线面夹角公式空间向量
在空间几何中，线面夹角是指直线与平面之间的夹角。它是一个重要的概念，在不同的应用领域中都有着广泛的运用。线面夹角的计算方法主要是利用向量的运算，下面将详细介绍线面夹角的公式和计算方法。
首先，需要了解向量的概念。向量是指空间中有大小和方向的量，它可以用一组有序的数表示。向量可以表示为一个有向线段，它的起点和终点分别表示向量的起点和终点。向量具有一些特殊的性质，其中重要的一条是向量的长度表示向量大小，向量的方向表示向量的方向，这些都能够直接应用到线面夹角的计算中。
接下来，我们来看一下线面夹角的定义。线面夹角是指一个直线与一个平面的夹角，该角度是由平面法线向量与直线向量之间的夹角决定的。如果直线向量与平面法线向量是非零向量且不垂直，则可以使用向量积来计算线面夹角，具体公式为：
cosθ = |n·a| / (|n||a|)
其中θ表示线面夹角的大小，n表示平面的法线向量，a表示直线的向量。
当然，在实际应用中，有时候我们并不总是能够直接获得向量的大小和方向，这时候就需要利用向量运算方法来计算。具体方法如下：
1.求出平面的法向量n 对于平面的法向量，我们可以通过两个点得到一条直线，再得到直线的向量，最后使用叉乘积求得法向量。
2.求出直线的向量a
直线的向量可以通过直线上的两个点求解，直接连接两点即可得到直线的向量。
3.求解向量点积和向量模长
使用向量运算法则，求出向量a和向量n的点积和模长。
4.求出角度cosθ
通过向量点积和向量模长的值带入公式，求解出角度cosθ。
最后，需要注意的是，在计算线面夹角时，需要格外注意平面法向量和直线向量是否同向。如果两者同向，则角度为0，如果垂直则角度为90度，如果其它情况则可以通过公式计算。
总体来看，线面夹角是一个重要的几何概念。了解线面夹角的计算方法，不仅可以帮助我们更好地理解空间几何，还能够帮助我们在各种应用领域中更好地应用这个概念。希望本文的介绍能够帮助大家更好地理解和应用线面夹角的公式和计算方法。
学案46 利用向量方法求空间角
自我检测
1．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为( )
A．45° B．135°
C．45°或135° D．90°
2．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(2,4，－4)，b＝(－6,9,6)，则( )
A．l1∥l2 B．l1⊥l2
C．l1与l2相交但不垂直 D．以上均不正确
3．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于( )
A．120° B．60°
C．30° D．以上均错
4．(2011·湛江月考)二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝217，则该二面角的大小为( )
A．150° B．45° C．60° D．120°
5．(2011·铁岭模拟)已知直线AB、CD是异面直线，AC⊥CD，BD⊥CD，且AB＝2，CD＝1，则异面直线AB与CD夹角的大小为( )
A．30° B．45° C．60° D．75°
探究点一 利用向量法求异面直线所成的角
例1 已知直三棱柱ABC—A1B1C1，∠ACB＝90°，CA＝CB＝CC1，D为B1C1的中点，求异面直线BD和A1C所成角的余弦值．
变式迁移1 如图所示，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求异面直线BA1和AC所成的角．
探究点二 利用向量法求直线与平面所成的角
例2 (2011·新乡月考)如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．若平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值．
变式迁移2 如图所示，在几何体ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，BE和CD都垂直于平面ABC，且BE＝AB＝2，CD＝1，点F是AE的中点．求AB与平面BDF所成角的正弦值．
教学内容 利用向量方法求空间角
教学目标 1.掌握各种空间角的定义，弄清它们各自的取值范围.2.掌握异面直线所成的角，二面角的平面角，直线与平面所成的角的联系和区别，体会求空间角中的转化思想．
重点 1.掌握各种空间角的定义，弄清它们各自的取值范围.2.掌握异面直线所成的角，二面角的平面角，直线与平面所成的角的联系和区别，体会求空间角中的转化思想．
难点 1.掌握各种空间角的定义，弄清它们各自的取值范围.2.掌握异面直线所成的角，二面角的平面角，直线与平面所成的角的联系和区别，体会求空间角中的转化思想．
教学准备
教
学
过
程
自主梳理
1．两条异面直线的夹角
①定义：设a，b是两条异面直线，在直线a上任取一点作直线a′∥b，则a′与a的夹角叫做a与b的夹角．
②范围：两异面直线夹角θ的取值范围是_____________________．
③向量求法：设直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为φ，则有cos θ＝________＝_______________.
2．直线与平面的夹角
①定义：直线和平面的夹角，是指直线与它在这个平面内的射影的夹角．
②范围：直线和平面夹角θ的取值范围是________________________．
③向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为θ，a与u的夹角为φ，则有sin θ＝|cos φ|或cos θ＝sin φ.
3．二面角
(1)二面角的取值范围是____________．
(2)二面角的向量求法：
①若AB、CD分别是二面角α—l—β的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB→与CD→的夹角(如图①)．
②设n1，n2分别是二面角α—l—β的两个面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图②③)．
自我检测
1．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为________．
空间向量求空间角
教学知能目标：1．理解空间向量求解空间角的一般方法；
2．能用空间向量解决空间角问题。
教学情感目标：培养学生探究新知的精神，培养学生数形结合的能力，化归的能力。
教学重点：理解空间向量求解空间角的一般方法，并能利用空间向量解决空间角问题。
教学难点：线面角，面面角的化归。
一、复习引入：
1 ．在三棱锥PABC中，,,,PAABABACACPA
2PAPBPC，则面ABC的法向量是什么？面PBC
的法向量又怎么求？
2 ．空间向量的数量积运算公式是什么？
二、新课探究：
四棱柱1111ABCDABCD的底面是的边长为1的正方形，侧棱垂直底面，11,4,,,ABAAEFG分
别是11,,CCACBB的中点。
问题1：求异面直线11,BFDE所成角的余弦值.
探究：如何用空间向量求异面直线所成的角？
设l1与l2是两异面直线，,ab分别为l1、l2的方向向量，它们所成角为， l1、l2所成的角为，则θ与相等或互补，则coscosabab
ZYXGFED1C1B1A1DCBAαbaCBAP
问题2：求直线AC与平面1AGF所成角的余弦值；
探究：如何用空间向量求直线与平面所成的角？
如图，设l为平面的斜线，lA，,a为l的方向向量， n为平面的法向量，它们所成角为θ， l与平面所成的角为，则sincosanan
问题3：求二面角1AAGF的平面角的余弦值。
探究：如何用空间向量求二面角？
平面与相交于直线l，平面的法向量为1n，平面的法向量为2n，12,nn = ，则二面角l为或.设二面角的大小为，则2112coscosnnnn
φnaCBAαφn2n1lBAOβα
三、巩固提高：
已知四棱锥SABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，（1）当时2SAa时，求异面直线AB和SC所成角的余弦值；（2）当2SAa时求直线BD和平面SCD所成角的余弦值；（3）当SAAB的值为多少时，二面角BSCD的大小为120?
