下载文档原格式
工程力学4.1力在空间坐标轴上的投影4.2力对轴的矩·合力矩定理4.3 空间任意力系的平衡方程4.4 平行力系的中心物体的重心工程中常常存在着很多各力的作用线不在同一平面内的力系，即空间力系，空间力系是最一般的力系。
(a)图为空间汇交力系；(b)图为空间任意力系；在(b)图中去了风力即为空间平行力系。
迎面风力侧面风力b4.1 力在空间坐标轴上的投影4.1.1力在空间的表示：力的三要素：大小、方向、作用点(线)大小：作用点：在物体的哪点就是哪点方向：①由α、β、g 三个方向角确定②由仰角θ与俯角ϕ来确定。
F F=4.1 力在空间坐标轴上的投影4.1.1力在空间的表示：1、一次投影法（直接投影法）由图可知：cos ,cos ,cos x y z F X F F Y F F Z F αβg==⋅==⋅==⋅4.1.2力在空间坐标轴上的投影2、二次投影法（间接投影法）当力与各轴正向夹角不易确定时，可先将投影到xy 面上，然后再投影到x 、y 轴上，即Fsin cos cos cos cos x xy F X F F F g ϕϕθϕ==⋅⋅=⋅=⋅⋅sin sin sin cos sin y xy F Y F F F g ϕϕθϕ==⋅⋅=⋅=⋅⋅cos sin z F Z F F g θ==⋅=⋅ 4.2 力对轴的矩⋅合力矩定理一、力对轴的矩的概念与计算定义：()()2''z O xy xy m F m F F d OA B ==±⋅=∆的面积由于力和都不能使门转动，所以得出力与轴平行或相交时，力对轴之矩为零。
亦即力与轴共面时，力对轴之矩为零。
y F z F 力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效应的度量，是代数量，其大小等于在垂直于转轴的平面内的分量的大小和它与转轴间垂直距离的乘积，其正负号按右手规则确定，即大拇指方向与轴的正向一致的为正，反之为负。
4.2.2合力矩定理与平面力系情况类同，空间力系的合力矩定理为：12()()()()()z z z z n z i m R m F m F m F m F =+++=∑即：空间力系的合力对某一轴的矩，等于力系中所有各分力对同一轴的矩的代数和。
第四章 空间力系作用在物体上各力的作用线不在同一平面内，称该力系为空间力系。
按各力的作用在空间的位置关系，空间力系可分为空间汇交力系、空间平行力系和空间任意力系。
前几章介绍的各种力系都是空间力系的特例。
第一节 力的投影与分解一、力在空间直角坐标轴上的投影已知力F 与x 轴如图4－1(a)所示，过力F 的两端点A 、B 分别作垂直于x 轴的平面M 及N ，与x 轴交于a 、b ，则线段ab 冠以正号或负号称为力F 在x 轴上的投影，即F x ＝±ab符号规定：若从a 到b 的方向与x 轴的正向一致取正号，反之取负号。
已知力F 与平面Q ，如图4－1(b)所示。
过力的两端点A 、B 分别作平面Q 的垂直线AA ′、BB ′，则矢量B A ''称为力F 在平面Q 上的投影。
应注意的是力在平面上的投影是矢量，而力在轴上的投影是代数量。
(a) (b)图4－ 1图4－2现在讨论力F 在空间直角坐标系Oxy 中的情况。
如图4－2(a)所示，过力F 的端点A 、B 分别作x 、y 、z 三轴的垂直平面，则由力在轴上的投影的定义知，OA 、OB 、O C 就是力F 在x 、y 、z 轴上的投影。
设力F 与x 、y 、z 所夹的角分别是α、β、γ，则力F 在空间直角坐标轴上的投影为：⎪⎭⎪⎬⎫±=±=±=γβαcos cos cos F F F F F F z y x (4－1) 用这种方法计算力在轴上的投影的方法称为直接投影法。
一般情况下，不易全部找到力与三个轴的夹角，设已知力F 与z 轴夹角为γ ,可先将力投影到坐标平面Oxy 上，然后再投影到坐标轴x 、y 上，如图4－2（b ）所示。
设力F 在Oxy 平面上的投影为F xy 与x 轴间的夹角为θ，则⎪⎭⎪⎬⎫±=±=±=γθγθγcos sin sin cos sin F F F F F F z y x (4－2) 用这种方法计算力在轴上的投影称为二次投影法。
情景四空间力系及重心情境描述空间力系在工程实际和生活中是经常遇到的力系。
本情境的学习，帮助同学们建立空间概念，学会处理和求解简单的空间力系的平衡问题，提升解决工程实际问题的能力。
特别是将空间力系平衡问题转换为平面力系平衡问题的解法更有实用意义，它将为后续课程打下基础。
重心问题在工程中也是常见的问题，作为一个工程技术人员，需要掌握重心（形心）的计算，这也是高技能人才必备的基础知识。
学习目标●会计算力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴的矩。
●能运用空间任意力系的平衡方程解较简单的空间力系的平衡问题。
●能将空间力系的平衡问题转化为平面力系的平衡问题进行解决。
●学会计算平面组合图形的形心位置坐标。
学习任务●空间力系平衡方程的应用●平面组合图形重心的确定任务一空间力系平衡方程的应用【能力目标】✧会计算力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴的矩。
✧会运用空间任意力系的平衡方程解较简单的空间力系的平衡问题。
✧能将空间力系的平衡问题转化为平面力系的平衡问题进行解决。
【知识目标】✧理解空间力系的概念，掌握直接投影法和二次投影法。
✧深入理解空间力对轴之矩的概念及计算方法。
【重点难点】重点：力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴的矩，空间力系平衡方程的应用。
难点：空间力的投影和空间力对轴之矩计算，空间结构的几何关系与立体图。
【学习资料导读】4.1 空间力系4.1．1 力沿空间直角坐标轴的分解与投影一、力沿空间直角坐标轴的分解为了分析力对物体的作用，有时需要将力先进行分解。
例如要了解作用在斜齿轮上的力n F 对齿轮及轴的作用时（图4-1-1），就需要将该力沿齿轮的圆周方向、径向和轴向分解为三个分力t r a 、、F F F 来分析。
力沿空间直角坐标轴分解的方法有两种：（1） 以力矢P 为对角线作正平行六面体，以过O 点的三个棱边为坐标轴x y z 、、（图4-1-2），将力P 直接分解为沿坐标轴的三个正交分力x P 、y P 和Z P ,且力P 与x y z 、、三根轴的正向夹角为α、β、γ。
第四章空间力系的平衡及重心第五节物体的重心及其求法一､物体重心的概念地球上的物体都受到地球的吸引力，这个吸引力就是重力。
严格地讲，物体的重力是一个分布力，分布在物体的各个部分，我们通常所说的重力是指这个分布力的合力。
可以证明，无论物体如何放置，其重力(合力)均通过一个确定的点，这个点就是物体的重心。
重心是力学中的一个十分重要的概念，在工程实际中有着很重要的意义。
物体的平衡和稳定，物体旋转时振动的大小等均涉及到重心的位置。
二､物体重心坐标公式1､物体重心坐标的一般公式假象地将物体分割成若干个微小部分，每部分的重力分别为DG1､D G2……D G n，各力的作用点的坐标分别为(x1，y1，z1)､(x2，y2，z2)……(x n，y n，z n)，该物体的重力G=D G1+D G2+……+D G n。
由合力矩定理可得其重心坐标公式为：2､均质物体重心坐标公式设均质物体的密度为r，体积为V，则其重力G=rVg，每一微小部分的重力Gi=rV i g，将此关系代入式(4-8)，可得均质物体的重心坐标公式：3､均质薄板的重心坐标公式设均质薄板的厚度为d，面积为A，则其体积V=dA，V i=dA i，将此关系代入式(4-9)，可得均质薄板的重心坐标公式：可见，对均质物体而言，其重心位置完全取决于其几何形状，而与其重量无关，物体的重心就是其形心。
三､物体重心(形心)的求法1､查表法对于简单几何形状的均质物体，其重心可从有关手册中查到，可直接查表。
见表4-2。
2､对称法对于具有对称面､对称轴或对称中心的均质物体，其重心就在对称面､对称轴或对称中心上。
若物体有两个对称面，则其重心就在这两个对称面的交线上；若物体有两个对称轴，则其重心就在这两个对称轴的交点上。
第四章 空间力系和重心基本概念：空间力系——作用于物体上各力的作用线不在同一平面内时，称为空间力系。
⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧空间一般力系空间汇交力系空间平作力系空间基本力系分类§4-1 力在空间坐标轴上的投影一．一次投影法已知力F 与x 、y 、z 三个从标的正向夹角分别为γβα,,。
⎪⎩⎪⎨⎧===γβαcos cos cos F Z F Y F X FZF Y F X ===γβαcos ,cos ,cos二．二次投影法先将F 投影到期xoy 平面内Fxy 。
（Fxy 与x 夹角ϕ）F 与Z 夹角γ。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===γϕγϕγcos sin sin cos sin F Z F Y F X F 可沿X ，Y ，Z 三轴分别为F x ，F y ，F z 。
§4-2 力对轴的矩一．力对轴的矩：即此力在垂直于该轴的平面上的投影对轴与平面交点之矩。
表示力：()()d F F M F M S S O Z ⋅±===符号规定。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⇒⇒为负负向为正正向轴的姆指力的转动方向四指右手螺旋法则M M :: 讨论：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧==.,200:1面的交点的矩平面上的分力对轴和平的可以看成力在垂直于轴力时轴的矩平行相交当力与转轴共面时Z Z M M二．合力矩定理合力对任一轴的矩等于各分力对同一轴之矩的代教和，()()Fi M R M Z Z ∑=三．力对点之矩的矢量表示1、矢量表达式()F r F M⨯=02、判断表达式：()ZY XF F F z y xk j iF r F M ⨯=0 ()()()k yFx xFy j xFi zFx i zFy yFi -+-+-=力矩在三个坐标轴上的投影()[]()()[]()()[]()⎪⎩⎪⎨⎧=-==-==-=F m yF xF F M F m xF zF F M F m zF yF F M z x y z Oy z x Y O x y z X O 即：力对点之矩在通过该点的任一轴上的投影等于该力对此轴之矩。
