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第九章算法初步、统计与统计案例[深研高考·备考导航]为教师备课、授课提供丰富教学资源[五年考情][重点关注]综合近5年全国卷高考试题，我们发现高考命题在本章呈现以下规律：1．从考查题型看：一般有1个客观题，1个解答题；从考查分值看，在17分左右．基础题主要考查对基础知识和基本方法的掌握，中档题主要考查数据的处理能力和综合应用能力．2．从考查知识点看：主要考查算法框图、简单随机抽样、用样本估计总体、变量间的相关关系与统计案例．突出对数形结合思想、转化与化归思想、分类讨论思想以及探究、创新能力的考查．3．从命题思路上看：(1)求算法框图的执行结果．(2)确定选择结构中的条件与循环结构中的循环变量，完善算法框图．(3)随机抽样中的系统抽样与分层抽样．(4)样本的平均数、频率、中位数、众数、方差；频率分布直方图、茎叶图；变量间的相关关系中的线性回归分析及独立性检验的基本思想及其初步应用．[导学心语]1．深刻理解并掌握以下概念算法中三种结构的功能，抽样方法的操作步骤，数字特征的含义及计算，频率分布直方图和茎叶图的画法，回归分析中线性回归方程的含义及求法和独立性检验的基本思想．2．突出重点、控制难度本章命题背景新颖、重点内容突出：如算法框图的执行结果与条件判断、统计图表与样本数字特征等，但题目难度不超过中等程度，复习时注意新材料、新背景的题目，重基础，控制好难度．3．注重交汇，突出统计思想强化统计思想方法的应用，注重知识的交汇渗透，如算法框图与数列、统计与函数、统计图表与概率．复习时善于把握命题新动向，抓住命题的增长点，强化规范性训练，力争不失分、得满分．第一节算法与算法框图[考纲传真] 1.了解算法的含义，了解算法的思想.2.理解算法框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环.3.理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义.4.了解流程图、结构图及其在实际中的应用．1．算法的含义算法是解决某类问题的一系列步骤或程序，只要按照这些步骤执行，都能使问题得到解决．2．算法框图在算法设计中，算法框图(也叫程序框图)可以准确、清晰、直观地表达解决问题的思想和步骤，算法框图的三种基本结构：顺序结构、选择结构、循环结构．3．三种基本逻辑结构(1)顺序结构：按照步骤依次执行的一个算法，称为具有“顺序结构”的算法，或者称为算法的顺序结构．其结构形式为图9-1-1(2)选择结构：需要进行判断，判断的结果决定后面的步骤，像这样的结构通常称作选择结构．其结构形式为图9-1-2(3)循环结构：指从某处开始，按照一定条件反复执行某些步骤的情况．反复执行的处理步骤称为循环体．其基本模式为图9-1-34．基本算法语句任何一种程序设计语言中都包含五种基本的算法语句，它们分别是：输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句和循环语句．5．赋值语句(1)一般形式：变量＝表达式．(2)作用：将表达式所代表的值赋给变量．6．条件语句(2)If —Then语句的一般格式是：7．循环语句8．流程图与结构图(1)由一些图形符号和文字说明构成的图示称为流程图．(2)描述系统结构的图示称为结构图，一般由构成系统的若干要素和表达各要素之间关系的连线(或方向箭头)构成．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)算法框图中的图形符号可以由个人来确定．()(2)一个算法框图一定包含顺序结构，但不一定包含选择结构和循环结构．()(3)选择结构的出口有两个，但在执行时，只有一个出口是有效的．()(4)在算法语句中，X＝X＋1是错误的．()[答案](1)×(2)√(3)√(4)×2．(教材改编)根据给出的算法框图，计算f (－1)＋f (2)＝()图9-1-4A．0B．1C．2 D．4A[f (－1)＝4×(－1)＝－4，f (2)＝22＝4，∴f (－1)＋f (2)＝－4＋4＝0.]3．(2017·贵阳调研)执行如图9-1-5所示的算法框图，输出S的值为()图9-1-5A．－32B．32C．－12D．12D[按照算法框图依次循环运算，当k＝5时，停止循环，当k＝5时，S＝sin 5π6＝12.]4．(2016·全国卷Ⅱ)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图9-1-6是实现该算法的算法框图．执行该算法框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a 为2,2,5，则输出的s＝()图9-1-6A．7 B．12C．17 D．34C[输入x＝2，n＝2.第一次，a＝2，s＝2，k＝1，不满足k>n；第二次，a＝2，s＝2×2＋2＝6，k＝2，不满足k>n；第三次，a＝5，s＝6×2＋5＝17，k＝3，满足k>n，输出s＝17.]5．执行算法框图9-1-7，若输入的x的值为1，则输出的y的值是________.【导学号：66482430】图9-1-713[当x＝1时，1＜2，则x＝1＋1＝2，当x＝2时，不满足x＜2，则y＝3×22＋1＝13.]算法框图的基本结构序，若输入x 的值为1，则输出y 的值为( )图9-1-8A ．2B ．7C ．8D ．128(2)(2016·北京高考)执行如图9-1-9所示的算法框图，输出的s 值为()图9-1-9A ．8B ．9C ．27D ．36(1)C (2)B [(1)由算法框图知，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥2，9－x ，x ＜2.∵输入x的值为1，比2小，∴执行的程序要实现的功能为9－1＝8，故输出y的值为8.(2)k＝0，s＝0，满足k≤2；s＝0，k＝1，满足k≤2；s＝1，k＝2，满足k≤2；s＝1＋23＝9，k＝3，不满足k≤2，输出s＝9.][规律方法] 1.(1)利用选择结构解决算法问题时，要根据题目的要求引入一个或多个判断框．(2)判断框内的条件不同，对应的下一图框中的内容和操作要相应地进行变化，故要逐个分析判断框内的条件．2．解决循环结构问题时，要弄清程序中的循环变量，并弄清循环变量和终止条件之间的对应关系，避免出现循环次数与条件不对应的错误．[变式训练1](1)根据如图9-1-10所示算法框图，当输入x为6时，输出的y＝()图9-1-10A．1 B．2C．5 D．10(2)我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用算法框图描述，如图9-1-11所示，则输出结果n＝()【导学号：66482431】图9-1-11A．4 B．5C．2 D．3(1)D(2)A[(1)当x＝6时，x＝6－3＝3，此时x＝3≥0；当x＝3时，x＝3－3＝0，此时x＝0≥0；当x＝0时，x＝0－3＝－3，此时x＝－3＜0，则y＝(－3)2＋1＝10.(2)该算法框图运行4次，第1次循环，a＝1，A＝1，S＝2，n＝1；第2次循环，a＝12，A＝2，S＝92，n＝2；第3次循环，a＝14，A＝4，S＝354，n＝3；第4次循环，a＝18，A＝8，S＝1358，n＝4，此时循环结束，则输出的n＝4，故选A.]算法框图的识别与完善☞(2016·全国卷Ⅰ)执行下面的算法框图，如果输入的x＝0，y＝1，n＝1，则输出x，y的值满足()图9-1-12A．y＝2x B．y＝3xC．y＝4x D．y＝5xC[输入x＝0，y＝1，n＝1，运行第一次，x＝0，y＝1，不满足x2＋y2≥36；运行第二次，x＝12，y＝2，不满足x2＋y2≥36；运行第三次，x＝32，y＝6，满足x2＋y2≥36，输出x＝32，y＝6.由于点⎝⎛⎭⎪⎫32，6在直线y＝4x上，故选C.]☞角度2完善算法框图执行如图9-1-13所示的算法框图，若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是()图9-1-13A．s≤34B．s≤56C．s≤1112D．s≤2524C[执行第1次循环，则k＝2，s＝12，满足条件．执行第2次循环，则k ＝4，s ＝12＋14＝34，满足条件．执行第3次循环，则k ＝6，s ＝34＋16＝1112，满足条件．执行第4次循环，k＝8，s ＝1112＋18＝2524，不满足条件，输出k ＝8，因此条件判断框应填s ≤1112.][规律方法] 1.(1)第1题的关键在于理解算法框图的功能；(2)第2题要明确何时进入或退出循环体，以及累加变量的变化．2．解答此类题目：(1)要明确算法框图的顺序结构、选择结构和循环结构；(2)理解算法框图的功能；(3)要按框图中的条件运行程序，按照题目的要求完成解答.基本算法语句)A ．25B ．30C ．31D ．61C [由题知，算法语句是一个分段函数y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，x ≤50，25＋0.6(x －50)，x ＞50，∴y ＝f (60)＝25＋0.6×(60－50)＝31.][规律方法] 1.本题主要考查条件语句，输入、输出语句与赋值语句，要注意赋值语句一般格式中的“＝”不同于等式中的“＝”，其实质是计算“＝”右边表达式的值，并将该值赋给“＝”左边的变量．2．解决此类问题关键要理解各语句的含义，以及基本算法语句与算法结构的对应关系．[变式训练2]按照如下程序运行，则输出k的值是________．3[第一次循环，x＝7，k＝1；第二次循环，x＝15，k＝2；第三次循环，x＝31，k＝3.终止循环，输出k的值是3.][思想与方法]1．每个算法结构都含有顺序结构，循环结构中必定包含一个选择结构，用于确定何时终止循环体，循环结构和选择结构都含有顺序结构．2．在画算法框图时首先要进行结构的选择．若所要解决的问题不需要分情况讨论，只用顺序结构就能解决；若所要解决的问题要分若干种情况讨论时，就必须引入选择结构；若所要解决的问题要进行许多重复的步骤，且这些步骤之间又有相同的规律时，就必须应用循环结构．[易错与防范]1．赋值号左边只能是变量(不是表达式)，在一个赋值语句中只能给一个变量赋值．2．注意选择结构与循环结构的联系：循环结构有重复性，选择结构具有选择性没有重复性，并且循环结构中必定包含一个选择结构，用于确定何时终止循环体．。
第四节相关性、最小二乘估计与统计案例 [考纲传真] 1.会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系.2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.3.了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其初步应用.4.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用．1．相关性(1)线性相关若两个变量x和y的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动，则称变量间是线性相关的．(2)非线性相关若所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动，则称此相关为非线性相关的．(3)不相关如果所有的点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间是不相关的．2．最小二乘估计(1)最小二乘法如果有n个点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)可以用下面的表达式来刻画这些点与直线y＝a＋bx的接近程度：[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋…＋[y n－(a＋bx n)]2.使得上式达到最小值的直线y＝a＋bx就是我们所要求的直线，这种方法称为最小二乘法．(2)线性回归方程方程y＝bx＋a是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)的线性回归方程，其中a，b是待定参数．3．回归分析(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． (2)样本点的中心对于一组具有线性相关关系的数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中，(x ，y )称为样本点的中心．(3)相关系数r①r ＝∑i ＝1nxiyi －n xy ∑i ＝1n x2i －n x 2∑i ＝1n y2i －n y 2； ②当r >0时，称两个变量正相关． 当r <0时，称两个变量负相关． 当r ＝0时，称两个变量线性不相关． 4．独立性检验 若一个2×2列联表为：χ2＝－＋＋＋＋.(1)当χ2≤2.706时，可以认为变量A ，B 是没有关联的； (2)当χ2>2.706时，有90%的把握判定变量A ，B 有关联； (3)当χ2>3.841时，有95%的把握判定变量A ，B 有关联； (4)当χ2>6.635时，有99%的把握判定变量A ，B 有关联．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系．( ) (2)某同学研究卖出的热饮杯数y 与气温x (℃)之间的关系，得回归方程y ^＝－2.352x ＋。
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第三节统计与统计案例考纲解读1. 理解随机抽样的必要性和重要性。
2. 会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法.3. 了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画出频率分布直方图、频率折线图、茎叶图,理解它们各自的特点.4. 理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差.5. 能从样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字牲估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想。
6. 会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题。
7. 会作两个有关联变量的数据的散点图,会利用散点图认识变量间的相关关系.8. 了解最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。
9. 了解常见的统计方法,并能应用这些方法解决一些实际问题。
（1）独立性检验了解独立性检验(只要求2×2列联表）的基本思想、方法及其简单应用.(2)回归分析了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.命题趋势探究1。
本节内容是高考必考内容，以选择题、填空题为主.2. 命题内容为：(1）三种抽样（以分层抽样为主）；(2)频率分布表和频率分布直方图的制作、识图及运用。
(1）(2）有结合趋势，考题难度中下.3。
统计案例为新课标教材新增内容，考查考生解决实际问题的能力。
课时作业60 用样本估计总体一、选择题1．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：A．0.35 B．0.45C．0.55 D．0.65解析：求得该频数为2＋3＋4＝9，样本容量是20，所以频率为920＝0.45.答案：B2．重庆市2013年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如图：则这组数据的中位数是( )A．19 B．20C．21.5 D．23解析：根据茎叶图可知，这组数据从小到大依次是8,9,12,15,18,20,20,23,23,28,31,32，处于正中间的两个数都是20，故中位数是20.答案：B3．如图是依据某城市年龄在20岁到45岁的居民上网情况调查而绘制的频率分布直方图，现已知年龄在[30,35)、[35,40)、[40,45]的网民人数成递减的等差数列，则年龄在[35,40)的网民出现的频率为( )A ．0.04B ．0.06C ．0.2D ．0.3解析：由题意得，年龄在[20,25)的网民出现的频率为0.01×5＝0.05，[25,30)的网民出现的频率为0.07×5＝0.35，又[30,35)、[35,40)、[40,45]的网民人数成递减的等差数列，则其频率也成等差数列，又[30,35]的频率为1－0.05－0.35＝0.6，则年龄在[35,40)的网民出现的频率为0.2.答案：C4．从甲、乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图所示)．设甲、乙两组数据的平均数分别为x 甲、x 乙，中位数分别为m甲，m 乙，则( )A.x 甲<x 乙，m 甲>m 乙B.x 甲<x 乙，m 甲<m 乙C.x 甲>x 乙，m 甲>m 乙D.x 甲>x 乙，m 甲<m 乙解析：由茎叶图知m 甲＝22＋182＝20，m 乙＝27＋312＝29，∴m 甲<m 乙；x 甲＝116(41＋43＋30＋30＋38＋22＋25＋27＋10＋10＋14＋18＋18＋5＋6＋8)＝34516，x 乙＝116(42＋43＋48＋31＋32＋34＋34＋38＋20＋22＋23＋23＋27＋10＋12＋18)＝45716，∴x 甲<x乙．答案：B5．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )A ．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B ．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D ．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差解析：由题意可知，甲的成绩为4,5,6,7,8，乙的成绩为5,5,5,6,9，所以甲、乙的成绩的平均数均为6，A 错；甲、乙的成绩的中位数分别为6,5，B 错；甲、乙的成绩的方差分别为15×[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝2，15×[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝125，C 对；甲、乙的成绩的极差均为4，D 错． 答案：C6．某公司10位员工的月工资(单位：元)为x 1，x 2，…，x 10，其均值和方差分别为x 和s 2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为( )A.x ，s 2＋1002B.x ＋100，s 2＋1002C.x ，s 2D.x ＋100，s 2解析：由题意，得x ＝x 1＋x 2＋…＋x 1010，s 2＝110[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x 10－x )2]．因为下月起每位员工的月工资增加100元， 所以下月工资的均值为x 1＋＋x 2＋＋…＋x 10＋10＝x 1＋x 2＋…＋x 10＋10×10010＝x ＋100下月工资的方差为110[(x 1＋100－x －100)2＋(x 2＋100－x －100)2＋…＋(x 10＋100－x －100)2]＝110[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x 10－x )2]＝s 2，故选D.答案：D 二、填空题7．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，如图是根据某地某日早7点至晚8点甲、乙两个监测点统计的数据(单位：毫克/立方米)列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是________．解析：由茎叶图可知甲监测点的数据较为集中，乙监测点的数据较为分散，所以甲地的方差较小．答案：甲8．(2017·南昌一模)在一次演讲比赛中，6位评委对一名选手打分的茎叶图如图所示，若去掉一个最高分和一个最低分，得到一组数据x i (1≤i ≤4)，在如图所示的程序框图中，x 是这4个数据的平均数，则输出的v 的值为________．解析：根据题意得到的数据为78,80,82,84，则x＝81.该程序框图的功能是求以上数据的方差，故输出的v的值为－2＋－2＋－2＋－2＝5.4答案：5三、解答题9．为检查某工厂所生产的8万台电风扇的质量，抽查了其中20台的无故障连续使用时限(单位：小时)如下：248 256 232 243 188 268 278 266 289 312274 296 288 302 295 228 287 217 329 283(1)完成下面的频率分布表，并作出频率分布直方图；(2)估计8万台电风扇中有多少台无故障连续使用时限不低于280小时；(3)用组中值(同一组中的数据在该组区间的中点值)估计样本的平均无故障连续使用时限.解：(1)频率分布表及频率分布直方图如下所示：(2)由题意可得8×(0.30＋0.10＋0.05)＝3.6，所以估计8万台电风扇中有3.6万台无故障连续使用时限不低于280小时．(3)由频率分布直方图可知x＝190×0.05＋210×0.05＋230×0.10＋250×0.15＋270×0.20＋290×0.30＋310×0.10＋330×0.05＝269(小时)，所以样本的平均无故障连续使用时限为269小时．10．(2016·北京卷)某市居民用水拟实行阶梯水价．每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费．从该市随机调查了10 000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：(Ⅰ)如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？(Ⅱ)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替．当w＝3时，估计该市居民该月的人均水费．解：(Ⅰ)由用水量的频率分布直方图知，该市居民该月用水量在区间[0.5,1]，(1,1.5]，(1.5,2]，(2,2.5]，(2.5,3]内的频率依次为0.1,0.15,0.2,0.25,0.15.所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%.依题意，w至少定为3.(Ⅱ)由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：12×0.15＋17×0.05＋22×0.05＋27×0.05＝10.5(元)．1．如图是某位篮球运动员8场比赛得分的茎叶图，其中一个数据染上污渍用x 代替，那么这位运动员这8场比赛的得分平均数不小于得分中位数的概率为( )A.15B.310C.35D.710解析：由茎叶图可知0≤x ≤9且x ∈N ，中位数是10＋7＋x 2＝27＋x 2，这位运动员这8场比赛的得分平均数为18(7＋8＋7＋9＋x ＋3＋1＋10×4＋20×2)＝18(x ＋115)，由18(x ＋115)≥27＋x2，得3x ≤7，即x ＝0,1,2，所以这位运动员这8场比赛的得分平均数不小于得分中位数的概率为310，故选B.答案：B2．农场种植的甲、乙两种水稻，在面积相等的两块稻田中连续6年的平均产量如下(单位：500 g)，产量比较稳定的是( )C ．一样D ．无法确定解析：x 甲＝16×(900＋920＋900＋850＋910＋920)＝900，x 乙＝16×(890＋960＋950＋850＋860＋890)＝900；s 2甲＝16×(202＋502＋102＋202)≈567；s 2乙＝16×(102＋602＋502＋502＋402＋102)≈1 733，因为s 2甲<s 2乙，所以甲的产量波动小，所以甲种水稻的产量比较稳定．答案：A3．为组织好市运动会，组委会征集了800名志愿者，现对他们的年龄抽样统计后，得到如图所示的频率分布直方图，但是年龄在[25,30)内的数据不慎丢失，依据此图可得：(1)年龄在[25,30)内对应小长方形的高度为________； (2)这800名志愿者中年龄在[25,35)内的人数为________．解析：(1)因为各个小长方形的面积之和为1，所以年龄在[25,30)内对应小长方形的高度为15[1－(5×0.01＋5×0.07＋5×0.06＋5×0.02)]＝0.04.(2)年龄在[25,35)内的频率为0.04×5＋0.07×5＝0.55，人数为0.55×800＝440. 答案：(1)0.04 (2)4404．某工厂对一批产品进行了抽样检测．如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36.(1)求样本容量及样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数； (2)已知这批产品中每个产品的利润y (单位：元)与产品净重x (单位：克)的关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，96≤x <98，5，98≤x <104，4，104≤x ≤106，求这批产品平均每个的利润．解：(1)产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.300.设样本容量为n .∵样本中产品净重小于100克的个数是36，∴36n＝0.300，∴n＝120.∵样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.750，∴样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.750＝90.(2)产品净重在[96,98)，[98,104)，[104,106]内的频率分别为0.050×2＝0.100，(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.750,0.075×2＝0.150，∴其相应的频数分别为120×0.1＝12,120×0.75＝90,120×0.150＝18，∴这批产品平均每个的利润为1120×(3×12＋5×90＋4×18)＝4.65(元)．。
