2017_2018学年高中数学第三章指数函数和对数函数3_3指数函数学案北师大版必修1

学习目标 1.了解三种函数的增长特征。

2.初步认识“直线上升”“指数爆炸”和“对数增长”.3.尝试函数模型的简单应用．知识点一同类函数增长特点思考同样是增函数,当x从2变到3，y＝2x到y＝10x的纵坐标增加了多少？梳理当a〉1时，指数函数y＝a x是增函数,并且当a越大时,其函数值的增长就越快．当a>1时，对数函数y＝log a x是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．当x〉0，n>1时,幂函数y＝x n是增函数，并且当x〉1时，n越大其函数值的增长就越快．知识点二指数函数、幂函数、对数函数的增长差异思考当x从1变到10，函数y＝2x,y＝x2和y＝lg x的纵坐标增长了多少?梳理一般地，在区间(0，＋∞)上，尽管指数函数y＝a x(a>1）、幂函数y＝x n(n〉0)与对数函数y＝log a x（a〉1）都是增函数，但它们的增长速度不同,而且不在同一个档次上．随着x的增大，y＝a x（a>1)的增长速度越来越快，会远远超过幂函数y＝x n（n〉0)的增长速度，而对数函数y＝log a x（a>1）的增长速度越来越慢,因此总会存在一个x0，当x>x0时，就有________________________（a>1,n>0)．类型一根据图像判断函数的增长速度例1函数f（x)＝2x和g（x)＝x3的图像如图所示．设两函数的图像交于点A（x1,y1),B（x2，y2)，且x1〈x2。

(1）请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；（2)结合函数图像，判断f(6），g（6)，f(2 013)，g(2 013)的大小．反思与感悟判断函数的增长速度，一个是从x增加相同量时,函数值的增长量的变化；另一方面，也可从函数图像的变化,图像越陡，增长越快．跟踪训练1函数f(x)＝lg x，g(x)＝0。

3x－1的图像如图所示．(1）试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；(2)以两图像交点为分界点，对f(x),g(x)的大小进行比较．类型二函数增长模型的应用例2假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元;方案三:第一天回报0。

3.2.1 对数名师导航知识梳理一、对数与对数运算 1.对数的定义一般地，如果a x=N(a>0,a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作__________，其中a 叫做对数的__________，N 叫做对数的__________.对数恒等式为________________________________________. 2.对数的运算法则指数的运算法则： 对数的运算法则：（1）a m ·a n =a m+n;→ （1）______________;（2）n m aa =a m ·a -n =a m-n;→ （2）______________;（3）(a m )n=a mn;→ （3）_______________. 二、对数运算法则的证明 (学会证明方法)1.正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的_______________； log a (MN)=log a M+log a N. 设log a M=p,log a N=q,则a p =M,a q=N,∴MN=a p ·a q =a p+q.∴log a (MN)=p+q=log a M+log a N.2.两个正数的商的对数等于被除数的对数___________除数的对数；log a N M =log a M-log a N.∵N M =q p aa =a p-q,∴log aNM=p-q=log a M-log a N. 3.正数的幂的对数等于幂的底数的对数____________幂指数；log a (N n)=n ·log a N. 根据对数恒等式:Na a log =N,∴N n=(aalog N)n=Nn a alog •.∴log a (N n)=n ·log a N.4.正数的正的方根的对数等于被开方数的对数______________根指数. log anN n1=·log a N.∵n N =n N 1,∴由法则3得log a n N =log a nN 1=n1·log a N. 三、对数的性质1.__________和__________没有对数.因为a ＞0，所以不论b 是什么数，都有a b ＞0，即不论b 是什么数，N=a b永远是正数，这说明在相应的对数式 b=log a N 中真数N 永远是正数，换句话说负数和零没有对数. 2.1的对数是__________.因为a 0=1(a ＞0，且a ≠1)，所以根据对数的定义可得log a 1=0. 3.底数的对数等于__________.因为a 1=a ，根据对数的定义知log a a=1. 四、一组重要的对数公式——换底公式 1.log a b=abc c log log ,即有log c a ·log a b=log c b;2.log b a=ba log 1，即有log a b ·log b a=1；3.nmb a log =mnlog a b. 疑难突破如何将给出的对数式换成指定底数的对数？《考试大纲》要求知道用换底公式将一般对数转化成指定底数的对数.对数换底公式：log b N=bNa a log log (a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1，N ＞0)，推论：log a b=a b log 1，mn b a nm =log log a b.更特别地有log a a n=n.问题探究问题1 对数式与指数式有何关系？在对数符号log a N 中，为什么规定a ＞0，a ≠1，N ＞0呢？探究思路：对数的概念是这么说的：一般地，如果a(a ＞0且a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b=N ，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作log a N=b ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.从定义不难发现无论是指数式a b=N ，还是对数式log a N=b 都反映的是a 、b 、N 三数之间的关系. 在对数符号log a N 中，若a ＜0，则N 为某些值时，log a N 不存在，如log (-2)8不存在. 若a=0，则N 不为0时，log a N 不存在；N 为0时，log a N 可以为任何正数，不唯一.若a=1，则N 不为1时，log a N 不存在；N 为1时，log a N 可以为任何实数，不唯一.因此规定a ＞0且a ≠1.因为log a N=b ⇔a b=N ，在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因此N ＞0. 问题2 对于对数，除了对数的定义，还有对数的性质，你能说说这些相关的内容吗？ 探究思路：对数部分，我们首先应当掌握对数的意义，即对数式与指数式之间的对应关系.另外对于对数我们应该掌握一些常用的性质：如(1)log a 1=0(1的对数是0)； (2)log a a=1(底数的对数是1)； (3)aalog N=N(对数恒等式)；(4)log a N=aNb b log log (b ＞0且b ≠1)(换底公式)；(5)log a M+log a N=log a MN ； (6)log a M-log a N=log a NM ； (7)nlog a N=log a N n； (8)mn log a N=log a m N n. 以上各式均有条件a ＞0且a ≠1.问题3 初学对数运算性质，容易犯下面的错误：log a (M ±N)=log a M ±log a N ，log a (M ×N)=log a M ×log a N ，log aN M =NM a a log log ，log a N n =(log a N)n.应该如何解决呢？探究思路：首先应把握对数运算的本质特征，运算性质是把真数的乘、除、乘方降级为对数的加、减、乘运算，是降级运算；其次，对数记号log a N 整体上才有意义，不能误把对数符号当作表示数的字母进行运算. 典题精讲例1 (1)将下列指数式写成对数式： ①210=1 024；②10-3=10001； ③0.33=0.027；④e 0=1.(2)将下列对数式写成指数式： ①log 0.46.25=-2；②lg2=0.301 0； ③log 310=2.095 9；④ln23.14=x.思路解析 应用指数式与对数式的等价关系求解. 答案:(1)①log 21 024=10；②lg 10001=-3；③log 0.30.027=3；④ln1=0. (2)①0.4-2=6.25；②100.301 0=2；③32.095 9=10；④e x=23.14.例2 计算：log 2487+log 212-21log 242.思路解析 这是几个对数式的加减运算，注意到每个对数式是同底的，则可以利用同底数的对数的运算公式化为一个对数式.当然也可以反其道而行之，即把每个对数的真数写成积或商的形式，再利用积或商的对数的运算性质化为同底对数的和与差，然后进行约简.解法一：原式=21(log 27-log 248)+log 23+2log 22-21(log 27+log 22+log 23) =21log 27-21log 23-21log 216+21log 23+2-21log 27-21=-21. 解法二：原式=log 2(347×12×671⨯)=-21. 例3 求下列各式的值： (1)3log 3128-；(2)7lg20×(21)lg0.7； (3)log 2(1+32+)+log 2(1+32-)； (4)lg(5353-++).思路解析 (1)由幂的运算法则把其化成同底，用对数恒等式aalog N=N 化简计算.(2)通过取对数，先算出对数值，再求值.(3)运用对数运算法则化成一个对数，然后利用底数与真数的特殊关系求解. (4)运用对数运算法则巧去根号. 解答:(1)2722222)2(827log 27log 13log 31)3log 31(33log 3122222=====----. (2)设x=7lg20×(21)lg0.7，则lgx=lg20×lg7+lg0.7×lg(21)=(lg2+1)×lg7+(lg7-1)×(-lg2)=lg7+lg2=lg14， ∴x=14，即7lg20×(21)lg0.7=14. (3)log 2(1+32+)+log 2(1+32-)=log 2［(1+2)2-(3)2］=log 222=log 2232=23. (4)lg(5353-++)=21lg(5353-++)2=21lg(3+5+3-5+259-)=21lg10=21. 例4 已知11.2a=1 000，0.011 2b=1 000，那么a 1-b1等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 思路解析 本题有两种解题方法.解法一：用指数解.由题意11.2=a 11000，0.011 2=b11000， ∴两式相除得ba 111000-=0112.02.11=1 000.∴a 1-b1=1. 解法二：用对数解.由题意，得a ×lg11.2=3，b ×lg0.011 2=3， ∴a 1-b 1=31(lg11.2-lg0.011 2)=1. 答案:A例5 方程lg(4x +2)=lg2x+lg3的解是_____________.思路解析 把方程两边化为同底的对数式，然后比较真数得含有求知数的方程，解之即可.解:把两边化成同底的对数式为lg(4x +2)=lg(2x×3)，比较真数，得方程4x +2=2x×3，利用换元法，解得2x =1或2x=2. 所以x=0或x=1. 答案:x 1=0，x 2=1 知识导学 1.对数的概念在实际应用中，一定要注意指数式与对数式的等价性，即log a N=b a b=N. 2.换底公式一般地，我们称log a N=aNb b log log 为对数的换底公式.换底公式是对数中一个非常重要的公式，这是因为它是对一个对数进行变形运算的主要依据之一，是对数的运算性质.对数运算性质应用的前提是式子中对数的底相同.若底不同则需要利用换底公式化为底相同的.我们在应用换底公式时，一方面要证明它和它的几个推论；另一方面要结合构成式子的各对数的特点选择一个恰当的数作为对数的底，不要盲目地换底，以简化我们的解题过程. 3.常用对数与自然对数的概念有了对数的概念后，要求log 0.840.5的值，我们需要引入两个常用的对数：常用对数和自然对数.常用对数是指以10为底的对数；自然对数是指以e(e=2.718 28…，是一个无理数)为底的对数.有了常用对数和自然对数再利用对数的运算性质，我们就可以求log 0.840.5的值了. 4.对数恒等式 对数恒等式：Na alog =N.它的证明也很简单，只要紧扣对数式的定义即可证明. ∵a b=N ， ∴b=log a N. ∴a b=Na alog =N ，即Na a log =N.如5log 33=5、6log 44=6等.要熟记对数恒等式的形式，会使用这一公式化简对数式.疑难导析对数换底公式口诀：换底公式真神奇，换成新底可任意， 原底加底变分母，真数加底变分子. 问题导思指数式与对数式之间可以相互转化，它们之间可以理解为就像加法与减法一样的关系.后面我们会学习反函数，指数式与对数式之间的转化可以通过反函数进行. 这些常用的性质在指数运算中非常有用，需要记牢.有的性质可以用口诀来帮助记忆，比如，性质(5)(6)(7)可以这样来记： 积的对数变为加， 商的对数变为减，幂的乘方取对数， 要把指数提到前. 典题导考绿色通道 指数式与对数式之间的换算，就是利用log a N=b ⇔a b=N. 典题变式已知log a 2=m ，log a 3=n ，则a 2m-n=____________. 解答：∵log a 2=m ，log a 3=n ， ∴a m =2，a n=3.∴a 2m-n=3432)(222===nm n m a a a a . 绿色通道 解决求值问题一般有两种解法：一是将式中的真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则化为对数的和、差、积、商，即“化整为零”，然后合并、消项、化简求值；二是将式中的对数的和、差、积、商运用对数运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，即“化零为整”，然后“相约”，化简求值. 典题变式计算2log 525+3log 264-8log 71的值为( )A.14B.8C.22D.27 答案:C绿色通道 有关对数式的运算，除了要用到对数运算性质外，还要注意代数运算的其他性质的运用.如遇到不能直接运用对数运算法则进行运算的问题，有两种解决办法：一是取对数，先求出对数值，再求出真数的值，即为原式的值；二是运用对数恒等式aalog N=N 把任何正数N 化成含所需要的正数为底数的对数的一个幂，即可转化为用幂的运算法则和对数运算法则解决问题. 典题变式1.lg5lg8 000+(lg 32)2+lg0.06-lg6=______________.解答:原式=lg5(3+3lg2)+3lg 22+lg 606.0=3(1-lg2)(1+lg2)+3lg 22-2=3-2=1. 2.计算2lg5+32lg8+lg5·lg20+lg 22的值. 解答:原式=2lg5+2lg2+lg5(2lg2+lg5)+lg 22 =lg 25+2lg2·lg5+lg 22+2(lg5+lg2)=(lg5+lg2)2+2(lg5+lg2) =lg 210+2lg10 =1+2=3.绿色通道 因为指数与对数存在着互逆的运算关系，因而反映在具体问题中就一定从指数式、对数式两条思路分别运用幂的运算法则和对数运算法则解决问题.这就是对立统一的原则在具体思路上的指导和体现. 典题变式 已知a=lg(1+71)，b=lg(1+491)，试用a 、b 的式子表示lg1.4.答案:lg1.4=71(a-4b+1). 黑色陷阱 如果误以为原方程lg(4x+2)=lg2x+lg3可化为lg4x+lg2=lg2x+lg3，将导致解题错误.这也说明数学思维的严密性，如果百密一疏，则后悔莫及! 典题变式已知函数f(x)=⎩⎨⎧≤>,0,3,0,log 3x x x x 则f ［f(91)］的值是( )A.9B.91C.-9D.-91答案:B。

第2课时 对数的运算性质及换底公式 内 容 标 准学 科 素 养 1.掌握对数的运算性质，能运用运算性质进行对数的有关计算．2.了解换底公式、能用换底公式将一般对数化为自然对数或常用对数. 准确定义概念 熟练等价转化 提升数学运算授课提示：对应学生用书第52页[基础认识]知识点一 对数的运算性质预习教材P 80－82，思考并完成以下问题当m ＞0，N ＞0时，log a (M ＋N )＝log a M ＋log a N ，log a (MN )＝log a M ·log a N 是否成立？ 提示：不一定成立．知识梳理 对数的运算性质 条件 a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0性质 log a (MN )＝log a M ＋log a Nlog a M N＝log a M －log a N log a M n ＝n log a M (n ∈R )思考并完成以下问题(1)换底公式中的底数a 是特定数还是任意数？提示：是大于0且不等于1的任意数．(2)换底公式有哪些作用？提示：利用换底公式可以把不同底数的对数化为同底数的对数，便于运用对数的运算性质进行化简、求值．知识梳理log a b ＝log c b log c a(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0)． 2．用换底公式推得的两个常用结论：(1)log a b ·log b a ＝1(a ＞0，且a ≠1；b ＞0，且b ≠1)；(2)log am b n ＝n mlog a b (a ＞0，且a ≠1；b ＞0；m ≠0)． 知识点三 常用结论思考并完成以下问题结合教材P 81－82，例4和例5，你认为怎样利用对数的运算性质计算对数式的值？提示：第一步：将积、商、幂、方根的对数直接运用运算性质转化．第二步：利用对数的性质化简、求值．知识梳理 常用结论由换底公式可以得到以下常用结论：(1)log a b ＝1log b a； (2)log a b ·log b c ·log c a ＝1；(3)log an b n ＝log a b ；(4)log an b m ＝m nlog a b ； (5)log 1ab ＝－log a b . 思考：M ·N ＞0，则式子log a (M ·N )＝log a M ＋log a N 成立吗？提示：不一定成立．当M ＞0，N ＞0时成立；当M ＜0，N ＜0时不成立．2．换底公式一般在什么情况下应用？提示：(1)在运算过程中，出现不能直接用计算器或查表获得对数值时，可化成以10为底的常用对数进行运算．(2)在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能运用运算法则时，可统一化成以同一个实数为底的对数，再根据运算法则进行化简与求值．[自我检测]1．若a ＞0，a ≠1，x ＞0，y ＞0，x ＞y ，下列式子中正确的个数是( )①log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )；②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a ⎝⎛⎭⎫x y ＝log a x ÷log a y ； ④log a (xy )＝log a x ·log a y .A ．0B ．1C ．2D ．3解析：根据对数运算性质知4个式子均不正确，③应为log a x y＝log a x －log a y ，④应为log a (xy )＝log a x ＋log a y .答案：A2．(log 29)×(log 34)＝( ) A.14 B.12C ．2D ．4 解析：∵log 29×log 34＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝4. 答案：D3．若lg a 与lg b 互为相反数，则a 与b 的关系式为________．解析：∵lg a ＋lg b ＝0，∴lg(ab )＝0，∴ab ＝1.答案：ab ＝1授课提示：对应学生用书第52页探究一 利用对数的运算性质化简求值[例1] 计算下列各式的值：(1)lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18； (2)lg 27＋lg 8－3lg 10lg； (3)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2. [思路点拨] 灵活运用对数的运算性质求解． [解析] (1)法一：lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18 ＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.法二：lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18 ＝lg 14－lg ⎝⎛⎭⎫732＋lg 7－lg 18＝lg 14×7⎝⎛⎭⎫732×18＝lg 1＝0. (2)lg 27＋lg 8－3lg 10lg ＝lg (33)12＋lg 23－3lg 1012lg 3×2210＝32lg 3＋3lg 2－32lg 10lg 3＋2lg 2－1＝32(lg 3＋2lg 2－1)lg 3＋2lg 2－1＝32. (3)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.方法技巧 1.在应用对数运算性质时应注意保证每个对数式都有意义，应避免出现lg(－5)2＝2lg(－5)等形式的错误，同时应注意对数性质的逆用在解题中的应用．譬如在常用对数中，lg 2＝1－lg 5，lg 5＝1－lg 2的运用．2．对于底数相同的对数式的化简，常用的方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．3．对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．跟踪探究 lg 243lg 9的值． 解析：lg 243lg 9＝lg 35lg 32＝5lg 32lg 3＝52. 探究二 利用换底公式化简、求值[例2] 已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 312＝( )A.2a ＋b bB.2a ＋b aC.a 2a ＋bD.b 2a ＋b[思路点拨] 把log 312利用换底公式：log 312＝lg 12lg 3建立log 312同a ，b 的关系． [解析] ∵log 312＝lg 12lg 3＝lg 3＋lg 4lg 3＝lg 3＋2lg 2lg 3， 又lg 2＝a ，lg 3＝b ，∴log 312＝b ＋2a b.[答案] A延伸探究 把题设条件换成“log 23＝b a”试求相应问题． 解析：∵log 23＝b a， ∴log 312＝log 212log 23＝log 23＋2log 23＝b a ＋2b a＝b ＋2a b. 方法技巧 1.换底公式的主要用途在于将一般对数化为常用对数或自然对数，然后查表求值，解决一般对数求值的问题．2．换底公式的本质是化异底为同底，这是解决对数问题的基本方法．跟踪探究 2.(1)已知log 23＝a,3b ＝7，用a ，b 表示log 1256；(2)已知log 32＝a ，log 37＝b ，试用a ，b 表示log 28498. 解析：(1)∵3b ＝7，∴b ＝log 37.log 1256＝log 356log 312＝3log 32＋log 371＋2log 32＝3a ＋b 1＋2a＝3＋ab a ＋2. (2)∵log 32＝a ，log 37＝b ，log 28498＝log 3498log 328＝log 349－log 38log 34＋log 37 ＝2log 37－3log 322log 32＋log 37＝2b －3a 2a ＋b. 探究三 换底公式、对数运算性质的综合应用[例3] (1)设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y的值； (2)若26a ＝33b ＝62c ≠1，求证：1a ＋2b ＝3c. [思路点拨] 用对数式表示出x ，y ，a ，b ，c 再代入所求(证)式．[解析] (1)∵3x ＝4y ＝36，∴x ＝log 336，y ＝log 436，∴2x ＝2log 336＝2log 3636log 363＝2log 363＝log 369， 1y ＝1log 436＝1log 3636log 364＝log 364. ∴2x ＋1y＝log 369＋log 364＝log 3636＝1. (2)证明：设26a ＝33b ＝62c ＝k (k ＞0，且k ≠1)．则6a ＝log 2k ≠0,3b ＝log 3k ≠0,2c ＝log 6k ≠0.∴1a ＝6log 2k ＝6log k 2，1b ＝3log 3k＝3log k 3， 1c ＝2log 6k＝2log k 6， ∴1a ＋2b ＝6log k 2＋2×3log k 3＝log k 26＋log k 36＝log k 66＝6log k 6＝3c， ∴1a ＋2b ＝3c. 方法技巧 1.带有附加条件的对数式或指数式的求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则是化为同底的对数，以便利用对数的运算性质．要整体把握 对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式的互化．2．解对数方程时，先要对数有意义(真数大于0，底数大于0且不等于1)求出未知数的取值范围，去掉对数值符号后，再解方程，此时只需检验其解是否在其取值范围内即可．跟踪探究 ．(1)12(lg x －lg 3)＝lg 5－12lg(x －10)； (2)lg x ＋2log (10x )x ＝2；(3)log (x 2－1)(2x 2－3x ＋1)＝1.解析：(1)方程中的x 应满足x ＞10，原方程可化为lgx 3＝lg 5x －10， ∴x 3＝5x －10，即x 2－10x －75＝0.解得x ＝15或x ＝－5(舍去)，经检验，x ＝15是原方程的解．(2)首先，x ＞0且x ≠110， 其次，原方程可化为lg x ＋2lg x1＋lg x ＝2， 即lg 2x ＋lg xt ＝lg x ，则t 2＋t －2＝0，解得t ＝1或t ＝－2，即lg x ＝1或lg x ＝－2.∴x ＝10或x ＝1100. 经检验，x ＝10，x ＝1100都是原方程的解． (3)首先，x 2－1＞0且x 2－1≠1，即x ＞1或x ＜－1且x ≠±2.由2x 2－3x ＋1＞0，得x ＜12或x ＞1. 综上可知，x ＞1或x ＜－1且x ≠±2.其次，原方程可化为x 2－1＝2x 2－3x ＋1.∴x 2－3x ＋2＝0，∴x ＝1或x ＝2.又∵x ＞1或x ＜－1且x ≠±2，∴x ＝2.经检验，x ＝2是原方程的解.授课提示：对应学生用书第53页[课后小结]1．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用，逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．2．运用对数的运算性质应注意：(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质．(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用．[素养培优]忽略对数的真数为正致错易错案例：lg(x ＋1)＋lg x ＝lg 6易错分析：解对数方程时要注意验根，以保证所得方程的根满足对数的真数为正数，底数为不等于1的正数，否则得到的新方程与原方程不等价，产生了增根，考查概念、定义、数学运算的学科素养．自我纠正：∵lg(x＋1)＋lg x＝lg(x2＋x)＝lg 6，∴x2＋x＝6，解得x＝2或x＝－3，经检验x ＝－3不符合题意，∴x＝2.。

§6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较知识点三种函数类型的增长比较[填一填]在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝a x(a>1)，y＝log a x(a>1)，y＝x n(n>0)都是增(填“增”或“减”)函数，但它们的增长速度不同，而且在不同的“档次”上，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度越来越快，会超过并会远远大于y＝x n(n>0)的增长速度，而y＝log a x(a>1)的增长速度会越来越慢．因此，总会存在一个x0，当x>x0时，就有log a x<x n<a x.[答一答]怎样理解指数函数、幂函数、对数函数增长情况具有一定规律性？提示：一般地，对于指数函数y＝a x(a>1)和幂函数y＝x n(n>0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，a x会小于x n，但由于a x 的增长快于x n的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有a x>x n.同样地，对于对数函数y＝log a x(a>1)和幂函数y＝x n(n>0)，在区间(0，＋∞)上，随着x 的增大，log a x增长得越来越慢，图像就像是渐渐地与x轴平行一样．尽管在x的一定变化范围内，log a x可能会大于x n，但由于log a x的增长慢于x n的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有log a x<x n.综上所述，在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝a x(a>1)，y＝log a x(a>1)和y＝x n(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n>0 )的增长速度，而y＝log a x(a>1)的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个x0，当x>x0时，就有log a x<x n<a x.函数模型的选取：(1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型．(3)幂函数模型y＝x n(n>0)则可以描述增长幅度不同的变化，n值较小(n≤1)时，增长较慢；n值较大(n>1)时，增长较快．类型一函数增长快慢的比较【例1】试利用图像比较y＝x2和y＝2x的增长情况．【思路探究】应首先利用列表描点法画出函数图像，再通过图像比较其增长情况．【解】为观察到y＝x2和y＝2x的图像和全貌，便于比较其增长情况，列如下两表：对应表1的图像如图(1)．对应表2的图像如图(2)．由图(1)可以看到，y＝2x和y＝x2的图像有两个交点(2,4)和(4,16)．结合图像可得：当x ∈(0,2)时，2x>x2；当x∈(2,4)时，2x<x2；当x>4时，2x>x2.再结合图(2)可以发现，当自变量x 越来越大时，y＝2x的图像就像与x轴垂直一样，2x的值快速增长，x2比起2x来，几乎有些微不足道．规律方法(1)我们常把指数的这种快速剧增形象地称为“指数爆炸”．(2)在计算器或计算机中，1.10×1012常表示成1.10E＋12.(3)在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝a x(a>1)，y＝log a x(a>1)和y＝x n(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一“档次”上，随着x增长，y＝a x(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n>0)的增长速度，而y＝log a x(a>1)则增长会越来越慢，因此，总会存在一个x0，当x>x0时，就有log a x<x n<a x.在给出的四个函数y＝3x，y＝x3，y＝3x，y＝log3x中，当x∈(3，＋∞)时，其中增长速度最快的函数是(B)A．y＝3x B．y＝3xC．y＝x3D．y＝log3x解析：随着x的增大，函数y＝a x(a>1)的增速会远远超过y＝x n(n>0)的增速，而函数y ＝log a x(a>1)的增长速度最慢．故选B.类型二比较大小【思路探究】方法1：数形结合法．方法2：化为同底数的对数函数，利用对数函数的单调性来比较大小，不可化为同底数的，与0比较，或与1比较．【解】规律方法对于对数函数，当真数x>1时，在x轴上方或下方均有“底数越大，图像越偏下”；当真数0<x<1时，在x轴上方或下方均有“底数越大，图像越偏上”．反之由图像的位置也能确定底数的大小关系．四个数2.40.8,3.60.8，log0.34.2，log0.40.5的大小关系为(D)A．3.60.8>log0.40.5>2.40.8>log0.34.2B．3.60.8>2.40.8>log0.34.2>log0.40.5C．log0.40.5>3.60.8>2.40.8>log0.34.2D．3.60.8>2.40.8>log0.40.5>log0.34.2解析：∵y＝x0.8在(0，＋∞)上是增函数，又3.6>2.4>1，∴3.60.8>2.40.8>1.∵log0.34.2<log0.31＝log0.41<log0.40.5<log0.40.4＝1，∴log0.34.2<0<log0.40.5<1，∴3.60.8>2.40.8>log0.40.5>log0.34.2.类型三不同增长的函数模型的实际应用【例3】某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？【思路探究】某个奖励模型符合公司要求，即当x∈[10，1 000]时，能够满足y≤5，且yx≤25%，可以先从函数图像得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果．【解】借助计算器或计算机作出函数y＝5，y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图像(如图所示)．观察图像发现，在区间[10,1 000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的图像都有一部分在直线y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的图像始终在y＝5的下方，这说明只有按模型y ＝log7x＋1进行奖励时才符合公司的要求．下面通过计算确认上述判断．首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万．对于模型y＝0.25x，它在区间[10,1 000]上单调递增，当x∈(20,1 000]时，y>5，因此该模型不符合要求．对于模型y＝1.002x，由函数的图像，并利用计算器计算可知，在区间(805,806)内有一个点x0满足1.002x0＝5，由于它在区间[10,1 000]上单调递增，因此当x>x0时，y>5，因此该模型不符合要求．对于模型y＝log7x＋1，它在区间[10,1 000]上单调递增，而且当x＝1 000时，y＝log71 000＋1≈4.55<5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．再计算当x ∈[10,1 000]时，是否有y x ＝log 7x ＋1x≤0.25成立．令f (x )＝log 7x ＋1－0.25x ，x ∈[10,1 000]．利用计算器或计算机作出函数f (x )的图像如图所示，由图像可知它是单调递减的，因此f (x )<f (10)≈－0.316 7<0，即log 7x ＋1<0.25x .所以当x∈[10,1 000]时，log 7x ＋1x<0.25，说明按模型y ＝log 7x ＋1奖励时，奖金不会超过利润的25%. 综上所述，模型y ＝log 7x ＋1符合公司要求．规律方法 从这个例题我们看到，底数大于1的指数函数模型比一次项系数为正数的一次函数模型增长速度要快得多，而后者又比真数大于1的对数函数模型增长速度要快，从这个实例我们可以体会到对数增长，直线上升，指数爆炸等不同函数类型增长的含义．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位为：元/102kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：时间/t50 110 250 种植成本/Q 150 108 150(1)变化关系：Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b x ，Q ＝a ·log a t ；(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．解：(1)由提供的数据知道，描述西红柿的种植成本Q 与上市时间t 之间的变化关系的函数不可能是常数函数，从而用函数Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b x ，Q ＝a ·log a t 中任意一个进行描述时都应有a ≠0，而此时上述四个函数中有三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，所以，选取二次函数Q ＝at 2＋bt ＋c 进行描述．以表格所提供的三组数据分别代入Q ＝at 2＋bt ＋c 得到：⎩⎪⎨⎪⎧ 150＝2 500a ＋50b ＋c ，108＝12 100a ＋110b ＋c ，150＝62 500a ＋250b ＋c ，解上述方程组得a ＝1200，b ＝－32，c ＝4252. 所以，描述西红柿种植成本Q 和上市时间t 变化关系的函数为Q ＝1200t 2－32t ＋4252. (2)由(1)可知当上市t ＝150天时，种植成本为100元/102kg.——如何选择函数模型——指数函数型模型：f (x )＝ab x ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0，b >0，b ≠1)；对数函数型模型：f (x )＝m log a x ＋n (m ，n ，a 为常数，m ≠0，a >0，a ≠1，x >0)；幂函数型模型：f (x )＝ax n ＋b (a ，b ，n 为常数，a ≠0，n ≠1)．在解决实际问题时，我们要根据实际情况灵活选取函数的模型．(1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数型模型．(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数型模型．(3)幂函数型模型y ＝x α(α>0)可以描述增长幅度不同的变化，α值较小(α≤1)时，增长速度较慢；α值较大(α>1)时，增长速度较快． 【例4】 某皮鞋厂从今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双．由于产品质量好，款式新颖，前几个月的产品销售情况良好．为了推销员在推销产品时接受订单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量．厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人，假如你是厂长，将会采用什么办法估算以后几个月的产量？(注：幂函数型模型：y ＝a x ＋b ，指数函数型模型：y ＝ab x ＋c )【解析】 (幂函数型模型)设y 1＝a x ＋b ，将(1,1)，(2,1.2)两点的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，2a ＋b ＝1.2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ≈0.48，b ≈0.52，所以y 1＝0.48x ＋0.52.(指数函数型模型)设y 2＝ab x ＋c ，将(1,1)，(2,1.2)，(3,1.3)三点的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＋c ＝1，ab 2＋c ＝1.2，ab 3＋c ＝1.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－0.8，b ＝0.5，c ＝1.4，所以y 2＝－0.8×0.5x ＋1.4.将x ＝4分别代入上述函数关系式，求得第4个月产量：y 1＝1.48，y 2＝1.35.因此选用y ＝－0.8×0.5x ＋1.4估算以后几个月的产量．规律方法 利用函数图像或函数表是求解函数模型的常用方法，尤其在实际问题中，应用得更加广泛．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问：你会选择哪种投资方案？解：设第x 天所得回报是y 元，则方案一可用函数f 1(x )＝40(x ∈N ＋)进行描述；方案二可用函数f 2(x )＝10x (x ∈N ＋)进行描述；方案三可用函数f 3(x )＝0.4×2x －1(x ∈N ＋)进行描述．作出以上三个函数在[0，＋∞)上的图像，如图所示．由图像可知，每天所得回报，在第1～3天，方案一最多；在第4天，方案一、二同样多；在第5～8天，方案二最多；第9天开始，方案三最多．我们再看累计回报数，列表如下：从上表可知，投资7天以内(不含7天)，应选择第一种投资方案；投资7天，选择第一、二种方案均可；投资8～10天，应选择第二种投资方案；投资11天以上(含11天)，应选择第三种投资方案．一、选择题1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的是(A)A．y＝2x B．y＝x10C．y＝lg x D．y＝10x2解析：在指数函数y＝a x(a>1)，对数函数y＝log a x(a>1)和幂函数y＝x n(n>0)中，随着x 的增大，指数函数y＝a x(a>1)的函数值增长速度最快，呈“爆炸式”增长，故选A.2．当2<x<4时，2x，x2，log2x的大小关系是(B)A．2x>x2>log2xB．x2>2x>log2xC．2x>log2x>x2D．x2>log2x>2x解析：解法1：在同一平面直角坐标系中画出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x的图像，因为在区间(2,4)上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图像，所以x2>2x>log2x.(这种方法要求图像要比较精确，最好利用数学软件或图形计算器作图．)解法2：比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法．易知，当x＝3时，2x＝23＝8，x2＝32＝9，log2x＝log23<log24＝2，故x2>2x>log2x.二、填空题3．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：上述四个变量中仅有一个变量关于x呈指数型函数增长，则该变量是y2.解析：根据表格中数据可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从5开始变化，其中变量y4的值随变量x的增长越来越小，故变量y4不关于x呈指数函数增长，变量y1，y2，y3的值都随变量x的增长越来越大，其中变量y2的值增长速度最快，所以变量y2关于x呈指数型函数增长．4．函数y＝3x与y＝x3的交点个数为2.解析：作出两函数图像知在第一象限有两个交点，但随着x增大，3x的值总大于x3的值，再无交点，∴共有2个．三、解答题5．已知f(x)＝log a(a x－1)(a>0且a≠1)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的单调性并证明．解：(1)由a x－1>0得a x>1，∴当a>1时，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)；当0<a<1时，函数f(x)的定义域为(－∞，0)．(2)当a>1时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数；当0<a<1时，f(x)在(－∞，0)上是增函数．证明如下：。

3.2.1 对数自我小测1．如果lg2＝a ，lg3＝b ，则lg12lg15等于________． 2．下列结论中，正确的序号是________． ①lg2·lg3＝lg5；②lg 23＝lg9；③51log 2152=；④若log a M ＋N ＝b ，则M ＋N ＝a b(a ＞0且a ≠1)；⑤若log 2M ＋log 3N ＝log 2N ＋log 3M ，则M ＝N .3．(1)已知log a 2＝m ，log a 3＝n (a ＞0且a ≠1)则a 2m －n＝________；(2)若a ＞0，2349a =，则23log a =________； (3)若5lg x＝25，则x ＝________.4．已知lg(log 2x )＝0，7312log [log (log )]0y =，则log x y ＝________.5．已知log 7log 56m m a =，log n 8＝b log n 56(m 、n ＞0且m ≠1，n ≠1)，则a ＋b ＝________，17a=________.6．(1)已知11.2a＝1 000,0.011 2b＝1 000，则11a b-=________. (2)若2a＝5b＝10，则11a b+=________. 7．求下列各式的值：(1)2log 525＋log 264－2 011log π1； (2)log 155·log 1545＋(log 153)2；(3)375111log log log 258149⋅⋅； (4)lg 20lg0.717()2⨯；(5)2lg5lg8000lg0.06lg6⋅++-； (6)28393(log 3log 9)(log 4log 8log 2)+++．8．2010年我国国民生产总值为a 亿元，如果年平均增长8%，那么经过多少年后国民生产总值是2010年的2倍？(lg2≈0.301 0，lg3≈0.477 1，lg1.08≈0.033 4，精确到1年)参考答案1.21a bb a++- 解析：∵lg2＝a ，lg3＝b ，∴lg12lg3lg 4lg32lg 22.lg15lg3lg5lg31lg 21a bb a+++===++-+- 2．③⑤ 解析：由对数的运算性质知①②错；由对数恒等式知③正确；当log a (M ＋N )＝b 时，有M ＋N ＝a b，∴④错；由log 2M ＋log 3N ＝log 2N ＋log 3M ，得log 2M －log 2N ＝log 3M －log 3N ，即23log log M M N N =，上式只有当1M N=，即M ＝N 时成立，∴⑤正确． 3．(1)43(2)3 (3)100 解析：(1)∵log a 2＝m ，log a 3＝n ，∴a m ＝2，a n＝3. ∴()22224.33m mm nn na a aa a -==== (2)法一：∵a ＞0，2349a =，∴42log .93a =∴222log .33a=，即21log .33a =，∴231log 3.2log 3aa ==法二：∵a ＞0，22342.93a ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴22322332log log 23a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴232log 23a = ∴23log 3a =(3)∵5lg x ＝25＝52.∴lg x ＝2，x ＝102＝100.4．－3 解析：∵lg(log 2x )＝0，∴log 2x ＝1，∴x ＝2，又∵7312log log log 0y ⎡⎤⎛⎫=⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴312log log 1y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴12log 3y =，∴31128y ⎛⎫== ⎪⎝⎭.∴3221log log log 238x y -===-.5．1 56 解析：由换底公式得56log 7log 7log 56m m a ==.56log 8log 8log 56n n b ==，∴a ＋b ＝log 567＋log 568＝log 5656＝1. ∵log 567＝a ，∴71log 56a=. ∴7log 5617756a==. 6．(1)1 (2)1 解析：(1)法一：用指数解：由已知得111.21000a=.10.01121000b =，两式相除得：1111.2100010000.0112a b-==，∴111a b-=. 法二：用对数解．由题意，得a ×lg11.2＝3，b ×lg0.011 2＝3，∴()111lg11.2lg 0.011213a b -=-=. 法三：综合法解．∵11.2a＝1 000,0.011 2b＝1 000，∴a ＝log 11.21 000，b ＝log 0.011 21 000.∴100010001000100011.20.0112111111.2log 11.2log 0.0112log log 10001log 1000log 10000.0112a b -=-=-=== (2)法一：由2a＝5b＝10，得a ＝log 210，b ＝log 510， ∴251111lg 2lg5lg101log 10log 10a b +=+=+==. 法二：对已知条件的各边取常用对数，得a lg2＝b lg5＝1，∴1lg 2a =，1lg 5b=， ∴11lg 2lg 5lg101a b+=+==. 7．解：(1)原式＝2log 552＋log 226－2011×0＝4＋6－0＝10.(2)原式＝log 155(1＋log 153)＋(log 153)2＝log 155＋log 153(log 155＋log 153)＝log 155＋log 153＝log 1515＝1.[或原式＝(1－log 153)(1＋log 153)＋(log 153)2＝1－(log 153)2＋(log 153)2＝1](3)原式111lglg lg2lg 54lg 32lg 7258149lg 3lg 7lg 5lg 3lg 7lg 5---=⋅⋅=⋅⋅＝(－2)×(－4)×(－2)＝－16.(4)设lg0.7lg20172x ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，则1lg lg 20lg 7lg 0.7lg 2x =⋅+⋅＝(1＋lg2)lg7＋(lg7－1)(－lg2)＝lg7＋lg2＝lg14.∴x ＝14，即lg0.7lg2017142⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭.(5)原式＝(1－lg2)(3＋3lg2)＋3lg 22＋lg6－2－lg6＝3(1－lg2)(1＋lg2)＋3lg 22－2＝3(1－lg 22)＋3lg 22－2＝3－2＝1.(6)原式2233323235915log 3log 32log 2log 2log 2log 3log 232322⎛⎫⎛⎫=+++=⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 8．解：设经过x 年后国民生产总值是2010年的2倍．经过1年，总产值为a (1＋8%)，经过2年，总产值为a (1＋8%)2，……经过x 年，总产值为a (1＋8%)x.由题意得a (1＋8%)x＝2a ，即1.08x＝2.方法一：两边取常用对数，得lg1.08x＝lg2，即()lg 20.30109lg1.080.0334x =≈≈年．方法二：用换底公式．∵1.08x＝2，∴ ()1.08lg 2log 29lg1.08x ==≈年．答：约经过9年，国民生产总值是2010的两倍． 百尺竿头解：(1)∵18b＝5，∴log 185＝b ，又∵log 189＝a ，∴log 182＝1－log 189＝1－a . ∴18181836181818log 45log 5log 9log 45log 36log 18log 2112a b a ba a+++====++--. 2)∵log a 8＋log 2a ＝4，∴3log a 2＋log 2a ＝4，∴222log 4log 30a a -+=， ∴(log 2a －1)(log 2a －3)＝0，即log 2a ＝1或log 2a ＝3，∴a ＝2或a ＝8. ①当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3是偶函数；当a ＝8时，f (x )＝x 8＋3也是偶函数． ∴f (x )是偶函数．②当a ＝2时，原式23lg 27lg 643lg36lg 2log 27log 6418lg 2lg3lg 2lg3=⋅=⨯=⨯=；当a ＝8时，原式83lg 27lg 643lg36lg8log 27log 646lg8lg3lg8lg3=⋅=⨯=⨯=. ③∵g (x )＝2x或g (x )＝8x，且2与8都大于1，∴g (x )＝a x在R 上是单调增函数．。

3．5．2．对数函数的图像与性质（1）[教学目标]1、知识与技能（1）由前面学习对数函数的图像与性质的基础上,进一步应用对数函数的图像和性质解答问题．（2）会利用指数函数对数函数的图像研究对数函数的性质．（3）能够理解指数函数的图像和性质与对数函数的图像与性质之间的关系． 2、 过程与方法 （1）让学生掌握指数函数的图像与对数函数的图像之间的关系,会利用它们的对称关系, 熟练地进行画图．（2）学会类比研究问题,利用数性结合的思想研究函数的性质． 3、情感．态度与价值观使学生通过学习对数函数,了解指数函数与对数函数图像和性质之间的关系．在学习的过程中体会类比、转化、数形结合的方法研究问题．直观明了,增强学习对数函数的积极性和自信心．[教学重点]: 对数函数的图像和性质以及与指数函数图像与性质之间的关系． [教学难点]：对数函数图像与性质与指数函数的图像与性质之间的关系． [课时安排]: 2课时[学法指导]：学生思考、探究． [讲授过程] 【新课导入】 [互动过程1]复习:1．对数函数a y log x(a 0,a 1)=>≠分别就其底数a 1>和0a 1<<这两种情况的图像和性质:（0，+∞）（0，+∞）y<0 :1．在同一直角坐标系中画出下列函数的图像211323(1)y log x;(2)y log x;(3)y log x;(4)y lo g x;(5)y lg x=====2．求下列函数的定义域:31(1)y log (2)y ln4x==-解:（10>,即x 2>,所以函数3y log ={x |x 2}>;（2）因为104x >-,即x 4<,所以函数1y ln4x=-的定义域为{x |x 4}< 3．比较下列各题中两个数的大小:(1)lg 0.3,lg 0.4; 0.50.5(2)log 3,log 0.23(3)log e,ln 3; a a (4)log 0.9,log 1.2(a 0,a 1)>≠解: （1）因为10>1,函数y lg x =是增函数,0．3<0．4,所以lg0.3lg0.4;> （2）因为0．5<1,函数0.5y log x =是减函数,3>0．2,所以0.50.5log 3log 0.2<; （3）因为函数3y log x =是增函数,e 3<,所以33log e log 31<=,同理1lne ln3=<,所以3log e ln 3;<（4）当a 1>时,函数a y log x =在(0,)+∞上是增函数,此时, a a log 0.9log 1.2<, 当0a 1<<时,函数a y log x =在(0,)+∞上是减函数,此时, a a log 0.9log 1.2> [互动过程2]观察在同一坐标系内函数2y log x =与函数xy 2=的图像，分析它们之间的关系． 解:从图上可以看出点P （a,b ）与点Q （b,a ）关于直线y=x 对称,函数2y log x =与函数xy 2=互为反函数,对应于函数2y log x =图像上任意一点P （a,b ）,P 关于直线y=x的对称点Q （b,a ）总在函数x y 2=的图像上,所以,函数2y log x =的图像与函数xy 2=的图像关于直线y=x 对称．[结论]:一般地,函数y f (x)=的图像和它的反函数的图像关于直线y=x 对称． [互动过程3]1．根据表中的数据（精确到0．01）,画出函数2y log x =,3y log x =5y log x =的图像,并观察图像,说明三个函数图像的相同与不同之处．2．对数函数a y log x =,当底数a>1时,a 的变化对函数图像有何影响?3．仿照前面的方法,请你猜想,对数函数a y log x =当0<a<1时, a 的变化对函数图像有何影响? 4．练习:1[实际应用]人们早就发现放射性物质的衰减现象,在考古工作中,常用14C 的含量来确定有机物的年代．已知放射性物质的衰减服从指数规律:rt0C(t)C e-=,其中t 表示衰减的时间,0C 表示放射性物质的原始质量,C(t)表示经衰减了t 年后剩余的质量． 为计算衰减的年代,通常给出该物质质量衰减一半的时间,称其为该物质的半衰期,14C 的半衰期大约是5730年,由此可确定系数r,人们又知道,放射性物质的衰减速度与其质量成正比的．1950年在巴比伦发现一根刻有Hammmurbi 王朝字样的木炭,当时测定,其14C 分子的衰减速度为4．09个/（g ·min ）,而新砍伐烧成的木炭中14C 的衰减速度为6．68个/（g ·min ）,,请估算出Hammmurbi 王朝所在的年代．解:因为14C 的半衰期大约是5730年,所以建立方程5730r 1e 2-=,解得r 0.000121=,由此可知14C 的衰减规律服从指数型函数0.000121t0C(t)C e-=设发现Hammmurbi 王朝字样的木炭的时间（1950年）为0t 年,因为放射性物质的衰减速度与其质量成正比的,所以00C(t ) 4.09C 6.68=,所以0.000121t4.09e 6.68-=,两边取自然对数,得00.000121t ln 4.09ln 6.68-=-,解得0t 4054≈（年）．即Hammmurbi 王朝所在的年代大约在公元前2100年．课堂小结:1．互为反函数的图像之间的关系．2．对数函数a y log x =,当底数a>1时和当0<a<1时, a 的变化对函数图像有何影响? 3．指数函数、对数函数在考古中的应用． 作业:习题3-5 B 组1,2,3,4。

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3。

4．2 换底公式1. 能推导出对数的换底公式．（重点)2. 会用对数换底公式进行化简与求值．（难点、易混点)［基础·初探]教材整理换底公式阅读教材P83～P86有关内容，完成下列问题．换底公式:log b N＝错误!(a,b＞0，a，b≠1,N＞0)．特别地，log a b·log b a＝1，log b a＝．1. 判断（正确的打“√”，错误的打“×”）(1）log a b＝lg blg a＝错误!。

（)(2）log52＝错误!。

（)(3)log a b·log b c＝log a c．( ）【答案】(1)√（2）×（3）√2. （log29)·(log34）＝（）A。

错误! B.错误!C．2 D．4【解析】法一：原式＝错误!·错误!＝错误!＝4。

法二：原式＝2log23·错误!＝2×2＝4.【答案】D［小组合作型］利用换底公式化简求值计算：(1）log1627log8132；（2）已知log23＝a，log37＝b，用a，b表示log4256.【精彩点拨】在两个式子中，底数、真数都不相同，因而要用换底公式进行换底以便于计算求值．【尝试解答】(1)log1627log8132＝错误!×错误!＝错误!×错误!＝错误!×错误!＝错误!.(2)∵log23＝a，则错误!＝log32,又∵log37＝b，∴log4256＝log356log342＝错误!＝错误!.1. 换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如a n为底的换为a为底．2。

3.1.1指数函数名师导航知识梳理1.基础知识图表2.指数函数的定义函数________ (a>0且aHl)叫做指数函数•定义中对a>0且aHl的规定，是为了保证定义域为实数集，且具有单调性.(1)如果沪0,当x>0时，『恒等于0；当xWO时，『无意义；(2)如果a〈0,比如y=(-4)x,对x=-,-等都无意义;2 4(3)如果沪1,则y二1匚1是一个常数，对它没有研究的必要•此时,y=a x的反函数不存在，且不具有单调性；(4)对于无理数指数幕，过去学过的有理数指数幕的性质和运算法则都适用；1(5)像y=2・3：y二2；, y=3x+4等函数都不是指数函数，要注意区分.3.指数函数的图象和性质4.关于函数的图象和性质，需注意的儿个问题(1)单调性是指数函数的重要性质，特别是由函数图象的无限伸展，x轴是函数图象的渐近线. 当0<a<l 时，x-*+°°, yf 0；当3>1.时，X-*-8, yf 0,当Q1时，a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快；当0<贰1时，a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度越快.(2)熟悉指数函数y=10x, y=2\ y=(丄)；y=(丄广在同一直角坐标系中的图象的相对位置,由2 10此掌握指数函数图象的位置与底数大小的关系.(3)证明指数函数y=a x (a> 1)是增函数.证明：当a>l 时,任取Xi、X2^R, X I<X2.则=。

(七-®)+" = Q('D).・.・ X2>x】，a>l,.:>1.又・・・沪>0,・・・a Xi>a Xi.・・・a Xi>a Xi.从而指数函数y=a(a>l)在R上是增函数.(4)注意儿个熟悉的指数函数图象的平移变换和对称变换，而得到相关函数的图象.疑难突破为什么在指数函数的定义中限定底数的范围为a>0且aHl?(1)若a=0,则当x〉0时，a x=0；当xWO时，『无意义.(2)若a<0,则对于x的某些数值，可使a31无意义.如(-2)%这时对于x二丄，x二丄，…，在4 2实数范围内函数值不存在.(3)若沪1,则对于任何xER, a x=l,是一个常量,没有研究的必要性.为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a^l.在规定以后，对于任何xGR,『都有意义，且a x>0.问题探究问题1我们是怎么研究指数函数的性质的？探究思路：我们是通过研究指数函数的图象特征来研究指数函数的性质的.函数的图象特征与函数性质存在着一定的对应关系.问题2在同一个坐标系中画出下列各幣数的图象：®y=2x；②y二5、③y=(-)x；④y=(—)x.5 2观察四个函数图彖，看它们有何特点？你能从中总结出一般性结论吗？探究思路:指数函数y=a(a>0且aHl)恒过两个点(0, 1)和(1, Q•这四个函数都经过(0,1),又分别经过(1, 2)、(1, 5)、(1,丄)、(1,丄).再由函数的单调性就可以画出四个函5 2数的大致图彖(如下图)•根据图彖可知函数①与④、②与③分别关于y轴对称.问题3对于指数函数y=a (a> 0且aHl),有人总结出其底数Q越接近1,其图象就越接近直线y二1,你认为该结论成立吗？探究思路：要说明该结论的正确性，我们可通过例子来验证.我们可在同一坐标系屮分别作出函数y=2\ y二和y二尸的图象(如下图所示)，根据图彖能看出该结论是正确的.典题精讲例1将三个数1.50 2, 1.30 7,(一尸按从小到大的顺序排列.2 2 - 2 2 思路解析先比较1.5也即(土和(土)3的大小，考察指数函数y =(-)\由于底数土在3 3 3 32 1 I 2 区间(0,1)内，所以指数函数y=(-)x在(-oo,+oo)上是减函数.故由0. 2=-<-得1>(土严3 5 3 32 ->(-)3 .另一方面，由于1.3>1, y=1.3x在(-8, +8)上是增函数，由0.7>0,得1.3°7>1.2 -所以(-)3<1.5-°-2<1.3°-7.2 -答案：(-)3<1.5°-2<1.30-7.例2求下列函数的定义域与值域:I(l)y二2百；⑵y二(丄)叫3(3) y 二生+2叫1；⑷y二2*】.思路解析(1)因为指数函数尸，的定义域为xeR吋，值域为ye(o, +s)；若xHO,贝iJyHl；— 1由于y= 2-t_3屮的---- H0,所以y工2°二1；x ~3所以所求函数的定义域是｛x|xeR且xH3｝,值域为｛y|y> 0且y Hl｝.⑵因为y=(-)lxl^ 的|x|$0,3所以xGR, OVyWl.所以所求函数的定义域为R,值域为｛y |OVyWl｝.(3)将已知函数整理成y=4x+2xH+l=(2x)2+2(2x)+l=⑵+1)1由此可知定义域为R，值域为｛y|y>l).由h"；所以定义域为｛x|x>l｝,值域为｛y|y>l｝. 答案：(1)定义域为｛x|xWR且xH3｝,值域为｛y|y>0且yHl｝.(2)定义域为R,值域为｛y|OVyWl｝・(3)定义域为R,值域为｛y|y>l｝.(4)定义域为｛x|x>l｝,值域为｛y|y>l｝.H• 2 * — \ — ci例3若函数尸一为奇函数，2' -1(1)确定a的值；(2)求函数的定义域；(3)求函数的值域；(4)讨论函数的单调性.思路解析先将函数~ 化简为y=a-—・2V-1 2V-1解答：⑴由奇函数的定义，可得f(-x)+f(x)=O,即a-—X-—一一二0,2—1 2r-l\-T2a+ -------- 二0・l-2r 1•・a二一—•2mi HO.・・・函数y二-丄- —的定义域为｛x | xHO｝.2 2V-1(3)方法一：(逐步求解法)TxHO,T2TH0,/.0>2-1>-1 或2-1 >0.•丄丄>丄丄丄〈丄2 2”-1 2’ 2 2”-1 2 即函数的值域为｛y I y>丄或y V-丄｝.2 211 1 1 y~2方法二：(利用有界性)由y二H-—，可得2空一g22X-1 2 」1y~2i iV2x>0, ••-—— >0•可得Y>—或y<-一，I 2 2J+2 即函数的值域为｛y|y>丄或yV-丄｝.2 21 ］2 V, - 2X2(4)当x>0 时，设0<xi<X2,贝yi~y2= ------------------------- = ----------------------- .2七-1 2" -1 (2勺_1)(2“ _1)V0<xi<X2»1<2X,<2X2.A 2Xl-2X2 <0, 2Vl -l>0, T1 -l>0.•*.yi-y2<0.因此y—在(0, +8)上递增.2 2X-1同样可以得出y—在(-8, 0)上递增.2 2r-l例4如果函数y=a2x+2a x-l (a>0且aHl)在［-1, 1］上有最大值14,试求a的值.思路解析将原函数看成是二次函数和指数函数合成的复合函数，利用相应函数的性质及复合函数的单调性解题.可采用换元法.解答:设t=a x,则原函数可化为y=(t+l)2-2,对称轴为t=-l.⑴若a>l, VxE ［-1, 1］,-1V — W t W a.a*.• t=a x在［-1, 1］上递增，.\y=(t+l)2-2 当tw ［丄，a］时也递增.a・••原函数在［-1,1］上递增.故当x=l 时,y«x=a2+2a-l.由a2+2a-l=14,解得a=3 或a二-5(舍去，因a>l).(2)若1>8>0,可得当x=T 吋，畑.*=注2+2『-1二14,解得沪丄或a二-丄(舍去).3 5综上，a二一或3.3例5定义在R上的函数y=f(x), f(0)H0,当x〉0时，f(x)>l,且对任意的a、beR,有f (a+b) = f (a) • f(b).(1)证明f(0)=l；(2)证明对任意的xeR,恒有f(x)>0；(3)证明函数y=f (x)是R上的增函数.思路解析本题抽象函数的原型函数即为指数函数，可借助尸旷理清解答的思路和方法. 证明：⑴取a=b=0,则f (0)=f2(0).•・・f(O)HO,A f (0)=1.(2)当x$0 吋，f(x)>l>0 成立, 当x<0 时,-x>0, f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=l,・・・f(x)二一1—>0./(-兀)AxeRO寸，恒有f (x)>0.⑶证法一：设X K X2,则x2-xi>0.f (x2) =f(X2-X1+X1) =f(X2-X1) • f(Xi).*.* X2~Xi>0,f(X2-X1) >1.又f(X1)>O,f(X2-X1) • f(Xi)>f(Xi).A f (x)是R上的增函数.证法二：也可以设X2=Xi+t (t>0), f (x2) = f(Xi+t) =f(X1) • f (t) >f(Xi).或者设g,则竺2 "2)•心人如M〉］./(州)f(x}) • /(-%!) /(0)又f (xi)>0, f (x2)>0,.*.f (x2) >f(Xi).知识导学1.指数函数的底数指数函数作为指数运算的扩展而成为高中研究的重点函数之一，其中难点主要体现在由于底数的范围不同而造成的性质的不同，故在解决某些问题时应充分注意底的范围，视不同情况给予不同的对待.2.指数函数的图象和性质(1)作指数函数图象的方法：一般用描点法，即通过列表、描点、连线的方法作11!指数函数的图象.比较大小是指数函数性质应用的常见题型.当底数相同时，直接比较指数即可；当底数和指数不同时，要借助于中间量进行比较•不同类的函数值的大小常借助中间量0、1等进行比较.4.指数函数的应用指数函数的应用主要体现在利用指数函数值的大小，结合其他函数形成的复合函数的单调性、值域等问题上，解决这些问题应充分考虑底的范围对函数性质的影响，并熟记函数的图象特征和性质，以免混淆.5.指数函数的图象和性质分别从形和数两个方而对指数函数加以剖析，因此在考查指数函数的题目中有关数形结合的思想有着广泛的应用.6.在学习有关指数函数的性质吋，可以借助《几何画板》等信息技术来绘制指数函数的图象, 并对其中的一些参数设置变化，动态地來理解指数函数的性质和特点.疑难导析在指数函数的定义中限定底数的范围为a>0且aHl,这主要是使函数的定义域为实数集，且具有单调性.因此指数函数的定义域为R,值域为(0,+8).问题导思函数图象的左右范围，对应着函数的定义域；函数图象的上下范围，对应着函数的值域; 函数图象关于y轴或原点的对称性，对应着断数的奇偶性；函数图象在某一段上自左而右表现的上升或下降趋势，对应着函数的单调性.由此我们还能得出如下结论：(1)一般地，指数函数y=a x(a>0且aHl)与y=a~x(a>0且&H1)的图象关于y轴对称.(2)在y轴的右侧，由下向上函数图象相应的底数由小变大(可简记为“右侧底大图高”)；在y 轴的左侧，由上向下图象相应的底数由小变大(简记为“左侧底大图低”).⑶侑界性)若a>l,当x>0 时，y>l；当x<0 时，0<y<l.若OVaVl,当x>0 吋，OVyVl；当xVOB寸，y>l.另外底数a对图象特征的影响也可这样來叙述：当a>l时，底数越大，函数图象就越靠近y 轴；当OVaVl时，底数越小，函数图象就越靠近y轴.一定要注意底数a对函数值变化的影响. 典题导考绿色通道处理大小比较的问题的一般方法是：先和特殊值比，比方说和0比，和1比，然后将同范围(如大于0)的数化成同一函数在自变量x取两值时所对应的两函数值，再利用函数的单调性及自变量取值的大小关系得出函数值的大小关系.典题变式当x>0时，函数f(x) = (a2-l)x的值总大于1,则实数a的取值范围是()A. l<|a|< V2B. |a|<lC. |a|>lD. |a|>V2答案:D绿色通道求复合函数值域的一般步骤是：先求出定义域，然后求出内层函数的值域，由内层函数的值域求出相应的外层函数的值域即是复合函数的值域•关于复合函数的概念介绍如下：定义：函数y=f (u) (u^A), u=g(x) (x^B, ueA),则y={f Eg(x) ] }叫做由函数y=f (u) (u WA)、u=g(x) (xGB, ueA)合成的复合函数,u叫中间变量,y=f (u) (u^A)也叫该复合函数的外层函数，而u=g(x) (xeB, ueA)叫做该复合函数的内层函数，一定得注意的是：由u二g(x) (xEB)求出的值域一定是A.典题变式函数尸2川的值域是()A. (0, 1]B. [1, +8)C. (0, 1)D. (0, +«)解法一：y=2ix|=JX~0,作出图彖,观察得函数的值域为[1, +8).2 二 %<0,解法二 令 u =|x|>0,则 y=2u ^2°=l. 答案:B绿色通道 本题是一道函数综合题，盂利用函数的有关性质，如求函数的定义域、值域，判 断函数的奇偶性、单调性等知识.在判断函数的单调性时，我们也可以采用复合函数单调性 的判断方法.当x>0时，・・它为增函数，・・・2一1为增函数，为递减函数，-_为增函数.2V -1 2V -1/.y=--—!—在(0,+8)上递增.一般地，函数y=f(u)和函数u 祁(x),设函数y 二f[g(x)] 2 2’ -1的定义域为集合A,如果在A 或A 的某个子区间上函数y 二f (u)(称外层函数)与u 二g(x)(称内 层函数)单调性相同，则复合函数y 二f [g(x)]在该区间上递增；如单调性相反，则复合函 数y=f Lg(x)]在该区I'可上递减(可以简记为“同增异减”).另外，记住以下结论对判断复 合函数单调性很有帮助：①若函数y=f(x)递增(减),则y=-f(x)递减(增)；②若函数y=f(x) 在某个区间上恒为正(负)且递增(减)，则尸丄递减(增)；③若函数y 二f(x)递增(减)， 则y=f(x)+k 递增(减). 典题变式己知f (x)二一!一+a 为奇函数.3”一1⑴求a 的值；(2)求函数的单调区间.解答：⑴ Vf(-x) = -^+a=^—3~x-l l-3r由f(-gf(x),得"0,・・・a 斗(2)对于任意xiHO, X2HO,且x 】〈X2,当 x,<x 2<0 吋，3七〉3西，3刃 <1, 3乃 <1,.*.f (xi)-f (x 2)>0；当 0〈xKx2时，3勺 >3习，3习 >1, 3乃>1,/. f (Xi)-f (X2) >0.・••函数的单调递减区间为(―,0), (0, +8)・ 黑色陷阱本题容易出现以下错误：(1) 误认为函数y=a 2x +2a-l 在xW [-1, 1]上就是单调增函数，据此得x=l 时函数有最大值 14,列方程解出a.+a=-l+a- -------- =-l+2a-f (x),3r -l13七一 1竺_3可 (3“ _ 1)(3七 _1)(2)令t=a x, xE [T, 1],不讨论0<aVl还是a>l,就认为t的取值范围是[aX a], 由此作为外层函数的定义域引出错误.典题变式要使函数y=l+2W - a在(-8, 1)上y〉0恒成立，求a的取值范围.解答:由1+2X+4X• a>0在xE(-8, 1]上恒成立,1 + 2X| |即a>- -------- =-(-)x-(-)x在(-8, 1]上恒成立.4V 4 21 1 3 3Xg(x)=-(-)x-(-)x在(-8, 1]上的值域为(-OO, -£], Aa>--.4 2 4 4绿色通道本题主要考查抽象的思维推理能力.解本题的关键是灵活应用题目条件，尤其是⑶中“f(X2)=f [(X2-X】)+xJ”是证明单调性的关键，这里体现了构造条件式向条件化归的策略.典题变式设函数f(x)是定义在R上的增函数，且f(x)HO,对于任意X】、x2ER,都有f(X1+X2)=f (xi) • f (x2).(1)求证：f(X1-X2)二丿11)；/(兀2)(2)若f (1)=2,解不等式f(3x)>4f(x).解答：(1) V f (xi) =f(X1-X2+X2) =f(X1-X2) • f(X2), 又f (x) HO,・・・f(g) =如./(兀2)(2) Vf(l)=2, A2f(x)=f(l)・f (x)=f(l+x), 4f(x)=2 • 2f(x)=f(l)・ f(l+x)=f(2+x). 那么f (3x) >4f (x)可化为f (3x) >f (2+x).又・・•函数f(x)是定义在R上的增函数，由f (3x)>f(2+x),得3x>2+x,即x>l・故不等式f (3x) >4f (x)的解集是{x | x> 1}・。

高中数学北师大版必修1第三章《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》优质课教案省级比赛获奖教案公开课教师
面试试讲教案
【名师授课教案】
1教学目标
1.借助信息技术,利用函数图像及数据表格,比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异.
2.恰当运用函数的三种表示方法(解析式、表格、图像),并借助信息技术解决一些实际问题.
3.让学生体会数学在实际问题中的应用价值,培养学生学习兴趣.
2重点难点
教学重点:认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异,体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同.
教学难点:应用函数模型解决简单问题.
3学情分析
1.知识储备方面
学习本课之前,学生在初中已经掌握了一次函数,二次函数、正比例函数、反比例函数几类基本初等函数;并且在高中阶段独立探究过指数函数与对数函数的图象与性质,基本掌握了研究函数的一般方法与过程。

本节课通过对对指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异,体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同。

课本对几种不同增长的函数模型的认识及应用,都是通过实例来实现的。

由于指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长情况比较复杂,学生在对图象共性的归纳与概括方面可能遇到困难,因此在教学中尽量多使用多媒体技术进行教学。

2.思维水平方面
所授课班级是理科实验班学生,学生有较高的数学素养和较强的数学思维能力,对数学充满探索精神,同时对课堂教学有较高需求。

3.技术使用方面
学生能够熟练掌握图形计算器的操作,并具有利用信息技术进行自主探究的意识。

§5对数函数第一课时对数函数的概念、图像和性质预习课本P89～94，思考并完成以下问题1．对数函数的定义是什么？2．什么是常用对数函数？什么是自然对数函数？3．反函数的定义是什么？4．对数函数的图像是什么形状？有哪些性质？[新知初探]1．对数函数的概念函数y＝log a x(a>0，a≠1)叫作对数函数，其中a叫作对数函数的底数，x是自变量．2．特殊的对数函数常用对数函数以10为底的对数函数y＝lg_x自然对数函数以无理数e为底的对数函数y＝ln_x[点睛]对数函数是一个形式定义，只有形如y＝logx(a>0，且a≠1)的函数才是对数函数．a3．反函数原函数反函数指数函数y＝a x(a>0，且a≠1) 对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1) 指数函数y＝a x(a>0，且a≠1) 指数函数y＝a x(a>0，a≠1)的定义域和值域分别是对数函数y＝log a x(a>0，a≠1)的值域和定义域；反过来，对数函数y＝log a x(a>0，a≠1)的定义域和值域分别是指数函数y＝a x(a>0，a ≠1)的值域和定义域，这样的两个函数叫作互为反函数.xa它们定义域与值域互反．4．对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)的图像与性质1．判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)函数y ＝log 2x ＋1是对数函数．( )(2)对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x互为反函数．( ) (3)函数y ＝log a x 的图像与y ＝a x 的图像关于直线y ＝x对称．( ) (4)函数y ＝log a x 的图像过定点(1,0)．( )(5)函数y ＝log a x 的定义域和值域均为(0，＋∞)．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)× 2．下列函数是对数函数的是( ) A ．y ＝log a (2x )(a ＞0，a ≠1) B ．y ＝log a (x 2＋1)(a ＞0，a ≠1) C ．y ＝log 1a x (a ＞0，a ≠1) D ．y ＝2lg x 答案：C3．已知对数函数f (x )的图像过点(8,3)，则f 132＝_________________________________.答案：－54．函数y ＝2log a (x －1)(a ＞0，且a ≠1)的图像过定点______________________． 答案：(2,0)[典例] (1)y ＝log 5(1－x )；(2)y ＝log (1－x )5； (3)y ＝log 0.5(4x －3).[解] (1)要使函数式有意义，需1－x ＞0，解得x ＜1，所以函数y ＝log 5(1－x )的定义域是{x |x ＜1}．(2)要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，1－x ≠1，解得x ＜1，且x ≠0，所以函数y ＝log (1－x )5的定义域是{x |x ＜1，且x ≠0}．(3)要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧4x －3＞0，log 0.5(4x －3)≥0，解得34＜x ≤1，所以函数y ＝log 0.5(4x －3)的定义域是x 34＜x ≤1.定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1.[活学活用]求下列函数的定义域． (1)f (x )＝11－log 3(x －1)；(2)f (x )＝log 12x －1. 解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＞0，log 3(x －1)≠1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，x ≠4.∴定义域为(1,4)∪(4，＋∞)． (2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞0，log 12x －1≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x ≤12.∴0＜x ≤12，∴定义域为0，12.求函数的反函数[典例] (1)y ＝5x ； (2)y ＝⎝⎛⎭⎫45x； (3)y ＝log 14x; (4)y ＝log 7x .[解] (1)指数函数y ＝5x ，它的底数是5，它的反函数是对数函数y ＝log 5x . (2)指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫45x ，它的底数是45，它的反函数是对数函数y ＝log 45x . (3)对数函数y ＝log 14x ，它的底数是14，它的反函数是指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x .(4)对数函数y ＝log 7x ，它的底数是7，它的反函数是指数函数y ＝7x .反函数的求法(1)由y ＝a x (或y ＝log a x )解得x ＝log a y (或x ＝a y )；(2)将x ＝log a y (或x ＝a y )中的x 与y 互换位置，得y ＝log a x (或y ＝a x )；(3)由y ＝a x (或y ＝log a x )的值域，写出y ＝log a x (或y ＝a x )的定义域． [活学活用]若函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数的图像过点(3,1)，则a ＝________. 解析：函数f (x )的反函数为y ＝log a x ， 由题意得，log a 3＝1，∴a ＝3. 答案：3对数函数的图像问题1．如图是对数函数y ＝log a x 的图像，已知a 取值3，43，35，110，则图像C 1，C 2，C 3，C 4相应的a 值依次是( )A.3，43，35，110B.3，43，110，35C.43，3，35，110D.43，3，110，35解析：选A 过(0,1)作平行于x 轴的直线，与C1，C 2，C 3，C 4的交点的坐标为(a 1,1)，(a 2,1)，(a 3,1)，(a 4,1)，其中a 1，a 2，a 3，a 4分别为各对数的底，显然a 1＞a 2＞a 3＞a 4，所以C 1，C 2，C 3，C 4的底数依次由大到小．题点二：图像的识别2．当a ＞1时，函数y ＝log a x 和y ＝(1－a )x 的图像只能是( )解析：选B ∵a ＞1，∴函数y ＝log a x 为增函数，且图像过定点(1,0)，故C 、D 均不正确． 又∵1－a ＜0，∴函数y ＝(1－a )x 的图像应过坐标原点且经过第二、四象限． 题点三：对数函数图像的应用3．当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2＜log a x 恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(1,2]D ．0，12解析：选C 设f 1(x )＝(x －1)2，f 2(x )＝log a x ，要使当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2＜log a x 恒成立，只需f 1(x )＝(x －1)2在(1,2)上的图像在f 2(x )＝log a x 的下方即可．当0＜a ＜1时，显然不成立．当a ＞1时，如图所示，要使在(1,2)上，f 1(x )＝(x －1)2的图像在f 2(x )＝log a x 的下方，只需f 1(2)≤f 2(2)，即(2－1)2≤log a 2，log a 2≥1，∴1＜a ≤2.(1)对数函数的图像随对数函数的底数变化的规律：由于对数函数y ＝log a x 的图像与直线y ＝1交于点(a,1)，所以在x 轴上方，对数函数y ＝log a x 的图像，从左到右对应的底数由小到大依次递增．由于函数y ＝log a x 的图像与直线y ＝－1交于点1a ，－1，所以在x 轴下方，函数y ＝log a x 的图像从左到右对应的底数由大到小依次递减．(2)图像的识别问题，主要依据底数确定图像是上升还是下降、图像的位置、图像所过定点、图像与坐标轴的交点等求解．(3)利用数形结合法解决与对数函数有关的大小比较、方程、不等式、取值范围以及过定点等问题．层级一 学业水平达标1．函数f (x )＝11－x ＋lg(1＋x )的定义域是( )A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)解析：选C 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≠0，1＋x ＞0，解得x ＞－1且x ≠1.2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( )A ．log 2x B.12x C ．log 12xD ．2x －2解析：选A 函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数是f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，又f (2)＝1，即log a 2＝1，所以a ＝2，故f (x )＝log 2x .3．函数f (x )＝log 2x 2的图像的大致形状是( )解析：选D 由于f (x )＝log 2x 2＝2log 2|x |，所以函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，且当x ＞0时，f (x )＝2log 2x 在(0，＋∞)上单调递增，又因为函数是偶函数，所以函数图像关于y 轴对称．4．已知函数f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)的反函数为g (x )，且满足g (2)＜0，则函数g (x ＋1)的图像是图中的( )解析：选A 由y ＝a x 得x ＝log a y ，∴g (x )＝log a x . 又∵g (2)＜0，∴0＜a ＜1.故g (x ＋1)＝log a (x ＋1)是递减的，并且是由函数g (x )＝log a x 向左平移1个单位得到的． 5．当a >1时，在同一坐标系中，函数y ＝a －x 与y ＝log a x 的图像是( )解析：选D ∵a >1，不妨取a ＝2， 找出函数y ＝2－x与y ＝log 2x 的图像即可．6．函数f (x )＝2－log 2x 的定义域是________． 解析：由2－log 2x ≥0 ⇒ log 2x ≤2， ∴0<x ≤4. 答案：(0,4]7．已知函数y ＝3＋log a (2x ＋3)(a ＞0且a ≠1)的图像必经过定点P ，则P 点坐标________． 解析：∵当2x ＋3＝1即x ＝－1时，log a (2x ＋3)＝0，y ＝3，P (－1,3)． 答案：(－1,3)8．方程x 2＝log 12x 解的个数是________．解析：函数y ＝x 2和y ＝log 12x 在同一坐标系内的图像大致为：所以函数y ＝x 2和y ＝log 12x 的图像只有一个交点，故方程x 2＝log 12x 解的个数是1.答案：19.已知函数y ＝log a (x ＋b )的图像如图所示，求实数a 与b 的值． 解：由图像可知，函数的图像过点(－3,0)和(0,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧log a (b －3)＝0，log ab ＝2， 解得b ＝4，a ＝2.10．作出函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图像． 解：第一步：作y ＝log 2x 的图像，如图(1)；第二步：将y ＝log 2x 的图像沿x 轴向左平移1个单位长度， 得y ＝log 2(x ＋1)的图像，如图(2)；第三步：将y ＝log 2(x ＋1)在x 轴下方的图像作关于x 轴的对称变换，得y ＝|log 2(x ＋1)|的图像，如图(3)．层级二 应试能力达标1.如图是三个对数函数的图像，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >cB ．c >b >aC ．c >a >bD ．a >c >b解析：选D y ＝log a x 的图像在(0，＋∞)上是上升的，所以底数a >1，函数y ＝log b x ，y ＝log c x 的图像在(0，＋∞)上都是下降的． 因此b ，c ∈(0,1)，又易知c >b ，故a >c >b .2．设f (x )是奇函数，当x ＞0时，f (x )＝log 2x ，则当x ＜0时，f (x )等于( ) A ．－log 2x B ．log 2(－x ) C ．log x 2D ．－log 2(－x )解析：选D ∵x ＜0，∴－x ＞0.∴f (－x )＝log 2(－x )． 又∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )． ∴f (x )＝－log 2(－x )．3．若实数a ，b ，c 满足log a 2＜log b 2＜log c 2，则下列关系中不可能成立的是( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．c ＜b ＜aD ．a ＜c ＜b解析：选A 由题中条件绘出函数图像如图所示．由图可知选A.4．函数y ＝ax 2＋bx 与y ＝log ⎪⎪⎪⎪b a x (ab ≠0，|a |≠|b |)在同一直角坐标系中的图像可能是( )解析：选D 若⎪⎪⎪⎪b a ＞1，则函数y ＝log ⎪⎪⎪⎪b a x 的图像为选项A 、B 中所示过点(1,0)的曲线，且⎪⎪⎪⎪b 2a ＞12，故函数y ＝ax 2＋bx 的图像的对称轴x ＝－b 2a 应在区间⎝⎛⎭⎫－∞，－12或12，＋∞内，A 、B 都不正确；若0＜⎪⎪⎪⎪b a ＜1，则函数y ＝log ⎪⎪⎪⎪b a x 的图像为选项C 、D 中所示过点(1,0)的曲线，且0＜b 2a ＜12，故函数y ＝ax 2＋bx 的图像的对称轴x ＝－b 2a 应在区间－12，0或0，12内，C 不正确，D 正确． 5.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ≤0，log c ⎝⎛⎭⎫x ＋19，x ＞0的图像如图所示，则a ＋b ＋c ＝________. 解析：由图像可求得直线的方程为y ＝2x ＋2， 又函数y ＝log c ⎝⎛⎭⎫x ＋19的图像过点(0,2)， 将其坐标代入可得c ＝13，所以a ＋b ＋c ＝2＋2＋13＝133.答案：1336．函数f (x )＝||log 3x 在区间[a ，b ]上的值域为[0,1]，则b －a 的最小值为________． 解析：数形结合||log 3x ＝0，则x ＝1，||log 3x ＝1， 则x ＝3或13.故(b －a )min ＝1－13＝23.答案：237．已知f (x )＝|lg x |，且1c ＞a ＞b ＞1，试比较f (a )，f (b )，f (c )的大小． 解：先作出函数y ＝lg x 的图像，再将图像位于x 轴下方的部分折到x 轴上方，于是得f (x )＝|lg x |图像，(如图)由图像可知，f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．由1c ＞a ＞b ＞1得：f 1c ＞f (a )＞f (b )，而f 1c ＝⎪⎪⎪⎪lg 1c ＝|－lgc |＝|lg c |＝f (c )．∴f (c )＞f (a )＞f (b )．8．已知a >0且a ≠1，f (log a x )＝a a 2－1⎝⎛⎭⎫x －1x . (1)求f (x )；(2)判断f (x )的单调性和奇偶性；(3)对于f (x )，当x ∈(－1,1)时，有f (1－m )＋f (1－2m )<0，求m 的取值范围． 解：(1)令t ＝log a x (t ∈R)， 则x ＝a t ，且f (t )＝a a 2－1⎝⎛⎭⎫a t －1a t ，所以f (x )＝a a 2－1(a x －a －x )(x ∈R)．(2)因为f (－x )＝a a 2－1(a －x －a x )＝－f (x )， 且x ∈R ，所以f (x )为奇函数． 当a >1时，a x －a－x为增函数，并且注意到aa 2－1>0，所以这时f (x )为增函数．当0<a <1时，类似可证f (x )为增函数． 所以f (x )在R 上为增函数． (3)因为f (1－m )＋f (1－2m )<0，且f (x )为奇函数，所以f (1－m )<f (2m －1)． 因为f (x )在(－1,1)上为增函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－m <1，－1<2m －1<1，1－m <2m －1.解得23<m <1.即m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫23，1.第二课时 对数函数的图像和性质的应用(习题课)[典例] 比较大小． (1)log 23.4，log 28.5； (2)log 0.31.8，log 0.32.7； (3)log 67，log 76； (4)log 3π，log 20.8； (5)log 712，log 812.[解] (1)考查对数函数y ＝log 2x ， ∵2>1，∴它在(0，＋∞)上是增函数． ∴log 23.4<log 28.5.(2)考查对数函数y ＝log 0.3x ，∵0<0.3<1，∴它在(0，＋∞)上是减函数， ∴log 0.31.8>log 0.32.7.(3)∵log 67>log 66＝1，log 76<log 77＝1， ∴log 67>log 76.(4)∵log 3π>log 31＝0，log 20.8<log 21＝0，∴log 3π>log 20.8.(5)在同一坐标系中作出函数y ＝log7x 与y ＝log 8x 的图像，由底数变化对图像位置的影响知：log 712>log 812.比较对数大小的思路：(1)底相同，真数不同的，可看作同一对数函数上的几个函数值，用对数函数的单调性比较大小；(2)底数不同，真数相同的几个数，可通过图像比较大小，也可通过换底公式比较大小；(3)底不相同，真数也不相同的几个数，可通过特殊值来比较大小，常用的特殊值是“0”或“1”．[活学活用]比较下列各组中两个值的大小：(1)3log 45与2log 23；(2)log 30.2，log 40.2；(3)log 3π，log π3；(4)log 0.20.1与0.20.1.解：(1)∵3log 45＝log 4125,2log 23＝log 29＝log 481， 且函数y ＝log 4x 在(0，＋∞)上是增函数，125＞81，∴3log 45＞2log 23.(2)∵0＞log 0.23＞log 0.24，∴1log 0.23＜1log 0.24， 即log 30.2＜log 40.2.(3)∵函数y ＝log 3x 是增函数，且π＞3，∴log 3π＞log 33＝1.同理，1＝log ππ＞log π3，∴log 3π＞log π3.(4)∵0＜0.2＜1，∴函数y ＝log 0.2x 在(0，＋∞)上是减函数，∴log 0.20.1＞log 0.20.2＝1.∵0＜0.2＜1，∴函数y ＝0.2x 在R 上是减函数，∴0.20.1＜0.20＝1.∴log 0.20.1＞0.20.1.解对数不等式[典例] 解下列不等式：(1)log 17x ＞log 17(4－x )； (2)log x 12＞1； (3)log a (2x －5)＞log a (x －1)．[解] (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞0，4－x ＞0，x ＜4－x ，解得0＜x ＜2.所以原不等式的解集为(0,2)．(2)当x ＞1时，log x 12＞1＝log x x ，解得x ＜12， 此时不等式无解．当0＜x ＜1时，log x 12＞1＝log x x ，解得x ＞12， 所以12＜x ＜1.综上，原不等式的解集为12，1. (3)当a ＞1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －5＞0，x －1＞0，2x －5＞x －1，解得x ＞4.当0＜a ＜1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －5＞0，x －1＞0，2x －5＜x －1，解得52＜x ＜4. 综上所述，当a ＞1时，原不等式的解集为{x |x ＞4}；当0＜a ＜1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 52＜x ＜4.(1)解含有对数符号的不等式，要先看底数是大于1还是大于0且小于1，然后利用相应的对数函数的单调性将其转化为一般的代数不等式，要注意转化过程的等价性，即进行同解变形．(2)底数中若含有参数时，一定注意底数大于0且不等于1；同时要注意与1的大小的讨论．[活学活用]若－1＜log a 34＜1(a ＞0，且a ≠1)，求实数a 的取值范围． 解：∵－1＜log a 34＜1，∴log a 1a ＜log a 34＜log a a . 当a ＞1时，1a ＜34＜a ，则a ＞43； 当0＜a ＜1时，1a ＞34＞a ，则0＜a ＜34. 故实数a 的取值范围是0，34∪43，＋∞.有关对数型函数的值域与最值问题[典例](1)y ＝log 2(x 2＋4)；(2)y ＝log 12(3＋2x －x 2)． [解] (1)y ＝log 2(x 2＋4)的定义域是R.因为x 2＋4≥4，所以log 2(x 2＋4)≥log 24＝2，所以y ＝log 2(x 2＋4)的值域为[2，＋∞)．(2)设u ＝3＋2x －x 2＝－(x －1)2＋4≤4.因为u ＞0，所以0＜u ≤4.又y ＝log 12u 在(0，＋∞)上为减函数， 所以log 12u ≥log 124＝－2， 所以y ＝log 12(3＋2x －x 2)的值域为[－2，＋∞)．(1)求对数型函数的值域，一般需根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解．(2)求函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响，结合函数的单调性求解，当函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值．[活学活用]已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,9]，求函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值及此时x 的值．解：y ＝[f (x )]2＋f (x 2)＝(2＋log 3x )2＋log 3x 2＋2＝(log 3x )2＋6log 3x ＋6＝(log 3x ＋3)2－3.∵f (x )的定义域为[1,9]，∴y ＝[f (x )]2＋f (x 2)中，x 必须满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤9，1≤x 2≤9， ∴1≤x ≤3，∴0≤log 3x ≤1，∴6≤y ≤13.∴当x ＝3时，y 取得最大值，为13.对数型函数的单调性1．求函数y ＝log 12(x 2－3x ＋5)的单调区间． 解：由于x 2－3x ＋5的判别式Δ＝(－3)2－4×5＝－11＜0，∴x 2－3x ＋5＞0，令u (x )＝x 2－3x ＋5，当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，32时， u (x )为减函数，当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，u (x )为增函数．∴y ＝log 12(x 2－3x ＋5)在⎝⎛⎭⎫－∞，32上为增函数，在⎝⎛⎭⎫32，＋∞上为减函数． 综上函数y ＝log 12(x 2－3x ＋5)的增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，32，减区间为⎝⎛⎭⎫32，＋∞. 题点二：已知函数的单调性求参数2．已知函数f (x )＝lg(x 2－2ax －a )在区间(－∞，－3)上是减函数，求实数a 的取值范围． 解：设u (x )＝x 2－2ax －a .∵f (x )在(－∞，－3)上是减函数，∴u (x )在(－∞，－3)上是减函数，且u (x )＞0在(－∞，－3)上恒成立．又u (x )＝(x －a )2－a －a 2在(－∞，a )上是减函数．∴⎩⎪⎨⎪⎧u (－3)≥0，a ≥－3，∴a ≥－95. ∴满足条件的实数a 的取值范围是－95，＋∞.解决对数型复合函数单调性问题的思路解决与对数函数有关的函数的单调性问题的关键：一是看底数是否大于1，当底数未明确给出时，则应对底数a 是否大于1进行讨论；二是运用复合法来判断其单调性；三是要注意其定义域．对数型复合函数一般可分为两类：一类是对数函数为外函数，即y ＝log a f (x )型；另一类是内函数为对数函数，即y ＝f (log a x )型．对于y ＝log a f (x )型的函数的单调性，有以下结论：函数y ＝log a f (x )的单调性与函数u ＝f (x )(f (x )＞0)的单调性在a ＞1时相同，在0＜a ＜1时相反．研究y ＝f (log a x )型复合函数的单调性，一般用复合法判定即可，即令t ＝log a x ，则只需研究t ＝log a x 及y ＝f (t )的单调性即可．层级一 学业水平达标1．已知a ＝log 23.6，b ＝log 43.2，c ＝log 43.6，则( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．c ＞a ＞b解析：选B a ＝log 23.6＞1，b ＝log 43.2＜1，c ＝log 43.6＜1，又y ＝log 4x 为增函数，3.2＜3.6， ∴log 43.2＜log 43.6，即b ＜c ，∴b ＜c ＜a .2．如果log 12x ＜log 12y ＜0，那么( ) A ．y ＜x ＜1B ．x ＜y ＜1C ．1＜x ＜yD ．1＜y ＜x解析：选D 由log 12x ＜log 12y 得x ＞y .由log 12y ＜0得y ＞1.故x ＞y ＞1. 3．若log m 8.1＜log n 8.1＜0，那么m ，n 满足的条件是( )A ．m ＞n ＞1B ．n ＞m ＞1C ．0＜n ＜m ＜1D ．0＜m ＜n ＜1解析：选C 由题意知m ，n 一定都是大于0且小于1的，根据函数图像知，当x ＞1时，底数越大，函数值越小．4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2(－x )，x <0，log 12x ，x >0，若f (m )<f (－m )，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)解析：选C 函数f (x )的图像大致如图：∴当f (m )<f (－m )时，f (x )<0.∴m ∈(－1,0)∪(1，＋∞)．5．已知函数f (x )＝2log 12x 的值域为[－1,1]，则函数f (x )的定义域是( ) A.⎣⎡⎦⎤22，2 B ．[－1,1]C.⎣⎡⎦⎤12，2D.⎝⎛⎦⎤－∞，22∪[)2，＋∞ 解析：选A －1≤2log 12x ≤1，－12≤log 12x ≤12， log 12⎝⎛⎭⎫12－12≤log 12x ≤log 12⎝⎛⎭⎫1212， ∵y ＝log 12x 是减函数，∴⎝⎛⎭⎫1212≤x ≤⎝⎛⎭⎫12－12. 即22≤x ≤ 2. 6．若定义在区间(－1,0)内的函数f (x )＝log 2a (x ＋1)满足f (x )＞0，则a 的取值范围是________． 解析：∵－1＜x ＜0，∴0＜x ＋1＜1.又log 2a (x ＋1)＞0，∴0＜2a ＜1，即0＜a ＜12. 答案：⎝⎛⎭⎫0，12 7．函数f (x )＝log 3(x 2＋2x ＋4)的值域为________．解析：令u ＝x 2＋2x ＋4，则u ＝(x ＋1)2＋3≥3，∴log 3(x 2＋2x ＋4)≥log 33＝1，即函数f (x )＝log 3(x 2＋2x ＋4)的值域为[1，＋∞)．答案：[1，＋∞)8．函数f (x )＝ln(2－x )的单调减区间为________．解析：由2－x ＞0，得x ＜2.又函数y ＝2－x ，x ∈(－∞，2)为减函数，∴函数f (x )＝m (2－x )的单调减区间为(－∞，2)．答案：(－∞，2)9．函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，求a 的值．解：①当a ＞1时，函数y ＝log a x 在[2,4]上是增函数，所以log a 4－log a 2＝1，即log a 42＝1，所以a ＝2.②当0＜a ＜1时，函数y ＝log a x 在[2,4]上是减函数，所以log a 2－log a 4＝1，即log a 24＝1，所以a ＝12. 由①②知a ＝2或a ＝12. 10．已知函数y ＝(log 2x －2)log 4x －12,2≤x ≤8. (1)令t ＝log 2x ，求y 关于t 的函数关系式，并写出t 的范围；(2)求该函数的值域．解：(1)y ＝(log 2x －2)log 4x －12＝(log 2x －2)12log 2x －12， 令t ＝log 2x ，得y ＝12(t －2)(t －1)＝12t 2－32t ＋1， 又2≤x ≤8，∴1＝log 22≤log 2x ≤log 28＝3，即1≤t ≤3.(2)由(1)得y ＝12t －322－18，1≤t ≤3， 当t ＝32时，y min ＝－18； 当t ＝3时，y max ＝1，∴－18≤y ≤1， 即该函数的值域为－18，1. 层级二 应试能力达标1．设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )A ．a ＞c ＞bB ．b ＞c ＞aC ．c ＞b ＞aD ．a ＞b ＞c解析：选D a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝log 510＝1＋log 52，c ＝log 714＝1＋log 72，则只要比较log 32，log 52，log 72的大小即可，在同一坐标系中作出函数y ＝log 3x ，y ＝log 5x ，y ＝log 7x 的图像，由三个图像的相对位置关系，可知a ＞b ＞c .2．函数f (x )＝log a |x －1|在(0,1)上是减函数，那么f (x )在(1，＋∞)上( )A ．递增且无最大值B ．递减且无最小值C ．递增且有最大值D ．递减且有最小值解析：选A 由|x －1|＞0，得函数y ＝log a |x －1|的定义域为{x |x ≠1}．设g (x )＝|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ＞1，－x ＋1，x ＜1， 则有g (x )在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．∵f (x )＝log a |x －1|在(0,1)上是减函数，∴a ＞1.∴f (x )＝log a |x －1|在(1，＋∞)上递增且无最大值．3．已知函数f (x )＝|lg x |.若0＜a ＜b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围是( )A ．(22，＋∞)B ．[22，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)解析：选C 因为f (a )＝f (b )，所以|lg a |＝|lg b |，所以b ＝1a (a ＝b 舍去)，则a ＋2b ＝a ＋2a. 又0＜a ＜b ，所以0＜a ＜1＜b .令g (a )＝a ＋2a ，由对勾函数的性质知函数g (a )在(0,1)上为减函数，所以g (a )＞g (1)＝1＋21＝3，即a ＋2b 的取值范围是(3，＋∞)．4．若函数y ＝log a (2－ax )在x ∈[0,1]上是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(0,2)D ．(1，＋∞)解析：选B 令u ＝2－ax ，因为a ＞0，所以u 是关于x 的减函数，当x ∈[0,1]时，u min ＝2－a ×1＝2－a .因为2－ax ＞0在x ∈[0,1]时恒成立，所以u min ＞0，即2－a ＞0，a ＜2.在[0,1]上，随着x 的增大，u ＝2－ax 减小，要使函数y ＝log a (2－ax )在x ∈[0,1]上是减函数，则y ＝log a u 在其定义域上必须为增函数，故a ＞1.综上可知，1＜a ＜2.故选B.5．设0＜a ＜1，函数f (x )＝log a (2a x －2)，则使得f (x )＜0的x 的取值范围为________．解析：由于y ＝log a x (0＜a ＜1)在(0，＋∞)上为减函数，则2a x －2＞1，即a x ＞32.由于0＜a ＜1，可得x ＜log a 32. 答案：－∞，log a 326．已知函数f (x )＝log a (x ＋3)的区间[－2，－1]上总有|f (x )|＜2，则实数a 的取值范围为________________．解析：∵x ∈[－2，－1]，∴1≤x ＋3≤2.当a ＞1时，log a 1≤log a (x ＋3)≤log a 2，即0≤f (x )≤log a 2.∵|f (x )|＜2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞1，log a 2＜2，解得a ＞ 2.当0＜a ＜1时，log a 2≤log a (x ＋3)≤log a 1，即log a 2≤f (x )≤0.∵|f (x )|＜2，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，log a 2＞－2，解得0＜a ＜22. 综上可得，实数a 的取值范围是0，22∪(2，＋∞)． 答案：0，22∪(2，＋∞) 7．已知函数f (x )＝lg(ax 2＋2x ＋1)．(1)若f (x )的值域为R ，求实数a 的取值范围；(2)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围．解：(1)∵f (x )的值域为R ，∴要求u ＝ax 2＋2x ＋1的值域包含(0，＋∞)．当a ＜0时，显然不可能；当a ＝0时，u ＝2x ＋1∈R 成立；当a ＞0时，若要u ＝ax 2＋2x ＋1的值域包含(0，＋∞)，则Δ＝4－4a ≥0，解得0＜a ≤1.综上可知，a 的取值范围是[0,1]．(2)由已知，u ＝ax 2＋2x ＋1的值恒为正，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝4－4a ＜0，解得a 的取值范围是(1，＋∞)．8．已知函数f (x )＝lg a －x 1＋x. (1)若f (x )为奇函数，求a 的值；(2)在(1)的条件下，若f (x )在(m ，n )上的值域为(－1，＋∞)，求(m ，n )． 解：(1)∵f (x )为奇函数，∴f (x )＋f (－x )＝0，∴lg a －x 1＋x ＋lg a ＋x 1－x ＝0，∴(a －x )(a ＋x )1－x 2＝1， 解得a ＝1(a ＝－1舍去)．(2)由(1)知f (x )＝lg 1－x 1＋x，其定义域为(－1,1)． ∵x ∈(－1,1)时，t ＝1－x 1＋x ＝－1＋21＋x为减函数， 而y ＝lg t 在定义域内为增函数，∴f (x )＝lg 1－x 1＋x在其定义域内是减函数，则m ＝－1， 由题意知f (n )＝lg 1－n 1＋n＝－1，解得n ＝911. 故所求(m ，n )为－1，911.。

6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较1．指数函数、幂函数、对数函数增长的比较(1)指数函数、对数函数、幂函数为增函数的前提条件当a＞1时，指数函数y＝a x是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快．当a＞1时，对数函数y＝log a x是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．当x＞0，n＞0时，幂函数y＝x n显然也是增函数，并且当x＞1时，n越大其函数值的增长就越快．(2)具体的指数函数、幂函数、对数函数增长的比较(只考虑x＞0的情况)在同一直角坐标系内利用几何画板软件作出函数y＝2x，y＝x2，y＝log2x的图像(如图)．从图中可以观察出，y＝2x与y＝x2有两个交点：(2,4)和(4,16)，当0＜x＜2时，2x＞x2；当2＜x＜4时，2x＜x2；当x＞4时，2x＞x2恒成立，即y＝2x比y＝x2增长得快；而在(0，＋∞)上，总有x2＞log2x，即y＝x2比y＝log2x增长得快．由此可见，在(0,2)和(4，＋∞)上，总有2x＞x2＞log2x，即y＝2x增长得最快；在(2,4)上，总有x2＞2x＞log2x，即y＝x2增长得最快．(3)一般的指数函数、幂函数、对数函数增长的比较改变指数函数、对数函数的底数和幂函数的指数，重新作图，观察图像会发现这三种函数的增长情况具有一定的规律性．一般地，对于指数函数y＝a x(a＞1)和幂函数y＝x n(n＞0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论a比n小多少，尽管在x的一定范围内，a x会小于x n，但由于a x的增长快于x n的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有a x＞x n；同样的，对于对数函数y＝log a x(a＞1)和幂函数y＝x n(n＞0)，随着x的增大，log a x增长得越来越慢，图像就像是渐渐地与x轴平行一样，尽管在x的一定区间内，log a x可能会大于x n，但由于log a x的增长慢于x n的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有log a x＜x n.综上所述，尽管函数y＝a x(a＞1)，y＝log a x(a＞1)和y＝x n(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，y＝a x(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(x＞0)的增长速度，而y＝log a x(a＞1)的增长速度则会越来越慢，因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就会有log a x＜x n＜a x.由于指数函数值增长非常快，人们常称这种现象为“指数爆炸”．析规律三种函数模型的性质x 0510********y15130505 1 130 2 005 3 130 4 505y2594.478 1 785.233 733 6.37×105 1.2×107 2.28×108y35305580105130155y45 2.310 7 1.429 5 1.140 7 1.046 1 1.015 1 1.005．解析：根据表格中数据可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从5开始变化，其中变量y4的值随变量x的增长越来越小，故变量y4不关于x呈指数函数增长，变量y1，y2，y3的值都随变量x的增长越来越大，其中变量y2的值增长速度最快，所以变量y2关于x呈指数型函数增长．答案：y2析规律函数值的增加量在指数函数、幂函数、对数函数三种增加的函数中，当自变量增加相同的量时，指数函数的函数值增加量最大．【例1－2】在给出的四个函数y＝3x，y＝x3，y＝3x，y＝log3x中，当x∈(3，＋∞)时，其中增长速度最快的函数是( )．A．y＝3x B．y＝3xC．y＝x3 D．y＝log3x解析：随着x的增大，函数y＝a x(a＞1)的增速会远远超过y＝x n(n＞0)的增速，而函数y ＝log a x(a＞1)的增长速度最慢．故选B.答案：B2．增长型函数模型在实际问题中的应用根据题意，选用合适的增长型函数模型，进行一些简单的应用是本节重点，其选择的标准是：指数函数增长模型适合于描述增长速度快的变化规律；对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；而幂函数增长模型介于两者之间，适合于描述增长速度一般的变化规律．我们要熟悉指数函数、对数函数和幂函数的图像及性质，对题目的具体要求进行抽象概括，灵活地选取和建立数学模型．例如，根据统计资料，我国能源生产自1986年以来发展很快，下面是我国能源生产总量(折合亿吨标准煤)的几个统计数据：1986年8.6亿吨，5年后的1991年10.4亿吨，10年后的1996年12.9亿吨．有关专家预测，到2011年我国能源生产总量将达到25.6亿吨，则专家是选择下列哪一种类型函数作为模型进行预测的( )．A．一次函数B．二次函数C．指数函数 D．对数函数解答：本题不需要写出函数解析式，只需根据函数值的变化规律作出判断即可．从1986年起第一个五年增长了1.8亿吨，第二个五年增长了2.5亿吨，每五年的增长速度不同，故不是一次函数；假设是指数函数，由“指数爆炸”以及前五年的增长速度可知，从1986年到2011年25年的时间，2011年的产值将很大，故不是指数函数；对数函数的增长速度较慢，不符合题意．由以上分析，此函数模型可能是幂函数类型，结合本题的数字特点，可判断是二次函数．故选B.【例2】某公司为了实现1 000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不能超过5万元，同时奖金不能超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？分析：某个奖励模型符合公司要求，即当x∈[10,1 000]时，能够满足y≤5，且yx≤25%，可以先从函数图像得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果．解：借助计算器或计算机作出函数y＝5，y＝0. 25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图像如下图所示：观察图像发现，在区间[10,1 000]上模型y＝0.25x，y＝1.002x的图像都有一部分在y＝5的上方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励才能符合公司要求，下面通过计算确认上述判断．首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万元．对于模型y＝0.25x，它在区间[10,1 000]上是单调递增的，当x∈(20,1 000)时，y＞5，因此该模型不符合要求．对于模型y＝1.002x，利用计算器，可知1.002806≈5.005，由于y＝1.002x是增函数，故当x∈(806,1 000]时，y＞5，因此，也不符合题意．对于模型y＝log7x＋1，它在区间[10,1 000]上单调递增且当x＝1 000时，y＝log71 000＋1≈4.55＜5，所以它符合资金总数不超过5万元的要求．再计算按模型y＝log7x＋1奖励时，资金是否超过利润x的25%，即当x∈[10,1 000]时，利用计算器或计算机作f(x)＝log7x＋1－0.25x的图像，由图像可知f(x)是减函数，因此f(x)＜f(10)≈－0.316 7＜0，即log7x＋1＜0.25x.所以当x∈[10,1 000]时，y＜0.25x.这说明，按模型y＝log7x＋1奖励不超过利润的25%.综上所述，模型y＝log7x＋1确实符合公司要求．析规律不同函数类型增长的含义从这个例题我们看到，底数大于1的指数函数模型比一次项系数为正数的一次函数模型增长速度要快得多，而后者又比真数大于1的对数函数模型增长速度要快，从这个实例我们可以体会到对数增长，直线上升，指数爆炸等不同函数类型增长的含义．3．利用三种函数的图像解决与方程和不等式有关的问题利用指数函数、对数函数和幂函数图像的直观性，可解决与方程和不等式有关的问题，如判断方程是否有解、解的个数，方程根的分布情况等．把解方程和不等式问题转化为函数问题，这是函数思想和转化与化归思想的运用．例如，方程log2(x＋4)＝3x解的个数是( )．A．0 B．1C．2 D． 3我们可以在同一坐标系中画出对数型函数y ＝log 2(x ＋4)和指数函数y ＝3x的图像(其中，y ＝log 2(x ＋4)的图像由y ＝log 2x 的图像向左平移4个单位长度得到)，如图所示．由图像可以看出，它们有两个交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，即方程log 2(x ＋4)＝3x 的解为x＝x 1或x ＝x 2，因此，方程的解有两个．又如，若x 满足－3＋log 2x ＝－x ，则x 属于区间( )．A ．(0,1)B ．(1,2)C ．[2,3)D ．(3,4)由－3＋log 2x ＝－x ，得log 2x ＝3－x ，在同一坐标系中作出对数函数y ＝log 2x 和一次函数y ＝3－x 的图像，如图所示．观察图像可知，若log 2x ＝3－x ，则x 的取值在1与3之间，又知log 22＝1,3－2＝1，故选C.【例3－1】已知x 1是方程x ＋lg x ＝3的解，x 2是方程x ＋10x ＝3的解，则x 1＋x 2＝( )．A ．6B ．3C ．2D ．1解析：方程x ＋lg x ＝3可化为lg x ＝3－x ，方程x ＋10x ＝3可化为10x ＝3－x .在同一直角坐标系中画出函数y ＝lg x ，y ＝10x 和y ＝3－x 的图像，由于y ＝lg x 与y ＝10x 互为反函数，所以它们的图像关于直线y ＝x 对称．又因为直线y ＝3－x 与y ＝x 垂直，由3,y x y x=-⎧⎨=⎩得，两直线的交点P 的坐标为33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.由题意知，y ＝lg x 与y ＝3－x 交点A 的横坐标为x 1，y ＝10x 与y ＝3－x 交点B 的横坐标为x 2.因为点A ，B 关于P 对称，所以，由线段的中点坐标公式得12322x x +=，即x ＋x 2＝3. 答案：B谈重点 线段AB 的中点坐标公式在平面直角坐标系中，若点A 的坐标为(x 1，y 1)，点B 的坐标为(x 2，y 2)，则线段AB 的中点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22. 【例3－2】若x 2＜log m x 在x ∈10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，求实数m 的取值范围． 解：设y 1＝x 2，y 2＝log m x .若x 2＜log m x 在x ∈10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，则0＜m ＜1.两个函数的图像如图所示．当12x =时，211124y ⎛⎫== ⎪⎝⎭.若两函数图像在12x =处相交，则214y =， 由11log 24m =得1412m =，即411216m ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 又x 2＜log m x 在x ∈10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，根据底数m 对函数y ＝log m x 图像的影响可知，实数m 的取值范围为1,116⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【例3－3】方程2x ＝x 2有多少个实数根？解：在同一直角坐标系中画出函数y ＝2x 和y ＝x 2的图像．可以看出，在y 轴左侧，两个函数的图像有一个交点，而在y 轴右侧有两个交点(2,4)和(4,16)．当x ＞4时，指数函数y ＝2x 的增长快于幂函数y ＝x 2的增长，这就是说在x ＞4时，指数函数y＝2x与幂函数y＝x2的图像没有交点，因此方程2x＝x2有3个实数根．。

指数函数、幂函数、对数函数增长的比较【教学目标】1．通过具体实例体会三类函数模型增长的差异，提升数学建模素养。

2．利用三类函数的图像对比研究函数的增长快慢培养直观想象素养。

【教学重难点】1．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义，理解它们增长的差异性。

重点2．会利用指数函数、幂函数和对数函数的图像对比研究函数的增长快慢。

难点【教学过程】一、基础铺垫1三种函数的增长趋势当a>1时，指数函数＝a是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快。

当a>1时，对数函数＝og a是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快。

当>0，n>1时，幂函数＝n也是增函数，并且当>1时，n越大，其函数值的增长就越快。

思考1：在指数函数、对数函数、幂函数三类函数中，函数值增长最快的是哪个函数？[提示]指数函数2三种函数的增长对比对数函数＝og a a>1增长最慢，幂函数＝n n>0，指数函数＝aa>1增长的快慢交替出现，当足够大时，一定有a>n>og a。

思考2：在区间0，＋∞上，当a>1，n>0时，是否总有og a1，n>0，>0时，og a g1，f2g10。

∴12时，f>g，且g在0，＋∞上是增函数。

∴f2 016>g2 016>g8>f8。

【教师小结】函数＝aa>1＝og a a>1＝n n>0性质在0，＋∞上的单调性递增递增递增增长的速度先慢后快先快后慢随着n值的不同而不同图象的变化随的增大越来越陡随的增大逐渐变缓随着n值的不同而不同（二）指数、幂、对数比较大小1常用方法单调性法、图象法，中间搭桥法、作差商法。

2当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较。

3比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即先将它们分为“小于0”，“大于等于0，小于等于1”，“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小。

§3.5 对数函数问题导学一、对数函数的概念及对数函数与指数函数的关系活动与探究1(1)下列函数是对数函数的是( )． A ．y ＝log 2(3x ) B ．y ＝log 2x 3C ．14log y x =D ．121log y x= (2)写出下列函数的反函数：①y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x；②y ＝ln x.迁移与应用1．若对数函数f (x )的图像经过点(16，－2)，那么f (x )的解析式为__________．2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的反函数，其图像经过点(a ，a )，则f (x )等于( )．A ．log 2xB ．12log x C ．12x D ．x 2(1)判断一个函数是否是对数函数，主要根据解析式的特征来判定，求对数函数解析式时，主要利用待定系数法求出底数a 的值．(2)函数y ＝log a x 的反函数是y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)；函数y ＝a x的反函数是y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)．二、求与对数函数有关的函数的定义域活动与探究2求下列函数的定义域：(1)f (x )＝lg(4－x )x －3；(2)y ＝log 0.1(4x －3).迁移与应用求下列函数的定义域：(1)y ＝1lg(x ＋1)－3；(2)y ＝log 3x －1.求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要注意对数函数自身的要求：真数大于零．三、对数函数的图像活动与探究3作出函数f (x )＝|log 3x |的图像，并求出其值域和单调区间．迁移与应用函数f (x )＝log 41x的大致图像为( )．1．作函数的图像通常采用描点法和图像变换法，可灵活选用； 2．一般地，函数y ＝－f (x )与y ＝f (x )的图像关于x 轴对称，函数y ＝f (－x )与y ＝f (x )的图像关于y 轴对称，函数y ＝－f (－x )与y ＝f (x )的图像关于原点对称．四、对数函数单调性的应用活动与探究4(1)比较下列各组数的大小：①124log 5与log 1267；②12log 3与15log 3；③log a 2与log a 3.(2)若log a (1－2x )＞log a (1＋2x )，求实数x 的取值范围．迁移与应用1．设a ＝log 2π，b ＝log 23，c ＝log 32，则( )． A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．b ＞a ＞c D ．b ＞c ＞a2．若log a 3＜1，求a 的取值范围．(1)比较两个对数值的大小，常用方法有：①底数相同，真数不同时，用对数函数的单调性来比较；②底数不同，而真数相同时，常借助图像比较，也可用换底公式转化为同底数的对数后比较；③底数与真数都不同，需寻求中间值比较．④分类讨论：当底数与1的大小关系不确定时，要对底数与1比较，分类讨论．(2)解与对数有关的取值范围问题通常转化为不等式(组)求解，其依据是对数函数的单调性．(3)解决与对数函数相关的问题时，要遵循“定义域优先”的原则，切勿忘记真数大于0这一条件．当堂检测1．若函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的反函数是y ＝g (x )，则g (3)＝( )．A ．127B ．27C ．－1D ．12．若log 5x ＜－1，则x 的取值范围是( )．A ．x ＜15B ．0＜x ＜15C ．x ＞15 D ．x ＞53．下列不等式成立的是( )． A ．log 32＜log 23＜log 25 B ．log 32＜log 25＜log 23 C ．log 23＜log 32＜log 25 D ．log 23＜log 25＜log 324．函数y =__________．5．画出下列函数的图像，并根据图像写出函数的定义域、值域以及单调区间： (1)y ＝log 3(x －2)； (2)y ＝|12log x |.答案：课前预习导学 【预习导引】1．y ＝log a x 底数 10 e预习交流1 提示：根据对数函数的定义，只有严格符合y ＝log a x (a ＞0，a ≠1，x ＞0)形式的函数才是对数函数．例如y ＝log 3x (x ＞0)，12log y x =(x ＞0)是对数函数，而y ＝2log 2x ，212log y x =等都不是对数函数．2．反函数 互换 y ＝x3．(1)描点法 先画函数x ＝log 2y 的图像，再变换为y ＝log 2x 的图像． (2)(1,0) y 轴右边 x 轴上方 x 轴下方 (0，＋∞)4．(0，＋∞) (－∞，＋∞) (－∞，0) (0，＋∞)预习交流2 提示：不论a (a ＞0，且a ≠1)取何值，总有log a 1＝0，因此对数函数图像过定点(1,0)，对于函数y ＝log a f (x )，若令f (x )＝1解得x ＝x 0，那么其图像经过定点(x 0,0)．预习交流3 提示：当a ＞1时，a 值越大，图像越靠近x 轴； 当0＜a ＜1时，a 值越大，图像越远离x 轴．课堂合作探究 【问题导学】活动与探究1 思路分析：(1)根据对数函数的定义进行判断；(2)根据指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x 的关系直接写出函数的反函数．(1)C 解析：由对数函数的定义知，只有函数14log y x =是对数函数，其余选项中的函数均不是对数函数，故选C.(2)解：①指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，它的底数是12，它的反函数是对数函数12log y x =.②对数函数y ＝ln x ，它的底数是e ，它的反函数是指数函数y ＝e x.迁移与应用 1．()14log f x x = 解析：设f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，由已知得log a 16＝－2，因此a －2＝16，解得a ＝14，故()14log f x x =.2．B 解析：由题意，知f (x )＝log a x . ∵其图像过(a ，a )，∴a ＝log a a .∴a ＝12.∴()12log f x x =.活动与探究2 思路分析：(1)x 取值需使分母不等于零且真数为正实数； (2)x 取值需使被开方数为非负数且真数为正实数．解：(1)要使函数有意义，需有⎩⎪⎨⎪⎧4－x >0，x －3≠0，解得x ＜4，且x ≠3，所以函数的定义域为(－∞，3)∪(3,4)．(2)要使函数有意义，需有⎩⎪⎨⎪⎧4x －3>0，log 0.1(4x －3)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧4x －3>0，4x －3≤1，解得34＜x ≤1.所以函数的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤34，1. 迁移与应用 解：(1)∵由⎩⎪⎨⎪⎧lg(x ＋1)－3≠0，x ＋1>0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠103，x >－1，∴x ＞－1，且x ≠999，∴函数的定义域为{x |x ＞－1，且x ≠999}． (2)要使函数有意义，应有log 3x －1≥0， 即log 3x ≥1，所以x ≥3， 即函数的定义域为{x |x ≥3}． 活动与探究3 思路分析：将函数f (x )化为分段函数，结合对数函数及图像变换可作出函数图像，然后通过图像求出值域和单调区间．解：f (x )＝|log 3x |＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ≥1，－log 3x ，0<x <1，所以f (x )的图像在[1，＋∞)上与y ＝log 3x 的图像相同，在(0,1)上的图像与y ＝log 3x的图像关于x 轴对称，据此可画出其图像如下：从图像可知：函数f (x )的值域为[0，＋∞)，递增区间是[1，＋∞)，递减区间是(0,1)．迁移与应用 D 解析：由于f (x )＝log 41x＝－log 4x ，其图像与y ＝log 4x 的图像关于x轴对称，故选D.活动与探究 4 思路分析：(1)①中两数同底不同真，可利用对数函数的单调性；②中同真不同底，可结合图像判断；③中底数中含有字母，需分类讨论．(2)对底数a 进行讨论，结合对数函数的单调性求解． 解：(1)①12log y x =在(0，＋∞)上递减，又因为45＜67，所以112246log >log 57.②因为在x ∈(1，＋∞)上，15log y x =的图像在12log y x =图像的上方，所以1125log 3<log 3.③当a ＞1时，y ＝log a x 为增函数，所以log a 2＜log a 3.当0＜a ＜1时，y ＝log a x 为减函数， 所以log a 2＞log a 3.(2)当a ＞1时，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2x >0，1＋2x >0，1－2x >1＋2x ，解得－12＜x ＜0；当0＜a ＜1时，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧1－2x >0，1＋2x >0，1－2x <1＋2x ，解得0＜x ＜12.因此当a ＞1时，x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，当0＜a ＜1时，x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 迁移与应用 1．A 解析：∵函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，∴log 2π＞log 23，即a ＞b .又∵b ＝12log 23＞12，c ＝12log 32＜12，∴b ＞c .∴a ＞b ＞c .2．解：当a ＞1时，原不等式可化为log a 3＜log a a ， ∴a ＞3.当0＜a ＜1时，原不等式可化为log a 3＜log a a ， ∴a ＜3.又∵0＜a ＜1，∴0＜a ＜1.综上知，所求a 的取值范围是(0,1)∪(3，＋∞)． 【当堂检测】1．C 解析：依题意g (x )＝13log x ，所以g (3)＝13log 3＝－1.2．B 解析：由log 5x ＜－1可得log 5x ＜log 515，所以0＜x ＜15.3．A 解析：∵y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，∴log 25＞log 23＞log 22＝1.又y ＝log 3x 在(0，＋∞)上为增函数， ∴log 32＜log 33＝1. ∴log 32＜log 23＜log 25.4．[0,1) 解析：∵由12log (1)x -≥0，得0＜1－x ≤1，∴0≤x ＜1.5．解：(1)函数y ＝log 3(x －2)的图像可看作把函数y ＝log 3x 的图像向右平移2个单位长度得到的，如图①.其定义域为(2，＋∞)，值域为R ，在区间(2，＋∞)上是增函数．(2)y ＝|12log x |＝122log ,01,log ,1,x x x x <≤⎧⎪⎨⎪>⎩其图像如图②.其定义域为(0，＋∞)，值域为[0，＋∞)，在(0,1]上是减少的，在(1，＋∞)上是增加的．。

学习资料§3指数函数第1课时指数函数的图像与性质内容标准学科素养1。

理解指数函数的概念和意义．2。

能借助计算器或计算机画出指数函数的图像．3.初步掌握指数函数的有关性质。

精确数学概念提升数学运算熟练等价转化授课提示：对应学生用书第44页［基础认识]知识点指数函数错误!（1）细胞分裂时，第1次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去,如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关系式是什么？这个函数式与y＝x2有什么不同？提示:y＝2x。

它的底数为常数，自变量为指数，而y＝x2，恰好反过来．(2)函数的性质包括哪些?如何探索指数函数的性质？提示：函数的性质通常包括定义域、值域、特殊点、单调性、最值、奇偶性，可以通过描点作图,先研究具体的指数函数性质，再推广至一般．知识梳理指数函数思考：1.函数y＝3·5x是指数函数吗？为什么？提示：不是．不符合指数函数的定义,指数函数的解析式必须满足：①自变量为x在指数位置上;②底数a＞0且a≠1;③a x的系数是1.2．指数函数定义中为什么规定a＞0且a≠1?提示：（1)如果a＝0，当x＞0时，a x＝0；当x≤0，a x无意义．（2）如果a＜0，当x＝错误!，错误!等时,a x无意义．(3）如果a＝1,当a x＝1，无研究的价值．为了避免上述各种情况,所以规定a＞0且a≠1.［自我检测］1．函数y＝2－x的图像是图中的()解析：y＝2－x＝错误!x.答案：B2．函数y＝(a－1）x在R上为减函数，则a的取值范围是()A．a＞0，且a≠1 B．a＞2C．a＜2 D．1＜a＜2解析:由0＜a－1＜1，解得1＜a＜2.答案：D3．若指数函数y＝f(x)的图像经过点(π，e)，则f（－π)＝________。

解析:设f（x)＝a x（a＞0,且a≠1)，则f（π）＝e，即aπ＝e。

∴f（－π）＝a－π＝1aπ＝错误!。