2015年底经过15年,∴y=1.0115≈1.1610(百万).基础智能检测1.A2.A12年共降价3次,每次降价后的价格是原价格的,12年后价格降为8100×()3=2400(元).3.0令52x-1=125=53,得2x-1=3,x=2,所以f(125)=f(52×2-1)=2-2=0.4.解:由题意得m2+m+1=1,解得m=0或m=-1,∴A={0,-1}.全新视角拓展设新树苗的木材量为Q,则十年后有两种结果:①连续生长十年,木材量N=Q(1+18%)5(1+10%)5,②生长五年后重栽,木材量M=2Q(1+18%)5,则=,因为(1+10%)5≈1.61<2,所以>1,即M>N.因此,生长五年后重栽可获得较大的木材量.思维导图构建y=a x R+。

高中数学北师大版必修一导学案：3.1正整数指数函数【学习目标】1.知识技能目标了解正整数指数函数的概念、能画出一些简单的正整数指数函数的图像，了解它们的特征；2 .过程性目标通过自主探索，让学生经历“特殊T一般T特殊”的认知过程，完善认知结构，领会数形结合、分类讨论等数学思想方法。

3 .情感、价值观目标让学生感受数学问题探索的乐趣和成功的喜悦，体会数学的理性、严谨及数与形的和谐统一美，展现数学实用价值及其在社会进步、人类文明发展中的重要作用。

【学习重点】正整数指数函数的概念，函数图像的特征归纳。

【学习难点】函正整数指数数图像的特征。

【使用说明与学法指导】1. 通过阅读教材，自主学习，思考，交流，讨论和概括，完成本节课的学习目标。

2. 用红笔勾勒出疑点，合作学习后寻求解决方案。

3.带*号的为选做题。

【自主探究】1. 某种细胞分裂时，由一个分裂成2个，2个分裂成4个,，，这样的细胞分裂x次后，细胞个数y与x的函数关系式为：2. 某种商品的价格从今年起每年降低15%设原来的’价格为1, x年后的价格为y，则y与x的函数关系式为_________________ ;3. 正整数指数函数的概念：一般地，函数________________________________ 叫作正整数指数函数，其中___________ 是自变量，定义域是__________________________ .说明：1 •正整数指数函数的图像是_______________ ,这是因为______________________ .【合作探究】1.判断下列函数是否为正整数指数:网数.⑴尸歹0<EN+)(2)尸了—盟”⑶尸2X爭据EN+)(4)尸症咨T+)(通过练习，让同学们巩固所学的概念)2. 一种产品的成本原来是a元，在今后m年内，计划使成本每年比上一年降低y随经过年数变化的函数关系式。

P%,写出成本3.抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1 %,(A)6 次(B)7 次(C)8 次(D)9 次【巩固提高】1.某地区重视环境保护，绿色植被面积呈上升趋势，经过调查，现有森林面积为增长5 %，经过x年，森林面积为yhm2。

问题3 函数y=ax(a>0且a≠1)中,当a>1和0<a<1时,a的取值对 函数图像的影响有:当a>1时,底数越大,图像 上升 得越 快,在y轴的 右 侧,图像越靠近y轴;当0<a<1时,底数越小 ,图像 下降 得越快,在y轴的 左 侧,图像越靠近y轴.
问题4 指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图像与主要性质:
0.8-0.2;
②3.52.5 < 3.53.2.
【解析】①对于指数函数y=0.8x,在定义域R上是减函数, 又因为-0.1>-0.2,所以0.8-0.1<0.8-0.2.
②对于指数函数y=3.5x,在定义域R上是增函数, 又∵2.5<3.2,∴3.52.5<3.53.2.
指数函数的应用
设函数 f(x)= 4x .
函数值不存在. ③若 a=1,y=1x=1,是一个常量,没有研究的意义,只有
满足 y=ax(a>0,且 a≠1)的形式才能称为指数函数,a 为常
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数,像 y=2-3x,y=������������,y=xx,y=3x+5,y=3x+1 等等,不符合 y=ax(a>0 且 a≠1)的形式,所以不是指数函数.
富兰克林的遗嘱
美国著名的科学家本杰明·富兰克林一生为科学和民主 革命而工作,他死后留下的财产并不可观,大概只有一千英镑 ,令人惊讶的是,他竟留了一份分配几百万英镑财产的遗嘱! 这份有趣的遗嘱是这样写的:“……一千英镑赠给波士顿的 居民,如果他们接受了这一千英镑,那么这笔钱应该托付给一 些挑选出来的公民,他们得把这钱按每年5%的利率借给一些
第3课时 指数函数
1.了解指数函数模型的实际背景,理解指数函数的概念 和意义.

《指数函数》教学案例一、相关背景介绍指数函数是高中引进的第一个基本初等函数，因此，先让学生了解指数函数的实际背景，然后对指数函数概念的建立，函数图象的绘制及基本性质作初步的介绍。

课标要求理解指数函数的概念和意义，能借助计算机画出具体指数函数的图象，初步探索并理解指数函数有关的性质。

本节课属于新授课，通过引导，组织和探索，让学生在学习的过程中体会研究具体指数函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的的方法等，使学生能更深刻理会指数函数的意义和基本性质。

二、本节课教学目标1.知识与技能: (1)掌握指数函数的概念,并能根据定义判断一个函数是否为指数函数.(2)能根据指数函数的解析式作出函数图象,并根据图象给出指数函数的性质.(3)能根据单调性解决基本的比较大小的问题.2.过程与方法：引导学生结合指数的有关概念来理解指数函数概念，并向学生指出指数函数的形式特点，在研究指数函数的图象时，遵循由特殊到一般的研究规律，要求学生自己作出特殊的较为简单的指数函数的图象，然后推广到一般情况，类比地得到指数函数的图象，并通过观察图象，总结出指数函数当底分别是01a <<，1a >的性质。

3.情感、态度、价值观：使学生领会数学的抽象性和严谨性，培养他们实事求是的科学态度，积极参与和勇于探索的精神.4.重难点：(1)指数函数的定义、图象、性质(2)指数函数的描绘及性质三、课堂教学实录一.问题情景问题1.某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,…,一个这样的细胞分裂x 次以后,得到的细胞个数y 与x 有怎样的关系.问题2.有一根1米长的绳子,第一次剪去绳长的一半,第二次再剪去剩余绳子的一半,…,剪去x 次后绳子剩余的长度为y 米,试写出y 与x 之间的关系.二.学生活动1.思考问题1,2给出y 与x 的函数关系?2.观察得到的函数2x y =,12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭与函数2y x =的区别. 3.观察函数2x y =,12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与x y a =的相同特点.三.建构数学（用投影仪，把两个例子展示到黑板上）[师]:通过问题1,2的分析同学们得出y 与x 之间有怎样的关系[生1]:分裂一次得到2个细胞,分裂两次得到4(22=)个细胞,分裂三次得到8(32=),所以分裂x 次以后得到的细胞为2x 个,即y 与x 之间为y 2x =.[生2]:第一次剩下绳子的12,第二次剩下绳子的14(212=),第三次剩下绳子的18 (312=),那么剪了x 次以后剩下的绳长为12x 米,所以绳长y 与x 之间的关系为12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （学生说完后在屏幕上展示这两个式子）[师]:这两个关系式能否都构成函数呢?[生]:每一个x 都有唯一的y 与之对应,因此按照函数的定义这两个关系都可以构成函数.[师]:（接着把2y x =打出来）既然这两个都是函数,那么同学们观察我们得到的这两个函数y 2x =,12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在形式上与函数2y x =有什么区别.(引导学生从自变量的位置观察).[生]:前两个函数的自变量都在指数的位置上,而2y x =的自变量在底上.[师]:那么再观察一下y 2x =,12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与函数x y a =有什么相同点? [生]:他们的自变量都在指数的位置,而且他们的底都是常数.[师]:由此我们可以抽象出一个数学模型xy a =就是我们今天要讲的指数函数.（在屏幕上给出定义）定义:一般地,函数x y a =(0,1a a >≠)叫做指数函数,它的定义域是R .概念解析1:[师]:同学们思考一下为什么x y a =中规定0,1a a >≠?(引导学生从定义域为R 的角度考虑).（先把0a =，0a <，1a =显示出来，学生每分析一个就显示出一个结果）[生]:⑴若0a =,则当0x =时,00x a = 没有意义.⑵若0a <,则当x 取分母为偶数的分数时,没有意义.例如:12(2)-=⑶若1a =,则1x a =,这时函数就为一个常数1没有研究的价值了. 所以,我们规定指数函数的底0,1a a >≠.[师]:很好,请坐.我们既然知道了底的取值范围,那么看这样一个问题:问题１．已知函数(32)x y a =-为指数函数，求a 的取值范围．（屏幕上给出问题）[生]:由于32a -作为指数函数的底因此必须满足：232033210a a a a ⎧->>⎧⎪⇒⎨⎨-≠⎩⎪≠⎩ 即2|03a a a ⎧⎫>≠⎨⎬⎩⎭且 概念解析２:[师]:我们知道形如x y a =（0,1a a >≠）的函数称为指数函数．通过观察我们发现： ⑴x a 前没有系数，或者说系数为１．既1x a ⋅；⑵指数上只有唯一的自变量x ；⑶底是一个常数且必须满足：0,1a a >≠．那么，根据分析同学们判断下列表达式是否为指数函数？（在屏幕上给出问题２）问题2．⑴(0.2)x y =，⑵(2)x y =-，⑶x y e =，⑷1()3xy = ⑸1x y =，⑹23x y =⋅，⑺3x y -=，⑻22x x y +=[生１]:（答）⑴⑶⑷为指数函数．⑵⑸⑹⑺⑻不是．[生２]: 我不同意，⑺应该是指数函数，因为133xx y -⎛⎫== ⎪⎝⎭． [师]:很好，我们发现有些函数表面上不是指数函数，其实经过化简以后就变成了指数函数．所以不要仅从表面上观察，要抓住事物的本质．[师]:上面我们分析了指数函数的定义，那么下面我们就根据解析式来研究它的图象和性质．根据解析式我们要作出函数图象一般有哪几个步骤？[生]:（共同回答）列表，描点，连线． [师]：好，下面我请两个同学到黑板上分别作出2x y =，12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭和3x y =，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的函数图象．（等学生作好图并点评完以后，再把这四个图用几何画板在屏幕上展示出来）[师]:那么我们下面就作出函数：2x y =，12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 3x y =，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象[师]:通过这四个指数函数的图象，你能观察出指数函数具有哪些性质？（先把表格在屏幕上打出来，中间要填的地方先空起来，根据学生的分析一步步展示出来）[生１]:函数的定义域都是一切实数R ，而且函数的图象都位于x 轴上方．[师]:函数的图象都位于x 轴上方与x 有没有交点？随着自变量x 的取值函数值的图象与x 轴是什么关系？[生１]:没有．随着自变量x 的取值函数的图象与x 轴无限靠近．[师]:即函数的值域是：(0,)+∞．那么还有没有别的性质？[生２]:函数12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭、13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，函数2x y =、3x y =是减函数． [师]:同学们觉的他这种说法有没有问题啊？（有）函数的单调性是在某个区间上的，因此要说明是在哪个范围内．又110,123<<，12,3<那么上述的结论可以归纳为： [生２]:当01a <<时，函数x y a =在R 上是减函数，当1a >时，函数x y a =在R 上是增函数．[师]:很好，请做！（提问［生３］）你观察我们在作图时的取值，能发现什么性质？[生３]:当自变量取值为０时，所对的函数值为１．一般地指数函数x y a =当自变量x 取０时，函数值恒等于１．[师]:也就是说指数函数恒过点(0,1)，和底a 的取值没有关系．那么你能否结合函数的单调性观察函数值和自变量x 之间有什么关系？[生3]:由图象可以发现：当01a <<时，若0x >，则0()1f x <<；若0x <，则1()f x <.当1a >时，若0x >，则()1f x >；若0x <，则0()1f x <<.[师]:刚才是我们通过每个函数的图象得到共同的性质,那么同学们在观察函数图象之间有没有什么联系?[生4]: 函数2x y =与12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称,函数3x y =与13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称,所以是偶函数.(? ? ? ?)[师]:前面的结论是正确的,同学们说后面那句话对吗?[生]:(共同回答)不对,因为函数的奇偶性是对一个函数的,所以没有这个性质.[师]:由此我们得到一般的结论, 函数x y a =与xy a -=的图象关于y 轴对称.[师]:很好,那么我们把同学们刚才归纳的指数函数的性质综合起来,放到一张表格内.巩固与练习１根据指数函数的性质，利用不等号填空．（在屏幕上给出练习，让学生口答）⑴()345 0，⑵15- 0，⑶07 0，⑷()4249- 0，⑸()223 1，⑹()479- 1，⑺110- 1，⑻36 1．注：这部分知识主要考察了指数函数的值域和对性质：当01a <<时，①若0x >，则0()1f x <<②若0x <，则1()f x <；当1a >时①若0x >，则()1f x > ②若0x <，则0()1f x <<的应用．这个知识点是比较重要的部分在后面的比较大小中常常用到，所以在这个地方给出这样的一个巩固练习还是很有必要的．四.数学运用例1.比较大小⑴ 2.5 3.21.5,1.5 ⑵ 1.2 1.50.5,0.5-- ⑶0.3 1.21.5,0.8分析：［师］：前面我们讲了指数函数，好象和这个比大小没有关系．这几个也不是函数那怎么比较大小呢？先不考虑这个上面讲的性质哪个可以和大小联系起来呢？［生］：单调性和大小有关，我们可以借助于指数函数的单调性老考虑，要比较大小的两个数可以看成指数函数() 1.5x f x =当x 取2.5,3.2时对应的函数值，再根据() 1.5x f x =在(),-∞+∞是单调增的就可以比较大小了．即：解: ⑴考虑指数函数() 1.5x f x =.因为1.51>所以() 1.5x f x =在R 上是增函数.因为2.53.2<所以2.53.21.5 1.5<［师］：很好，充分运用了指数函数的性质．下面的两个小题请两个同学上来板书．也是利用指数函数的性质．⑵考虑指数函数()0.5x f x =.因为00.51<<所以() 1.5x f x =在R 上是减函数.因为1.2 1.5->-所以1.2 1.50.50.5--<⑶由指数函数的性质知0.301.5 1.51>=，而1.200.80.81<= 所以0.3 1.21.50.8>［师］：第⑵小题和⑴一样直接借助单调性即可解题，第⑶小题在考虑是就发现单调性不能直接应用，两个底不一样．但是借助一个中间变量１就可以把问题解决了．例2．⑴已知0.533x ≥，求实数x 的取值范围；⑵已知0.225x <，求实数x 的取值范围．解：⑴因为31>，所以指数函数()3x f x =在R 上是增函数．由0.533x ≥，可得0.5x ≥，即x 的取值范围为[)0.5,+∞ ⑵因为00.21<<所以指数函数()0.2x f x =在R 上是减函数，因为221250.25--⎛⎫== ⎪⎝⎭所以 20.20.2x -<由此可得2x >-，即x 的取值范围为()2,-+∞．五.回顾小结x y a =（0,1a a >≠），x R ∈）．要能根据概念判断一个函数是否为指数函数． ２．指数函数的性质（定义域、值域、定点、单调性）．３．利用函数图象研究函数的性质是一种直观而形象的方法，因此记忆指数函数性质时可以联想它的图象．教学反思：本节课较好地体现了以教师为主导，学生为主体，以知识为载体和以培养学生的思维能力，特别是研究问题能力为重点的教学思想。