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精选全文完整版可编辑修改高中数学北师大版必修1 全册 知识点总结第一章集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念把某些特定的对象集在一起就叫做集合. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集；N *或N +表示正整数集；Z 表示整数集；Q 表示有理数集；R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈；或者a M ∉；两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来；写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}；其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素；则它有2n 个子集；它有21n-个真子集；它有21n -个非空子集；它有22n-非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集Bx ∈A A=∅=∅A B A⊆B B ⊆ B{|x x x ∈A A =A ∅=⑼ 集合的运算律：交换律：.;A B B A A B B A ==结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A ==分配律:)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A == 0-1律：,,,A A A UA A UA U Φ=ΦΦ===等幂律：.,A A A A A A == 求补律：A ∩ A ∪=U反演律：(A ∩B)=(A)∪(B) (A ∪B)=(A)∩(B)第二章函数§1函数的概念及其表示一、映射1．映射：设A 、B 是两个集合；如果按照某种对应关系f ；对于集合A 中的 元素；在集合B 中都有 元素和它对应；这样的对应叫做 到 的映射；记作 .2．象与原象：如果f :A →B 是一个A 到B 的映射；那么和A 中的元素a 对应的 叫做象； 叫做原象.二、函数1．定义：设A 、B 是 ；f :A →B 是从A 到B 的一个映射；则映射f :A →B 叫做A 到B 的 ；记作 .2．函数的三要素为 、 、 ；两个函数当且仅当 分别相（3）A B A ⊇A B B⊇补集{|,}x x U x A ∈∉且%1 （%1%1%1 %1同时；二者才能称为同一函数.3．函数的表示法有 、 、 .§2函数的定义域和值域一、定义域：1．函数的定义域就是使函数式 的集合. 2．常见的三种题型确定定义域：① 已知函数的解析式；就是 .② 复合函数f [g(x )]的有关定义域；就要保证内函数g(x )的 域是外函数f (x )的 域.③实际应用问题的定义域；就是要使得 有意义的自变量的取值集合. 二、值域：1．函数y ＝f (x )中；与自变量x 的值 的集合.2．常见函数的值域求法；就是优先考虑 ；取决于 ；常用的方法有：①观察法；②配方法；③反函数法；④不等式法；⑤单调性法；⑥数形法；⑦判别式法；⑧有界性法；⑨换元法（又分为 法和 法）例如：① 形如y ＝221x +；可采用 法；② y ＝)32(2312-≠++x x x ；可采用法或 法；③ y ＝a [f (x )]2＋bf (x )＋c ；可采用 法；④ y ＝x －x-1；可采用 法；⑤ y ＝x －21x -；可采用 法；⑥ y ＝xx cos 2sin -可采用 法等.§3函数的单调性一、单调性1．定义：如果函数y ＝f (x )对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、、x 2；当x 1、<x 2时；①都有 ；则称f (x )在这个区间上是增函数；而这个区间称函数的一个 ；②都有 ；则称f (x )在这个区间上是减函数；而这个区间称函数的一个 .若函数f (x )在整个定义域l 内只有唯一的一个单调区间；则f (x )称为 .2．判断单调性的方法：(1) 定义法；其步骤为：① ；② ；③ .(2) 导数法；若函数y ＝f (x )在定义域内的某个区间上可导；①若 ；则f (x )在这个区间上是增函数；②若 ；则f (x )在这个区间上是减函数. 二、单调性的有关结论1．若f (x ), g (x )均为增(减)函数；则f (x )＋g (x ) 函数； 2．若f (x )为增(减)函数；则－f (x )为 ； 3．互为反函数的两个函数有 的单调性；4．复合函数y ＝f [g(x )]是定义在M 上的函数；若f (x )与g(x )的单调相同；则f [g(x )]为 ；若 f (x ), g(x )的单调性相反；则f [g(x )]为 .5．奇函数在其对称区间上的单调性 ；偶函数在其对称区间上的单调性 .§4函数的奇偶性1．奇偶性：① 定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有 ；则称f (x )为奇函数；若 ；则称f (x )为偶函数. 如果函数f (x )不具有上述性质；则f (x )不具有 . 如果函数同时具有上述两条性质；则f (x ) . ② 简单性质：1） 图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于 对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 对称. 2） 函数f (x )具有奇偶性的必要条件是其定义域关于 对称. 2．与函数周期有关的结论：①已知条件中如果出现)()(x f a x f -=+、或m x f a x f =+)()(（a 、m 均为非零常数；0>a ）；都可以得出)(x f 的周期为 ；②)(x f y =的图象关于点)0,(),0,(b a 中心对称或)(x f y =的图象关于直线b x a x ==,轴对称；均可以得到)(x f 周期第三章 指数函数和对数函数§1 正整数指数函数 §2 指数扩充及其运算性质1．正整数指数函数函数y ＝a x (a>0；a≠1；x ∈N ＋)叫作________指数函数；形如y ＝ka x (k ∈R ；a >0；且a ≠1)的函数称为________函数． 2．分数指数幂(1)分数指数幂的定义：给定正实数a ；对于任意给定的整数m ；n (m ；n 互素)；存在唯一的正实数b ；使得b n ＝a m ；我们把b 叫作a 的mn 次幂；记作b＝m na ；(2)正分数指数幂写成根式形式：m na ＝nam(a >0)； (3)规定正数的负分数指数幂的意义是：m na-＝__________________(a >0；m 、n ∈N ＋；且n >1)；(4)0的正分数指数幂等于____；0的负分数指数幂__________． 3．有理数指数幂的运算性质 (1)a m a n ＝________(a >0)； (2)(a m )n ＝________(a >0)； (3)(ab )n＝________(a >0；b >0)．§3 指数函数(一)1．指数函数的概念一般地；________________叫做指数函数；其中x 是自变量；函数的定义域是____．2．指数函数y ＝a x (a >0；且a ≠1)的图像和性质§4 对数(二)1．对数的运算性质如果a >0；且a ≠1；M >0；N >0；则： (1)log a (MN )＝________________； (2)log a MN＝________；(3)log a M n ＝__________(n ∈R )． 2．对数换底公式 log b N ＝logaNlogab(a ；b >0；a ；b ≠1；N >0)； 特别地：log a b ·log b a ＝____(a >0；且a ≠1；b >0；且b ≠1)．a >10<a <1图像定义域 R 值域(0；＋∞) 性 质过定点过点______；即x ＝____时；y ＝____ 函数值 的变化 当x >0时；______； 当x <0时；________ 当x >0时；________； 当x <0时；________ 单调性是R 上的________是R 上的________§5 对数函数(一)1．对数函数的定义：一般地；我们把______________________________叫做对数函数；其中x 是自变量；函数的定义域是________．________为常用对数函数；y ＝________为自然对数函数. 2．对数函数的图像与性质 对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)和指数函数____________________互为反函数．第四章 函数应用 §1 函数与方程1.1 利用函数性质判定方程解的存在2．函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的实数根；也就是函数y ＝f (x )的图像与x 轴的交点的横坐标．定义 y ＝log a x (a >0；且a ≠1) 底数 a >1 0<a <1 图像定义域 ______ 值域 ______单调性 在(0；＋∞)上是增函数 在(0；＋∞)上是减函数共点性 图像过点______；即log a 1＝0函数值 特点 x ∈(0,1)时； y ∈______； x ∈[1；＋∞)时；y ∈______.x ∈(0,1)时； y ∈______； x ∈[1；＋∞)时； y ∈______.对称性函数y ＝log a x 与y ＝1log a x 的图像关于______对称3．方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有________⇔函数y＝f(x)有________．4．函数零点的存在性的判定方法如果函数y＝f(x)在闭区间[a；b]上的图像是连续曲线；并且在区间端点的函数值符号相反；即f(a)·f(b)____0；则在区间(a；b)内；函数y＝f(x)至少有一个零点；即相应的方程f(x)＝0在区间(a；b)内至少有一个实数解．1.2 利用二分法求方程的近似解1．二分法的概念每次取区间的中点；将区间__________；再经比较；按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．由函数的零点与相应方程根的关系；可用二分法来_________________________________________________________________．2．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤(给定精确度ε)(1)确定区间[a；b]；使____________．(2)求区间(a；b)的中点；x1＝__________.(3)计算f(x1)．①若f(x1)＝0；则________________；②若f(a)·f(x1)<0；则令b＝x1(此时零点x0∈(a；x1))；③若f(x1)·f(b)<0；则令a＝x1(此时零点x0∈(x1；b))．(4)继续实施上述步骤；直到区间[a n；b n]；函数的零点总位于区间[a n；b n]上；当a n和b n按照给定的精确度所取的近似值相同时；这个相同的近似值就是函数y＝f(x)的近似零点；计算终止．这时函数y＝f(x)的近似零点满足给定的精确度．。
第三章 《对数函数》第1节 对数知识点1：对数的概念： 1、对数的概念一般地，如果a ()1,0≠>a a 的b 次幂等于N ，即N a b=，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作:b N a =log ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．要点诠释：对数式b N a =log 中各字母的取值范围是：a>0 且a ≠1， N>0， b ∈R 。
2．对数()log 0a N a >≠，且a 1具有下列性质：（1）0和负数没有对数，即0N >； （2）1的对数为0，即log 10a =； （3）底的对数等于1，即log 1a a =． 3．两种特殊的对数（1）通常将以10为底的对数叫做常用对数，N N lg log 10简记作．（2）以e （e 是一个无理数， 2.7182e =⋅⋅⋅）为底的对数叫做自然对数， log ln e N N 简记作． 4．对数式与指数式的关系（1）由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示．由此可见a ，b ，N 三个字母在不同的式子中名称可能发生变化． （2）对数恒等式：N aNa =log ；N a N a =log 。
()1,0≠>a a知识点2：对数的运算性质：已知()log log 010a a M N a a M N >≠>，且，、（1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；()log log log a a a MN M N =+ 推广：()()121212log log log log 0a k a a a k k N N N N N N N N N =+++>、、、（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；log log log aa a MM N N=- （3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；log log a a M M αα=要点诠释：利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立．如：log 2（-3）（-5）=log 2（-3）+log 2（-5）是不成立的，因为虽然log 2（-3）（-5）是存在的，但log 2（-3）与log 2（-5）是不存在的． 要点3、对数的换底公式及其推论1．换底公式：同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0， a ≠1， M>0的前提下有:)1,0(log log log ≠>=c c aMM c c a ，令log a M=b ， 则有a b =M ， 则有 )1,0(log log ≠>=c c M a c b c即M a b c c log log =⋅， 即a M b c c log log =，即)1,0(log log log ≠>=c c aMM c c a 2、推论：bN N a log 1log =．N mnN b nb m log log =（N ，b 大于零且不等于1） 例1：求下列各式中x 的取值范围：（1）2log (5)x -； （2）(1)log (2)x x -+； （3）2(1)log (1)x x +-．例2：求下列各式中x 的值。
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《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》重点难点突破
1.一般地，在区间(0,)+∞上，尽管函数x y a =（1a >），log (1)a y x a =>，(0)n y x n =>都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上随着x 的增大x y a =（1a >）的增长速度越来越快，会超过并远远大于(0)n y x n =>的增长速度，而log (1)a y x a =>的增长速度会越来越慢.因此，总会存在一个0x ，当0x x >时，就有log (1,0)n x a x x a a n <<>>.
2.选取上述三个增长函数模型时，应注意：
（1）当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型
（2）当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型.
3）幂函数模型(0)n y x n =>可以描述增长幅度不同的变化，当n 值较小（1n ≤）时，增长较慢；当n 值较大（1n >）时，增长较快.。
第三章 指数函数和对数函数§1 正整数指数函数疑难突破1.正整数指数函数剖析：一般地，函数y =a x (a ＞0,a ≠1,x ∈N +)叫做正整数指数函数.其中x 是自变量，定义域是正整数集N +.表达式中的限制条件“a ＞0且a ≠1”是为了与后续内容的统一.其图象是一系列离散的点.正整数指数函数的学习为指数函数的学习埋下了伏笔，当把幂的指数从正整数扩充到实数后，指数函数概念的得出也就“水到渠成”了.2.在正整数指数函数的定义中，为什么规定a ＞0且a ≠1?剖析：（1）区别于已学的函数，当a =1时，y =1x =1成为常数函数，为突出指数函数是不同于过去学过的任何一种函数的新的函数，也为更便于对正整数指数函数的研究，故规定a ≠1.(2)函数意义的确定性，当a =0，x ≤0时0x没有意义;当a ＜0时，a x 对一部分实数x 的值没有意义，如(-2)21在实数X 围内就没有意义.因此规定a ＞0. 疑难导析当我们学习新知识时，总是希望它与过去的知识是相互联系的.对正整数指数函数的理解，可对比我们学过的“复利和公式”去研究：设有本金a 元，年增长率为p ,则x 年后本利和A 应为A ＝a (1+p )x .此外，还可对比增长问题、质量浓度问题等去认识正整数指数函数.对正整数指数函数底数的规定可从函数的定义去突破.“给定两个非空数集A 和B ,如果按照某个对应关系f ,对于A 中任何一个数x ，在集合B 中都存在唯一确定的数f(x)与之对应，那么就把这种对应关系f 叫做定义在A 上的函数.”根据实数函数的定义可知，随着函数定义域的扩展，当a ≤0时是不符合函数定义的. 问题探究问题 正整数指数函数的图象有什么特点？探究：正整数指数函数y =a x 的定义域为｛x ｜x ∈N +｝, 值域为｛y ｜y =a x,x ∈N +｝,其中a ＞0且a ≠1. ①当0＜a ＜1时，如a =21,则列表、描点可得其图象(如图3-1-1)y21 41 81 161 …故y =,21x⎪⎭⎫⎝⎛ x ∈N +的图象为一系列孤立的点，它是单调递减的.图3-1-1 图3-1-2 ②当a ＞1时，如a =2,则列表、描点可得其图象(如图3-1-2). 故y =2x , x ∈N +的图象为一系列孤立的点，它是单调递增的. 由此可归纳出正整数指数函数的特点为：（1）正整数指数函数的定义域为正整数，因此其图象是一系列孤立的点. (2)当底数a ＞1时，其图象是上升的;当底数0＜a ＜1时，其图象是下降的.§2 指数概念的扩充疑难突破1.整数指数幂剖析：为了学习分数指数幂，本小节首先回顾了初中数学学过的整数指数幂的概念，即正整数指数幂、零指数幂和负整数指数幂的意义.特别注意：零的零次幂没有意义;零的负整数次幂也没有意义.事实上，a -p =p a 1(p 为正整数)，因为p a1是分式，分母不能是零，所以限定底数a ≠0.教材验证了同底数幂的乘法性质适用于整数指数幂.同样可以验证性质(4)(5).教材通过例2说明nn nb a b a =⎪⎭⎫⎝⎛可以归入性质(3);同理，性质(4)由正整数指数幂的运算性质可以推广到整数.也可归入性质(1).于是，整数指数幂的运算性质可归纳如上：整数指数幂满足以下三个运算性质： (1)a m ·a n =a m+n (m 、n ∈Z ); (2)(a m )n =a nm （m 、n ∈Z ）; (3)(ab )n =a n ·b n (n ∈Z ).在这里，对于底数应有使等号两边都有意义的限定，即对于零指数幂或负整数指数幂，底数不等于零，指数可以是任意整数.整数指数幂满足以下三个不等性质.(1)若a ＞0,则a n ＞0(n ∈Z ); (2)若a ＞1,则a n ＞1(n ∈N +); (3)若0＜a ＜1,则0＜a n ＜1(n ∈N +).2.分数指数幂剖析：在35=243这个式子中，243是3的5次幂;我们把3叫做243的51次幂，记作3=24351.推广得到a 的n1次幂的概念. 同样，由于43=82,这时4可记作832,即4=832.推广得到a 的nm次幂的概念.由此得到正分数指数幂的概念.正分数指数幂与根式之间可以互化：a nm =nm a (a ＞0).由于学过负整数次幂，正分数指数幂引入后，不难得到负分数指数幂的意义：nm nm aa1=-（a ＞0,m 、n ∈N +且n ＞1）.教材在得到分数指数幂后，补充规定：“0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义”.规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数a nm或nm a -（m 、n ∈N +）的形式.在这里，对底数a 有所限制，即a ＞0.3.有理数指数幂和实数指数幂剖析：对于每一个有理数a ，可确定一个有理数指数幂a α（a ＞0）与它对应，这样就可把整数指数幂扩展到有理数指数幂.同理，对于每一个无理数α,可确定一个无理数指数幂a α与它对应，这样就可以把有理数指数幂扩展到实数指数幂(其中a ＞0).同时，可以把整数指数函数扩展到有理数指数函数，进一步扩展到实数指数函数.教材通过无理数的不足近似值和过剩近似值与这个无理数的无限靠近值说明了无理数指数幂的存在性.可以得到1α=1和a -α=αa1(a ＞0,α∈R ).同时规定：0的正无理数次幂为0,0的负无理数次幂无意义.指数扩充到有理数、实数后，整数幂的运算性质仍然适用： (1)a α·a β= a βα+;(2)(a α)β= aαβ;(3)(ab )n =a n ·b n (a ＞0,b ＞0,α、β∈R ).实数指数幂满足以下不等性质： 若a ＞0,α是实数，则a α＞0. 疑难导析在由正整数指数幂向整数指数幂扩充的过程中，要牢牢把握正整数幂的运算性质和负整数指数幂的意义，即a -n =.1n a对于该性质的扩充我们可通过实例去获得感性认识，从而验证这种扩充是正确的，例如(1).2)2(,2122,2121)2(3232663263232⨯---⨯--=∴===⎪⎭⎫⎝⎛=(2).361312132,36161)32(222222=⨯=⨯==⨯--- .32)32(222---⨯=⨯∴给出一个式子，我们认为它是有意义的，注意使式子成立的条件，可加深我们对这一概念的认识，这就是整数指数幂的底数的限制条件（零的零次幂没有意义，零的负整数次幂也没有意义）.由于解决问题的需要，需把整数指数幂推广到分数指数幂.由整数指数幂向分数指数幂推广经历以以下两个过程：（1）从已知b n =a 中的n 和求b 引入，强调存在与唯一，即“给定正实数a ,对于任意给定的正整数n ,存在唯一的正实数b ,使得b n =a .这样我们就把存在唯一的正实数b 记作b =a n1”;(2)在理解上一点的同时，进一步讲解“给定正实数a ,对于任意给定的正整数n ,m ,存在唯一的正实数b ,使得b n =a m ,我们规定b 叫做a 的nm次幂，记作b ＝a n m,它就是分数指数幂.”体会上述分数指数幂的推广过程，有助于我们对数学概念作出理性的思考.在学习实数指数幂的概念时，一定要利用科学计算器或计算机进行实际操作，切实感受“逼近”的过程.2是我们熟悉的数，这里是“用有理数逼近无理数”的思想重新认识它，读出它的一系列不足近似值和过剩近似值，体会越来越逼近2精确值的过程.通过计算可知，2的近似值精确度越高，以其不足近似值和过剩近似值为指数的幂10α会越来越趋于同一常数，记作102,从而对实数指数幂有感性认识，即任一有意义的实数指数幂都是一个确定的值.问题探究问题1 填表：在a ＞0的情况下，如果a n ＞1(n ∈N +) ,那么a ＞1成立吗？探究：运用反证法的思想来思考，假设a ＞1不成立，即0＜a ≤1.当a ＝1时，a n =1(n ∈N +),与已知条件矛盾;当0＜a ＜1时，由正整数指数幂的不等性质得，0＜a n ＜1（n ∈N +），与已知条件也矛盾.所以假设不成立，所以a ＞1成立.问题2 如何理解分数指数幂a nm 的意义？ 探究：分数指数幂anm 不可理解为nm个a 相乘，它是根式的一种新的写法.规定n m nm a a =(a ＞0,m 、n 都是正整数，n ＞1),anm -=nmnm aa11=(a ＞0,m 、n 都是正整数，n ＞1)，在这样的规定下，根式与分数指数幂表示相同意义的量，它们只是形式上的不同而已.0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂无意义，负数的分数指数幂是否有意义，应视m 、n 的具体数而定.问题3 如何进行根式运算？探究：根式运算，教材中不介绍根式的运算性质，对于根式运算，简单的问题可根据根式的意义直接计算.一般可将根式化为分数指数幂，利用分数指数幂的运算性质进行计算.注意，对计算结果的要求，不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母，又含有负指数.运算时要分清（n a ）n 与nn a 这两种形式.对于前者，利用（n a ）n =a (a ＞1且n ∈N +)计算.对于后者，要注意n 是奇数还是偶数，即利用下列等式： 当n 为奇数时，;a a nn = 当n 为偶数时，==a a nn⎩⎨⎧-≥.0,,0,＜a a a a§3 指数函数疑难突破1.y =a x 的图象随a 变化的规律剖析：观察函数y =2x 、y =3x 、y =0.2x 、y =0.3x 、y =0.5x 的图象，可总结出底数a 对指数函数y = a x 的图象的影响规律.(1)若a ＞1,则指数函数是R 上的增函数，且当x ＞0时，底数a 的值越大，其函数值增长得越快.(2)若0＜a ＜1,则指数函数是R 上的减函数，且当x ＜0时，底数a 的值越小，其函数值减小得越快.2.当自变量取同一数值时，函数值随底数a 的变化规律是什么？底数不同的指数函数图象间有什么关系？剖析：（1）x ＞0时，a 越大，函数值越大;x ＜0时，a 越大，函数值减小;(2)任何两个函数的图象都是交叉出现的，其交点是(1,0),因为x ＝1时，y =a x =a 1=a ,所以，可作直线x =1，它与各个图象相交，其交点的纵坐标恰为指数函数的底数，可依此区分不同指数函数图象间的关系. 疑难导析函数图象是研究函数性质的重要工具，在研究底数a 对函数y =a x 增长快慢的影响时，应先自己动手，从讨论简单函数入手，再自己设定一些数，研究指数函数y =a x 的底数时，函数值及函数图象的影响，最后用函数计算器或计算机演示其图象变化，以加深对函数图象的认识.可先选取底数a (a ＞0且a ≠1)的若干个不同的值，在同一坐标系作出相应的指数函数图象，通过观察图象，获得相关的性质.通过函数图象的直观性，获得相关函数的性质，再加以证明，是我们研究函数的重要策略和方法. 问题探究问题1 指数函数图象与指数函数性质之间的对应关系. 探究：指数函数图象与指数函数性质之间的对应关系为：(1)曲线沿x 轴方向向左向右无限延展⇔函数的定义域为(+∞∞-,).(2)曲线在x 轴上方，而且向左或向右随着x 值的减小无限靠近x 轴(x 轴是曲线的渐近线)⇔函数的值域为(0,∞+).(3)曲线过定点(0,1)⇔x =0时，函数值y =a 0=1(a ＞0且a ≠1).(4)a ＞1时，曲线由左向右逐渐上升，即a ＞1时，函数在(+∞∞-,)上是增函数;0＜a ＜1时，曲线逐渐下降，即0＜a ＜1时，函数在(+∞∞-,)上是减函数.问题2 如何比较指数函数值的大小？探究：比较指数函数值的大小主要有如下方法： (1)若底数相同，指数不同，可利用指数函数的单调性.(2)若底数不同，指数也不同，可选择介于两数中间的中间量（常用的数为a 0=1）,或比差法，或比商法.(3)若底数不同，指数相同，可利用其函数值增长或减小的快慢来判断，也可用比商法. (4)对任何指数函数值，还可通过计算器求值，再进行比较.§4 对数疑难突破1.对数式log a N =b 中字母的取值X 围.剖析：对数定义中为什么规定a ＞0,a ≠1?因为若a ＜0,则N 为某些值时，b 不存在,如b =log (-2)8不存在;若a=0，N 不为0时，b 不存在，如log 02不存在，N 为0时，b 可以为任意正数，是不唯一的，即log 00有无数个值;若a =1，N 不为1时，b 不存在，如log 13不存在，N 为1时，b 可以为任何数，是不唯一的，即log 11有无数多个值.这样，就规定了a ＞0,a ≠1.在log a N =b 中，必须使N ＞0，这是由于在实数X 围内，正数的任何次幂都是正数.因而a b =N 中N 总是正数.因此，要特别记住：零和负数没有对数.2.对数的运算法则剖析：对数的运算法则是本小节的重点之一.要理解推导对数运算法则的依据和过程，并会用语言叙述法则，从而记住这些法则.性质(2)和(3)的证明补充如下.性质（3）的证明：设log a M =p ,log a N =q ,则由对数定义得a p =M ,a q =N .,log .q p N M a a a N M a q p q p -=∴==∴-即log .log log N M NMa a a -= 性质(2)的证明：设log a M =x ,则由对数定义得a x =M .nxna M =⇒,log nx M n a =∴即log a M n =n log a M .疑难导析由对数的定义，可得对数与指数间的关系：a b =N ⇔b=log a N (a ＞0,且a ≠1).认清对数式 log a N ＝b 的含义，明确a ,N ,b 相对于指数式a b =N 是什么数，并找出它们之间的关系，这样，我们就可利用已学习的指数幂的相关知识解决对数式中字母的取值X 围了.在证明对数的运算性质时，先要弄清条件和结论，即已知log a M 、log a N ，求log a （M ·N ）、log aNM及log a N n 的值.由于对数运算是幂运算的逆运算，为了利用指数的运算性质，所以可先设log a M=p, log a N=q ，转化成指数式a p =M ,a q =N ,然后构造出MN 、NM，N n ,再重新转化成对数式求值.问题探究问题1 如何理解对数的概念及性质？探究：(1)对数由指数而来.对数式log a N =b 是由指数式a b =N 而来的，两式底数相同，对数式中的真数N 就是指数式中的幂的值N ，而对数值b 是指数式中的幂指数.对数式与指数式的关系如下图.在指数式a b =N 中，若已知a 、N 求幂指数b ,便是对数运算b =log a N .(2)对数记号log a N 只有在a ＞0且a ≠1, N ＞0时才有意义.因为在a b =N 中,a ＞0且a ≠1,所以在log a N 中，a ＞0且a ≠1. 又因为正数的任何次幂都是正数，即a b ＞0(a ＞0),故N =a b ＞0.(3)关于对数的几个基本结论要牢记，如：①零和负数没有对数，即在log a N 中N ≤0时无意义; ②log a 1=0(a ＞0,a ≠1); ③log a a =1(a ＞0,a ≠1).注意并不是所有的指数式都能直接改写成对数式，如(-2)2=4不能写成log (-2)4=2,只有在a ＞0, a ≠1,N ＞0时，才有a b ＝N ⇔b = log a N .(4)抓住两个问题实质，才能正确理解对数概念.①如果已知每年平均增长率α，求10年后国民生产总值是原来的多少倍，就是y =(1+α)10.这是知道底数和指数，求幂值——指数问题.②如果已知每年平均增长率α，问需经过多少年国民生产总值是原来的2倍，就是(1+α)x =2.这是知道底数和幂值，求指数——对数问题.由于对数式与指数式实际上是同一关系的不同表示形式，所以可以将对数问题转化为指数问题来解决.在学习对数的运算性质时，要注意与指数运算法则的联系和区别，如下表所示.指数 对数性质a m ·a n =a m +nmnn m nm nm a a aa a ==-)( log a MN =log a M +log a N log a=NMlog a M -log a N log a M n =n log a M助记口诀：乘除变加减，指数提到前.问题2 如何证明换底公式？探究：换底公式的证明方法很多，除了用课本上的方法证明外，还可用其他方法进行证明，如：要证log b N =bNa a log log (a ,b ＞0且a ,b ≠1,N ＞0)，只证log b N ·log a b =log a N .根据对数的运算性质，只要证log a b log b N =log a N .因为b log b N =N 成立，所以上式成立，从而换底公式成立.§5 对数函数疑难突破1.对数函数的图象及性质剖析：教材中用两种方法画出了对数函数y =log 2x 的图象，我们可以自己画出y =log x 21的图象，对它们的图象特征和性质进行分析.现给出它们的分析表如下：在作上述分析后，结合指数函数的性质，归纳出对数函数的性质.特别注意性质分a ＞1与0＜a ＜1两种情况，要加以区分.2.a的取值对对数函数y=log a x图象的影响规律剖析：通过做教材中“思考交流”，总结出底数a的取值对对数函数y=log a x图象的影响规律：(1)当底数a＞1时，对数函数是(0,+∞)上的增函数，当x＞1时，底数a的值越小，其函数值增长得越快;(2)当底数0＜a＜1时，对数函数是(0,+∞)上的减函数，当0＜x＜1时，底数a的值越大，其函数值减小得越快.疑难导析本节是在已经学过对数与常用对数、指数函数的基础上，引入对数函数的概念的.因为指数函数与对数函数互为反函数，所以在学习对数函数的概念、图象与性质时，要处处与指数函数相对照.也可先作出几个底数不同的对数函数图象，观察图象获得对数的性质.因为y=log a x是由y=a x转化得来的，所以底数a同样必须满足a＞0且a≠1的条件.指数函数的值域为(0,+∞),这时变成了对数函数的定义域;而指数函数的定义域(实数集R),这时变成了对数函数的值域.像这样的两个函数我们称之为互为反函数，它们的图象是关于直线y=x对称的.对数函数是最重要最基本的函数模型，对数函数y=log a x（a＞0,且a≠1）的图象与性质可通过对具体的对数函数图象和性质抽象和概括而得到，也可以作为指数函数y=a x的反函数,通过指数函数的图象和性质得出.问题探究问题1 指数函数与对数函数的关系是什么？探究：(1)函数y=a x（a＞0且a≠1）与y=log a x(a＞0且a≠1)互为反函数，其图象关于直线y=x对称，指数函数的定义域与值域是其相应对数函数的值域与定义域.(2)对数函数与指数函数均为非奇非偶函数.(3)指数函数y=a x（a＞0且a≠1）与y=xa⎪⎭⎫⎝⎛1(a＞0且a≠1)的图象关于y轴对称.(4)指数函数y=a x（a＞0且a≠1）在y轴右侧部分，图象越在上方，其底数越大;对数函数y=log a x(a＞0,a≠1)在x轴上方部分，图象越在下边，其底数越大.问题2 如何理解对数函数与对数函数图象之间的关系？探究：对数函数的图象可根据反函数的图象性质作出，又可用描点法来画，把握住对数函数图象的以下特征，就能准确地画出对数函数的图象：(1)过点(1,0),(a,1)(2)y轴是渐近线.(3)a＞1时，由左向右逐渐上升，0＜a＜1时，逐渐下降.(4)曲线位于y轴右侧，且以y轴为渐近线⇔定义域x＞0.(5)曲线向上、向下无限延伸⇔值域y∈R.(6)曲线恒过定点(1,0)⇔log a1=0,即x=1时，y=0.(7)a＞1时，曲线逐渐上升⇔a＞1时，函数单调递增;0＜a＜1时，曲线逐渐下降⇔0＜a＜1时，函数单调递减.问题3 如何利用对数函数的图象解决有关问题？探究：(1)利用图象法研究对数函数的有关性质.对数函数的图象要分底数a＞1及0＜a＜1两种情况讨论.对于几个底数都大于1的对数函数，底数越大，函数图象向右的方向越远离x轴.以上规律可总结成“底大头低”四个字来理解.实际上，作出直线y=1与各图象交点的横坐标即各函数的底数的大小.如图3-5-1，利用图象法研究不同底的两个对数函数的有关性质时特别方便.图3-5-1(2)利用“同增异减”性的方法求复合函数的单调区间.因为单调区间是定义域的子集，所以求单调区间时，一定要先考察定义域.如y=log2(x2-2x)先要考察x2-2x＞0,即x＜0或x＞2,然后再利用“同增异减”求得单调区间.§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较疑难突破1.三种函数增长的比较剖析：通过教材关于三个函数的自变量与函数的对应值及区间变化对应的两个表格，或利用计算机绘图比较，我们可以体会到如下规律：在区间(0,+∞)上，尽管函数y =a x （a ＞1）、y =log a x (a ＞1)和y =x n (n ＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x 的增大，y =a x （a ＞1）的增长速度越来越快，会超过并远远大于y =x n (n ＞0)的增长速度，而y =log a x (a ＞1)的增长速度则会越来越慢.因此，总会存在一个x 0,当x ＞x 0时，就有log a x ＜x n ＜a x .正因为指数函数值增长非常快，所以我们称这种现象为“指数爆炸”.2.在函数值的计算中大多是通过科学计算器计算出来的，但是有的科学计算器无法直接计算很大的数，那么怎么办呢？剖析：一般我们需要设计一些计算方法，利用计算器进行近似计算.以计算y =3x 当x =500时为例说明计算的步骤：第一步，利用科学计算器算出310=59 049=5.904 9⨯104.第二步，再计算3100.因为3100=（310）10=（5.904 9⨯104)10=5.9 04910⨯1040,所以我们只需要用科学计算器算出5.904 910≈51 537 752.07,则3100≈5.153 8⨯1047. 第三步，再计算3500.因为3500=（3100）5=(5.153 8⨯1047)5,只需用科学计算器算出5.153 85≈3 636.12,从而算出3500=3.636 125⨯10238.结合上述方法，在计算函数y =3x 值的过程中，当x 很大时，应该知道如何才能使计算步骤最少了吧！疑难导析虽然我们对指数函数、对数函数以及幂函数各自的单调性都有了比较清楚的认识，但是对这三种函数增长的差异认识不清，突破的思路有二：一是使用科学计算器，计算这三个函数所对应的一系列函数值，再计算并观察函数值的变化量，从中分析三个函数的函数值增长的快慢情况，感知其增长的差异;二是借助于图象的直观性，感知其增长的差异.由于计算器的计算数位有限，对于较大的数，有些计算器是无法完成的，这时我们可把它化归成计算较小的数，具体的作法是把无法计算的数写成幂的乘方形式，先计算较小的幂，将计算结果写成a ⨯10n ()100＜＜a 的形式，再计算(a ⨯10n )m =a m ⨯10mn 时，只需计算a m 的值，把结果写成a m ⨯10mn =b ⨯10k ()100＜＜b 的形式,再计算b 的乘方.如此进行下去，就可计算出计算器无法直接完成的值.问题探究问题试讨论函数y=a x ()10＜＜a,y=x n(),0＜n y=log a x(0＜a＜1)在区间(0,+∞)上的衰减情况.探究：首先作出三个具体函数y=x⎪⎭⎫⎝⎛21、21xy=、xy21log=的衰减情况，作出它们的图象及函数值变化表.图3-6-1通过观察上面的图表，获得这三个具体函数的衰减情况，然后将结论推广到一般的情况.在区间(0,+∞)上，尽管函数y=a x ())0(10＜、＜＜nxya n=和)10(log＜＜axya=都是减函数，但它们衰减的速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x的增大，存在一个x0,当x＞x0时，x n＞a x＞log a x.。
