指数函数27北师大版

∴ 2 > 5
即x
32成立的x的集合
5
2
课堂小结
1.数学知识：指数函数的概念、图像和性质
x
定义：一般地，函数 y
a (a 0且a
1）
叫做指数函数，其中x为自变量，定义域为R
指数函数
a
y=1
a 的图像和性质
1
y
图
象
y
x
a
0
y
y=ax
y=ax
(a>1)
(0<a<1)
(0,1)
x
a
1
1
(0,1)
0
y=1
∴ 1. 50.3 > 1. 50 = 1
0.8
0.8
1,
∴ = 0. 8 为减函数，
∴ = 1. 5 为增函数，
又
x
又
0.8
0,
∴ 0. 81.2 < 0. 80 = 1
∴ 1.5
0.3
> 0. 81.2
求使不等式4
解： 4
x
y
x
32,
x
2
2
x
5
2
2x
2 ,即2
5
2 是R上的增函数，
图像在直线y=1的右
的右下方和左
上方和左下方
上方
图像既不关于y轴对称也不关于原点对称
在 R 上 单调递增 在 R 上单调递减
性
质
X>0时，y>1
X>0时，0<y<1
X<0时，0<y<1
X<0时，y>1
奇偶性：非奇非偶函数
巩固应用

x
(a 1)的图象和性质
恒过定点 (0,1)
定义域：R
值域：(0, )
单调性：单调递增
12
y
10
x
y=4
y = 3x
8
y = 2x
4
y=
3
()
y=1
10
6
x
4
2
5
O
2
5
10
奇偶性：非奇非偶
当x 0时，y 1 ;
当x 0时，0 y 1 .
在 y 轴右侧底数越
大，图象越高.
15
学生活动
x
x
1
1
探究2：画出函数 y , y 的图象，再在同一直角坐标系下比较.
2
3
y
描点法作图
列表
x
8
x
1
2
1
4
1
8
⋯
4
⋯ 3 2 1 0 1 2 3 ⋯
1 1 1
⋯ 27 9 3 1 3 9 27 ⋯
2
1
⋯ 8 4 2 1
x
1
y
x
x
y
描点法作图
列表
描点
作图
8
⋯ 3 2 1 0 1 2 3 ⋯
x
y2 ⋯
x
1
4
1
2
4
⋯ 3 2 1 0 1 2 3 ⋯
2
1
y 3 ⋯
x
1
8
1 2 4 8 ⋯
x
1
27
1
9
1
3
1 3 9 27 ⋯
3 2 1 O
1 2 3

)
A.a B.b
C.c D.d
解析:根据四种函数的变化特点,指数函数是变化最快的函数.当
运动时间足够长时,最前面的物体一定是按照指数函数关系运动的
物体.
答案:D
题型一
题型二
题型三
题型三 函数的增长差异在实际中的应用
【例3】 某公司为了实现1 000万元利润的目标,准备制定一个激
励销售部门的奖励方案:在销售利润达到10万元时,按销售利润进
这说明,按模型y=log7x+1进行奖励,奖金不超过利润的25%.
综上所述,模型y=log7x+1符合公司要求.
反思从这个例题可以看到,底数大于1的指数函数模型比一次项
系数为正数的一次函数模型增长速度要快得多,而后者又比真数大
于1的对数函数模型增长速度要快,从而我们可以体会到对数增长、
直线上升、指数爆炸等不同函数类型增长的含义.
时,y>5,因此该模型不符合要求.
对于模型y=1.002x,利用计算器,可知1.002806≈5.005,由于y=1.002x
在(-∞,+∞)上是增函数,故当x∈(806,1 000]时,y>5,因此,也不符合题
意.
对于模型y=log7x+1,它在区间[10,1 000]上是增加的,且当x=1 000
是增函数,但它们增长的速度不同,而且不在一个“档次”上,随着x的
增大,y=ax(a>1)的增长速度会越来越快,会超过并远远大于
y=xn(x>0,n>1)和y=logax(a>1)的增长速度.由于指数函数值增长非
常快,人们常称这种现象为“指数爆炸”.
【做一做1】 当x(x>0)增大时,下列函数中,增长速度最快的是

• 二级
• 三级
• 四级 • 五级
性质
(1)定义域：R； (2)值域：(0, +∞)； (3)图像过点(0，1)； (4)在其定义域上单调递减
-3 -2 -1 0 1 2 3
说出函数y =2 x和 图像的异同点
x
2024/11/14
5
单击此处编辑母版标题样式 思考：函数y y
=
3
x和 y y=
(1)x 3
以函• 五数级的定义域为[1,+ ∞);又因为
x ≥10,
所以函数的值域为[1,+ ∞)
2024/11/14
8
单击练此习 处编辑母版标题样式
1
• 单击此处（编1）辑求母函版数文y=本3 x样的式定义域与值域.
•
二级
• 三级
(2)若
y
=
(a 2
－3)(a+2) x
是一个指数函数，求
a
的取值范围。
思考• 四级
• 单•击二•此级x三处级编… …辑母-3 版文-2本样-1式-0.5 0 0.5 1
2
3
… …
•
y=2x
四… …级• 五级1/8
1/4 1/2 0.71
1
1.4
2
4
8
… …
y (1)x … 2…
8
4
2
1.1/8
… …
用描点法画出图象形状如何？
2024/11/14
3
单击此处编辑母版标题样性式质
9
1、指数函数的定义： y = a x ( a ＞ 0 且 a ≠ 1 )
单击2此、指处数函编数的辑图象母和性版质标： 题样式
a＞1

北师大版高中数学必修第一册《指数函数》评课稿一、引言《指数函数》是北师大版高中数学必修第一册的一章内容，该章主要介绍了指数及指数函数的基本概念、性质、运算法则以及在实际问题中的应用。

本评课稿旨在对该章进行细致的评价，分析其教学内容的合理性和教学方法的有效性，以及对学生的学习效果评估。

二、教学内容细化2.1 指数的引入指数作为数学中的重要概念，是介于代数与分析之间的一门科学。

《指数函数》一章开篇首先引入了指数，通过对指数的简单解释和示例，激发学生对指数的兴趣，为后续学习打下了基础。

2.2 指数的性质和运算法则本节主要介绍了指数的性质和运算法则，包括：指数的定义、同底数幂的比较、指数幂的运算法则等。

通过对性质和法则的详细解释与演示，帮助学生理解和掌握指数的运算规律，为后续学习指数函数奠定基础。

2.3 指数函数的定义与性质指数函数作为本章的核心内容，该节主要介绍了指数函数的概念、定义及其一些基本性质。

通过具体的例子和图表，引导学生理解指数函数的特点和变化规律，以及指数函数与指数的关系。

2.4 指数函数的图像与性质本节通过图像展示，详细介绍了指数函数的图像特征和性质，包括：图像的增减性、图像的性态及其变化规律等。

通过图像的观察和分析，帮助学生直观理解指数函数的特点，加深对指数函数的认识。

2.5 指数函数的应用该节主要介绍了指数函数在实际问题中的应用，包括：指数函数在增长问题中的应用、指数函数在减衰问题中的应用等。

通过实例分析和解决问题的过程，培养学生运用指数函数解决实际问题的能力和思维方法。

三、教学方法评价3.1 运用启发式教学方法在《指数函数》这一章的教学过程中，教师广泛运用了启发式教学方法。

通过引导学生思考问题、发现规律、探索解题思路，激发学生的主动学习兴趣，培养学生的创新思维和问题解决能力。

3.2 利用多媒体教学辅助教师在教学过程中巧妙地运用多媒体教学辅助工具，如使用投影仪展示指数函数的图像、演示指数函数的性质和变化规律等。

114 .7 1
12
0.5 1 2 1.7 3 9
2.5 … 15.6 …
0.6 0.3 0.1 0.06 …
10
( )1x
gx = 3 8 6
fx = 3x
4
2
北师大版（2019）高中数学《指数函 数》PPT 标准课 件2
-10
-5
5
10
北师大版（2019）高中数学《指数函 数》PPT 标准课 件2 北师大版（2019）高中数学《指数函 数》PPT 标准课 件2
回忆
一般地，函数___y____a__x___ (a＞0，a≠1，x∈N＋)叫
作正整数指数函数，其中 x是自变量，定义域是正整 数集N＋.
想一想
如果把定义域的范围扩大 到R又会有什么新发现
定义 一般地，函数y ax (a 0, a 1)叫做指数 函数，其中x是自变量，函数的定义域是 R。
特征：
5.利用下图,找出适合方程2x=5的近 似解(精确到0.1). 2x=5的近似 解为2.4.
北师大版（2019）高中数学《指数函 数》PPT 标准课 件2
北师大版（2019）高中数学《指数函 数》PPT 标准课 件2
如何学习一个函数
解析式
图像
定义域
值域
性质
特殊点 单调性
奇偶性
北师大版（2019）高中数学《指数函 数》PPT 标准课 件2
正整数指数函数y=2x(x∈N+)与指数函数 y=2x(x∈R)有什么相同与区别?
都是增函数 函数值都大于零 y
36 32 28 24 20 16
孤立点 12
8 4
y
y=2x
8
光4 滑 曲2 线1
O 246x

北师大版（2019）高中数学《指数函 数》课 件PPT1
2．指数函数 y＝ax(a＞0 且 a≠1)的图像和性质
a>1
0<a<1
图像
北师大版（2019）高中数学《指数函 数》课 件PPT1
北师大版（2019）高中数学《指数函 数》课 件PPT1
定义域
R
值域
_________ (0，＋∞)
性 过定点
问题：实例中得到的两个函数解析式有什么共同特征？ [提示] (1)幂的形式；(2)幂的底数是一个大于 0 且不等于 1 的 常数；(3)幂的指数是一个变量．
北师大版（2019）高中数学《指数函 数》课 件PPT1
1．指数函数的定义 一般地，函数___y＝ax _____称为指数函数，其中 a 是常数，a＞0 且 a≠1.
北师大版（2019）高中数学《指数函 数》课 件PPT1
北师大版（2019）高中数学《指数函 数》课 件PPT1
3．若 2x＋1＜1，则 x 的取值范围是( )
A．(－1,1)
B．(－1，＋∞)
C．(0,1)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)
D [不等是增函数，所以 x＋1＜0，
第四章 指数函数、对数函数与幂函数
4.1 指数与指数函数 4.1.2 指数函数的性质与图像
学习目标
核心素养
1．理解指数函数的概念与意义， 1．通过指数函数概念的学习，
掌握指数函数的定义域、值域的求 培养数学抽象素养．
法．(重点、难点) 2．借助指数函数图像与性质的
2．能画出具体指数函数的图像， 学习，提升直观想象、逻辑推
北师大版（2019）高中数学《指数函 数》课 件PPT1
3．比较幂大小的方法 (1) 对 于 同 底 数 不 同 指 数 的 两 个 幂 的 大 小 ， 利 用 指 数 函 数 的 _单调性______来判断． (2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的 _图像 ____的变化规律来判断． (3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过_中间值______ 来判断．

因为f(x)=log2x在定义域内是增函数,
若f(a)>f(2),即log2a>log22,则a>2.
所以a的取值范围为(2,+∞).
答案:(1)B (2)(2,+∞)
题型一
题型二
反思(1)与对数函数y=log2x有关的图像的画法:列表、描点、连
线.(2)利用图像特征解题,图像要画准确.
题型一
题型二
C.y=0 D.y的符号不确定
(2)已知f(x)=log2x,若f(a)>f(2),则实数a的取值范围是
.
分析:当x>1时,函数y=log2x的图像是上升的且在x轴上方.
解析:(1)因为当x>1时,函数y=log2x的图像是上升的,故
y=log2x>log21=0.故选B.
(2)函数f(x)=log2x的图像如图.
所以函数y=log2(2x-1)在x∈[2,14]上的最小值为log23,最大值为
3log23.
反思求闭区间上的最值问题,要先确定函数的定义域,然后根据函
数的单调性求解.
题型一
题型二
【变式训练2】 函数y=log2x在[1,2]上的值域是(
A.R
B.[0,+∞)
C.(-∞,1]
D.[0,1]
解析:因为y=log2x在(0,+∞)上是增加的,
所以y=log2x在[1,2]上是增加的.
所以ymin=log21=0,ymax=log22=1.
所以函数y=log2x在[1,2]上的值域为[0,1].
答案:D
)
1
2
3
4
5
6
1设f(log2x)=2x(x>0),则f(3)=(

第三章 指数函数第1节 正整数指数函数知识点1：正整数指数函数的概念函数y=a x （a>0,1≠a +∈N x ）叫做正整数指数函数，其中x 是自变量，定义域是正整数集N +。

知识点2：正整数指数函数的图像特征及其单调性 1、正整数指数函数的图像是散点图；2、当1>a 时，在定义域上递增；当10<<a 时，在定义域上递减。

知识点3：指数型函数我们把形如xka y =（1,0≠>∈a a R x k ，、）的函数叫作指数型函数。

例：已知正整数指数函数f(x)的图像经过点（3,27）. （1）求函数f(x)的解析式； （2）求f （5）的值；（3）函数f(x)有最值吗？如有，试求出；若无，请说明理由。

第2节 指数扩充及其运算性质 知识点1：分数指数幂1、定义：给定正实数a ，对于任意给定的整数m ，n （m ，n 互素），存在唯一的正实数b ，使得mna b =，我们把b 叫作a 的nm次幂，记作n ma b =。

2、意义知识点2：无理数指数幂无理数指数幂αa （a>0，α是无理数）是一个确定的实数。

知识点3：实数指数幂及其运算性质1、当a>0时，对任意的R ∈α，αa 都有意义，且是唯一确定的实数。

2、实数指数幂的运算性质：对任意实数m 、n ，当a>0，b>0时，nm nma a a +=•；()mn nma a =；()n n nb a ab =。

知识点4：根式及其分数指数幂的运算 1、指数幂运算的常用技巧：（1）有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算； （2）负指数幂化为正指数幂的倒数；（3）底数是小数，要先化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质. 2、根式化简的步骤：（1）将根式化成分数指数幂的形式； （2）利用分数指数幂的运算性质求解. 3.根式的性质（其中n ∈N +，且n>1）； （1）当n 为奇数时，a a n n =；（2）当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==0,0,||a a a a a a nn；（3）00=n ；（4）负数没有偶次方根。

①换元,令t=f(x); ②求t=f(x)的定义域x∈D; ③求t=f(x)的值域t∈M; ④利用y=at的单调性求y=at(t∈M)的值域.
2.比较幂的大小的常用方法:
四、课堂小结&作业
1、指数函数的图像及其性质；
2、指数比较大小的方法； ①、构造函数法：要点是利用函数的单调性，数的特 征是同底不同指（包括可以化为同底的）。或画图像 直接描点观察法。
|－b|个单位长度得到，所以－b＞0，即 b＜0.
答案：D
三、练习巩固
题点三：作指数型函数的图象 例 3．画出下列函数的图象，并说明它们是由函数 f(x)＝2x
的图象经过怎样的变换得到的． (1)y＝2x＋1；(2)y＝－2x. 解：如图．
(1)y＝2x＋1 的图象是由 y＝2x 的图象向上平移 1 个单位长度 得到的；
2
方法2 利用对称性画图．
因为y (1)x
2
2x
，点(x，y)与点(-x，y)关
于y轴对称，所以函数 y=2x 图象上任意一点
P（x，y）关于 y 轴的对称点P1（-x，y）都
在函数
y
(
1 2
)
x
的图象上，反之亦然．所以可
利用函数 y=2x 的图象，画出函数 y (1)x 的图
2
象．
底数互为倒数的两个指数函数的图象关于 y 轴对称．根据这种对 称性，就可以利用一个函数的图象，画出另一个函数的图象．
二、新知探究
活动1：请同学们完成 x，y 的对应值表，并用描点法画出指数函
数 y=2x 的图象．观察图象，探究函数的性质．
1.列表 2.描点
x -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 y 0.25 0.35 0.5 0.71 1 1.41 2 2.83 4

+1.
令2x=t, 则 t ∈[1,4], 且f(t)=(t+1)²+1, ∴f(1)≤f(t)≤f(4), 即 5 ≤f(t)≤26,
易知f(t)在[1,4]上单调递增，
即函数y=4x+2x+1+2 的值域为[5,26].
方法归纳 与指数函数有关的复合函数的定义域、值域的求法(a>0, 且a≠1):
(1)函数y=af(x)的定义域与f(x)的定义域相同； (2)求函数y=af(x)的值域，需先确定f(x)的值域，再根据指数函数y= a 的单调性确定函数y=af(x)的值域；
(3)求函数y=f(a) 的定义域，需先确定y=f(u) 的定义域，即u的取值 范围，亦即u=a 的值域，由此构造关于x的不等式(组),确定x的取值 范围，得y=f(a) 的定义域；
解析：f(-1)=2-(-1)=2,∴f(-1)=f(2)=a ·2²=1,∴
6. (12分)设f(x)=3x,
垂
(1)在同一坐标系中作出f(x),g(x) 的图象；
解析：函 数f(x)与g(x)的图象如图所示.
(2)计算f(1)与g(一1),f(π) 与g(一π),f(m) 与g(-m) 的值，从中你能得 到什么结论?
例1求下列函数的定义域和值域：
(1)y=√ 1-3×;
解析：要使函数式有意义，则1-3x≥0, 即3*≤1=30,因为函数y=3×在R上是 增函数，所以x≤0, 故函数y =√1-3 ×的定义域为(一0,0).
因为x≤0, 所以0<3x≤1, 所以0≤1-3x<1, 所以 √1-3×∈[0,1],即函数y=√1-3× 的值域为[0,1].
D.[0,1]
答案：C 解析：因为指数函数y=3x 在区间[-1,1]上是增函数，所以3-¹ ≤3×≤3¹ ,于是

x
1
1
1<2a<2,得 <a<1.于是有 <a<1.
2
2
综上可知,实数 a 的取值范围为
限,则必有(
)
A.0<a<1,b>0
C.a>1,b<0
B.0<a<1,b<0
D.a>1,b>0
解析由指数函数y=ax图象的性质知函数y=ax的图象过第一、
二象限,且恒过点(0,1),而函数y=ax-(b+1)的图象是由y=ax的
图象向下平移(b+1)个单位长度得到的,如图,故若函数y=ax-
(b+1)的图象过第一、三、四象限,则a>1,且b+1>1,从而a>1,
质解决问题.(数学运算)
思维脉络
激趣诱思
当有机体生存时,会因呼吸、进食等不断地从外界摄入碳14,最终体内碳
14与碳12的比值会达到与环境一致(该比值基本不变),当有机体死亡后,碳
14的摄入停止,之后体中碳14因衰变会逐渐减少,通过测定碳14与碳12的
比值就可以测定该生物的死亡年代.
已知碳14的半衰期(消耗一半所花费的时间)为5 730年,
延伸探究本例中函数改为f(x)=5·a3x-2+4呢?
2
2
2
0
解令 3x-2=0,得 x= ,此时 f( )=5×a +4=9,故函数 f(x)的图象过定点 ,9 .
3
3
3
2.画指数型函数的图象
例3画出下列函数的图象,并说明它们是由函数f(x)=2x的图象经过怎样的
变换得到的.
(1)y=2x-1;(2)y=2x+1;(3)y=-2x;(4)y=2|x|.

变式训练2-1:已知f(x)=2x,指出下列函数的图象是由y=f(x)的图象通过怎
样的变换得到:
①y=2x+1;②y=2x-1;③y=2-x;④y=2|x|.
解:①y=2x+1的图象是由f(x)=2x的图象向左平移1个单位长度得到的.
②f(x)=2x-1的图象是由f(x)=2x的图象向右平移1个单位长度得到的.

=
+

+





x
≤




= ,

当且仅当 2 = ,即 x= 时取等号.

所以 0<y≤ .


所以函数的值域为(0, ].

因为 y= ,
x
-

所以 3 = +1>0 且 y≠0.

综上 y<-1 或 y>0.
所以函数的值域为(-∞,-1)∪(0,+∞).
(2)y=
- -
.
解:(2)因为 x-1≥0,所以 x≥1.
所以函数的定义域为[1,+∞).
又 x≥1 时,- -≤0.
所以
- -
0
≤3 =1,
知识点1:指数函数的定义
根据指数幂的定义,当给定正数a,且a≠1时,对于任意的实数x,都有唯一确
定的正数y=ax与之对应,因此,y=ax是一个定义在实数集上的函数,称为指数
函数.
[思考1] 为什么规定y=ax中a>0,且a≠1?
提示:①当a≤0时,ax可能无意义;②当a>0时,x可以取任意实数;③当a=1时,
所以 0<y=
- -

设计意图： 1、通过一组课堂练习加深对指 数函数概念的理解，突出本节 课的教学重点。 2、讨论、总结、抢答的方式充 分调动学生学习兴趣。
北师大版高中数学《指数函数》PPT课 件1(完 美课件 )
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引入新知
深入探究 学以致用学以致用总结提升 总结提升
初结已的数 进合步经认函 行思具构 知0数 理3想备建 结的解。了构概。数一 。念形定
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03Part three
教学目标
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教学目标
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06 Part six
板书设计
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布置作业
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04Part four
教法学法
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教法学法
演示法
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自主探究
引导 组织
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课时素养评价二十七指数函数的图象和性质(15分钟35分）1.若函数f(x)=·a x是指数函数,则f的值为（)A.2B.2C.—2D。

-2【解析】选B.因为函数f（x）=·a x是指数函数，所以a-3=1，a>0,a≠1，解得a=8,所以f（x）=8x,所以f==2.2。

函数y=8-23-x（x≥0)的值域是（)A。

[0，8) B。

（0，8)C.［0，8] D。

（0，8]【解析】选A.因为x≥0,所以3-x≤3，0〈23—x≤8,所以0≤8-23—x<8.3。

函数y=0.的定义域为.【解析】要使函数有意义，则x2-1≠0,解得x≠±1.答案:｛x|x∈R,且x≠±1}4。

若<,则a的取值范围是.【解析】若〈,则a〉0，因为>,<,所以函数y=a x单调递减，所以0〈a<1。

答案：（0，1)5。

若〈,则实数a的取值范围是.【解析】因为函数y=单调递减,所以a2—2>3—4a,即a2+4a-5〉0,解得a<-5或a>1.答案：∪6。

已知函数f（x）=,a为常数，且函数的图象过点（-1,2）.（1)求a的值；(2)若g(x)=4-x—2，且g（x)=f（x），求满足条件的x的值。

【解析】（1）由已知得=2,解得a=1。

（2）由（1）知f(x）=,又g(x）=f（x）,则4-x-2=,即--2=0,即-—2=0，令=t，则t〉0，t2-t—2=0，即(t—2)（t+1）=0,又t>0，故t=2,即=2，解得x=-1，故满足条件的x的值为—1。

(30分钟60分）一、单选题（每小题5分，共20分）1.已知函数f(x）=(a∈R），若f（f(-1)）=1，则a= (）A。

B. C.1 D。

2【解析】选A.因为f(—1)=2-(-1)=2，所以f(f（—1)）=f(2）=4a=1,所以a=。

2.设a=2—1，b=（t∈R）,则a与b的大小关系是（) A。