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第五节 指数与指数函数
1．正整数指数函数
函数y ＝a x
(a ＞0，a ≠1，x ∈N ＋)，叫作正整数指数函数，其中x 是自变量，定义域是正整数集N ＋.
2．分数指数幂 (1)分数指数幂：
给定正实数a ，对于任意给定的整数m ，n (m ，n 互素)，存在唯一的正实数b ，使得b n
＝
a m ，我们把
b 叫作a 的m n 次幂，记作b ＝a m
n
.
(2)正分数指数幂：a m n
＝n
a m
(a ＞0，m 、n ∈N ＋，且n ＞1)． (3)负分数指数幂：a －m n
＝
1
a m n
＝
1
n
a m
(a ＞0，m 、n ∈N ＋，且n ＞1)．
(4)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义． 3．指数幂的运算性质
当a >0，b >0时，对任意实数m ，n ，都有： (1) a m a n ＝a m ＋n ；(2)(a m )n ＝a mn ；(3)(ab )n ＝a n b n .
y ＝a x
a ＞1 0＜a ＜1
图 像
定义域 R 值域
(0，＋∞) 性 质
(1)过定点(0,1)
(1)过定点(0,1) (2)当x ＞0时，y ＞1； x ＜0时，0＜y ＜1 (2)当x ＞0时，0＜y ＜1； x ＜0时，y ＞1 (3)在R 上是 增函数
(3)在R 上是 减函数
1.
n
a n＝a成立的条件是什么？
2．如图是指数函数(1)y＝a x，(2)y＝b x，(3)y＝c x，(4)y＝d x的图象，底数a，b，c，d 与1之间的大小关系如何？你能得到什么规律？
3．当a>0，且a≠1时，函数y＝a x，y＝a|x|，y＝|a x|，y＝⎝
⎛
⎭⎪
⎫1
a
x之间有何关系？
1．化简[(－2)6]
1
2
－(－1)0的结果为( )
A．－9 B．－10 C．9 D．7
2．化简
4
16x8y4(x<0，y<0)得( )
A．2x2y B．2xy C．4x2y D．－2x2y
3．函数f(x)＝3x＋1的值域为( )
A．(－1，＋∞) B．(1，＋∞) C．(0,1) D．[1，＋∞)
4．当a＞0且a≠1时，函数f(x)＝a x－2－3的图象必过定点________．
5．若指数函数f(x)＝(a－2)x为减函数，则实数a的取值范围为________．
考点一指数幂的化简与求值
[例1] 化简：(1)
a3b2
3
ab2
a
1
4
b
1
2
4a－
1
3
b
1
3
(a＞0，b＞0)；
(2)
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
－
27
8
－
2
3
＋(0.002)－
1
2
－10(5－2)－1＋(2－3)0.
【方法规律】
指数幂的运算规律
指数式的化简求值问题，要注意与其他代数式的化简规则相结合，遇到同底数幂相乘或相除，可依据同底数幂的运算规则进行化简，一般情况下，宜化负指数为正指数，化根式为分数指数幂．对于化简结果，形式力求统一．
计算：(1) 3
a
9
2
a－3
÷
3
a－7
3
a13； (2)(0.027)－
1
3
－
⎝
⎛
⎭⎪
⎫1
7
－2＋
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
2
7
9
1
2
－(2－1)0；
(3)已知m
1
2
＋m－
1
2
＝4，求
m
3
2
－m－
3
2
m
1
2
－m－
1
2
.
考点二指数函数的图象
[例2] (1)已知函数f(x)＝(x－a)·(x－b)(其中a>b)，若f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝a x＋b的图象是( )
A B C D
(2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．
【互动探究】
若将本例(2)中“|y|＝2x＋1”改为“y＝|2x－1|”，且与直线y＝b有两个公共点，求b 的取值范围．
解：
【方法规律】 指数函数图象的应用
(1)与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．
(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．
1．若函数y ＝a x
＋b －1(a ＞0且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则a 、b 的取值范围分别是________．
2．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x
－1|(a ＞0，a ≠1)的图象有两个公共点，则实数a 的取值范围为________．
高频考点
考点三 指数函数的性质及应用
1．高考常以选择题或填空题的形式考查指数函数的性质及应用，难度偏小，属中低档题． 2．高考对指数函数的性质的考查主要有以下几个命题角度： (1)比较指数式的大小； (2)解简单的指数方程或不等式； (3)求解指数型函数中参数的取值范围．
[例3] (1)(2012·天津高考)已知a ＝21.2
，b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－0.8，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关
系为( )
A ．c ＜b ＜a
B ．c ＜a ＜b
C ．b ＜a ＜c
D ．b ＜c ＜a
(2)(2014·宝鸡模拟)设偶函数f (x )满足f (x )＝2x
－4(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}＝( ) A ．{x |x ＜－2或x ＞4} B ．{x |x ＜0或x ＞4} C ．{x |x ＜0或x ＞6} D ．{x |x ＜－2或x ＞2}
(3)(2012·山东高考)若函数f (x )＝a x
(a >0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为
m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.
指数函数的性质及应用问题的常见类型及解题策略
(1)比较大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法．
(2)简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．
(3)指数型函数中参数的取值范围问题．在解决涉及指数函数的单调性或最值问题时，应
