空间向量解立体几何问题
1.直线的方向向量
把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.如图1,在空间直角坐标系中,由A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)确定的直线AB的方向向量是
2.平面的法向量
如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面α,称这个向量垂直于平面α,记作n⊥α,这时向量n叫做平面α的法向量.
在空间直角坐标系中,如何求平面法向量的坐标呢? 如图2,设a=( x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面α内的两个不共线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若n⊥a且n⊥b,则n⊥α.换句话说,若n·a = 0且n·b = 0,则n⊥ α.
求平面的法向量的坐标的步骤
第一步(设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z).
第二步(列):根据n·a = 0且n·b = 0可列出方程组
第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y.
第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特 殊越好),便得到平面法向量n的坐标.
例1在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.
二.立体几何问题的类型及解法
1.判定直线、平面间的位置关系 α
a b n
α
A
B C D O A1 B1 C1 D1 212121(,,)ABxxyyzzn (1)直线与直线的位置关系
不重合的两条直线a,b的方向向量分别为a ,b.
①若a∥b,即a=λb,则a∥b. ②若a⊥b,即a·b = 0,则a⊥b
例2已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=θ,求证: C C1⊥BD
(2)直线与平面的位置关系
直线L的方向向量为a,平面α的法向量为n,且L ⊥α.
专题8.7 立体几何中的向量方法（二）求空间角与距离
一、考纲要求
1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题；
2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.
二、考点梳理
考点一 异面直线所成的角
设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则
a与b的夹角β l1与l2所成的角θ
范围 (0，π) 0，π2
求法 cos β＝a·b|a||b| cos θ＝|cos β|＝|a·b||a||b|
考点二 求直线与平面所成的角
设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈a，n〉|＝|a·n||a||n|.
考点三 求二面角的大小
(1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝__〈AB→，CD→〉.
(2)如图②③，n1，n2 分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).
【特别提醒】
1.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sin θ＝|cos〈a，n〉|，不要误记为cos θ＝|cos〈a，n〉|.
2.二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，来确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补.
三、题型分析
例1. （黑龙江鹤岗一中2019届期末）如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，则OA与BC所成角的余弦值为( )
A.3－225 B.2－26
C.12 D.32
【答案】A
【解析】因为BC→＝AC→－AB→，所以OA→·BC→＝OA→·AC→－OA→·AB→
利用空间向量求空间角考点与题型归纳
一、基础知识
1．异面直线所成角
设异面直线a，b所成的角为θ，则cos
θ＝|a·b||a||b|❶， 其中a，b分别是直线a，b的方向向量．
2．直线与平面所成角
如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，a为l的方向向量，n为平面α的法向量，φ为l与α所成的角，则sin φ＝|cos〈a，n〉|＝|a·n||a||n|❷.
3．二面角
(1)若AB，CD分别是二面角αlβ的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量AB―→与CD―→的夹角，如图(1)．
(2)平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，〈n1，n2〉＝θ，则二面角α l β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝|n1·n2||n1||n2|❸，如图(2)(3)．
两异面直线所成的角为锐角或直角，而不共线的向量的夹角为(0，π)，所以公式中要加绝对值．
直线与平面所成角的范围为0，π2，而向量之间的夹角的范围为[0，π]，所以公式中要加绝对值．
利用公式与二面角的平面角时，要注意〈n1，n2〉与二面角大小的关系，是相等还是互补，需要结合图形进行判断．
二、常用结论
解空间角最值问题时往往会用到最小角定理
cos θ＝cos θ1cos θ2.
如图，若OA为平面α的一条斜线，O为斜足，OB为OA在平面α内的射影，OC为平面α内的一条直线，其中θ为OA与OC所成的角，θ1为OA与OB所成的角，即线面角，θ2为OB与OC所成的角，那么cos θ＝cos θ1cos θ2.
考点一 异面直线所成的角
[典例精析]
如图，在三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA＝AC＝4，AB＝2.
(1)求证：MN∥平面BDE；
(2)已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为721，求线段AH的长．
北京市和平街第一中学课时教学设计
授课时间 2018 年 9 月 11日 第 1 页
课题
用空间向量解决立体几何中角的问题 (1)
异面直线成角 课型 空间向量解立体几何新课
章（单元）总课时 14 本课题课时 14 本节课是第9课时
教学
目标
1.通过小组展示探究成果，使学生学会求异面直线所成的角向量方法；
2.通过学习过程中的知识的质疑，概念的比较，使学生能够清楚地建立起向量方法和几何方法之间的联系和区别；
3.通过分析问题，小组探究，使学生的推理能力和空间想象能力得以培养.
教学
重点 求解线线角向量方法.
教学
难点 准确建系，求解准确
教学
方法 讲授法、讨论法
教学
手段
投影
板书
设计 教 师 教 学 活 动 设 计 学生活动 估时
教
学
过
程 一．回顾
1.异面直线定义:
2.异面直线所成的角定义:
3. 异面直线所成的角的范围:
向量法:
例题1: 已知正方体 1111ABCDABCD 中 , E是11AB 的中点 ,
F是 11BD的中点 , 求 BE 与 DF所成的角.
例2．正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，高为22。
求：（1）AC1与B1C所成角的余弦值；
AEFD1A1B1C1BCD练习: .在三棱柱111ABCABC中 ， 11CAB平面BBC ，E为棱1CC 上异于1CC的一点， 1AEEB ，已知2AB ，112,1,3BBBCBCC ，求（1）异面直线AB与 1EB所成角
作业见
学生讲解
学生练习
课
后
