工程力学第6章 空间力系重心

工程力学4.1力在空间坐标轴上的投影4.2力对轴的矩·合力矩定理4.3 空间任意力系的平衡方程4.4 平行力系的中心物体的重心工程中常常存在着很多各力的作用线不在同一平面内的力系，即空间力系，空间力系是最一般的力系。

(a)图为空间汇交力系；(b)图为空间任意力系；在(b)图中去了风力即为空间平行力系。

迎面风力侧面风力b4.1 力在空间坐标轴上的投影4.1.1力在空间的表示：力的三要素：大小、方向、作用点(线)大小：作用点：在物体的哪点就是哪点方向：①由α、β、g 三个方向角确定②由仰角θ与俯角ϕ来确定。

F F=4.1 力在空间坐标轴上的投影4.1.1力在空间的表示：1、一次投影法（直接投影法）由图可知：cos ,cos ,cos x y z F X F F Y F F Z F αβg==⋅==⋅==⋅4.1.2力在空间坐标轴上的投影2、二次投影法（间接投影法）当力与各轴正向夹角不易确定时，可先将投影到xy 面上，然后再投影到x 、y 轴上，即Fsin cos cos cos cos x xy F X F F F g ϕϕθϕ==⋅⋅=⋅=⋅⋅sin sin sin cos sin y xy F Y F F F g ϕϕθϕ==⋅⋅=⋅=⋅⋅cos sin z F Z F F g θ==⋅=⋅ 4.2 力对轴的矩⋅合力矩定理一、力对轴的矩的概念与计算定义：()()2''z O xy xy m F m F F d OA B ==±⋅=∆的面积由于力和都不能使门转动，所以得出力与轴平行或相交时，力对轴之矩为零。

亦即力与轴共面时，力对轴之矩为零。

y F z F 力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效应的度量，是代数量，其大小等于在垂直于转轴的平面内的分量的大小和它与转轴间垂直距离的乘积，其正负号按右手规则确定，即大拇指方向与轴的正向一致的为正，反之为负。

4.2.2合力矩定理与平面力系情况类同，空间力系的合力矩定理为：12()()()()()z z z z n z i m R m F m F m F m F =+++=∑即：空间力系的合力对某一轴的矩，等于力系中所有各分力对同一轴的矩的代数和。

第6章空间力系和重心(II)•空间力的分解与投影•空间汇交力系•空间力偶理论•力对点之矩与力对轴之矩•空间任意力系的简化与平衡空间平行力系，，重心•空间平行力系1、空间任意力系向已知点的简化其中其中：：i i i i F F ′=r r i o i()i o i M M F =r r r 一空间汇交力系与一空间力偶系等效代替一空间任意力系一空间汇交力系与一空间力偶系等效代替一空间任意力系。

§6-5 空间任意力系向已知点的简化·主矢与主矩·空间力系的合力矩定理1F 2F 3F 力线平移定理力线平移定理（（力矩矢量力矩矢量））R i ix iy izR i ix iy iz F F F i F j F k ′==++∑∑∑∑r r r r r r r r 称为力系称为力系（（对O 点）的主矩o i o i ()o i o i M M M F ==∑∑r r r r 称为力系的主矢空间空间（（附加附加））力偶系的合力偶矩力偶系的合力偶矩（（矢）由力对点的矩与力对轴的矩的关系由力对点的矩与力对轴的矩的关系，，有:空间汇交力系的合力空间汇交力系的合力（（作用于作用于O O 点）矢量()()()k F M j F M i F M M i z i y i x O r r r r r r r ∑∑∑++=对x x ，，y y ，，z 轴的矩轴的矩。

式中式中::，，分别表示分别表示力力()i x F M r ()i y F M r ()i z F M r i F r—有效推进力RxRx F ′r 飞机向前飞行RyRy F ′r —有效升力飞机上升Rz Rz F ′r —侧向力飞机侧移Ox OxM r —滚转力矩飞机绕飞机绕x x 轴滚转Oy Oy M r —偏航力矩飞机转弯Oz Oz M r —俯仰力矩飞机俯仰2．空间任意力系的简化结果分析（1）当时R O 0,0R O F M ′==r r 则为平衡力系则为平衡力系（（与简化中心无关与简化中心无关）。

空间力系和重心空间力系和重心各力的作用线不在同一平面内的力系，称为空间力系。

与平面力系类似，空间力系可分为空间汇交力系、空间力偶系和空间任意力系来研究。

空间力系和重心6.1空间力沿坐标轴的分解与投影直接投影法zF= Fx+ Fy+ Fz= Xi+ Yj+ Zk其中，FzαγZkFxFβ Y FyX= F cosα Y= F cosβ Z= F cosγXjixy空间力系和重心二次投影法zX= Fxy cos = F sinγ cos Y= Fxy sin = F sinγ sin Z= F cosγZγkFYj i X Fxyy注意，力在轴上的投影是代数量，而力在平面上的投影是矢量。

x空间力系和重心力的大小和方向余弦：zF= X 2+Y 2+ Z2X cos( F, i )= F Y cos( F, j )= F Z cos( F, k )= FZγkFYj i X Fxyyx空间力系和重心6.2力对点之矩和力对轴的矩6.2.1力对点之矩力对点的力矩矢等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积，表示为，M O (F )FOrMO ( F )= r× F空间力系和重心若矢径rz和力F分别为M O (F )B Fr= xi+ yj+ zk F= Xi+ Yj+ Zki则，M O ( F )= r× F= x X j y Y k z Z kOrA( x, y, z )ijyx= ( yZ zY )i+ ( zX xZ ) j+ ( xY yX )k空间力系和重心由此可知力矩矢M O (F )在三个坐标轴上的投影分别为：M Ox ( F )= yZ zY M Oy ( F )= zX xZ M Oz ( F )= xY yX(6 1)力矩矢的始端必须在矩心，不可任意移动，为一定位矢量。

空间力系和重心6.2.2力对轴之矩为度量力对绕定轴转动刚体的作用效应，引入力对轴的矩的概念。

空间力系和重心力对轴的矩的概念作用于刚体的力F对z轴的定义为：M Z ( F )= M O ( Fxy )=± Fxy hM z (F )F这样，空间力对轴之矩归结为平面上的力对点之矩，即力F对任一轴z之矩，等于这力在垂直于z轴的平面内的分量Fxy对该平面和z轴交点O之矩。

第六章空间力系和重心教学目标1 能熟练地计算力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩。

2 了解空间力系向一点简化的方法和结果。

3 能应用平衡条件求解空间汇交力系、空间任意力系、空间平行力系的平衡问题。

4 能正确地画出各种常见空间约束的约束力。

5 对重心应有清晰的概念，能熟练地应用组合法求物体的重心。

本章重点1 力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩。

2 空间汇交力系、空间任意力系、空间平行力系平衡方程的应用。

3 各种常见空间约束的约束力。

4 重心的坐标公式。

本章难点空间矢量的运算，空间结构的几何关系和立体图。

教学过程（下页）一、空间力系的简化 1．空间力系向一点简化刚体上作用空间力系),,(21n F F F，将力系中各力向任选的简化中心O 简化。

主矢：∑∑='=C i F F F，与O 点选择无关。

（6-1）主矩：∑∑∑⨯===)()(00i i i i F r F M M M，与O 点的选择有关。

（6-2） 主矢F和主矩0M 的解析表达式222)()()(∑∑∑++=iz iy ix F F F F （6-3） FFx F ix∑=),cos(，FFy F iy∑=),cos(，FFz F iz∑=),cos(2220))(())(())((i z i y i x F M F M F M M ∑∑∑++= （6-4）0)(),cos(M F Mx M i x∑=，00)(),cos(M F My M i y∑=，00)(),cos(M F Mz M i z∑=结论：空间力系向任一点简化，一般可得到一力和一力偶，该力通过简化中心，其大小和方向等于力系的主矢，该力偶的力偶矩矢等于力系对简化中心的主矩。

2．空间力系简化的最后结果 （1）空间力系平衡0=F ，00=M，此空间力系为平衡力系。

（2）空间力系简化为一合力偶0=F ，00≠M ，此空间力系简化为一合力偶，合力偶矩矢等于力系主矩0M与简化中心的位置无关。

第六章 空间力系及重心一、内容提要1、空间力对点之矩和对轴之矩1）空间力对点之矩是矢量，且F r F m o ⨯=)(2）空间力对轴之矩是一代数量，其正负号按右手螺旋规则确定，大小有两种计算方法：（a ）先将力投影到垂直于轴的平面上，然后按平面上力对点之矩计算，即)()(yz o Z F m F m =(b)若已知力在坐标轴上的投影F x 、F y 和F Z 及该力的作用点的坐标x 、y 、z ，则力对各坐标轴的矩可表示为=)(F m x yF z -zF y=)(F m y zF x -xF z =)(F m z xF y -yF x3) 力对点之矩和力对轴之矩的关系（力矩关系定理）：x o x F m F m )]([)(=y o y F m F m )]([)(= z o z F m F m )]([)(=4）特殊情况 当力与轴平行或相交（即力与轴共面）时，力对轴之矩等于零。

2、空间任意力系的简化、合成1）空间任意力系的简化、力系的主矢与主矩主矢R /=∑F i , 主矢的大小和方向与简化中心的位置无关。

主矩M o =∑m o (F), 主矩的大小和转向一般与简化中心的位置有关。

2）空间任意力系的合成结果空间任意力系的平衡方程的基本形式为0=∑x F ，0=∑y F ，0=∑Z F0)(=∑F m x ，0)(=∑F m y ，0)(=∑F m Z2）几种特殊力系的平衡方程（a ）空间汇交力系的平衡方程的基本形式为0=∑x F ，0=∑y F ，0=∑Z F（b ）空间平行力系，若力系中各力与轴平行，则0≡∑x F ，0≡∑y F ，0)(≡∑F m Z ，其平衡方程的基本形式为：0=∑Z F ，0)(=∑F m x ，0)(=∑F m y（c ）空间力偶系的平衡方程的基本形式为0)(=∑F m x ，0)(=∑F m y ，0)(=∑F m Z4、本章根据合力矩定理推导了重心坐标公式。

第一章静力学基础第一节静力学的基本概念1、静力学是研究物体在力系作用下平衡规律的科学。

2、力是物体之间的相互机械作用，这种作用使物体的机械运动状态发生变化，同时使物体的形状或尺寸发生改变。

前者称为力的运动效应或外效应，后者称为力的变形效应或内效应。

3、力对物体作用的效应，取决于力的大小、方向（包括方位和指向）和作用点，这三个因素称为力的三要素。

4、力是矢量。

5、力系：作用在物体上的若干个力总称为力系。

6、等效力系：如果作用于物体上的一个力系可用另一个力系来代替，而不改变原力系对物体作用的外效应，则这两个力系称为等效力系或互等力系。

7、刚体就是指在受力情况下保持其几何形状和尺寸不变的物体，亦即受力后任意两点之间的距离保持不变的物体。

8、平衡：工程上一般是指物体相对与地面保持静止或做匀速直线运动的状态。

9、要使物体处于平衡状态，作用于物体上的力系必须满足一定的条件，这些条件称为力系的平衡条件；作用于物体上正好使之平衡的力系则称为平衡力系。

第二节静力学公理1、二力平衡公理：作用于同一刚体上的两个力，使刚体处于平衡状态的必要与充分条件是：这两个力大小相等，方向相反，且作用于同一条直线上（简称等值、反向、共线）。

2、对于刚体来说，这个条件既是必要的又是充分的，但对于变形体，这个条件是不充分的。

3、加减平衡力系公理：在作用于刚体的力系中，加上或减去任意平衡力系，并不改变原力系对刚体的效应。

4、力的可传性原理：作用于刚体上的力，可沿其作用线移动至该刚体上的任意点而不改变它对刚体的作用效应。

5、力的平行四边形法则：作用于物体上同一点的两个力，可以合成为一个合力，合理也作用在该点上，合力的大小和方向则由以这两个分力为邻边所构成的平行四边形的对角线来表示。

6、这种合成力的方法叫矢量加法。

7、作用与反作用定律：两物体间相互作用的力，总是大小相等，方向相反，且沿同一直线。

8、刚化原理：变形体在已知力系作用下处于平衡，如设想将此变形体刚化为刚体，则其平衡状态不会改变。